Wavelet Deconvolution in a Periodic Setting

Johnstone, Iain M.; Kerkyacharian, Gérard; Picard, Dominique; Raimondo, Marc

doi:10.1111/j.1467-9868.2004.02056.x

总结

反褶积问题自然地表现在傅里叶域中，而小波基中的阈值具有广泛的自适应特性。我们研究了一种结合快速傅里叶变换和快速小波变换的方法，该方法可以恢复在白噪声中观察到的模糊函数O（运行）{n个日志(n个)²}步骤。在周期设置中，该方法适用于大多数反褶积问题，包括某些“boxcar”核，这些核作为运动模糊模型很重要，但傅里叶特性较差。渐近理论为调谐参数的选择提供了依据，并为该方法提供了一系列误差度量和函数类的自适应特性。该方法在水下遥感建议的模拟光探测和测距数据上进行了测试。视觉和数值结果都表明，与竞争方法相比，该方法有了改进。最后，我们的估计范式背后的理论给出了该方法的“maxiset”的完整特征：该方法在各种情况下达到接近最佳收敛速度的函数集L（左）^对损失函数。

自适应估计,反褶积,迈耶小波,非参数回归

1.白噪声中的反卷积

假设我们观察随机过程Y（Y）_n个(·),

{Y（Y）}_{n个} (d日 t吨) = （f） * 克 (t吨) d日 t吨 + σ {n个}^{- 1 / 2} W公司 (d日 t吨), t吨 \in T型 = [0, 1],

1

哪里σ是一个正常数，W公司（·）是高斯白噪声

（f） * 克 (t吨) = \int_{T型} （f） (t吨 - u个) 克 (u个) d日 u个 .

2

我们的目标是恢复未知函数（f）从噪声模糊的观测中(1). 模糊功能克卷积(2)假设已知。此外，我们假设函数（f）在单位间隔上是周期性的T型而且克具有一定的平滑度。有大量关于反褶积问题的统计文献；特别是小波方法在过去十年中受到了相当大的关注。与当前工作特别相关的参考文献包括Donoho(1995)阿布拉莫维奇和西尔弗曼(1998)彭斯基和维达科维奇(1999)、范和古(2002)卡利法和马拉特(2003)和尼拉马尼等（2003）：这些作品又进一步引用了以前的文献。

由表达式建模的重要应用程序设置(1)信号或图像中的运动模糊；参见贝特罗和博卡奇示例(1998). 在这里克被视为“棚车”克(x个)=(2一)⁻¹𝕀_[−一,一](x个)，半宽一.由于傅里叶系数的振荡克，这种情况逃脱了许多小波文献的假设，但尼拉马尼最近的工作等. (2004)用ForWaRD算法对其进行了明确的研究。

本文的目的是研究一种小波反卷积算法，该算法可以应用于许多反卷积问题，包括某些箱车模糊的情况。我们特别感兴趣的是获得与各种错误度量和函数类相关的自适应属性。我们的理论研究是通过使用模型进行的(1)，但为在离散集n个等距点。

对于普通平滑卷积其中，傅里叶系数克以多项式方式衰减|克_我|∼C类|我|^−ν，我们的建议可以恢复未知函数（f）订单准确无误

{\frac{日志 (n个)}{n个}}^{α}, α = \frac{秒 对}{2 (秒 + ν) + 1},

三

在集成环境中测量的性能L（左）^对-公制，适用于任何对>1.这里n个表示通常的样本量和秒为我们的目标函数起平滑指数的作用（f）（取自一个包含空间非均匀函数的大类）。对于boxcar模糊，我们显示了这个比率(三)与保持 $v（v） = \frac{三}{2}$ ⁠，前提是车厢宽度被有理数“严重近似”。第节回顾了这一概念2.2; 它包括宽度由二次无理数给定的箱车，如√5；另见命题2后的备注8。

我们的费率结果(三)建立了一类满足衰减条件的卷积算子在二进Fourier块上求平均值的方法。因此，如果(克_我)表示的傅里叶系数克，我们认为对于一些固定的第页>0

{(2^{- j个} \sum_{我 : | 我 | = 2^{j个}}^{2^{j个 + 第页}} {| 克_{我} |}^{- 2})}^{1 / 2} ≍ 2^{j个 ν}

（条件C类). （注释一_j个≅b条_j个表示存在常量c（c）₀和c（c）₁这样，对所有人来说j个,c（c）₀ $⩽$ 一_j个/b条_j个 $⩽$ c（c）₁.）条件C类通常适用于普通的“平滑”卷积，也适用于某些振荡情况，例如非理性boxcar模糊；参见示例图。2在第节中2.1和命题2。它不包括具有指数或更快傅里叶衰减的“超光滑”核，如高斯核。

图2

（a） Γ（1,0.0065）概率分布函数的对数谱（平滑模糊）和（b）箱车函数g（x）=（1/2a）的对数谱𝕀[−a，a]（x），a=1/√353（棚车模糊）

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（a） Γ（1,0.0065）概率分布函数的对数谱（平滑模糊）和（b）boxcar函数的对数频谱克(x个)=(1/2一) 𝕀_[−一,一](x个)带有一=1/√353（车厢模糊）

为了理论和实践上的方便，我们使用了带限小波基函数，特别是（周期化）Meyer小波基，该小波基具有快速算法；科拉奇克(1994)多诺霍和雷蒙多(2004). 因此，我们的方法可以在O（运行）{n个 pt（磅）日志(n个)²}步骤。用于准备本文中大多数图形和表格的WaveD软件包位于网址：http://www.usyd.edu.au:8000/u/macr/。用于Wavelab；参见Buckheit等. (1995).

我们从第节开始2通过描述统计反褶积在遥感中的应用。接下来简要回顾了连分式、周期Meyer小波、Besov空间和小波收缩。章节三具体描述了我们的方法，以及它与Donoho的小波模糊方法的关系(1995)阿布拉莫维奇和西尔弗曼(1998). 章节4关注数值性能和竞争方法。在我们方法的实现中，调谐参数的选择由渐近极小极大理论提供信息：这在第节中进行了讨论5附录A和B中总结了证据。

2.动机和准备

2.1. 遥感图解

反褶积是信号和图像处理许多领域中的常见问题；参见Jain示例(1989). 在这里，我们将专注于光线探测和测距（LIDAR）遥感，就像在杰帕克一样等. (1997)哈斯多夫和路透社(2000). 激光雷达使用激光装置发射脉冲，脉冲的反射由与激光对准的望远镜收集。返回信号用于确定反射材料的距离和位置。因此，距离分辨率受到激光雷达仪器时间分辨率的限制。如果激光雷达探测器的系统响应函数大于时间分辨率间隔，则测量的激光雷达信号会模糊，激光雷达的有效精度会降低。这种精度损失可以通过反褶积来纠正。实际上，测量的激光雷达信号被额外的噪声破坏，这使得直接反褶积成为不可能。从Harsdorf和Reuter借来(2000)，我们在图中描述了理想的激光雷达信号。1; 这将是我们的目标函数（f）用于本文中的数字插图。激光雷达探测器的系统响应功能（表示克(t吨)在表达式中(1))已校准后部一旦激光雷达仪器建成。我们关注哈斯多夫和路透社(2000)并且使用具有强低通特性的系统响应函数。在本文中用于绘制大多数图形的WaveD软件中，用户可以更改系统响应函数参数，以适应不同的校准设置。在图中。2，我们在傅里叶域中演示了平滑模糊和boxcar模糊场景。这两个系统响应函数形状示例说明了我们的假设所提供的可能性C类，在该条件下可以实现接近最佳的速率。最后，图。三显示了不同噪声级和系统响应函数组合的人工激光雷达数据。

图1

Harsdorf和Reuter（2000）中的理想激光雷达信号，对应于水下激光雷达的数据

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Harsdorf和Reuter的理想激光雷达信号(2000)，对应水下激光雷达数据

图3

模拟激光雷达信号（1），ti=i/n，n=2048，对应于图2的系统响应函数：（a）具有低（标准偏差sd=0.05）噪声水平的平滑模糊；（b）中等（sd=0.5）噪声级的平滑模糊；（c）高（sd=1）噪声级的平滑模糊；（d）低噪声级（sd=0.05）的boxcar模糊；（e）中等（sd=0.5）噪声级的boxcar模糊；（f）高（sd=1）噪声级的boxcar模糊

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模拟激光雷达信号（1）t吨_我=我/n个,n个=2048，对应于图。2：（a）平滑模糊，噪音水平低（标准偏差sd=0.05）；（b）中等（sd=0.5）噪声级的平滑模糊；（c）高（sd=1）噪声级的平滑模糊；（d）低噪声级（sd=0.05）的boxcar模糊；（e）中等（sd=0.5）噪声级的boxcar模糊；（f）高（sd=1）噪声级的boxcar模糊

2.2. Boxcar模糊和连分数算法

boxcar函数是间隔的指示器克(x个) = (1/2一) 𝕀_[−一,一](x个)其中参数一表示首选的空间比例。这种棚车的傅里叶系数由下式给出

克_{我} = \frac{罪 (π 我 一)}{π 我 一}, 我 \in ℤ .

4

卷积问题(1)与boxcar（后来被称为boxcar blur）相关的问题是理性的一=对/q个，系数克_k个任意整数为零k个的倍数q个因此，即使没有噪音，一些频率也会丢失（f）无法完全恢复。对于无理数，尤其是那些用有理数“很难接近”（BA）的数，问题就不那么严重了。我们简要回顾了构建此类数字的关键工具。

2.2.1. 连分数算法

让一₀是一个整数，并且一₁,一₂，…是严格的正整数。定义序列(对_k个)和(q个_k个)递归地由对₀/q个₀=一₀,对₁/q个₁=一₀+1个/一₁和对₂/q个₂=一₀+ 1/(一₁+ 1/一₂)、和用于n个 $⩾$ 2个let

\begin{array}{l} {q个}_{n个} = 一_{n个} {q个}_{n个 - 1} + {q个}_{n个 - 2}, \\ 对_{n个} = 一_{n个} 对_{n个 - 1} + 对_{n个 - 2} . \end{array}

5

有理数序列(对_k个/q个_k个)以这种方式构造的具有非常特殊的属性，其中第一个是

一 0 + \frac{1}{一_{1} + \frac{1}{⋱ \cdot + \frac{1}{一_{k个}}}} = [一_{0}; 一_{1}, 一_{2}, \dots, 一_{k个}] = \frac{对_{k个}}{{q个}_{k个}} .

6

事实上，任何实数一这不是一个整数，可以通过它的连续分数展开唯一地确定。每个实数对应一个唯一的序列(一_k个)反之亦然：

一 = [一_{0}; 一_{1}, 一_{2}, \dots] = 一_{0} + \frac{1}{一_{1} + \frac{1}{一_{2} + \frac{1}{一_{三} + \dots}}} .

7

对于有理数，展开停止，如方程式所示(6)和一_k个=0表示稍后k个，而对于无理数一的顺序(一_k个),一_k个>0是无限的。有理数(对_k个(一)/q个_k个(一))在表达式中定义(5)被称为一.对于任何无理数一，收敛性为最佳近似值：用于n个 $⩾$ 1,

\underset{1 ⩽ k个 ⩽ {q个}_{n个}}{inf公司} ‖ k个 一 ‖ = | {q个}_{n个} 一 - 对_{n个} | = ‖ {q个}_{n个} 一 ‖,

8

哪里║x个║ 表示距离x个∈ ℝ 精确到最接近的整数。这种丢番图近似的研究在我们对箱车模糊的分析中起着中心作用，因为从方程(4)

\frac{2}{π} \frac{‖ 我 一 ‖}{我 一} ⩽ 克_{我} ⩽ \frac{‖ 我 一 ‖}{我 一} .

9

我们回忆起一些基本属性，指的是Lang(1966)和Khinchin（1992）了解更多细节。最佳逼近的质量满足

\frac{1}{2 {q个}_{n个 + 1}} < ‖ {q个}_{n个} 一 ‖ < \frac{1}{{q个}_{n个 + 1}} .

10

（a）
分母q个_n个至少几何增长：
$\begin{matrix} {q个}_{n个 + 我} ⩾ 2^{(我 - 1) / 2} {q个}_{n个}, & 我 = 2 k个 + 1, \\ {q个}_{n个 + 我} ⩾ 2^{我 / 2} {q个}_{n个}, & 我 = 2 k个, k个 > 0 \end{matrix}$
11
（b）
对于所有人n个 $⩾$ 0,
$一_{n个} < {q个}_{n个} / {q个}_{n个 - 1} ⩽ 一_{n个} + 1$

因此元素在连续分数算法中(5)确定最佳有理逼近的质量一.习惯上定义无理数族一根据其元件的尺寸如下。

定义1。无理数一称为BA，如果

\underset{n个}{啜饮} {一_{n个} (一)} < \infty .

定义2。有理数一称为订单BAn个如果一是秩序的收敛k个BA号码的(一=对_k个/q个_k个)如果q个_k个−1 $⩽$ n个<q个_k个.

所有BA的集合包含二次无理数（例如√5）。对于箱车模糊，我们证明（第节中的命题24)那个条件C类与保持 $v（v） = \frac{三}{2}$ 适用于任何规模一在BA集合中选择。在有限样本实现中（大小n个)模型的(1)，我们的方法在任何尺度下都将保持数值稳定一至少在BA有理数序集合中选择n个（见命题2下面的备注8）并满足统一界（in一)在sup上_n个{一_n个(一)}. 我们参考Johnstone和Raimondo（2002）对BA编号以外的案例进行讨论。

2.3. 周期化Meyer小波变换

让(φ,ψ)表示Meyer尺度和小波函数；见Meyer(1992)或Mallat(1999). 像往常一样，

ψ_{κ} (x个) = ψ_{j个, k个} (x个) = 2^{j个 / 2} ψ (2^{j个} x个 - k个), j个, k个 \in ℤ,

12

是分辨率级别的扩张和平移小波j个和时间位置k个/2^j个; 这里和下面κ表示双变量指数(j个,k个). 功能φ定义类似。这样的小波函数定义了L（左）²(ℝ); 对于任何（f）∈L（左）²(ℝ) 以下扩展保持不变：

（f） = \sum_{k个} α_{{j个}_{0}, k个} ϕ_{{j个}_{0}, k个} + \sum_{j个 ⩾ {j个}_{0}} \sum_{k个} β_{j个, k个} ψ_{j个, k个}

13

哪里

\begin{array}{l} α_{κ} = \int （f） ϕ_{κ}, \\ β_{κ} = \int （f） ψ_{κ} \end{array}

14

是的小波系数（f）。很自然，我们可以为中的周期函数定义类似的多分辨率分析L（左）²(T型),T型=[0,1]. 这是通过对基函数进行周期化来实现的

\begin{array}{l} Φ_{κ} (x个) = \sum_{我 \in ℤ} ϕ_{κ} (x个 + 我), \\ Ψ_{κ} (x个) = \sum_{我 \in ℤ} ψ_{κ} (x个 + 我) . \end{array}

15

这里和本文的其余部分（Φ，Ψ）将表示周期化Meyer尺度和小波函数（图。4). 因此，对于任何周期函数（f）类似于等式的展开式(13)具有周期基函数（Φ，Ψ）和二元指数的holdκ仅限于集合我={(j个,k个):j个 $⩾$ 0和k个=0.1，…，2^j个−1}. 我们使用这个基础的原因如下。

图4

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周期Meyer尺度和小波函数：（a）Φ_3,4; （b） Ψ_4,5

（a）
Meyer小波是带限小波。特别是，我们有 $Supp公司(\hat{ψ})={周 : | 周 | \in [2 π / 三, 8 π / 三]}$ ⁠，其中 $\hat{ψ} (ξ) = \int ψ (x个) e（电子） x个对 (- 我 ξ x个) d日 x个$ 表示的傅里叶变换ψ.
（b）
Kolaczyk的高效算法(1994)，可用于计算周期化Meyer小波变换。它只需要O（运行）{n个 pt（磅）日志(n个)²}推导系数经验版本的步骤(14)从一个大小的样本中n个属于（f）.

Walter和Shen在反褶积设置中使用了带限小波(1999)、沈和沃尔特(2002)彭斯基和维达科维奇(1999)还有Fan和Koo(2002). 关于带限小波基的一般信息可以在Mallat中找到(1999)Hernández和Weiss(1996)和Walter(1994).

2.4. 一大类目标函数

让我们首先介绍周期函数的标准Besov空间 ${B类}_{π, 第页}^{秒} (T型), 秒 > 0, π ⩾ 1$ 和第页 $⩾$ 1.为此，定义每个可测量的函数（f）

Δ_{ε} （f） (x个) = （f） (x个 + ε) - （f） (x个);

然后，递归地， $Δ_{ε}^{2} （f） (x个) = Δ_{ε} (Δ_{ε} （f）) (x个)$ 和类似的 $Δ_{ε}^{N个} （f） (x个)$ 对于正整数N个.让

ρ^{N个} (t吨, （f）, π) = \underset{| ε | ⩽ t吨}{啜饮} {\int_{0}^{1} {| Δ_{ε}^{N个} （f） (u个) |}^{π} d日 u个}^{1 / π} .

那么，对于N个>秒，我们定义

{B类}_{π, 第页}^{秒} (T型) = {（f） 周期性： {[\int_{0}^{1} {\frac{ρ^{N个} (t吨, （f）, π)}{{t吨}^{秒}}}^{第页} \frac{d日 t吨}{t吨}]}^{1 / 第页} < \infty}

（进行常规修改第页=∞或π=∞).

在下文中，我们还将写Ψ₋₁=Φ。在此设置中，请记住，Besov空间的特征是小波系数的行为（只要小波是周期性的，并且具有足够的平滑度和消失矩）。特别是，对于（f）∈L（左）^π(T型),

\begin{array}{l} （f） = \sum_{j个, k个} β_{j个, k个} Ψ_{j个, k个} \in {B类}_{π, 第页}^{秒} (T型) \\ ́ \sum_{j个 ⩾ 0} 2^{j个 (秒 + 1 / 2 - 1 / π) 第页} {(\sum_{0 ⩽ k个 ⩽ 2^{j个}} {| β_{j个, k个} |}^{π})}^{第页 / π} < \infty . \end{array}

16

贝索夫空间被证明是研究统计过程特性的一个有趣尺度。索引秒表示函数的平滑度。由于积分参数的微分平均效应π和第页贝索夫空间捕捉函数中的各种平滑特征，包括空间非均匀行为；见多诺霍等. (1995).

2.5. 小波收缩

小波收缩现在是一种成熟的非参数估计统计方法。未知函数的小波估计（f）∈L（左）²(T型)基于硬阈值，由下式给出

\hat{（f）} = \sum_{κ \in 我_{0}} {\hat{α}}_{κ} 我_{{| {\hat{α}}_{κ} | ⩾ λ_{{j个}_{0}}}} Φ_{κ} + \sum_{κ \in 我_{1}} {\hat{β}}_{κ} 我_{{| {\hat{β}}_{κ} | ⩾ λ_{j个}}} Ψ_{κ}

17

哪里 ${\hat{α}}_{k个}$ 和 ${\hat{β}}_{k个}$ 是估计的小波系数和我₀和我₁是一组索引。我₀={(j个₀,k个):k个=0,1,…,2^j个0−1}对应于粗分辨率水平j个₀和我₁={(j个,k个):k个=0,1,…,2^j个−1,j个₀ $⩽$ j个 $⩽$ j个₁}将详细信息索引到精细的分辨率级别j个₁.程序(17)非线性，因为只有大系数 $| {\hat{β}}_{k个} | ⩾ λ_{j个}$ 保存；在这里λ_j个是阈值参数。参数的选择j个₀,j个₁和λ_j个以及估算员 ${\hat{α}}_{k个}$ 和 ${\hat{β}}_{k个}$ 取决于手头的问题。对于反褶积问题(1)这将在下一节中讨论。

3.傅里叶域中的小波反褶积

3.1. 逆估计范式

由于傅里叶变换交换了卷积和乘法，因此很自然地使用傅里叶表示来解决解卷积问题。让e（电子）_我(t吨)=经验（2π我书信电报),我∈ ℤ, 并写入（f）_我=〈（f）,e（电子）_我〉和克_我=〈克,e（电子）_我〉的傅里叶系数（f）和克分别在其中 $〈 （f）, 克 〉 = \int_{T型} （f） \bar{克}$ ⁠.出租小时=（f）*克我们有

{小时}_{我} = 〈 （f） * 克, {e（电子）}_{我} 〉 = {（f）}_{我} \times 克_{我} .

18

对于（实值）随机过程Y（Y）_n个和W公司我们写的时候，略带滥用符号，年_我=〈e（电子）_我,Y（Y）_n个〉=∫e（电子）_我d日Y（Y）_n个和z（z）_我=〈e（电子）_我,W公司〉=∫e（电子）_我d日W公司.计算表达式中的傅里叶系数(1):

年_{我} = {小时}_{我} + σ {n个}^{- 1 / 2} {z（z）}_{我}

19

哪里z（z）_我是零米高斯随机变量。我们表示为 $Ψ_{我}^{k个}$ Ψ的傅里叶系数，即。 $Ψ_{我}^{k个} = 〈 Ψ_{k个}, {e（电子）}_{我} 〉$ ⁠.组合方程(18)通过普朗彻的身份，我们获得了

\int_{T型} （f） {\bar{Ψ}}_{κ} = \sum_{我} {（f）}_{我} {\bar{Ψ}}_{我}^{κ} = \sum_{我} \frac{{小时}_{我}}{克_{我}} {\bar{Ψ}}_{我}^{κ} .

20

注意到 ${\bar{Ψ}}_{k个} = Ψ_{k个}$ ⁠，我们可以恢复小波系数

β_{κ} = \int_{T型} （f） Ψ_{κ} = \sum_{我} \frac{{小时}_{我}}{克_{我}} {\bar{Ψ}}_{我}^{κ} .

21

在这里克_我和 $Ψ_{我}^{k个}$ 是已知的傅里叶系数，但小时_我s不可直接观察；在方程式中(19)我们接受年_我作为（无偏）估计量小时_我然后让

{\hat{β}}_{κ} = \sum_{我} \frac{年_{我}}{克_{我}} {\bar{Ψ}}_{我}^{κ}

22

是我们的估算者β可以从观测结果中计算出(1). 当然，估计值 ${\hat{α}}_{k个}$ 属于α以类似的方式定义，用Φ代替Ψ。

让 ${C类}_{j个} = {我 : Ψ_{我}^{k个} \neq 0}$ -很容易看出，这个集合不依赖于k个事实上，根据Meyer小波的紧支撑，我们得到了

{C类}_{j个} \subset (2 π / 三) [- 2^{j个 + 2}, - 2^{j个}] \cup [2^{j个}, 2^{j个 + 2}] .

3.2. 小波反褶积方法

对于反褶积问题(1)我们将使用基于小波的估计器(17)带系数(22). 估算员(17)需要三个输入参数：j个₀,j个₁和λ。粗略刻度具有默认值j个₀在软件中为3，在渐近理论中不重要。指定更关键的阈值λ_j个和最精细的尺度j个₁，套

τ_{j个} = {({| {C类}_{j个} |}^{- 1} \sum_{我 \in {C类}_{j个}} {| 克_{我} |}^{- 2})}^{1 / 2},

23

其中|C类_j个|表示的基数C类_j个然后，对于阈值，

λ_{j个}^{波形D} : = λ_{n个, j个} = η σ τ_{j个} \sqrt {日志 (n个) / n个},

24

其中，默认值为η在软件中为√2，这将在下文中进一步讨论。最后，使用衰变参数ν根据假设C类，最好的鳞片j个₁由确定

2^{{j个}_{1}} = {n个 / 日志 (n个)}^{1 / (1 + 2 ν)} .

25

如果有必要计算噪声标准偏差的估计值σ，我们采用Donoho的方法等. (1995)这是为直接数据开发的。如果年_J,k个= 〈Y（Y）_n个,Ψ_J,k个〉表示观测数据的最佳尺度小波系数，然后 $\hat{σ} = 疯了(年_{J, k个}) / 0.6745$ ⁠，其中mad是绝对偏差的中位数。

我们总结了小波反褶积方法的主要步骤，并在图中进行了说明。5。在这里和本文的其余部分中，我们将其称为波形D方法。

图5

应用于图3激光雷达信号的WaveD方法（平滑模糊）（阈值总结在表1中；级别4-7显示为100%阈值发生在级别8或以下）：（a）低噪声，估计的小波系数（22）；（b）低噪声，收缩（24）后估计小波系数（22），ηS=√2；（c）低噪声，估计激光雷达信号；（d）中等噪声，估计小波系数（22）；（e）中等噪声，收缩（24）后估计小波系数（22），ηS=√2；（f）中等噪声，估计激光雷达信号；（g）高噪声，估计小波系数（22）；（h）高噪声，收缩（24）后估计小波系数（22），ηS=√2；（i）高噪声，估计激光雷达信号

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WaveD方法应用于图。三（平滑模糊）（表中总结了阈值1; 第4级至第7级显示为在第8级或以下进行100%阈值化）：（a）低噪声，估计小波系数（22）；（b）低噪声，收缩（24）后估计的小波系数（22）η_S公司= √2; （c）低噪声，估计激光雷达信号；（d）中等噪声，估计小波系数（22）；（e）中等噪声，收缩（24）后的估计小波系数（22）η_S公司= √2; （f）中等噪声，估计激光雷达信号；（g）高噪声，估计小波系数（22）；（h）高噪声，收缩（24）后估计的小波系数（22）η_S公司= √2; （i）高噪声，估计的激光雷达信号

（a）
计算傅里叶系数年_我和克_我和恢复小波系数(22)通过使用Kolaczyck的算法（只需要O（运行）{n个 pt（磅）日志(n个)²}操作）；参见图5（a）、5（d）和5（g）.
（b）
如果需要，计算噪声标准偏差的估计值 $\hat{σ}$ 如上所述。查找阈值λ_j个:=λ_n个,j个如方程式所示(24)如表所示1为了那辆棚车。
（c）
应用硬阈值 ${\hat{β}}_{k个} 我 (| {\hat{β}}_{k个} | > λ_{j个})$ ⁠; 参见图5（b）、5（e）和5（h）最后，反转小波变换以获得（f）; 参见图5（c）、5（f）和5（i）（在WaveD软件中，（默认）最大分辨率级别j个₁根据以下数据确定：j个₁设置为前一级j个（100%）其中j个（100%）是发生100%阈值的最小水平；参见表1.)
（d）
以Coifman和Donoho的方式对WaveD估计器进行循环旋转(1995)（可选）。这提高了视觉和数值性能，并用于图。7和表2稍后。我们指的是多诺霍和雷蒙多(2004)对于在所有循环移位上循环旋转WaveD估计器的高效算法。

表1

逐级阈值（平滑模糊）： $λ_{j个}^{波形D}$ 由表达式（24）定义†

噪音水平	η	以下j级的阈值：
噪音水平	η	j个= 5	j个= 6	j个= 7	j个= 8
低(⁠ $\hat{σ}$ ⁠)	√2	0.0036（31.35%）	0.0066 (62.5%)	0.0128 (95.31%)	0.0242（100%）
中等(⁠ $\hat{σ} = 0.491$ ⁠)	√2	0.0375 (68.75%)	0.0688 (98.44%)	0.1328 (100%)	最高液位：j个₁=6
高(⁠ $\hat{σ} = 0.955$ ⁠)	√2	0.0729 (90.63%)	0.1338 (100%)	最高液位：j个₁=5
低(⁠ $\hat{σ} = 0.047$ ⁠)	√6	0.0063 (31.25%)	0.0115 (81.25%)	0.0222 (99.22%)	0.0418 (100%)
中等(⁠ $\hat{σ} = 0.491$ ⁠)	√6	0.0649 (87.5%)	0.1192 (100%)	最高液位：j个₁=5
高(⁠ $\hat{σ} = 0.955$ ⁠)	√6	0.1263 (96.88%)	0.2318 (100%)	最高液位：j个₁=5

噪音水平	η	以下j级的阈值：
噪音水平	η	j个=5	j个= 6	j个= 7	j个= 8
低(⁠ $\hat{σ}$ ⁠)	√2	0.0036 (31.35%)	0.0066 (62.5%)	0.0128 (95.31%)	0.0242 (100%)
中等(⁠ $\hat{σ} = 0.491$ ⁠)	√2	0.0375 (68.75%)	0.0688 (98.44%)	0.1328 (100%)	最高液位：j个₁=6
高(⁠ $\hat{σ} = 0.955$ ⁠)	√2	0.0729 (90.63%)	0.1338 (100%)	最高液位：j个₁=5
低(⁠ $\hat{σ} = 0.047$ ⁠)	√6	0.0063 (31.25%)	0.0115 (81.25%)	0.0222 (99.22%)	0.0418 (100%)
中等(⁠ $\hat{σ} = 0.491$ ⁠)	√6	0.0649 (87.5%)	0.1192 (100%)	最高水平：j个₁=5
高(⁠ $\hat{σ} = 0.955$ ⁠)	√6	0.1263 (96.88%)	0.2318（100%）	最高液位：j个₁=5

†

括号中表示的是收缩系数的相应分数。前三行对应较小的选项η_S公司=√2.最后三行对应保守选择η_L（左）=√{2(2ν+1） }与ν=1.（在WaveD软件中，（默认）最大分辨率级别（25）设置为之前的级别j个（100%）其中j个（100%）是发生100%阈值的最小级别。）

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表1

逐级阈值（平滑模糊）： $λ_{j个}^{波形D}$ 由表达式定义（24）†

噪音水平	η	以下j级的阈值：
噪音水平	η	j个= 5	j个= 6	j个= 7	j个= 8
低(⁠ $\hat{σ}$ ⁠)	√2	0.0036 (31.35%)	0.0066 (62.5%)	0.0128 (95.31%)	0.0242 (100%)
中等(⁠ $\hat{σ} = 0.491$ ⁠)	√2	0.0375 (68.75%)	0.0688 (98.44%)	0.1328 (100%)	最高液位：j个₁=6
高(⁠ $\hat{σ} = 0.955$ ⁠)	√2	0.0729 (90.63%)	0.1338 (100%)	最高液位：j个₁=5
低(⁠ $\hat{σ} = 0.047$ ⁠)	√6	0.0063 (31.25%)	0.0115 (81.25%)	0.0222（99.22%）	0.0418 (100%)
中等(⁠ $\hat{σ} = 0.491$ ⁠)	√6	0.0649 (87.5%)	0.1192 (100%)	最高液位：j个₁=5
高(⁠ $\hat{σ} = 0.955$ ⁠)	√6	0.1263 (96.88%)	0.2318 (100%)	最高液位：j个₁=5

噪音水平	η	以下j级的阈值：
噪音水平	η	j个= 5	j个= 6	j个= 7	j个= 8
低(⁠ $\hat{σ}$ ⁠)	√2	0.0036 (31.35%)	0.0066 (62.5%)	0.0128 (95.31%)	0.0242 (100%)
中等(⁠ $\hat{σ} = 0.491$ ⁠)	√2	0.0375 (68.75%)	0.0688 (98.44%)	0.1328 (100%)	最高水平：j个₁=6
高(⁠ $\hat{σ} = 0.955$ ⁠)	√2	0.0729 (90.63%)	0.1338（100%）	最高液位：j个₁=5
低(⁠ $\hat{σ} = 0.047$ ⁠)	√6	0.0063 (31.25%)	0.0115 (81.25%)	0.0222 (99.22%)	0.0418 (100%)
中等(⁠ $\hat{σ} = 0.491$ ⁠)	√6	0.0649 (87.5%)	0.1192 (100%)	最高液位：j个₁=5
高(⁠ $\hat{σ} = 0.955$ ⁠)	√6	0.1263 (96.88%)	0.2318 (100%)	最高液位：j个₁=5

†

括号中显示的是收缩系数的相应分数。前三行对应较小的选项η_S公司=√2.最后三行对应保守选择η_L（左）=√{2(2ν+1） }与ν=1.（在WaveD软件中，（默认）最大分辨率级别（25）设置为之前的级别j个（100%）其中j个（100%）是发生100%阈值的最小级别。）

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图7

（a） WaveD（低噪声场景）；（b） WaveD（中等噪声场景）；（c） WaveD（高噪声场景）；（d） ForWaRD（低噪音场景）；（e） ForWaRD（中等噪声场景）；（f） ForWaRD（高噪声场景）；（g） FoRD（低噪音场景）；（h） FoRD（中等噪音场景）；（i） FoRD（高噪声场景）

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（a） WaveD（低噪声场景）；（b） WaveD（中等噪声场景）；（c） WaveD（高噪声场景）；（d） ForWaRD（低噪音场景）；（e） ForWaRD（中等噪声场景）；（f） ForWaRD（高噪声场景）；（g） FoRD（低噪音场景）；（h） FoRD（中等噪音场景）；（i） FoRD（高噪音场景）

表2

MISE的蒙特卡罗近似= $E类 ∥ \hat{（f）} - （f） ∥_{2}^{2}$ †

方法	模糊	以下噪声等级的方法：
方法	模糊	σ_低的=0.05	σ_医学博士=0.5	σ_高的=1	σ_林=1.25
波形D	平滑	0.0024	0.0180	0.0388	0.0519
向前地	平滑	0.0027	0.0208	0.0642	0.0950
福特	平滑	0.0084	0.0906	0.3201	0.3352
波形D	Boxcar系列	0.0223	0.0753	0.0831	0.0900
ForWaRD†	Boxcar系列	0.0110	0.0573	0.0906	0.1030
福特	Boxcar系列	0.0237	0.0950	0.3470	0.3610

方法	模糊	以下噪声等级的方法：
方法	模糊	σ_低的=0.05	σ_医学博士=0.5	σ_高的=1	σ_林=1.25
波形D	平滑	0.0024	0.0180	0.0388	0.0519
向前地	平滑	0.0027	0.0208	0.0642	0.0950
福特	平滑	0.0084	0.0906	0.3201	0.3352
波形D	Boxcar系列	0.0223	0.0753	0.0831	0.0900
对于WaRD	Boxcar系列	0.0110	0.0573	0.0906	0.1030
福特	Boxcar系列	0.0237	0.0950	0.3470	0.3610

†

结果是模型（1）1000个独立模拟的平均值n个=2048，如图所示。三对于每个场景，粗体数字表示MSE最小的方法。

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表2

MISE的蒙特卡罗近似= $E类 ∥ \hat{（f）} - （f） ∥_{2}^{2}$ †

方法	模糊	以下噪声等级的方法：
方法	模糊	σ_低的=0.05	σ_医学博士=0.5	σ_高的=1	σ_林=1.25
波形D	平滑	0.0024	0.0180	0.0388	0.0519
向前地	平滑	0.0027	0.0208	0.0642	0.0950
福特	平滑	0.0084	0.0906	0.3201	0.3352
波形D	Boxcar系列	0.0223	0.0753	0.0831	0.0900
对于WaRD	Boxcar系列	0.0110	0.0573	0.0906	0.1030
福特	Boxcar系列	0.0237	0.0950	0.3470	0.3610

方法	模糊	以下噪音水平的方法：
方法	模糊	σ_低的=0.05	σ_医学博士=0.5	σ_高的=1	σ_林=1.25
波形D	平滑	0.0024	0.0180	0.0388	0.0519
向前地	平滑	0.0027	0.0208	0.0642	0.0950
福特	平滑	0.0084	0.0906	0.3201	0.3352
波形D	Boxcar系列	0.0223	0.0753	0.0831	0.0900
对于WaRD	Boxcar系列	0.0110	0.0573	0.0906	0.1030
福特	Boxcar系列	0.0237	0.0950	0.3470	0.3610

†

结果是模型（1）1000个独立模拟的平均值n个=2048，如图所示。三对于每个场景，粗体数字表示MSE最小的方法。

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3.3. 与小波-模糊分解的联系

多诺霍(1995)首次讨论了线性反问题中的小波阈值问题，并介绍了小波-模糊分解（WVD）。WVD结构专门用于圆上的卷积算子，部分假设了双正交系统的存在(𝒰）和(𝒱) 和伪奇异值κ_j个（不取决于空间索引k个)这样的话

\begin{array}{l} 克 * Ψ_{κ} = κ_{j个} {V（V）}_{κ}, \\ \overset{ˇ}{克} * {单位}_{κ} = κ_{j个} Ψ_{κ}, \end{array}

哪里 $\overset{ˇ}{克} (t吨) = 克 (- t吨)$ ⁠根据傅里叶系数和设置秒_jl公司=克_我/κ_j个,

\begin{array}{l} {V（V）}_{我}^{κ} = 秒_{j个 我} Ψ_{我}^{κ}, \\ {单位}_{我}^{κ} = Ψ_{我}^{κ} / {\bar{秒}}_{j个 我} . \end{array}

26

WVD类估值器采用坐标阈值规则δ(x个,t吨_j个)和水平相关阈值(t吨_j个)和台 $\hat{（f）} = \sum_{k个} δ (〈 {单位}_{k个}, {Y（Y）}_{n个} 〉 / {k个}_{j个}, {t吨}_{j个}) Ψ_{k个}$ ⁠.如果我们观察到

〈 {单位}_{κ}, {Y（Y）}_{n个} 〉 / κ_{j个} = \sum_{我} 年_{我} {\bar{单位}}_{我}^{κ} / κ_{j个} = \sum_{我} (年_{我} / 克_{我}) {\bar{Ψ}}_{我}^{κ} = {\hat{β}}_{κ}

那么很明显，我们的估计器(17)正式地可以被视为与WVD配方一致。然而实施在WaveD场景中，估计值的差异(22)功能𝒰 和𝒱 未显式构造，且系数 ${\hat{β}}_{k个} = 〈 {单位}_{k个}, {Y（Y）}_{n个} 〉 / {k个}_{j个}$ 而是使用原始小波Ψ和滤波器在傅里叶域中进行评估克.

建立WVD所需的关键附加属性是系统(𝒰) 和(𝒱) 每种形式的Riesz基——这个性质允许在本文所考虑的Besov类上建立下界，从而得到极小极大收敛速度。Donoho中详细给出了下限参数(1995)的L（左）₂-如前所述，这些方法可以扩展到更一般的损失度量。

对于上的扩张齐次算子ℝ 主要在多诺霍研究(1995)阿布拉莫维奇和西尔弗曼(1998)，模糊语言系统是单亲母亲模糊语言翻译和扩展的倍数𝒰_0,0或𝒱_0,0，Riesz基属性可以像Donoho中那样建立(1995). 参见Lee和Lucier(2001).

这种扩张结构不再适用于候选模糊词(26)对应于圆上的卷积（例如图。6). 然而，我们在附录B那个(𝒰) 和(𝒱) 如果是Riesz基 ${k个}_{j个} = τ_{j个}^{- 1}$ 和条件C类保持不变，如果我们还有常数C类₀和C类独立于j个,

\begin{array}{l} {C类}_{0} ⩽ 秒_{j个 我} ⩽ C类, \\ Δ 秒_{j个 我} ⩽ 2^{- j个} C类, \\ Δ^{2} 秒_{j个 我} ⩽ 2^{- 2 j个} C类, \end{array}}

27

其中差分算子Δ秒_jl公司=秒_j个,我+1−秒_jl公司和Δ²秒_jl公司=Δ(Δ秒_jl公司).

图6

图2的箱车卷积对应的候选模糊字：（a）𝒱4,5; （b）𝒰4,5; （c）𝒱5、6；（d）𝒰5,6

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图的箱车卷积对应的候选模糊字。2：（a）𝒱_4,5; （b）𝒰_4,5; （c）𝒱_5,6; （d）𝒰_5,6

这些条件适用于克_我≡C类|我|^−ν或者更一般地说，如果c（c）₀|我|^−ν $⩽$ |克_我| $⩽$ c（c）₁|我|^−ν和Δ^第页克_我 $⩽$ |我|^{−ν−第页}对于第页=1和第页= 2. 对于此类卷积算子，我们通过Donoho方法获得了Besov空间上收敛速度的下界(1995).

然而，充分条件(27)由于中的振荡，boxcar内核无法满足克_我使Δ膨胀克_我.我们还不知道系统是否(𝒰) 和(𝒱) 在这种情况下形成Riesz基，从而产生模糊数；参见图。6因此，此内核当前可用的唯一下限是为Johnstone和Raimondo中的Fourier超矩形和椭球体建立的下限(2004).

3.4. 调谐备注

渐近极小极大理论为调谐参数的选择提供了见解。例如，在Donoho直接估计问题中等. (1995)已经显示出接近最优性

λ_{j个}^{联合国大学} : = λ_{n个} = \hat{σ} \sqrt {2 日志 (n个) / n个}

28

哪里 $\hat{σ}$ 是根据数据和

2^{j个 1} = O（运行） {n个 / 日志 (n个)} .

29

对于反褶积问题(1)，我们的主要结果（第节中的命题14.1)声明，对于任何常数η $⩾$ 2√｛8π(对∨2）}足够大，选择(24)和(25)对于多种目标函数几乎是最优的(附录B.1)和L（左）^对损失函数。

可以看出，最好的鳞片j个₁这是由方程式建议的(25)比方程式给出的值小得多(29)在直接案例中。方程式中阈值的大小(24)原则上可以大于等式中的值(28)但实际上，可能需要比证据建议的阈值更小。

再次，将我们的结果与WVD方法进行比较是很有趣的。带指数的扩张ho-mogeneous算子ν阿布拉莫维奇和西尔弗曼(1998)表明，如果（软）阈值用于全部的级别j个<日志₂(n个)，那么期望均方估计误差率的接近最佳性需要使用更高的阈值，在我们的符号中由下式给出

λ_{j个}^{WVD公司} : = λ_{n个, j个} = \hat{σ} τ_{j个} \sqrt {2 (2 ν + 1) 日志 (n个) / n个} .

30

我们用两个参数选项测试了我们的方法η:η_L（左）=√{2(2ν+1） }就像阿布拉莫维奇和西尔弗曼(1998)和较小的值η_S公司=√2，类似于直接估算(28). 表中给出了相应阈值（平滑模糊）1在我们的模拟研究中（第节4)，我们使用WaveD估计器η_S公司因为它的结果比保守的选择稍好η_L（左）.

4.小波反褶积方法的数值性能

我们比较了几种反褶积方法，它们在傅里叶滤波和小波滤波的平衡程度上有所不同。一方面，我们有Wiener-filter-like方法，它没有小波分量，只使用傅里叶反演和正则化参数（以下称为FoRD方法）。另一方面，我们有小波分解方法（如WaveD方法），在这种方法中，我们在不进行正则化的情况下进行傅里叶反演，但使用小波平滑来去除噪声。介于这两种方法之间的是ForWaRD方法，该方法将傅立叶正则化与小波平滑相结合。我们仅简要介绍了ForWaRD和FoRD方法，涉及Neelamani等. (2004)以及其中的参考，以获取更多详细信息。

4.1. 傅里叶正则反褶积

FoRD估计（f）在傅里叶域中定义：

{\tilde{（f）}}_{α 我} : = 克_{α 我 年 我},

31

哪里

克_{α 我} : = \frac{1}{克 我} \frac{| 克 我 |^{2}}{| 克 我 |^{2} + α σ^{2}} .

32

然后我们采取 ${\hat{（f）}}_{α}$ 作为（f）通过使用带系数的傅里叶级数 ${\tilde{（f）}}_{α 我}$ ⁠。在这里α是一个正则化参数，用于平衡噪声抑制和信号失真。值较小α给出一个无偏但有噪声的估计，而α抑制噪声，但也会使信号失真。我们使用Neelamani FoRD这个术语等. (2004)因为我们在下面的比较中使用了R.Neelamani慷慨提供的代码中的正则化参数选择。

4.2. 小波正则反褶积

首先应用筛选(31)，导出估算值 ${\hat{（f）}}_{α}$ 属于（f）.在第二步中，我们进一步平滑 ${\hat{（f）}}_{α}$ 利用数据驱动的水平相关小波阈值(17). 这里也有α起到调节参数的作用，平衡噪声水平和信号失真。对于α=0，ForWaRD估计类似于紧支持的WVD估计（f）而对于α>0 ForWaRD估计器是FoRD和WVD方法的混合。尽管很难得出正则化参数的最佳选择α（见Neelamani等. (2004))，计算ForWaRD估计器的数据驱动算法可在http://www.dsp.rice.edu/software/ward.shtml.

在使用图中所示的激光雷达目标进行的模拟研究中，我们将WaveD方法与FoRD和ForWaRD方法进行了比较。1使用不同的模糊类型和噪声级测试性能，如图所示。三。对于噪声级和模糊类型的每个组合，我们计算了蒙特卡罗近似值 $其他：= E类 ∥ \hat{（f）} - （f） ∥_{2}^{2}$ ⁠我们的结果如图所示。7用于平滑模糊，总结在表中2.

4.3. 结果分析

正则傅里叶滤波会使原始信号失真，随着噪声水平的增加，WaveD方法的优越性变得更加明显。对于平滑模糊，WaveD在所有情况下都优于ForWaRD和FoRD，在高噪声情况下利润更大。对于所有的方法，我们在boxcar模糊场景中观察到较小的裕度和较差的性能（这证实了较大的DIP）。对于boxcar模糊，WaveD在较大噪声级方面优于ForWaRD，而ForWaRD在较小噪声级方面则优于WaveD。WaveD和ForWaRD的表现都优于FoRD，因为FoRD的线性特性限制了其性能。

备注1。循环旋转WaveD估计器减轻了其平移不变性的不足，并导致更好的视觉外观和更小的MSE。我们指的是多诺霍和雷蒙多(2004)对于在所有循环移位上循环旋转WaveD估计器的有效算法（用于表的计算2和图。7).

备注2。作者目前正在研究处理非周期信号的边界校正以及二维数据反褶积的扩展。

5.渐近理论

5.1. 各种光滑类的近似最优性

提议1。假设我们观察到随机过程(1)带有σ=1，假设C类.让对>1是任意数。如果（f）属于 ${B类}_{π, 第页}^{秒} (T型)$ 具有π $⩾$ 1,秒 $⩾$ 1/π和

0 < 第页 ⩽ 最小值 {\frac{对 (2 ν + 1)}{2 (ν + 秒) + 1}, \frac{(2 ν + 1) 对 - 2}{2 (秒 + ν) - 2 / π + 1}}

那么，对于η $⩾$ 2√{8π(对∨2）}基于小波的估计器(17)带阈值(24)带有 $\hat{σ}$ 和最大水平(25)是这样的

E类 ‖ \hat{（f）} - （f） ‖_{对}^{对} ⩽ C类 {{n个}^{- 1} 日志 (n个)}^{α},

33

α = \frac{秒 对}{2 (秒 + ν) + 1}, 如果 秒 ⩾ (2 ν + 1) (\frac{对}{2 π} - \frac{1}{2})

34

和

α = \frac{(秒 - 1 / π + 1 / 对) 对}{1 + 2 (秒 + ν - 1 / π)}, 如果 \frac{1}{π} - \frac{1}{2} - ν ⩽ 秒 < (2 ν + 1) (\frac{对}{2 π} - \frac{1}{2}) .

35

备注3。收敛速度存在“肘效应”或“相变”，从条件转换(34)符合条件(35)随着假定的平滑度降低。这种效应的存在在直接观察案例中很常见（例如Donoho等. (1995)以及其中引用的参考，其中条件(34)和(35)分别称为“密集”和“稀疏”情况）。参数的附加存在ν生成稀疏情况(35)甚至与二次损失相关，对=2.

备注4。对于对=2和平滑卷积，速率α和密集情况(34)与Donoho的结果一致(1995)阿布拉莫维奇和西尔弗曼(1998)还有Fan和Koo(2002). 潘斯基和维达科维奇(1999)通过附加限制获得了类似的速率（在密度模型中）π=2（Hilbert–Sobolev函数类），以便约束(34)不会出现。

备注5。对于对=2卡利法和马拉特(2003)提出了可申请的相关程序双曲线的卷积，其中卷积核取决于样本大小。这样的卷积不满足条件C类; 因此，他们的结果与我们的不可直接比较。

备注6。对于对=2和boxcar模糊等严重不适定卷积，我们的结果与不适定程度一致 $v（v） = \frac{三}{2}$ 这是由约翰斯通和雷蒙多（2002）提出的。

备注7。对于对≠2在反褶积背景下，我们的结果似乎是新的。

下面的命题给出了一些模糊类型的例子，其中命题1的近似最优结果可以通过我们的估计器实现。

提议2。

（a）
对于普通的平滑卷积|克_我|∼C类|我|^−ν，其中克_我表示的傅里叶系数克和ν>0，假设C类感到满意。
（b）
对于跑车模糊，克(x个) = (1/2一)𝕀_[−一,一](x个)，其中一是BA编号，假设C类对…感到满意 $v（v） = \frac{三}{2}$ ⁠.

备注8。结合boxcar blur命题1和命题2的结果，我们可以看到(34)和(35)持有 $v（v） = \frac{三}{2}$ 前提是棚车宽度是BA无理数。在模型的有限样本实现中(1)在计算机上，傅里叶系数克_我计算到我=n个或我= −n个，或更准确地说，对于块C类_j个完全包含在[−n个,n个]. 因此，条件C类只需要满足任何j个>0，其中2^j个+第页 $⩽$ n个对命题2第（b）部分的证明的检查表明，后一个条件适用于那些顺序大于的BA有理数n个在第节中讨论2.2.

备注9。对于几乎所有的无理数（即除了一组勒贝格测度0），箱车模糊也被认为有一定程度的不适 $\frac{三}{2}$ ⁠忽略对数项（Johnstone和Raimondo，2002）。是否可以调整WaveD估计器以实现与表达式类似的速率(三)对于boxcar blur来说，几乎所有案件都还没有解决。

备注10。在直接估计设置中，协调非线性阈值的替代方法也具有广泛的自适应特性（例如Efromovich(1999))；这些结果是否扩展到反褶积，是有待进一步研究的问题。

5.2. 最大化方法

我们建议的近似最优性质是从Kerkyacharian和Picard借用的以下定理的直接应用(2000). 这个定理给出了“maxiset”（条件(40))形式的一般小波估计(39). 它将直接应用于我们的程序，如附录A。我们指的是附录B对于条件(63)（称为Temlyakov地产）。首先，我们介绍一些符号：μ将表示以下度量：j个∈ ℕ,k个∈ ℕ,

μ {(j个, k个)} = {‖ σ_{j个} Ψ_{j个, k个} ‖}_{对}^{对} = 2^{j个 (对 / 2 - 1)} σ_{j个}^{对} ‖ Ψ ‖_{对}^{对},

我_{q个, \infty} (μ) = {（f）, \underset{λ > 0}{啜饮} [λ^{q个} μ {(j个, k个) / | β_{j个, k个} | > σ_{j个} λ}] < \infty} .

定理1。让对> 1, 0 <q个<对, {ψ_j个,k个,j个 $⩾$ −1,k个= 0,1,…,2^j个}是的周期化小波基L（左）²(T型)和σ_j个是一个正序列，使得异方差基础σ_j个ψ_j个,k个满足属性(63)英寸附录B.假设∧_n个是一组对(j个,k个)和c（c）_n个是趋向于0的确定性序列

\underset{n个}{啜饮} [μ {Λ_{n个}} {c（c）}_{n个}^{对}] < \infty .

36

如果，对于任何一对κ=(j个,k个) ∈ Λ_n个，我们有

E类 {| {\hat{β}}_{κ} - β_{κ} |}^{2 对} ⩽ C类 {(σ_{j个} {c（c）}_{n个})}^{2 对},

37

P（P） (| {\hat{β}}_{κ} - β_{κ} | ⩾ η σ_{j个} {c（c）}_{n个} / 2) ⩽ C类 ({c（c）}_{n个}^{2 对} \land {c（c）}_{n个}^{4})

38

对于一些正常数η和C类，然后是基于小波的估计器

{\hat{（f）}}_{n个} = \sum_{κ \in Λ_{n个}} {\hat{β}}_{κ} ψ_{κ} 我 (| {\hat{β}}_{κ} | ⩾ η σ_{j个} {c（c）}_{n个})

39

是这样的，对于所有正整数n个,

E类 {‖ {\hat{（f）}}_{n个} - （f） ‖}_{对}^{对} ⩽ C类 {c（c）}_{n个}^{对 - q个},

当且仅当

（f） \in 我_{q个, \infty} (μ) 和 \underset{n个}{啜饮} ({c（c）}_{n个}^{q个 - 对} {‖ （f） - \sum_{κ \in Λ_{n个}} β_{κ} ψ_{κ} ‖}_{对}^{对}) < \infty .

40

备注11。通过条件(40)根据附录B.1该定理给出了该方法的最大值，即该方法达到给定收敛速度的函数集。这种测量统计程序性能的方法在非参数框架中特别成功。它的优点是，与minimax方法相比，对程序进行的比较不那么武断和悲观。

备注12。我们将证明(附录B.1)贝索夫空间 ${B类}_{π, 第页}^{秒} (T型)$ 包含在表达式中定义的最大值集中(40)的q个选择这样的 ${c（c）}_{n个}^{对 - q个}$ 提供不等式中给出的速率(33). 特别是，对于j个₁和∧_n个（参见表达式(42))，我们有

{‖ （f） - \sum_{κ \in Λ_{n个}} β_{κ} ψ_{κ} ‖}_{对} ≍ {‖ （f） - {P（P）}_{{V（V）}_{{j个}_{1}}} （f） ‖}_{对}

41

哪里P（P）_{V（V）j个1}表示空间上的投影V（V）_j个1与小波基相关的多分辨率分析。在这种情况下，情况的第二部分似乎更清楚(40)与Besov空间中成员资格的标准条件直接相关。该部分负责该条件秒 $⩾$ 1/π在命题1的假设中。

致谢

我们感谢所有的裁判，他们为我们提供了有益的建议，大大改进了原始版本。该项目开始时，杰拉德·柯基亚查里亚（Gérard Kerkyacharian）和多米尼克·皮卡德（Dominique Picard）访问了悉尼大学，部分资金由悉尼大学提供。IMJ获得了国家科学基金会拨款DMS 00-72661和国家卫生研究院拨款ROI EB001988-08的部分支持。

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附录A：证明

A.1、。命题1证明概述

我们将证明命题1遵循定理1。为此，我们将考虑基于小波的估计器(17)带阈值(24)和最大水平(25). 根据定理1，也就是说σ_j个=τ_j个如方程式所示(23)和

\begin{matrix} Λ_{n个} = {(j个, k个), - 1 ⩽ j个 ⩽ {j个}_{1}, 0 ⩽ k个 ⩽ 2^{j个}}, \\ {c（c）}_{n个} = {日志 (n个) / n个}^{1 / 2}, \\ 2^{{j个}_{1}} = O（运行） {n个 / 日志 (n个)}^{1 / (1 + 2 ν)} . \end{matrix}}

42

在这种情况下，在假设的情况下C类，我们将证明以下主张。

（a）
不平等(37)和(38)持有η $⩾$ 2√{8π(对∨2）}（权利要求1）。
（b）
基础(σ_j个Ψ_jk公司)满足条件(63)（请参见附录B.2)只要有一个常数C类使得，对于ℕ,
$\sum_{j个 \in Λ} 2^{j个} σ_{j个}^{2} ⩽ C类 \underset{j个 \in Λ}{啜饮} (2^{j个} σ_{j个}^{2}), 如果 2 < 对 < \infty,$
43

$\sum_{j个 \in Λ} 2^{j个对 / 2} σ_{j个}^{对} ⩽ C类 \underset{j个 \in Λ}{啜饮} (2^{j个对 / 2} σ_{j个}^{对}), 如果 1 < 对 < 2$
44
（权利要求2）。请注意，对于对=2条件(63)无条件保持σ_j个.
（c）
条件(36),(43)和(44)满足（权利要求3）。

因此，在命题1的假设下，定理1适用于基于小波的估计器(17)结合定理1的注释，得出了速率(33). 为了完成举证，我们现在将对索赔进行举证。

A.1.1、。权利要求1的证明

首先，我们推导了 ${\hat{β}}_{k个}$ ⁠.取等式中的期望值(19),

E类 ({\hat{β}}_{κ}) = \sum_{我} \frac{{小时}_{我}}{克_{我}} {\bar{Ψ}}_{我}^{κ} = β_{κ},

45

在命题1的假设下，我们有σ=1.由此可见

{B类}_{κ} = {\hat{β}}_{κ} - β_{κ} = \sum_{我} \frac{年_{我} - {小时}_{我}}{克_{我}} {\bar{Ψ}}_{我}^{κ} = {n个}^{- 1 / 2} \sum_{我} \frac{{z（z）}_{我}}{克_{我}} {\bar{Ψ}}_{我}^{κ} = {n个}^{- 1 / 2} \sum_{我} \frac{{\bar{Ψ}}_{我}^{κ}}{克_{我}} {z（z）}_{我},

作为z（z）_我s是独立且相同分布的标准高斯随机变量：

无功功率，无功功率 ({\hat{β}}_{κ}) = E类 ({B类}_{κ} {\bar{B类}}_{κ}) = {n个}^{- 1} \sum_{我} {| \frac{{\bar{Ψ}}_{我}^{κ}}{克_{我}} |}^{2} E类 {({z（z）}_{我})}^{2} = {n个}^{- 1} \sum_{我} {| \frac{Ψ_{我}^{κ}}{克_{我}} |}^{2} .

46

请注意 ${C类}_{j个} = {我 : Ψ_{我}^{k个} \neq 0}$ 而且

Ψ_{我}^{κ} = 2^{- j个 / 2} θ_{j个 k个 我} \hat{ψ} (2^{- j个} \cdot 2 π 我), θ_{j个 k个 我} = 经验 (- 2 π 我 我 k个 \cdot 2^{- j个}),

47

所以 $| Ψ_{我}^{k个} | = 2^{- j个 / 2} | \hat{ψ} | (2^{- j个} \cdot 2 π 我) ⩽ 2^{- j个 / 2} ∥ \hat{ψ} ∥_{\infty} = 2^{- j个 / 2}$ 因为对于Meyer小波， $∥ \hat{ψ} ∥_{\infty} = 1$ ⁠.使用定义(23)回忆一下Meyer小波|C类_j个|=4π·2^j个:

无功功率，无功功率 ({\hat{β}}_{κ}) ⩽ 2^{- j个} {n个}^{- 1} \sum_{我 \in {C类}_{j个}} {| 克_{我} |}^{- 2} = 4 π {n个}^{- 1} τ_{j个}^{2},

48

回忆起方程式的符号后(23). 作为 ${\hat{β}}_{k个}$ s为高斯，

E类 {| {\hat{β}}_{κ} - β_{κ} |}^{2 对} ⩽ {C类}_{2 对} 无功功率，无功功率 {({\hat{β}}_{κ})}^{对}

49

结合了表情(48)收益率

E类 {| {\hat{β}}_{κ} - β_{κ} |}^{2 对} ⩽ {C类}_{2 对} {(\frac{τ_{j个}^{2}}{n个})}^{对},

50

从而证明不等式(37). 让Z轴∼𝒩(0,1); 通过使用表达式(48)我们有这个

P（P） (| {\hat{β}}_{κ} - β_{κ} | ⩾ \frac{η τ_{j个} {c（c）}_{n个}}{2}) ⩽ 2 P（P） {Z轴 > \frac{η \sqrt 日志 (n个)}{2 \sqrt (4 π)}} ⩽ \frac{4 \sqrt 2}{η \sqrt 日志 (n个)} {n个}^{- η^{2} / 32 π} .

因此，对于η $⩾$ 2√{8π(对∨2）}我们已经证明了

P（P） (| {\hat{β}}_{κ} - β_{κ} | ⩾ η τ_{j个} {c（c）}_{n个} / 2) = P（P） (| {\hat{β}}_{κ} - β_{κ} | ⩾ λ_{j个}^{波形D} / 2) ⩽ {c（c）}_{2} {n个}^{- (对 \lor 2)}

51

证明了不等式(38)对于WaveD阈值(24)带有σ=1.

A.1.2、。权利要求2的证明

权利要求2的证明是定理2的直接应用（参见附录B).

A.1.3、。权利要求3的证明

清晰的条件(43)和(44)对任何情况都是正确的σ_j个表格2的^j个ν，根据假设C类如果σ_j个=τ_j个接下来我们证明不等式(36); 假设不足C类,σ_j个第2条^j个νC类,ν>0，我们有

2^{{j个}_{1}} \sum_{j个 = 0}^{{j个}_{1}} 2^{j个 ν 对} \cdot 2^{j个 (对 / 2 - 1)} ≍ 2^{{j个}_{1} (ν 对 + 对 / 2)} .

对于对>1,对ν+对/2> 1相当于 $v（v） > 1 / 对 - \frac{1}{2}$ ⁠现在通过方程式(25)

2^{{j个}_{1} (对 / 2) (2 ν + 1)} ≍ {c（c）}_{n个}^{- 对} ≍ {n个 / 日志 (n个)}^{对 / 2},

证明了不等式(36).

A.1.4、。命题2的证明

召回定义(23):

τ_{j个}^{2} = {| {C类}_{j个} |}^{- 1} \sum_{{C类}_{j个}} {| 克_{我} |}^{- 2} .

这里Ψ是带限的：因此C类_j个={我：2个^j个 $⩽$ |我| $⩽$ 2^j个+第页}，对于一些固定的第页>0.为了简化说明，我们将进一步假设C类_j个={我：2个^j个 $⩽$ 我 $⩽$ 2^j个+第页}，注意到，根据对称性，以下边界适用于负值我也。假设不足(一): |克_我|∼C类|我|^ν,

τ_{j个}^{2} ≍ {| {C类}_{j个} |}^{- 1} \sum_{我 = 2^{j个}}^{2^{j个 + 第页}} 我^{2 ν} ≍ 2^{- j个} \cdot 2^{j个 (2 ν + 1)} ≍ 2^{2 j个 ν},

52

证明了命题2（a）。根据假设（b），我们将证明

τ_{j个}^{2} = {| {C类}_{j个} |}^{- 1} \sum_{我 = 2^{j个}}^{2^{j个 + 第页}} 克_{我}^{- 2} ≍ 2^{三 j个},

53

通过识别，2^2j个ν=2^三j个，显示该条件C类与保持 $v（v） = \frac{三}{2}$ ⁠.结果(53)遵循条件(9)以及以下引理（参见Johnstone和Raimondo（2002））。我们参考章节2.2对于BA编号的概念。

引理1。

让对/q个和对^′/q个^′是实数连分式展开中的连续主收敛一.让q个 $⩾$ 4和N个为非负整数N个+q个<q个^′然后，对于BA编号一,

{c（c）}_{0} {q个}^{2} ⩽ \sum_{我 = N个 + 1}^{N个 + q个} ‖ 我 一 ‖^{- 2} ⩽ {c（c）}_{1} (一) {q个}^{2} .

54

从方程式开始(23)和使用条件(9)，我们看到了

τ_{j个}^{2} ≍ 2^{- j个} \sum_{我 \in {C类}_{j个}} {(\frac{我}{‖ 我 一 ‖})}^{2} ≍ 2^{- j个} \cdot 2^{2 j个} \sum_{我 \in {C类}_{j个}} ‖ 我 一 ‖^{- 2} ≍ 2^{j个} \sum_{我 \in {C类}_{j个}} ‖ 我 一 ‖^{- 2} .

55

那么，我们的任务是证明∑_{我∈C类j个}║拉║⁻²≅2^2j个.

我们首先考虑上限。让米是最小的索引，以便q个_米 $⩾$ 2^j个回忆一下C类_j个={我：2个^j个 $⩽$ 我 $⩽$ 2^j个+2个}。分母的几何增长q个_n个（比较表达式(11))意味着q个_{米+2个第页} $⩾$ 2^第页q个_米>2^j个+第页，所以

{C类}_{j个} \subset ℕ \cap [1, {q个}_{米 + 4}) .

引入间隔D类₀=ℕ∩[1,q个_米)和D类=ℕ∩[q个_米+τ−1,q个_米+τ)的τ=1，…，4，它们一起覆盖C类_j个.自一是BA，有一个整数K=K(一)这样的话q个_n个+1 $⩽$ Kq个_n个为所有人n个.因此最多有K不相交的长度块q个_米+τ−1那个封面D类.将引理1应用于这些块中的每一个：

\sum_{我 \in {D类}_{τ}} ‖ 我 一 ‖^{- 2} ⩽ {c（c）}_{1} K {q个}_{米 + τ - 1}^{2}, 1 ⩽ τ ⩽ 4,

然而 $\sum_{我 \in {D类}_{0}} ∥ 我一 ∥^{- 2} ⩽ {c（c）}_{1} (一) {q个}_{米}^{2}$ ⁠.自q个_米+τ−1 $⩽$ K^τq个_米−1，我们合并过来τ以获得

\sum_{我 \in {C类}_{j个}} ‖ 我 一 ‖^{- 2} ⩽ \sum_{τ = 0}^{4} \sum_{我 \in {D类}_{τ}} ‖ 我 一 ‖^{- 2} ⩽ C类 (K^{2} + \sum_{τ = 1}^{4} K^{2 τ + 1}) {q个}_{米 - 1}^{2} .

注意到q个_米−1 $⩽$ 2^j个，我们恢复了上限。

对于下限，需要稍微注意构造区间[N个+1,N个+q个]⊂C类_j个对其应用条件下限(54)在引理1中。定义q个_米和以前一样。设置N个=2^j个并考虑以下三种情况。

（a）
对于q个_米>2^j个+1，套q个=q个_米−1.自q个_米−1 $⩽$ 2^j个，我们有N个+q个=2^j个+q个_米−1 $⩽$ 2^j个+1<q个_米=q个^′等等[N个+1,N个+q个]⊂C类_j个此外， ${q个}^{2} = {q个}_{米 - 1}^{2} ⩾ K^{- 2} {q个}_{米}^{2}$
（b）
对于q个_米 $⩽$ 2^j个+1和q个_米+1 $⩾$ 2q个_米+q个_米−1（其中第二个条件对应于一_米+1 $⩾$ 表达式中的2(5))，套q个=q个_米.我们有N个+q个=2^j个+q个_米 $⩽$ 3×2^j个所以[N个+1,N个+q个]⊂C类_j个和N个+q个<2q个_米<q个_米+1=q个^′.
（c）
最后，假设q个_米 $⩽$ 2^j个+1和q个_米+1=q个_米+q个_米−1。现在设置q个=q个_米+1，所以N个+q个=2^j个+q个_米+1 $⩽$ 2^j个+q个_米+q个_米−1 $⩽$ 2^j个+2个^j个+1+2个^j个 $⩽$ 4×2^j个.此外N个+q个<q个_米+q个_米+1 $⩽$ q个_米+2个=q个^′、和 ${q个}^{2} = {q个}_{米 + 1}^{2} ⩾ {q个}_{米}^{2}$ ⁠.

在（a）-（c）中的每一种情况下，我们都有

\sum_{我 \in {C类}_{j个}} ‖ 我 一 ‖^{- 2} ⩾ \sum_{N个 + 1}^{N个 + q个} ‖ 我 一 ‖^{- 2} ⩾ c（c） {q个}_{米}^{2} ⩾ 2^{2 j个} c（c） .

附录B

B.1。Besov空间的嵌入

我们在这里的目的是研究哪些特定的周期贝索夫空间可以嵌入到这些空间中我_q个,∞(μ)以及暗示条件

\underset{n个}{啜饮} ({c（c）}_{n个}^{q个 - 对} {‖ （f） - \sum_{(j个, k个) \in Λ_{n个}} β_{j个, k个} Ψ_{j个, k个} ‖}_{对}^{对}) < \infty .

56

让我们回顾一下，我们将集中精力处理以下情况

μ (j个, k个) = 2^{j个 (对 / 2 - 1)} τ_{j个}^{对}, τ_{j个} = 2^{j个 ν}, 2^{{j个}_{1}} = {n个 / 日志 (n个)}^{1 / (2 ν + 1)}, {c（c）}_{n个} = {日志 (n个) / n个}^{1 / 2} 和 对 - q个 = 2 α .

首先，我们观察到这种情况(56)将满足以下条件（f）属于 ${B类}_{对, \infty}^{(v（v） + 1 / 2) (1 - q个 / 对)} (T型)$ ⁠因此，我们只需要证明 ${B类}_{π, 第页}^{秒} (T型)$ 包含在中 ${B类}_{对, \infty}^{(v（v） + 1 / 2) (1 - q个 / 对)} (T型)$ ⁠为此，我们将使用两种类型的Besov嵌入，在秒,π,第页和q个.

（a）
在周期设置中，我们有
${B类}_{π, 第页}^{秒} (T型) \subset {B类}_{ρ, 第页}^{秒^{''}} (T型), 如果 0 < ρ ⩽ π, 秒 ⩾ 秒^{''} .$
57
（b）
在一般情况下，我们有标准的“Sobolev嵌入”
${B类}_{π, 第页}^{秒} (T型) \subset {B类}_{ρ, 第页}^{σ^{'}} (T型), 如果 ρ > π, 和秒 - 1 / π = σ^{'} - 1 / ρ .$
58

证明条件(56)，我们有兴趣ρ=对.对于本案对 $⩽$ π,秒>0表示只有密集情况(34)可能发生；因此我们需要证明 $秒 ⩾ (v（v） + \frac{1}{2}) (1 - q个 / 对) = (v（v） + \frac{1}{2}) 2 秒 / (1 + 2 v（v） + 2 秒)$ ⁠。对于秒>自1起为0−q个/对=2秒/(1+2ν+2个秒).

对于这个案例对>π，我们必须证明，在稠密情况下(34), $σ^{'} ⩾ (v（v） + \frac{1}{2}) 2 秒 / (1 + 2 v（v） + 2 秒)$ ⁠。这相当于2秒σ^′+(1+2ν)(1/对−1/π) $⩾$ 0。但在这种情况下，左侧大于（1+2ν)(对/π−1)(秒−1/π)≥0.在稀疏情况下(35)，我们必须检查一下σ^′≥(2ν+1)秒^′/(1+2ν+2个秒^′)，但这相当于（2ν+1)对/{(2ν+1)对−2+2对σ^′} $⩽$ 1或秒 $⩾$ 1/π.

现在我们来谈谈嵌入特定空间的问题 ${B类}_{π, 第页}^{秒} (T型)$ 进入之内我_q个,∞(μ). 首先让我们提到，我们将通过考虑嵌入到

我_{q个} (μ) = {（f） : （f） = \sum_{j个, k个} {(\frac{| β_{j个, k个} |}{τ_{j个}})}^{q个} μ (j个, k个) < \infty} .

利用马尔可夫不等式，我_q个(μ)⊂我_q个，∞(μ). 我们观察到在稠密情况下

秒 = (2 ν + 1) (\frac{对}{2 q个} - \frac{1}{2})

59

我们有

我_{q个} (μ) = {B类}_{q个, q个}^{秒} (T型),

因此推导了自这里以来的广告收敛速度对−q个=2服务提供商/{1+2(ν+秒)}.

我们还需要研究我们没有的更复杂的案例π=第页=q个.

提案3。

（a）
让q个由关系定义(59); 如果为0<第页 $⩽$ q个和
$秒 ⩾ (2 ν + 1) (\frac{对}{2 π} - \frac{1}{2})$
60
然后
${B类}_{π, 第页}^{秒} (T型) \to 我_{q个} (μ) = {B类}_{q个, q个}^{秒} (T型) .$
（b）
让q个由定义
$\begin{array}{l} 对 - q个 = \frac{2 秒^{'} 对}{1 + 2 (ν + 秒^{'})}, \\ 秒^{'} = \frac{秒 - 1 / π + 1 / 对}{1 - 2 / {(2 ν + 1) 对}}; \end{array}$
61
如果为0<第页 $⩽$ q个和
$\frac{1}{π} - \frac{1}{2} - ν < 秒 < (2 ν + 1) (\frac{对}{2 π} - \frac{1}{2})$
62
然后
${B类}_{π, 第页}^{秒} (T型) \to 我_{q个} (μ) = {B类}_{q个, q个}^{秒^{'}} (T型) .$

备注13。案例(62)意味着

对 > \frac{2}{1 + 2 ν} .

对于 $v（v） ⩾ \frac{1}{2}$ 这不是限制，因为我们正在考虑1<对<∞. 此外，在这种情况下，不平等的第一个成员(62)如果我们处理1，则总是正确的 $⩽$ π，作为 $1 / π- \frac{1}{2} - v（v） ⩽ 0$

证明。我们有

\begin{array}{l} \sum_{j个, k个} {(\frac{| β_{j个, k个} |}{τ_{j个}})}^{q个} μ (j个, k个) = \sum_{j个, k个} {(\frac{| β_{j个, k个} |}{τ_{j个}})}^{q个} τ_{j个}^{对} \cdot 2^{j个 (对 / 2 - 1)} = \sum_{j个, k个} {| β_{j个, k个} |}^{q个} τ_{j个}^{对 - q个} \cdot 2^{j个 (对 / 2 - 1)} \\ = \sum_{j个, k个} {| β_{j个, k个} |}^{q个} \cdot 2^{j个 {(ν + 1 / 2) 对 - ν q个 - 1}}; \end{array}

回顾一下q个被选中的方式

我_{q个} (μ) = {B类}_{q个, q个}^{秒} (T型),

和使用表达式(16)，我们获得了以下特征 ${B类}_{q个, q个}^{秒} (T型)$ ⁠:

\sum_{j个, k个} {| β_{j个, k个} |}^{q个} \cdot 2^{j个 (秒 + 1 / 2) q个 - 1} < \infty .

我们现在将使用嵌入(57)和(58)，采取ρ=q个.

（a）
如果 $秒 ⩾ (2 v（v） + 1) (对 / 2 π- \frac{1}{2})$ 和第页 $⩽$ q个我们有q个 $⩽$ π; 因此，使用条件(57),
${B类}_{π, 第页}^{秒} (T型) \to 我_{q个} (μ) = {B类}_{q个, q个}^{秒} (T型) .$
（另外，让我们观察一下对>q个́秒>0.)
（b）
如果 $秒 ⩾ (2 v（v） + 1) (对 / 2 π- \frac{1}{2})$ 和第页 $⩽$ q个我们将使用条件(58)找到具有不同平滑度的嵌入。这解释了我们对q个.解决
$秒 - \frac{1}{π} = 秒^{'} - \frac{1}{q个}, 秒^{'} = (2 ν + 1) (\frac{对}{2 q个} - \frac{1}{2}), π < q个,$
和使用条件(58)给予
${B类}_{π, 第页}^{秒} (T型) \to {B类}_{q个, q个}^{秒^{'}} (T型) = 我_{q个} (μ) .$
我们现在必须检查一下对>q个，但这相当于 $1 / π- \frac{1}{2} - v（v） < 秒$

B.2节。Temlyakov不等式

让我们回顾一下Temlyakov地产e（电子）_n个(x个)英寸L（左）^对：有绝对常数c（c）和C类这样，对于所有∧⊂ℕ,

c（c） \sum_{n个 \in Λ} \int {| {e（电子）}_{n个} (x个) |}^{对} d日 x个 ⩽ \int {\sum_{n个 \in Λ} {| {e（电子）}_{n个} (x个) |}^{2}}^{对 / 2} d日 x个 ⩽ {C类 \sum_{n个 \in Λ} | \int | {e（电子）}_{n个} (x个) |}^{对} d日 x个

或者，同等地，

{c（c）}^{'} {‖ {\sum_{n个 \in Λ} {| {e（电子）}_{n个} (x个) |}^{对}}^{1 / 对} ‖}_{对} ⩽ {‖ {\sum_{n个 \in Λ} {| {e（电子）}_{n个} (x个) |}^{2}}^{1 / 2} ‖}_{对} ⩽ {C类}^{'} {‖ {\sum_{n个 \in Λ} {| {e（电子）}_{n个} (x个) |}^{对}}^{1 / 对} ‖}_{对} .

63

显然，对于对 $⩾$ 2和c（c）=1，而右侧始终为真对 $⩽$ 2个C类=1.在本节中，我们将证明以下结果。

定理2。让φ是多分辨率分析的缩放函数ψ相关的小波。让我们假设

| ϕ (x个) | + | ψ (x个) | ⩽ \frac{C类}{1 + | x个 |} .

如果存在常量C类<∞，因此A类⊂ℕ

{\sum_{j个 \in A类} {(2^{j个 / 2} σ_{j个})}^{对 \land 2}}^{1 / (对 \land 2)} ⩽ {C类}^{'} {\sum_{j个 \in A类} {(2^{j个 / 2} σ_{j个})}^{对 \lor 2}}^{1 / (对 \lor 2)}

64

然后是加权小波基{2^j个/2σ_j个 ψ(2^jx公司−k个),j个∈ ℕ,k个∈ ℤ}∪{σ₀ φ(x个−k个),k个∈ ℤ} 满足Temlyakov属性。

证明。我们首先证明Haar基的定理。我们引入加权Haar基（2^j个/2σ_j个小时)像往常一样在哪里小时(x个)=小时_j个,k个(x个)=小时(2^jx公司−k个)和小时(x个)=1_[0,1](2x个)−1_[0,1](2x个−1).

让我们先假设一下对 $⩾$ 2并且存在C类<∞，因此A类⊂ℕ,

{\sum_{j个 \in A类} {(2^{j个 / 2} σ_{j个})}^{2}}^{1 / 2} ⩽ C类 {\sum_{j个 \in A类} {(2^{j个 / 2} σ_{j个})}^{对}}^{1 / 对} .

65

通常情况下，当σ_j个=2^j个ν.如果不等式(65)是真的，我们对所有的∧⊂ℕ×ℤ, 逐点，

{\sum_{κ \in Λ} {| 2^{j个 / 2} σ_{j个} {小时}_{κ} (x个) |}^{2}}^{1 / 2} ⩽ C类 {\sum_{κ \in Λ} {| 2^{j个 / 2} σ_{j个} {小时}_{κ} (x个) |}^{对}}^{1 / 对}

所以在这种情况下

{‖ {\sum_{κ \in Λ} {| 2^{j个 / 2} σ_{j个} {小时}_{κ} (x个) |}^{2}}^{1 / 2} ‖}_{对} ⩽ C类 {‖ {\sum_{κ \in Λ} {| 2^{j个 / 2} σ_{j个} {小时}_{κ} (x个) |}^{对}}^{1 / 对} ‖}_{对} .

使用不等式(65)的对 $⩾$ 2,

\begin{array}{l} {‖ {\sum_{κ \in Λ} {| 2^{j个 / 2} σ_{j个} {小时}_{κ} (x个) |}^{对}}^{1 / 对} ‖}_{对} ⩽ {‖ {\sum_{κ \in Λ} {| 2^{j个 / 2} σ_{j个} {小时}_{κ} (x个) |}^{2}}^{1 / 2} ‖}_{对} \\ ⩽ C类 {‖ {\sum_{κ \in Λ} {| 2^{j个 / 2} σ_{j个} {小时}_{κ} (x个) |}^{对}}^{1 / 对} ‖}_{对} . \end{array}

现在我们假设对 $⩽$ 2并且存在C类^′<∞，因此A类⊂ℕ,

{\sum_{j个 \in A类} {(2^{j个 / 2} σ_{j个})}^{对}}^{1 / 对} ⩽ {C类}^{'} {\sum_{j个 \in A类} {(2^{j个 对 / 2} σ_{j个})}^{2}}^{1 / 2} .

66

然后我们又有了点智慧，对于所有∧⊂ℕ×ℤ,

{\sum_{κ \in Λ} {| 2^{j个 / 2} σ_{j个} {小时}_{κ} (x个) |}^{对}}^{1 / 对} ⩽ {C类}^{'} {\sum_{κ \in Λ} {| 2^{j个 / 2} σ_{j个} {小时}_{κ} (x个) |}^{2}}^{1 / 2}

所以在这种情况下

{‖ {\sum_{κ \in Λ} {| 2^{j个 / 2} σ_{j个} {小时}_{κ} (x个) |}^{对}}^{1 / 对} ‖}_{对} ⩽ C类 {‖ {\sum_{κ \in Λ} {| 2^{j个 / 2} σ_{j个} {小时}_{κ} (x个) |}^{2}}^{1 / 2} ‖}_{对};

使用不等式(66)的对 $⩽$ 2,

\begin{array}{l} \frac{1}{{C类}^{'}} {‖ {\sum_{κ \in Λ} {| 2^{j个 / 2} σ_{j个} {小时}_{κ} (x个) |}^{对}}^{1 / 对} ‖}_{对} ⩽ {‖ {\sum_{κ \in Λ} {| 2^{j个 / 2} σ_{j个} {小时}_{κ} (x个) |}^{2}}^{1 / 2} ‖}_{对} \\ ⩽ {‖ {\sum_{κ \in Λ} {| 2^{j个 / 2} σ_{j个} {小时}_{κ} (x个) |}^{对}}^{1 / 对} ‖}_{对} . \end{array}

现在我们将通过使用转移引理（如下）。对于任何局部可测函数，让我们回顾一下Hardy–Littlewood极大函数的定义。让我表示间隔ℝ 和|我|勒贝格测量：所有x个∈ ℝ,

{（f）}^{*} (x个) = \underset{我, x个 \in 我}{啜饮} {\frac{1}{| 我 |} \int_{我} | （f） (年) | d日 年} .

引理2（转移）让我们考虑两个函数序列(（f）_n个(x个))_{n个∈ ℕ}和(e（电子）_n个(x个))_{n个∈ ℕ}假设序列(（f）_n个(x个))_{n个∈ ℕ}满足Temlyakov属性并且存在A类<∞，因此n个∈ ℕ

\begin{array}{l} | {（f）}_{n个} (x个) | ⩽ A类 {e（电子）}_{n个}^{*} (x个) & 几乎无处不在 \\ | {e（电子）}_{n个} (x个) | ⩽ A类 {（f）}_{n个}^{*} (x个) & 几乎到处都是。 \end{array}

然后是序列(e（电子）_n个(x个))_{n个∈ ℕ}也满足Temlyakov性质。

为了完成证明，我们导出了引理。

证明。推导转移引理的关键工具是Fefferman-Stein不等式（Fefferman和Stein，1971)：适用于所有人对,q个,1<对<∞,1<q个 $⩽$ ∞，有一个正常数C类_对,q个<∞使得

{‖ {\sum_{n个} {| {（f）}_{n个} (x个) |}^{q个}}^{1 / q个} ‖}_{对} ⩽ {‖ {\sum_{n个} {({（f）}_{n个}^{*})}^{q个} (x个)}^{1 / q个} ‖}_{对} ⩽ {C类}_{对, q个} {‖ {\sum_{n个} {| {（f）}_{n个} (x个) |}^{q个}}^{1 / q个} ‖}_{对} .

使用我们的假设和之前的不等式q个, 1<q个 $⩽$ ∞，以及所有∧，∧⊂ℕ,

\begin{array}{l} {‖ {\sum_{n个 \in Λ} {| {（f）}_{n个} (x个) |}^{q个}}^{1 / q个} ‖}_{对} ⩽ A类 {‖ {\sum_{n个 \in Λ} {| {e（电子）}_{n个}^{*} (x个) |}^{q个}}^{1 / q个} ‖}_{对} \\ ⩽ A类 {C类}_{对, q个} {‖ {\sum_{n个 \in Λ} {| {e（电子）}_{n个} (x个) |}^{q个}}^{1 / q个} ‖}_{对} \\ ⩽ {A类}^{2} {C类}_{对, q个} {‖ {\sum_{n个 \in Λ} {| {（f）}_{n个}^{*} (x个) |}^{q个}}^{1 / q个} ‖}_{对} \\ ⩽ {A类}^{2} {C类}_{对, q个}^{2} {‖ {\sum_{n个 \in Λ} {| {（f）}_{n个} (x个) |}^{q个}}^{1 / q个} ‖}_{对} . \end{array}

所以对所有人来说q个,1<q个 $⩽$ ∞，

{‖ {\sum_{n个 \in Λ} {| {（f）}_{n个} (x个) |}^{q个}}^{1 / q个} ‖}_{对} ≍ {\sum_{n个 \in Λ} {| {e（电子）}_{n个} (x个) |}^{q个}}^{1 / q个} ‖_{对} .

使用前面的计算q个=2和q个=对，我们有

{‖ {\sum_{n个 \in Λ} {| {（f）}_{n个} (x个) |}^{对}}^{1 / 对} ‖}_{对} ≍ {‖ {\sum_{n个 \in Λ} {| {（f）}_{n个} (x个) |}^{2}}^{1 / 2} ‖}_{对}

等等

{‖ {\sum_{n个 \in Λ} {| {e（电子）}_{n个} (x个) |}^{对}}^{1 / 对} ‖}_{对} ≍ {‖ {\sum_{n个 \in Λ} {| {e（电子）}_{n个} (x个) |}^{2}}^{1 / 2} ‖}_{对} .

B.3节。Vaguelette属性

我们使用(u个,κ∈我)表示圆上候选模糊数的一般系统T型。使用 ${u个}_{k个} (t吨) = \sum {u个}_{我}^{k个} {e（电子）}_{我} (t吨)$ ⁠，然后 ${u个}_{我}^{k个}$ 代表 $秒_{j个我} Ψ_{我}^{k个}$ 如果是(𝒱) 系统和 $Ψ_{我}^{k个} / 秒_{j个我}$ 如果是(𝒰) 系统。

调整Meyer和Coifman的定义(1997)，第8章，第56页，我们这样说{u个,κ∈我}是一个周期模糊数系统T型如果有指数0<β<α和一个常数C类这样的话

（a）
|u个(t吨)| $⩽$ 2^j个/2C类(1+|2^j个t吨−k个|)^−1−α,t吨∈T型,
（b）
∫_T型u个(t吨)d日t吨=0和
（c）
|u个(秒)−u个(t吨)| $⩽$ 2^j个(1/2+β)C类|秒−t吨|^β,秒,t吨∈T型.

（在下文中，α=1和0<β<1.)

Meyer和Coifman的证明(1997)，定理2，第56页，对L（左）₂(T型)在（a）-（c）等条件下，对于每个序列(α),

{‖ \sum α_{κ} {u个}_{κ} (t吨) ‖}_{2} ⩽ {C类}^{'} {‖ α_{κ} ‖}_{我_{2}} .

从多诺霍周围的评论中(1995)，定理2，这对于Riesz基性质是足够的。

然后，继续验证条件（a）–（c）。条件（b）是直接的，因为对于Meyer小波 $Ψ_{0, 0}^{k个} = {\hat{ψ}}_{k个} (0) = 0$ ⁠对于Hölder条件（c），

Δ = \frac{| {u个}_{κ} (秒) - {u个}_{κ} (t吨) |}{| 秒 - t吨 |^{β}} ⩽ \sum_{我} | {u个}_{我}^{κ} | \frac{| {e（电子）}_{我} (秒) - {e（电子）}_{我} (t吨) |}{| 秒 - t吨 |^{β}} ⩽ 2 π \sum_{我} | 我 |^{β} | {u个}_{我}^{κ} |,

67

考虑如下|秒−t吨|⁻¹ $⩽$ |我|和|秒−t吨|⁻¹>|我|分别进行。写作 ${u个}_{我}^{k个} = γ_{我} Ψ_{我}^{k个}$ ⁠，我们有

| {u个}_{我}^{κ} | = | γ_{我} | \cdot 2^{- j个 / 2} | \hat{ψ} | (2^{- j个} \cdot 2 π 我) ⩽ {\begin{array}{l} C类 | γ_{我} | \cdot 2^{- j个 / 2} & 我 \in {C类}_{j个}, \\ 0 & 否则。 \end{array}

如果|克_我|∼C类|我|^−ν，然后设置κ_j个=2^−j个νC类并观察到我∈C类_j个，我们有秒_jl公司≅1左右(𝒰）或(𝒱) 系统|γ_我|对于我∈C类_j个。结合前面的两个显示，

Δ ⩽ C类 \cdot 2^{- j个 / 2} \sum_{我 \in {C类}_{j个}} | 我 |^{β} ⩽ C类 \cdot 2^{- j个 / 2} \cdot 2^{j个} \cdot 2^{j个 β} = C类 \cdot 2^{j个 (1 / 2 + β)} .

68

对于条件（a），我们首先观察到u个_jk公司(t吨)=u个_j个,0(t吨−2^−j个k个)因此，这足以表明κ=(j个，0），即

{(2^{j个} t吨 \land 1)}^{2} | {u个}_{κ} (t吨) | ⩽ 2^{j个 / 2} C类, | t吨 | ⩽ \frac{1}{2} .

69

对于 $| t吨 | ⩽ \frac{1}{2}$ ⁠，我们有t吨²～|1−exp（−2π我t吨)|²和，设置Δ（f）_我=（f）_我+1−（f）_我和Δ²（f）_我=Δ(Δ（f）_我),

{1 - 经验 (- 2 π 我 t吨)}^{2} \sum_{我} {u个}_{我}^{κ} {e（电子）}_{我} (t吨) = \sum_{我} (Δ^{2} {u个}_{我}^{κ}) {e（电子）}_{我} (t吨) .

设置 ${第页}_{j个我} = \hat{ψ} (2^{- j个} \cdot 2 π 我)$ ⁠; 来自公式(47)的 $Ψ_{我}^{k个}$ ⁠，我们获得

{u个}_{我}^{κ} = {\begin{array}{l} 2^{- j个 / 2} 周_{我} & 我 \in {C类}_{j个}, \\ 0 & 否则, \end{array}

具有

周_{我} = {\begin{array}{l} {第页}_{j个 我} 秒_{j个 我} & 对于 {V（V）}_{κ}, \\ {第页}_{j个 我} / 秒_{j个 我} & 对于 {单位}_{κ} . \end{array}

如果我们这么想

| Δ^{2} 周_{我} | ⩽ C类 \cdot 2^{- 2 j个}, 我 \in {C类}_{j个},

70

那么从我们之前的评论来看

{t吨}^{2} | {u个}_{κ} (t吨) | ⩽ C类 \sum_{我 \in {C类}_{j个}} 2^{- j个 / 2} | Δ^{2} 周_{我} | ⩽ C类 \cdot 2^{- j个 / 2} \cdot 2^{- 2 j个} \cdot | {C类}_{j个} | ⩽ C类 \cdot 2^{- 三 j个 / 2} .

如果|t吨| $⩽$ 2^−j个，我们只是绑定 $| {u个}_{k个} (t吨) | ⩽ \sum | {u个}_{我}^{k个} |$ 并从条件中追溯参数(67)符合条件(68)带有β=0我们获得了条件(69).

建立条件(70)，首先观察一下，因为 ${第页}_{我} = \hat{ψ} (2^{- j个} \cdot 2 π 我)$ ⁠，我们有 $Δ^{第页} {第页}_{我} ⩽ {(2 π \cdot 2^{- j个})}^{第页} ∥ {\hat{ψ}}^{(第页)} ∥_{\infty} ⩽ 2^{- 第页 j个} C类$ 对于第页=0,1,2. 一些计算表明

Δ^{2} ({第页}_{我} 秒_{我}) = Δ^{2} {第页}_{我} 秒_{我 + 2} + 2 Δ {第页}_{我} Δ 秒_{我 + 1} + {第页}_{我} Δ^{2} 秒_{我} .

Δ^{2} (\frac{{第页}_{我}}{秒_{我}}) = \frac{Δ^{2} {第页}_{我}}{秒_{我 + 2}} - 2 \frac{Δ {第页}_{我}}{秒_{我 + 1}} \frac{Δ 秒_{我 + 1}}{秒_{我 + 2}} + 2 \frac{{第页}_{我}}{秒_{我}} \frac{Δ 秒_{我}}{秒_{我 + 1}} \frac{Δ 秒_{我 + 1}}{秒_{我 + 2}} - \frac{{第页}_{我}}{秒_{我}} \frac{Δ^{2} 秒_{我}}{秒_{我 + 2}},

现在的状况(70)可能会被视为符合条件(27).

本文根据牛津大学出版社标准期刊出版模式的条款出版和发行(https://academic.oup.com/journals/pages/open_access/funder_policies/chorus/standard_publication_model)

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文章内容

周期设置下的小波去卷积

总结

1.白噪声中的反卷积

2.动机和准备

2.1. 遥感图解

2.2. Boxcar模糊和连分数算法

2.2.1. 连分数算法

2.3. 周期化Meyer小波变换

2.4. 一大类目标函数

2.5. 小波收缩

3.傅里叶域中的小波反褶积

3.1. 逆估计范式

3.2. 小波反褶积方法

3.3. 与小波-模糊分解的联系

3.4. 调谐备注

4.小波反褶积方法的数值性能

4.1. 傅里叶正则反褶积

4.2. 小波正则反褶积

4.3. 结果分析

5.渐近理论

5.1. 各种光滑类的近似最优性

5.2. 最大化方法

致谢

工具书类

附录A：证明

A.1、。命题1证明概述

A.1.1、。权利要求1的证明

A.1.2、。权利要求2的证明

A.1.3、。权利要求3的证明

A.1.4、。命题2的证明

引理1。

附录B

B.1。Besov空间的嵌入

B.2节。Temlyakov不等式

B.3节。Vaguelette属性

引文

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