摘要
我们提出了一个模型，用于描述在引力结构形成的层次场景中，空洞大小的分布及其演化。我们发现，在任何宇宙纪元中，空洞都有一个大小分布，在时间上演化自相似的特征空洞大小上达到峰值。这与虚拟化晕团的分布形成了鲜明对比，因为它没有小规模的截止线。
在我们的模型中，空洞的命运由两个过程决定。第一个过程影响嵌入较大欠密区域的空洞：进化过程实际上是一个较大空洞由较小空洞的合并构成的过程，类似于质量较小的祖先的合并如何形成大规模集群。第二个过程是空洞特有的，发生在那些恰好嵌入大规模超密度的空洞中：当超密度在其周围塌陷时，这些空洞被挤出。正是这第二个过程产生了小范围的截止线。
在集群丰度和演化的偏移集公式中云中的云问题是，只将那些没有嵌入较大簇中的对象计算为簇，这需要研究交叉随机游动一个屏障我们表明，类似的空洞演化公式需要研究双屏障问题：需要考虑一个障碍空隙中的空隙，另一个用于云中空隙因此，在我们的模型中，空洞尺寸分布是两个参数的函数，其中一个参数反映空洞形成的动力学，另一个参数反映坍塌物体的形成。
O、 男人敢做的事！男人可以做什么！
男人每天都在做什么，却不知道自己在做什么！†
1简介
大量的观测和理论证据支持这样的观点，即宇宙的结构是通过引力不稳定过程从一个几乎均匀且无特征的原始宇宙中产生的。在这个框架内，几乎所有可行的现有结构形成理论都是分层的：物质分布通过一系列更大的结构演变而来。
结构形成的层次场景已经成功地解释了引力束缚的虚化晕的形成历史。它们提供了一个基本框架，可以在其中研究从星系到富饶星团等范围广泛的宇宙物体形成的更复杂方面。特别是，已经对超稠密暗物质晕的坍塌和虚化进行了全面的分析描述。该方法最初由提出Press&Schechter（1974），后来由修改爱泼斯坦（1983）和邦德等人（1991），为层次引力聚集导致的大量晕的丰度建立了简单而准确的模型。这个框架被称为偏移集方法.
偏移集方法提供了一个有用的框架，用于思考层次结构形成场景中引力束缚的虚化晕的形成历史。它为晕质量的分布、合并率和形成时间提供了非常准确的解析近似值(莱西和科尔1993)，并可扩展为提供随机放置单元中质量分布的估计(谢斯1998). 原始方法中的一个关键要素，继承自Press&Schechter（1974），是虚拟化对象从平滑的球形塌陷形成的假设。事实上，坍塌可能与球形完全不同；最近的工作表明，椭球面塌陷可以被纳入该方法，并在精度上有合理的提高（例如。Sheth，Mo&Tormen 2001年).
基于球形演化的模型很难与表征宇宙物质分布的空间模式相协调。观测到的星系红移观测世界和宇宙结构形成数值模拟的人工世界都以丝状和片状结构为特征。这种网状图案代表了明显的非虚化结构，对于这种结构，最初非球面密度峰值的重力收缩仅沿一个或两个维度完成。乍一看，这种类似网络的配置似乎超出了理想的偏移集描述的范围。
然而，在这项研究中，我们发现泡沫图案的形成和演变确实可以用偏移集分析来描述。这是通过关注欠发达地区，的空隙而不是物质分布中的密度过高。尽管宇宙中的大部分质量都被虚拟化结构所束缚，但大部分体积都被巨大的欠密空洞所占据：空洞是这个大尺度星系的主要成分和物质分布。在基于空隙的结构形成描述中，物质被挤压在膨胀的空隙之间，在空隙壁的交叉处形成薄片和细丝(Icke 1984年;van de Weygaert 1991年,2002). 这种观点得到了Regös&Geller（1991）,Dubinski等人（1993年）和范德韦加特和范坎彭（1993），他对引力团簇的数值模拟中空洞是如何演变的给出了清晰的描述。在本研究中，我们将坚持这一基本框架。
如果要基于球对称的理想化，我们将认为低密度区域是成功解析描述宇宙空间结构的首选对象。这是因为，在许多方面，空隙非常适合基于球形演化模型的偏移集分析。尽管初始涨落场中的负密度扰动会形成空洞，而原始高斯场中的最大值和最小值都不是球形的（参见Bardeen等人，1986年). 然而，与密度峰值的演化形成鲜明对比的是，负密度扰动的原始非球面性随着它们的扩展而迅速消失：一般的演化趋向于近似球形的顶帽几何(Icke 1984年). 此外，均匀密度空洞的速度结构很容易理解；内部的观测者将观察哈勃式的速度场。所有这些都在中进行了详细讨论附录A，它描述了单个孤立空隙的演变。
虽然由膨胀空洞组织的大规模物质分布的图像很吸引人，但在其基本形式上，描述本质上涉及到将单个空洞特征外推到由严格不同且互不影响的对等体组成的整个随机群体中，每个对等体都是未受干扰、平滑膨胀的气泡。这抛弃了宇宙结构形成的最关键和最具特征的方面之一——即没有孤立的空洞，也没有平滑的非结构化空洞。任何完整的分析都必须考虑到以下原因引起的复杂性：
空隙所占原始体积内的子结构，以及
其附近的不均匀物质分布。
内部孔隙结构的存在并不意外。图中所示的空隙图1，选自N个-宇宙结构形成的物体模拟，显示了所有尺度上结构的存在。图中显示了空隙内部的三次连续放大；所有这些都显示出一定程度的内部结构，尽管在最空的内部区域下部结构不太明显。
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从中选择的空心区域中的空间结构N个-SCDM场景中结构形成的物体模拟。以空洞核心为中心的三个连续放大显示：直径为45 Mpc的粒子球（顶部）、36 Mpc（左下方）和30 Mpc（右下方）。空穴区域内的子结构的存在很明显，尽管它在空穴内部逐渐枯竭时变得更加模糊和脆弱。
如上所述，所有可行的宇宙学结构形成场景都意味着结构增长的层次模式。任何物体的形成都需要融合其领域内的所有子结构，包括早期浓缩出来的小规模物体。欠密度的组织方式类似——在空洞的演化过程中，我们可以确定两个密切相关的过程：
对空洞演变的深入了解来自于Dubinski等人（1993年）在对（孤立的）球对称孔隙进行分析研究后Blumenthal等人（1992年），他们使用N个-通过人体模拟，从一组人工和简化的初始条件中研究空洞层次的演变，这些初始条件由不同层次的嵌入球形顶帽空洞组成。他们表明，相邻的空隙发生碰撞，当它们之间的物质被挤压时，会产生薄壁和细丝。主要局限于切向运动，垂直于空腔壁的特殊速度大多受到抑制。随后的空洞合并以这些结构的逐渐衰退为标志，同时物质沿着墙壁和细丝向“空洞合并”的封闭边界疏散。空洞内部子结构被擦除的时间尺度与空洞本身接近“非线性”时的时间尺度大致相同(附录A给出了非线性的精确定义）。在非线性情况下，小尺度的空洞相互碰撞和合并，有效地将它们各自的实体溶解成一个更大的包围空洞。只有它们最初轮廓的淡淡和逐渐褪色的印记仍然是最初内部结构的提醒。随着这种（重新）结构安排发展到更大的规模，同样的基本过程也会重复。
N个-在更一般的宇宙环境中空洞演化的体模拟范德韦加特和范坎彭（1993）（另请参见van de Weygaert 1991年)产生了类似的结果。这促使他们提出存在一种天然的空层次结构其中嵌入在显著的大型空隙中的小型空隙逐渐消失。在冷暗物质（CDM）场景中，这种空穴层次过程的说明如所示图2在六个时间步长的序列中，可以清楚地看到不断演变的孔隙层次的主要特征，即小规模孔隙和结构逐渐混合成更大的周围欠密度。
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空洞进化。128中空洞区域演化的六个时间步三微粒N个-SCDM模型中结构形成的车身模拟：从左上到右下显示膨胀系数一经验=0.1、0.2、0.3、0.35、0.4和0.5（目前一经验=1.0）。确定了初始条件，以便将重点放在3σ（4小时−1Mpc）void，使用约束随机场代码（van de Weygaert&Bertschinger 1996）。序列显示直径≈25的大孔隙逐渐形成小时−1Mpc是早期在其中出现的较小空隙和结构的复杂模式，相互融合。这说明了不断演变的void层次结构的一个方面：空隙-内-外过程。
然而，嵌入空洞中的空洞的人工安排只代表了现实的一个方面——它忽略了空洞层次发展的一个关键组成部分。发展中的空洞层次不仅包括将小空洞合并为大空洞，还包括小空洞嵌入大规模超密度时消失因此，与暗晕形成过程相反，出现的空洞层次由两个过程而非一个过程控制。本文的主要目标是将这两个过程合并到一个空层次模型中。我们通过将球面演化模型与偏移集方法相结合来实现这一点。当用于描述过密云的演变时，偏移方法需要考虑单屏障问题是，单个障碍物代表了球形演化模型中崩塌所需的东西。我们表明，虚层次的偏移集公式需要考虑两个屏障一道屏障与云的坍塌有关，另一道屏障则与空洞的形成有关。由此产生的框架能够描述随机密度场的真实设置，其中空洞与其周围环境相互作用。
本文的结构如下。第2节讨论了孤立空洞的重要一般性质，孤立空洞是在扰动引力场的推动下，从原始密度场的凹陷处生长而来的。球面模型构成了进一步分析考虑的核心，在附录A.第3节讨论了大型结构对孔隙演变的一般影响。两个描述了形成空洞层次结构的关键过程：void in-void模式和空心云模式。如何使用两个障碍将这些过程纳入偏移集方法是以下主题第4节.第5节描述了孔隙尺寸的相关分布，预测其具有通用形式，并在特征值附近达到峰值。的结果之一第5节是为了表明基于峰值的模型对于最大空隙应该是相当准确的，但是，因为它们既不考虑void in-void模式也不是为了空心云模式与偏移集方法相比，他们预测了更多的小空隙。附录B讨论基本波谷模型假设原始高斯密度场中的极小值之间存在一对一的标识，演化（和非线性）物质分布中有空洞中心。这也用于定义自适应波谷模型，如中所述第5.1节.
第6节呈现了分层进化的虚空种群的各种其他方面。整体参数，例如包含在空洞区域内的宇宙质量分数，以及空洞占据的空间分数，很容易从空洞尺寸分布中导出。此外，形式主义被应用于重建祖传的给定空隙的历史，然后评估环境对基本空隙特性的影响。我们还提出了一些建议，以分析处理真空环境对内部可能形成的星系的影响。最后，我们指出如何根据我们的形式主义来评估暗物质聚集的演化。在第7节，我们对我们的结果进行了概述，并试图将这些结果嵌入到更广泛的层次结构形成研究背景中。我们还评论了暗物质分布中空洞分布的结果如何与星系分布中空洞的观测结果相关。虽然我们的模型提供了一个有用的框架，但开发一个更详细的模型超出了这项工作的范围Mathis&White（2002）和Benson等人（2003）.
2隔离空隙的演变
空洞的基本特征可以从孤立密度凹陷的演变来理解。净密度赤字导致有效引力的符号反转：在诱导有效排斥性特殊引力的区域形成空洞。
在物理坐标系中，过密区域的膨胀速度比背景稍慢，达到最大尺寸，然后旋转，最后坍缩成极小的尺寸（这仅在爱因斯坦-德西特或封闭宇宙中才是严格的事实）。相比之下，欠发达地区不会逆转：它们会经历简单的膨胀，直到内部的物质超过最初的外壳。这些演化路径的一般特征可以从孤立的球对称密度扰动（无论是过密还是欠密）在一个均匀且不断膨胀的背景宇宙中的演化过程中得到最好的理解。这些球形模型为理解和解释更复杂的情况提供了重要参考。由于球面对称性，问题本质上是一维的，允许进行完全解析处理和求解，使模型更容易分析、解释和理解。孤立孔隙演化的球形模型在附录A.
演变中的球形空洞的最基本和最普遍的特性如下。
膨胀：与坍塌的过密区域相比，空隙会膨胀。
疏散：随着膨胀，内部密度不断降低。（一级，密度降低是质量在膨胀体积上重新分布的结果。从质量损失到周围超密度的密度降低是边缘附近周围超密度引力影响引起的高阶效应。）
球形：向外膨胀使空隙向球形几何体演变。
顶部密度剖面：物质内部对空隙的有效“排斥”随着距离中心的距离而减少，因此物质分布演变为（相反）“顶帽”。
“超级气泡”速度场：与（最终）均匀的内部密度分布一致，空隙中的（特殊）速度场具有恒定的“哈勃式”内部速度发散。因此，空洞演变成真正的“超级气泡”。
抑制结构增长：内部密度的不均匀性被抑制，当物体开始像一个暗淡的宇宙时，内部的结构形成被冻结。
边界山脊：当内部物质在边界附近堆积时，空洞周围会形成山脊。
壳体穿越：从准线性朝向成熟非线性当内壳穿过外壳时，该阶段发生。
图3说明了这些功能。两个面板都显示了密度赤字剖面的时间演变。考虑左边的面板，它说明了初始（无补偿的）顶层凹陷（“顶层”空洞）的发展。顶帽的初始（线性）密度赤字设置为Δ林，0=−10，其（移动）初始半径为
。不断变化的密度剖面显示出孔隙膨胀的特征趋势，质量从内部流出，因此密度值持续下降（接近空置度，δ=−1.0）。最初，欠敏感区域的膨胀速度仅高于背景，并且永远不会崩溃（在Ω≤1的宇宙中）。请注意，此模型提供了山脊形成的最直观的说明。尽管最初没有任何这样的特征，但这个空隙显然形成了一堵致密的边界“墙”。
![空洞演化的球形模型。左图：一个纯粹的（无补偿的）顶帽空隙，一直发展到穿越贝壳的时代。初始（线性外推）密度赤字为Δlin，0=−10.0，初始（移动）半径。时间步长：a=0.05、0.1、0.2和0.3。右：具有角平均SCDM轮廓的空隙（BBKS，方程式7.10）。初始密度不足和特征半径与顶帽空隙相同（左）。这种空隙在穿壳时演变成顶帽结构的趋势很明显。只有当初始剖面足够陡峭时，才会出现壳体交叉和明显山脊的形成。]()
三
空洞演化的球形模型。左图：一个纯粹的（无补偿的）顶帽空隙，一直发展到穿越贝壳的时代。初始（线性外推）密度赤字为Δ林，0=−10.0，初始（共移动）半径
.时间步长：一=0.05、0.1、0.2和0.3。右：具有角平均SCDM轮廓的空隙（BBKS，方程式7.10）。初始密度不足和特征半径与顶帽空隙相同（左）。这种空隙在穿壳时演变成顶帽结构的趋势很明显。只有当初始剖面足够陡峭时，才会发生壳体交叉和形成明显的山脊。
为了与左侧的顶帽空心配置进行比较图3描述了一个空洞的演化，其初始形态更能代表宇宙环境。这里，初始轮廓是冷暗物质密度波动的高斯随机场中波谷的径向平均密度轮廓。该剖面的分析表达式由Bardeen等人。（1986，以下简称BBKS）（方程式7.10），我们在这里展示的一个例子涉及具有平均陡度的密度下降的径向剖面，即≡-〈2（f）〉/σ2=−1。空洞演化的定性方面与纯顶帽状空洞的情况相同：空洞膨胀、排空（中心为近空配置Δ=−2），并且在其边界处形成脊。请注意，空隙轮廓演变为一种越来越类似于“顶帽”空隙的配置。我们将在以下内容中利用这种通用的演变。
从内向外看，我们可以看到内壳向外扩张的速度比外壳更快。当空隙中心附近的密度最小，且密度随着向外移动而逐渐增加时，密度赤字|Δ(第页)|空隙率随半径减小第页.向外的特殊加速度与积分密度亏损Δ成正比(第页,t吨)因此，随着半径的增加而减小：内壳以更高的速度向外推进，因此空穴的内层向外移动得更快。内部物质开始赶上外壳，导致外部区域的密度剖面变陡。同时，在空隙内部不断扩大的区域内，密度分布迅速变平。这是内部孔隙层向外膨胀的直接结果：紧邻凹陷的密度分布的“平坦”部分随着孔隙膨胀而“膨胀”。
上述总结的特征在初始光滑球对称空洞的理想环境中可以看到，也可以在更一般、不太对称的宇宙环境中看到，同时也存在子结构。图2提供了一个更现实、更复杂的劣势演变的例证。N个-对这种物体的人体模拟研究得出结论，top-hat球面模型代表了对现实的一种非常成功的描述（例如。Dubinski等人，1993年;van de Weygaert&van Kampen 1993年). 无论初始配置如何，向球形顶帽的演变与过度密度的演变形成了鲜明对比。当一般的超密度坍塌时，它会沿着一系列越来越各向异性的结构收缩。收缩导致“通缩”并伴随着密度梯度的变陡，而周围结构的下沉标志着一个逐渐减小的区域，在该区域中忽略下部结构是现实的。
总之，很明显，top-hat球面模型不仅为孤立空洞的演变提供了一个非常有用的模型，而且在空洞膨胀体积的越来越大的部分上，它也发展成为对现实的越来越精确的表示。
3大型结构的影响
如果我们想用空洞来理解宇宙中复杂的空间模式，我们需要一个识别当今宇宙空洞的处方，以及描述空洞如何与围绕它们的大规模结构相互作用。
3.1穿壳的重要性
脊形成的一般性质（例如。图3)具有暗示性，以及Blumenthal等人（1992年）认为星系分布中观察到的空洞应该与刚刚达到的原始欠密度相一致炮弹穿越对于具有完美顶帽轮廓的完美球形孔洞，当孔洞形成的原始密度凹陷达到线性外推欠密度δ时，就会发生这种情况v（v）对于此类空隙，δv（v）与质量标度无关：δv（v）=−2.81（单位：Ω）0=1个宇宙。这个阈值将在我们的空洞层次如何演变的模型中发挥重要作用。例如，Dubinski等人（1993年）用这个特征密度来估计贝壳杂交对于大量的宇宙学结构形成场景，空洞构成了近似体积填充域的群体。相比之下，过密的原始扰动坍塌并虚拟化——它们收缩在移动坐标中。由此产生的画面是，宇宙中的物质以更小的坍塌超密度聚集在一起——以片状、细丝状和簇状的形式——其空间布局由不断增长的欠密空间决定。
3.2空洞社会学
在密度扰动的一般场中，两个效应将严重影响小空洞的数量。两者都与大规模环境中密度降低的分层嵌入有关。
首先，考虑一个密度小于临界δ的小区域v（v）可能是这一区域，我们今天想将其确定为一个空洞，嵌入了一个明显更大的欠密区域，该区域的密度也低于临界密度。因此，我们还想确定，今天这个更大的区域是一个巨大的空白。由于许多小空洞可能共存于一个较大的空洞中，因此我们不能将所有较小的空洞都计算为不同的对象，以免高估小空洞的数量和空洞中的总体积分数。我们称之为空隙-内-外问题。它类似于众所周知的云中云使用初始过密峰的数量密度来估计密集虚拟化簇的数量时出现的问题。
A类第二这种效应是造成空洞和光晕种群之间根本不同的原因。如果一个小规模极小值嵌入到一个足够高的大规模极大值中，那么周围较大区域的崩塌将最终挤压其周围的欠发达区域；当周围区域完全坍塌时，小规模的空洞将消失。如果收缩超密度内的空隙被挤压到了极小的尺寸，则不应再将其视为空隙。图4显示了此过程的三个示例，每个示例都是从大型（SCDM）中确定的N个-人体模拟。为了解释嵌入坍塌区域时空洞消失的影响，我们还必须处理空心云问题。
4
三个示例（从左到右）空心云SCDM场景中结构形成的数值模拟过程（Ω0= 1.0,小时0= 0.5). 从上到下的面板显示了从早期到晚期在共聚坐标中粒子分布的演变（分别一=0.3、0.4、0.5和1.0，当前历元）。最初的欠发达地区被其周围的超稠密地区的崩塌所压垮。四块面板第一列中的空隙显示出近似球形的坍塌序列。另外两列涉及涉及更多各向异性周围物质分布（和力场）的配置。
随着空洞周围的膨胀，空洞中的虚拟光环不太可能被撕裂。因此云状物这种现象和暗晕的形成无关。The asymmetry between the空心云和云状物过程会影响正在出现的光晕和空洞种群之间的对称性破缺：尽管它们是从相同的对称高斯初始条件演化而来的，但我们认为超密度和欠密度预计会自然演化为具有不同特征的聚集。
4排外形式主义
在其最简单和最透明的公式中，偏移集形式是指理想球面超密度的崩溃，所以这是我们首先描述的情况。
4.1集群的游程集模型
锯齿状线条图5表示以初始高斯随机场中随机选择的位置为中心的过密度，作为计算过密度的尺度的函数。人行道高度δ0(S公司)是相对于背景宇宙密度的线性理论超密度。空间尺度由其方差参数化S公司（定义见方程式B1，请参见下文方程式B6). 在分层模型中，S公司随着尺度的增加而减小，因此最大的空间尺度位于左侧，δ(S公司)→0作为S公司→ 0.由于初始波动较小，平滑滤波器中包含的质量为米∝[1 + (D类我/D类0) δ0]R（右）三，其中D类我表示初始时间的线性理论增长因子。自D类我/D类0≪ 1,米∝R（右）三：质量与初始移动标度立方成正比。
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漂移集形式主义，用于形成光环。以高斯随机场中随机选择位置为中心的平均过密度δ表示的随机游动，作为平滑尺度的函数，参数化为S公司米（大容量在左边，小容量在右边）。虚线水平线表示坍塌屏障δc（c）.最大刻度（最小值S公司)其中δ(S公司)超过δc（c）是对该区域周围形成的光晕质量的估计。
在球形坍塌模型中，线性理论密度大于δ的所有区域c（c）可以形成束缚的虚拟化物体，这种临界过密度与质量尺度无关。该常量值显示为高度相同的虚线S公司米，我们在其中使用了下标米表示质量和初始刻度是可互换的。
偏移集形式主义假设没有质量能从坍塌的区域逃逸。如果δ0=δc（c）按比例R（右），则包含所有质量R（右）包含在折叠对象中，即使δ0< δc（c）为所有人第页<R（右）因此，如果随机行走高度δ0超过δ值c（c）行驶了一段距离后S公司(R（右）)它代表一个坍塌的质量物体米∝R（右）三.步行可穿过屏障δc在许多不同的值S公司(R（右）). 每个交叉对应不同的平滑比例，因为米∝R（右）三，包含不同数量的质量。然而，屏障的不同交叉点δc（c），第一个十字路口，最小值为S公司(R（右）)其中δ0≥δc（c），是特别的，因为正是这个尺度与最大的质量相关联。较小尺度的交叉点对应于较小质量的凝聚，这些凝聚已被纳入较大的包围质量浓度中。
最简单的形式是，虚拟化物体质量分布的偏移模型等同于距离分布S公司(R（右）)起源于原点的一维布朗运动随机游动，在它们第一次穿过高度为δ的势垒之前进行c（c），与质量物体中结合的质量分数米(R（右）). 给定的行走在穿过障碍物之前走得越远，与其相关的物体的质量就越小(邦德等人，1991年).
4.2空隙的偏移集模型
在我们上面关于晕质量函数的讨论中，我们考虑了云中云问题，并认为唯一应该计算的云是最大可能的云。要在偏移集方法中研究空洞，必须首先指定与空洞出现相关的边界形状。如果我们知道临界欠密度δ，就可以做到这一点v（v）这定义了一个空洞，接下来我们将使用球演化模型估计的壳交叉纪元来指定δv（v）因此，δv（v）=−2.81，与平滑比例无关（如δc（c）).
有人可能会认为，虽然簇是由过密度形成的，但空洞是由欠密度形成的。因此，可以类似于估算簇分布的方式来估算空洞的分布——只需替换势垒δc（c）δ处有一个v（v），然后研究δ的首次交叉分布v（v）因此，如果随机游走δ0第一次下降到δ值以下v（v）行驶了一段距离后S公司(R（右）)它代表质量的空虚米∝R（右）三和物理尺寸
.
然而，我们已经看到，我们必须更加小心；除了避免与void-in-void过程相关联的重复计算外，我们还必须考虑void-incloud过程。偏移集公式的优点在于它清楚地显示了如何做到这一点。图6说明了这个论点。有四组面板。最左边的列显示了与初始粒子分布关联的随机行走。其他两列显示了相同粒子在随后两个时间的分布情况。
6
四模式（扩展）偏移集形式主义。每一行都说明了分层集群的四种基本模式之一：云中云过程，云状物过程，空隙-内-外过程和空心云流程（从上到下）。每个模式都使用三个帧进行说明。最左边的面板显示“随机行走”：局部密度扰动δ0(x个)作为（质量）分辨率的函数S公司米（参见。图5)在早期N个-宇宙结构形成的物体模拟。在每个图中，水平虚线表示坍塌屏障δc（c）和贝壳交叉空隙屏障δv（v）。右侧的两列显示了相关粒子分布的演变过程。尽管空洞中的光晕可能是可见的（第二行描述了较大空洞中的一个光晕），但塌陷光晕中的空洞则不是（最后一行描述了一个小空洞，当周围的光晕塌陷时，它将被挤压成小尺寸）。正是这一事实使得空穴尺寸的计算与通常用于估算坍塌晕质量函数的计算在性质上有所不同。
第一行说明了云中过程。通过找到线性理论方差有价值的尺度，给出了构成最终物体（最右边）的质量S公司= 0.55. 这种质量来自于较小的团块的合并，这些团块本身在早期就已经形成（中央面板）。如果我们将随机行走路径集中在其中一个小团块上，它将穿过较高的势垒δc（c）/D类(t吨)>δc（c）在S公司>0.55，值D类(t吨)表示早期的线性理论增长因子t吨.
第二行显示了云-视过程。这里是一个低质量的团块(S公司>0.85）在早期进行病毒化。该块嵌入到注定要成为空白的区域中。它周围较大的空穴区域实际上只是在当前时间才成为真正的空穴，此时它的质量要大得多(S公司=0.4），而不是包含在其中心的低质量团块中。请注意，虚空中的云并没有被虚空的形成所破坏；事实上，它的质量从S公司>0.85至S公司～0.85。这样的随机漫步是S公司～0.85晕；在估算晕丰度时，δ处存在屏障v（v）无关紧要。另一方面，像这样的漫步可以让我们对空星系的性质做出一些重要的推断，我们稍后将对此进行讨论。
第三行显示了较小空洞合并形成的大空洞：空洞内-空洞过程。相关的随机游走看起来与与光环合并相关的云中过程非常相反。相关的随机走动表明，目前空洞中含有更多的质量(S公司～0.4）比过去(S公司> 0.4); 它是质量空隙的真实代表S公司∼ 0.4. 以这些质量元素中的一个为中心的随机行走路径构成了大空隙中的丝状物，类似于第二行中所示的云雾状行走。[注意，与宇宙时代确定的空洞相关的屏障高度t吨与晕形成相关的屏障高度相似的标度：δv（v）(t吨) ≡δv（v）/D类(t吨).]
最后，第四行说明了空心云过程。粒子分布显示，在早期，随着周围物体的圆环坍塌，相对较大的空洞被挤压成更小的尺寸。如果简单地颠倒云-类星体的论点，人们就会认为这个空洞是一个包含质量的相对较大的物体S公司∼ 1. 这是不正确的，可以从这样一个事实中看出，如果我们计算光晕，我们会将其视为包含显著更多质量的云(S公司～0.3），而一个巨大的虚化晕在其内部容纳一个大的空洞是没有意义的。
因此，我们将在下面开发的空隙偏移集模型如下：如果行走首先穿过δc（c）然后穿过δv（v）在较小的尺度上，较小的空隙被包含在较大的塌陷区域中。由于较大的区域已经坍塌，因此其中较小的空隙不再存在，因此不应计算在内。唯一真正的空隙是与穿过δ的走道相关的空隙v（v）无首次交叉δc（c）.估算空隙中质量分数的问题简化为估计首次交叉的随机游动的分数δv（v）在S和未交叉δc在任何时候S公司′ <S公司因此，对void层次结构的描述需要解决两道屏障问题。
显然，模型预测将取决于δc（c）和δv（v）。如果我们使用总结于附录A要设置这些值，那么设置δ似乎是合理的v（v）=−2.81. 我们如何解释云中的空洞问题是比较微妙的。假设我们选择δc（c）=1.686，与完全塌陷相关的值。实际上，考虑到空洞的欠密度，这使其具有最大可能的大小，除非它位于完全塌陷的光环内，在这种情况下，它的大小为零。如果它位于尚未完全塌陷的塌陷区域内（如图6)则其大小介于从孤立球面演化模型估计的大小1和0之间。因此，仅排除完全塌陷区域中的空隙几乎肯定会高估典型空隙大小（此外，我们忽略了每个空隙周围脊的厚度）。另一个自然选择是δ助教= 1.06; 这忽略了区域内开始扭转的所有空洞，即使它们的尺寸可能仍然不可忽略，因此低估了大型空洞的丰度。更仔细地计算云中空洞问题的影响是正在进行的工作的主题。
总之，空洞与塌陷对象的区别如下：虽然在一个空洞中可能有一个簇，但在簇中有一个空洞在物理上是没有意义的。偏移集公式允许解释这一点。
5通用孔隙尺寸分布
让
表示第一次穿过δ的行走部分v（v）在S公司且不交叉δc（c）直到它们越过δv（v）（即，如果它们穿过δc（c），他们在秒≥S公司). 然后
是与空隙相关的第一个交叉点的分布。附录C表明第一个交叉分布由以下公式给出哪里在爱因斯坦-德西特宇宙中，δc（c）, δv（v）和σ(米)都有相同的时间依赖性，所以方程式（1）进化出自我相似性。在更一般的世界模型中，时间依赖性只是略有不同，因此自相似演化的近似应该是相当准确的。 数量
是虚空和云参数; 它将光晕演化对空洞演化种群的影响参数化。要了解原因，请注意较小空隙被压碎的可能性空心云过程随着坍塌屏障δ的相对值而减小c（c）相对于空隙屏障δv（v）变大。
这也符合以下事实：（例如。方程式C8)代表空隙中的质量分数因此，如果
很小，空隙几乎占据了所有质量。另一方面，对于云中空隙过程的任何显著影响，空隙中的质量分数，
，将少于团结。云中的空洞过程越重要，随着更多的空洞被挤压到最小尺寸，空洞中的质量分数将越小。 关系(7)表明孔隙中的体积分数为
.对于δv（v）=−2.81和δc（c）=1.686，这个比率大于1，表明宇宙中充满了空洞。（如果我们设置δ，空隙中的体积分数也大于单位c（c）=1.06。）因此，我们有一个模型，其中大约三分之一的宇宙质量与占据大部分体积的空洞有关。剩余三分之二的质量位于空隙之间，且占据的体积可以忽略不计。
虽然总金额方程式（1）收敛得相当快，很难看出它意味着什么形状。我们已经发现方程式（1）相当接近于我们设置的位置和（此表达式对于δ值是准确的c/|δv（v）|≥1/4左右）表达式(4)清楚地表明（f）（ν） 在μ的小值和大值处都急剧截止。换言之，空隙质量的分布在ν≈1左右达到了合理的峰值，对应于σ级的特征质量0(米) ≈ |δv（v）|. 当δc（c）≫ |δv（v）|，然后
第二个指数趋于统一。在该极限下，双势垒分布减小为δ处与单个势垒相关的分布v（v）这明确表明，当云中的空隙过程不重要时(
)然后，通过正确计算空隙-空隙过程给出空隙的丰度。
图7说明了由此产生的空隙尺寸分布。注意，小空隙中的质量分数强烈依赖于δc（c）（低ν处与void-in-void溶液相关的发散被去除为δc（c）减小），而由最大空隙包围的质量分数仅取决于δv（v）这主要是由于嵌入平均密度较大区域中的较大欠密度是罕见的，因此嵌入较大过密度区域的此类区域更为罕见。由于在σ≪（δc（c）+ |δv（v）|)，δ的值c（c）无关紧要。因此，大孔隙的分布几乎完全由δ决定v（v）。我们将很快回到这里。
7
孔隙质量/尺寸的比例分布：包围大质量的孔隙具有较大的ν值。曲线显示方程式（1）带有δv（v）=−2.81和δ的两种选择c（c）如标记的。这些选择是由球形坍塌模型驱动的，导致分布在特征值附近达到峰值。完全忽略云中空隙过程相当于设置δc（c）→∞。尽管δ减小c（c）/|δv（v）|减小小空隙的丰度，包围大部分质量的空隙丰度对δ值不敏感c（c）.
数字密度n个(米)包含质量的空隙米通过插入表达式获得(1)在关系中为了说明我们的双势垒模型对空隙尺寸的含义，我们必须将上述空隙质量分数的表达式转换为空隙尺寸分布。最简单的近似值是由球形顶帽空隙模型驱动的，用于设置移动体积v（v）空隙率等于因为所有时间依赖性都是通过ν=δ进入的2v（v）(z)/σ2(米)孔隙尺寸的分布具有自相似性。变量的简单变化将空隙体积或质量函数与障碍物穿越分布相关：（f）(v（v）)d日v（v）=（f）(米)d日米=（f）（ν） dν。 作为我们模型含义的具体说明，图8显示了初始功率谱为P（P）(k个) ∝k个n个具有n个=−1.5，归一化，使半径统一的顶帽球体中的均方根波动为σ8=0.9z= 0. 左上方面板显示了半径空隙中的质量分数第页，左下方的面板显示了此类空隙的数量密度。每个面板中的三条曲线显示方程式（4）带有δc（c）=1.06、1.686和∞，我们设置了δv（v）在所有情况下=−2.81。请注意，随着比率δ的增加，小孔隙的丰度急剧减少c（c）/|δv（v）|减少。相比之下，大规模孔隙的丰度在很大程度上对该比率不敏感（另见图7).
8
孔隙半径分布预测公式方程式（4），在爱因斯坦-德西特模型中P（P）(k个) ∝k个−1.5，归一化为σ8=0.9z= 0. 左上方面板显示半径空隙中的质量分数第页。左下面板显示半径空隙的数量密度第页请注意，如果考虑到云中空隙过程，空隙尺寸分布在特征尺寸附近达到峰值。右上角面板显示了空隙体积分数的累积分布。顶部面板和左下方面板中的虚线和实线显示了文本中讨论的云中空隙过程重要性的两种自然选择：δc（c）=1.06和1.686，带δv（v）=−2.81. 虚线曲线显示忽略空心云整个过程。很明显，小孔隙的数量随着δ的比值而减少c（c）/|δv（v）|减少。右下面板显示了累积孔隙体积分数分布的演变。此面板中的三条曲线用于δc（c）= 1.686(1 +z)，其中z=0（实线）、0.5（虚线）和1（虚线。
我们可以通过计算ν粗略估计峰值的规模，其中方程式（4）最大化。这需要立方的解，并给出ν最大值减少为
减少。对于以下范围
有趣的是，它通常接近于统一：ν最大值≈ 1. 因此，为了估计典型的孔隙尺寸，我们将简单地使用σ～|δ的近似值v（v）|.
对于由斜率幂律近似的功率谱n个，初始移动大小R（右）我被识别为空洞的区域的带σ8表示8刻度上的均方根波动小时−1Mpc（目前受欢迎的∧CDM模型具有σ8≈ 0.9). 这意味着最终尺寸第页v（v）空隙的大小是通过设置n个=−1.5. 在这种情况下，典型的孔隙半径为～3小时−1Mpc公司。由于相关长度为8阶小时−1Mpc，这使得典型孔隙直径的相关长度达到了一个数量级。 的右上面板图8显示了δ的三种选择的体积分数的累积分布c（c）在所有三种情况下，半径大于5的空隙小时−1约占总量的60%。这表明，对于足够大的空隙空心云过程并不重要。很容易看出原因：一个典型的集群形成于一个具有共同移动半径的区域R（右）我～8（σ8/δc（c）)2/(3+n个)∼ 3.5小时−1Mpc公司。由于很少有塌陷区域比这个更大，最初大于这个值的空洞极不可能被挤出。
最后，我们对该模型中孔隙体积分数的演变进行了估算。自σ8(z)=σ8/(1 +z)，在较高的红移下，空洞的典型移动尺寸预计会更小，系数为（1+z)−2/(3+n个)下图显示了红移零点、二分之一和一（实线、虚线和虚线）时的累积分布，其中我们已经近似了δc（c）(z) = 1.686(1 +z)和δv（v）(z) =−2.81(1 +z).
5.1替代模型
更好地理解双障碍偏移装置模型，探索替代描述是有指导意义的。本节讨论了两个模型，这两个模型是将当前的空隙与初始波动场中的足够欠密波谷联系起来的。
5.1.1基本水槽模型
空洞分布的最直接模型是假设空洞与初始密度场中的极小值相关。空洞数密度的最简单近似值来自于用尺度滤波器平滑初始密度波动场R（右），然后计算深度δ的最小值v（v）在平滑的字段中。如果假设所有初始极小值都存在到现在，那么极小值的数量密度就给出了空洞的数量密度。BBKS表明，深度最小值的密度在高斯随机场中其中光谱参数R（右）*和γ取决于初始密度涨落场功率谱的形状，其定义见附录B，以及函数的积分表达式G公司(γ, γν1/2). （严格来说，BBKS考虑的是密度最大值而不是最小值。然而，高斯涨落围绕平均值对称，因此相同绝对高度的峰和谷的密度是相同的。） 注意，在这个模型中，原始宇宙中密度最小值的丰度取决于最小值的深度。如果我们定义并利用高斯滤波器下的质量为然后我们有一个量，可以解释为深度ν最小值的质量分数。不幸的是，与空隙尺寸的分布相比，这是一个相当尴尬的数量，因为在这幅图中，所有空隙都包含相同的质量米无论其高度ν如何（因为平滑半径R（右）所有空隙都是相同的）。 然而，直觉上人们会认为，较深的原始极小值应该与含有更多质量的空洞相一致，而上述表达式并没有自动完成这一点。下一小节中讨论的模型试图解释孔隙质量和深度之间的相关性。
5.1.2自适应波谷模型
相反，如果我们用一系列过滤器尺寸平滑初始密度场R（右），并识别具有最小深度δ的空隙v（v）/σ0(米)那么，因为σ0减少为R（右）∝米1/3增加，我们有一个模型，其中包含更多质量的空隙与更深的最小值相关联。Appel&Jones（1990）显示更改的平滑比例如何修改方程式（11）.通过替换BBKS公式（我们的方程式11)由给出的Appel&Jones（1990）是我们在其中设置了
，高斯平滑滤波器的质量和滤波器半径之间的关系，γ定义为方程式（B7）、和哪里（f）(x个)在中给出方程式（B10）.在较大ν时（即对于深极小值），H（H）≈γν1/2G公司，其中G公司定义于附录B1，因此此表达式与方程式（11）在较小的ν处，这两种表达有显著差异。如果密度波动的初始谱是幂律，P（P）(k个) ∝k个n个，然后方程式（13）对于空隙质量函数其中我们使用了一个事实，对于高斯滤波器，γ2==========================================================================================(n个+ 3)/(n个+5）和(R（右）/R（右）*)2==========================================================================================(n个+ 5)/6. 与偏移集近似的比较(方程式4)表明这两个估计都包含该项
负责大尺寸的指数截止。然而，附加修正系数差异很大。例如，与偏移集公式相反，原始波谷模型中的校正因子明确取决于初始功率谱的形状。 尽管孔隙尺寸的分布与方程（13）与偏移集公式一样，它在大尺寸时以指数形式截断，在小尺寸时发散：由于该峰值模型忽略了类空穴和云空穴过程，因此向小空穴尺寸方向的偏离可能被严重高估。然而，大规模截止可能是准确的，甚至可能比偏移集近似更准确（见下文）。 为了进行比较图9显示与这些原始波谷模型相关的两个预测：方程式（11）和(13)这些预测取决于初始功率谱的形状，以及图9我们假设P（P）(k个) ∝k个−1.5峰值/波谷公式的小尺度散度与偏移集分布的小尺度截止值之间的对比是明显的。请注意，与偏移集模型相比，峰值/波谷模型可以系统地预测更大的空隙。其原因与偏移集模型不包含像方程式（8）属于Appel&Jones（1990）因此，总体而言，基于峰值的模型可能更准确。
9
孔隙质量/尺寸的比例分布(方程式1)：含有大质量的空隙具有较大的ν值。忽略空心云过程完全产生最上面的曲线。球形演化模型表明δc（c）≈ |δv（v）|/2; 在这种情况下，空隙分布在特征值附近相当好。延伸至较小ν值的上下虚线表示从(11)和(13)峰值模型。这些预测取决于初始功率谱的形状：曲线假设P（P）(k个) ∝k个−1.5.
5.2空隙分布和空间模式
我们对偏移集形式主义的扩展提供了一个有用的框架，在这个框架中，我们可以理解在任何层次结构形成场景中空间的过密区域和欠密区域之间的二分法。
由于空洞占据了大部分体积，我们的漂移分析预测的峰值空洞分布对宇宙物质分布中的预期空间模式具有重要意义。由于大多数空洞的大小与特征空洞的大小相似，我们的发现表明，宇宙物质的分布将类似于具有相似尺寸和超膨胀率的球形孔隙的泡沫填充不同作者已经认识到这种物质分布的动力学起源，特别是在基于Zel'dovich近似外推的分析背景下（参见Shandarin&Zel'dovih 1989年)及其扩展，粘附近似(Kofman，Pogosyan&Shandarin 1990年). 空隙在后者中的作用确实被Sahni、Sathyaprakash和Shandarin（1994）这些研究激发了宇宙网或宇宙骨架（参见示例。van de Weygaert 1991年;Bond&Myers 1996年;诺维科夫，科伦比&多雷2003). 这种模式自然适用于低通功率谱的宇宙学场景，其特点是具有明显的光谱截止，因为它们意味着固有的主导空间尺度的印记。这个四模式偏移形式主义证明并解释了为什么这种模式的存在是更广泛的高斯结构形成模型的自然结果。
作为一个有趣的思维实验，假设我们将我们的发现推断到一个最终和渐进的极端：如果我们通过以特征孔隙大小为中心的“尖峰”分布来近似“峰值”孔隙分布会怎么样？在这种情况下，宇宙物质分布将由大小相等，球形空隙，所有膨胀速度相同，类似于Icke（1984）在这种理想化中，壁和细丝将精确地位于膨胀空洞之间的中间平面，由此产生的物质分布骨架将恰好是Voronoi细分(沃罗诺伊1908;Okabe等人，2000年以及其中的参考文献）。我们的结果似乎解释了这样一个事实，即基于使用镶嵌作为星系分布的空间模板的启发式模型可以成功地再现各种星系团簇特性(van de Weygaert&Icke 1989年;van de Weygaert 1991年;Goldwirth，Da Costa&van de Weygaert 1995年).
6无效等级
上一节推导的空穴分布函数使我们能够更详细地研究宇宙物质分布中空穴主导模式的形成和发展过程。我们已经讨论过诸如空隙填充系数和质量分数在空隙中。然而，偏移集分析为详细评估世俗的对某一特定虚空的依赖，对其“祖先”遗产的依赖，以及对其空间的对环境因素的依赖。下面的小节涉及到这些空洞进化的要素中的一些。
6.1空隙质量和体积分数
我们已经论证过，在爱因斯坦-德西特的宇宙中，空洞中的质量分数不会演化：大约三分之一的质量位于空洞中(方程式3)这些空隙填满了空间。这个结论并不强烈依赖于宇宙学模型。因为坍塌屏障δv（v）(一)随着时间的推移，典型的移动空洞半径在后期变大。因此，典型空隙中包含的质量在后期较大。另一方面，总质量分数没有演变，由此我们推断，早期存在的小质量空洞必须相互合并，以形成后期存在的更大质量空洞。
6.2无效祖先
目前，包含在空隙中的质量先前被许多较小的空隙隔开，每个空隙都由各自的墙壁隔开。这种分布的估计方法与邦德等人（1991）和莱西和科尔（1993）估计集群的增长。
考虑一个空洞五0包含质量的M（M）一次一0当球形坍塌转折和空壳交叉的临界密度为δ时c0（c0）和δv0版本分别是。在更早的时代一1，临界密度为δc1级> δc0（c0）和|δ第1版| > |δv0版本|. 的分数M（M）之前是在含有质量的空隙中米在更早的时候一1通过插入给出在里面方程式（1）将此整合到所有可能的祖先空洞（即整合到所有0<米≤M（M）)，得出的质量分数为M（M）这在早期也是空白的：请注意，该表达式与下式给出的空隙中的通用质量分数有多相似方程式（3）特别注意，这个分数小于一。这反映了这样一个事实，即在早期，一些质量目前与真空有关五0不属于祖传的空隙。相反，其物质含量的这一部分位于分隔的壁（和细丝）中五0进入许多较小的组成空隙。在爱因斯坦-德西特的宇宙中所以早期处于空隙中的空隙物质的质量分数也是哪里
是虚空和云参数。因此，在z1≈z0，这个分数接近于一，而对于大回溯时间z1≫z0它倾向于
，等于总空隙质量分数(方程式3). 换句话说，现在出现的巨大空洞可以追溯到早期近似平均的宇宙体积。 上面的转换允许我们写下偏移集预测，即较小空洞合并为较大空洞的速率。这个计算与估算坍塌晕合并率时使用的计算类似，我们将把它留到以后的工作中去。换句话说，我们可以重建空洞的祖先无效合并树尽管这项工作会因早产死亡率高而变得复杂。
6.3环境依赖性
假设我们评估在具有大小单元格的网格上平滑的密度场R（右）。平滑后的密度将在各个单元之间波动。在偏移集方法中，我们发现密度较大的细胞中存在空隙(1)较小，(2)尺寸分布较窄，并且(3)说明了它们所居住的细胞中总质量的一小部分。本小节量化了这些“空隙偏差”的趋势。
考虑一个大小为的单元格五其中密度为
; 即该电池含有质量
在球形演化模型中，初始密度和最终密度是相关的：（参见。方程式A34). 注意δ0符号与δ相同；初始密集区域变得更密集，而欠密集区域的共聚密度随着时间的推移而降低。 在本文研究的空隙模型中，体积单元中的空隙五其中超密度为δ，由开始的随机游动来描述，而不是从原点开始[S公司= 0, δ0=0]，但从位置[S公司(M（M）), δ0(δ)]. 因此总质量的分数
那是在质量的空隙中米通过设置给出在里面方程式（1）.将所得分布积分到0≤米≤M（M）产生体积区域内的质量分数五其中密度为δ，包含在空隙中：这表明质量分数（f）无效（δ） 随着电池密度δ的增加而减小。相反，当δ→−0.8时，我们将密度与空隙关联，然后是δ0(δ) →δv（v）等等（f）无效（δ） →按预期为1。[在这种极端情况下，拟合公式(20)有点不准确，因为它设置了δ0（−0.8）=−2.7，而不是−2.81。]因此，我们的分析可以量化一个直观明显的事实：致密区域在空隙中的质量比例较小。 此外，典型孔隙尺寸的比例为其中空隙尺寸R（右）(米)减少为S公司(米)增加。自|δv（v）-δ0（δ） |随着δ的增加而增加，在密度较低的区域，典型的孔隙尺寸较大。此外，孔隙尺寸分布中峰值的锐度取决于δc（c）/|δv（v）|（参见。图9)：随着空心云拆除变得更加重要。中的转换方程式（21）也就是说，在致密区域（δ>0），空隙更容易被坍塌的云层破坏，空隙尺寸的分布预计会更窄。 6.4空间聚类
这里开发的模型还允许我们按照中概述的方法建立暗物质相关函数演化的近似模型内曼和斯科特（1952）和Scherrer&Bertschinger（1991）（最近审核人Cooray&Sheth 2002年). 计算需要估计(1)分布孔隙尺寸，(2)大尺度上空洞中心的聚集，以及(3)密度在空隙中运行。前几节推导了这三个量中第一个量的估算值。
第二个是空洞中心的聚集，可以估计如下。写出含有质量的空隙的两点相关函数米1和米2作为其中ξ糖尿病是暗物质的相关函数，以及偏置因子b条(米)取决于空隙的质量或尺寸。继科尔和凯撒（1989）之后，Mo&White（1996）和Sheth&Tormen（1999），物体数量密度的知识足以估计其空间分布，至少在大尺度上是如此。因此，b条(米)取决于对n个v（v）(米)我们使用。如果我们使用方程式（13）从峰值模型，那么哪里使用我们对偏移集预测的近似(方程式4)相反，给予在这两种情况下，最大空隙比平均尺寸的空隙更密集。孔隙分布的高阶矩可以用类似的方法进行估算莫静和怀特（1997）估计簇的高阶矩。 如果我们假设所有质量都包含在空穴壁中，那么我们可以近似地将围绕空穴中心的密度作为均匀密度壳。图3和5在里面Dubinski等人（1993年）表明这是一个合理的近似值。指定与空心关联的质量以及壳厚度可以设置壳内的密度。因此，我们具备了对暗物质分布的功率谱（或相关函数）建模所需的所有三个要素。
关联函数的这种基于空隙率的模型与通常的基于卤素的模型有一个重要的区别。也就是说，在光晕模型中，光晕被视为不重叠的硬球体；这导致了小范围的排斥效应。由于典型坍塌晕的半径小于百万帕斯卡，因此排除的影响预计并不重要。另一方面，在基于空隙的模型中，典型的空隙半径为几兆帕；由于空洞不重叠，排斥效应可能在几兆帕级的尺度上起作用。我们将对所有这一切进行更广泛的分析，留待以后的工作。
7总结和解释
最初，欠密区域的扩张速度比哈勃流快。如果它们没有嵌入过密区域，这些区域最终会形成由致密空心墙包围的空洞。这些空洞相对于背景宇宙膨胀，在膨胀过程中趋向于越来越球形(图2). 向外膨胀是不同的，因此大多数初始孔隙结构倾向于演变为不同的“顶帽”密度剖面(图3). 一段时间以来，对最初球形顶帽上下密区域的演变进行了描述(附录A). 尽管球形演化模型允许人们研究单个孤立物体的演化，但更完整的理论还必须在一般随机密度波动场的背景下描述空洞演化。
演变的空隙层次由两个过程决定：
相反，过度密度的演变只受云中云过程；这个云状物这个过程就不那么重要了，因为在大范围空洞中凝聚的云层不会在其母空洞周围膨胀时被撕裂。
周围环境如何影响光晕和空洞形成之间的这种不对称性可以纳入偏移集方法使用一个屏障模拟光晕形成，使用第二个屏障模拟空洞形成(图6). 只有第一道屏障对晕的形成起作用，但这两道屏障在确定预期的空洞丰度方面都起着作用。由此产生的孔隙尺寸分布是两个参数的函数(方程式1)模型将其与膨胀和崩塌动力学相关联。预测的空隙分布在特征尺寸附近达到峰值(图7和8)–相反，晕质量的分布则不是。两参数族孔隙分布曲线的比较(图9)分层聚类数值模拟中的空隙尺寸分布是正在进行的工作的主题（Colberg等人，正在准备中）。
关于空洞布居特性的五个主要观察结果来自于双屏障偏移集模型：
这个空心云机制(图4)导致大量小空洞的消亡。因此，空隙尺寸分布具有小范围截止：空隙人口是小空隙的“空隙”(第5节)，以我们的偏移集分析量化的方式。
大空隙的数量对这种影响不敏感(图7). 因此，大于团簇典型初始移动尺寸的空隙丰度应通过峰值理论或其在第5.1节.
在任何宇宙纪元都有一个特征孔隙尺寸这随着时间的推移而增加：后期出现的较大空洞是由早期形成的较小空洞合并而成的（例如图2和第6节).
在任何给定的时间，空隙中的质量分数约为宇宙质量的30%，空隙大致填满了空间(第6节).
由于大多数空洞的大小将与特征空洞大小相似，宇宙物质分布类似于近似相似尺寸和过度膨胀率的球形孔隙的泡沫状填充这可能解释了为什么基于Voronoi细分的简单模型在N个-层次聚类的人体模拟。
7.1空隙中的星系
有理由认为，大多数观测注意力都集中在宇宙中大部分物质积累的区域。几乎从定义上来说，它们是大多数观察性研究的地点，也是外观最突出的地点。然而，为了理解宇宙中巨大的连贯泡沫状图案的形成，很有必要关注欠发达地区的互补演化。这些是观测到的空洞的前身，这些空洞是大规模宇宙星系分布中几乎没有发光物质的广大区域。
当广泛的系统红移调查开始绘制星系空间分布图时，空洞是最引人注目的特征之一。从那时起，在广泛的星系红移调查中，空洞作为宇宙星系分布的关键成分的作用被反复证明（参见考夫曼和费尔尔1991;El Ad、Piran和da Costa，1996年;El-Ad&Piran 1997年;Hoyle&Vogeley 2002年;Plionis&Basilakos 2002年;Rojas等人，2003年). 许多研究还表明，观察到的空隙具有明显的层次特征。范德韦加特（1991）暗示存在空层次结构当指出CfA/SRSS2红移调查中的星系分布时(Geller&Huchra 1989年;达科斯塔1993)给人的印象是，在由“长城”分隔的不太明显的大型欠密区域中嵌入了小规模空洞。即使在其同类中最典型的标本——波茨空洞中，也发现了微弱结构的内部星系分布的痕迹(Szomoru等人，1996年).
空洞的动力学影响已被证明对理解局部宇宙中的宇宙流动模式至关重要。测量到的奇特星系速度意味着局部宇宙密度场的重建，其中空洞的排斥作用很重要（例如。Bertschinger等人，1990年;施特劳斯和威利克1995;Dekel&Rees 1994年). 更局部地说，真空对宇宙流的影响是在Bothun等人（1992）研究了CfA红移样品中最大空洞周围墙壁上的银河系特有运动(De Lapparent，Geller&Huchra 1986年).
在所有这些方面，星系分布中的空洞与暗物质分布中的类似。然而，尽管星系分布中的空洞大多是相当圆的形状，但它们的典型尺寸在20-50之间小时−1Mpc（例如。Hoyle&Vogeley 2002年;Plionis&Basilakos 2002年;Arbabi-Bidgoli&Müller 2002年). 这些尺寸大大超过了我们的暗物质分布空洞模型中的典型空洞直径，但请注意，星系分布中的典型孔洞尺寸取决于用来定义空洞的星系。与稀有发光星系相关的空洞较大，部分原因是这些星系的数量密度较低。正如我们在下文中所描述的，我们的偏移集分析为建模这种依赖性提供了一个框架。
近年来，空星系是一个系统上不同的星系群的可能性受到了相当大的关注（参见。Szomoru等人，1996年;El-Ad等人，2000年;Peebles 2001年;Mathis&White 2002年;Rojas等人，2003年;Benson等人，2003年). 在偏置星系形成的最简单模型中（例如。Little&Weinberg 1994年)人们可能会发现空洞中充满了低光度星系或其他一些不寻常性质的星系（例如。Hoffman，Silk&Wyse 1992年). 事实上，尽管各种研究都是为了确定星系中空洞的性质（例如。考夫曼和费尔尔1991;El-Ad&Piran 1997年;El Ad等人，2000年;Hoyle&Vogeley 2002年;Arbabi-Bidgoli&Müller 2002年;Plionis&Basilakos 2002年)，一些人明确关注空洞内星系的身份（例如。Szomoru等人，1996年;El-Ad等人，2000年;Rojas等人，2003年)，关于空星系与其周围环境之间关系的清晰图像才刚刚出现。这在很大程度上是由于大规模调查，如SDSS（Abazajian等人，2003年）和2dFGRS(Colless等人，2003年)现在探测一个足够大的宇宙体积，它包含了统计上显著数量的大空洞。
最近，Mathis&White（2002）和Benson等人（2003）在半分析星系形成模型中识别和研究了空洞和空洞星系。在这些模型中，星系的属性由它们所在的光晕决定。因此，如果可以对与空洞相关的光晕种群进行建模，那么就可以建立一个空洞星系种群的模型。这里开发的偏移集模型使用的语言与模拟中使用的语言相同，因此它代表了尝试这种模型的理想框架。
特别是，考虑云状物流程如第二行所示图6请注意，云存在于空隙中的条件意味着，平均而言，空隙中的云质量将低于平均密度区域中的云（要表示云，云层必须达到δc（c）平均而言，到达δ需要更多的步骤c（c）来自δv（v）而不是从零开始–更多的步骤意味着更小的质量）。出于类似的原因，与质量更大的光晕相关的云平均质量应该更大[这也由以下方面进行了更全面的讨论Mo&White（1996）,Sheth&Tormen（2002）和Gottlöber等人（2003年）]. 虽然我们把云说成是在空洞中，但我们讨论的是空洞是如何将其质量清空到围绕它们的山脊中的（参见。图3)这表明，将这些云与空心墙联系起来可能更合适。似乎很自然地将空星系与这样的空云中的云联系在一起。如果低质量晕是低质量星系的宿主，而质量较小的星系往往亮度较低、颜色较蓝，那么空星系应该比场星系或星系团星系更暗、颜色更蓝；我们的模型可以量化这种趋势。因此，与最近讨论的模型相比，本文给出的结果为星系分布中的空洞和空洞中的星系种群提供了更精细的模型Friedmann和Piran（2001）开发这样一个模型是正在进行的工作的主题。
致谢
我们感谢Jörg Colberg、Bernard Jones和Paul Schechter鼓励讨论和提出建议，并感谢A.Babul就空洞坍塌问题进行了有益的对话。这项工作得到了美国能源部和美国宇航局在费米实验室的NAG 5-10842拨款的部分支持。
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附录
附录A：球形顶帽模型
A1背景
分析上易于驾驭的理想化有助于理解虚空进化的各个方面。在这方面球面模型代表了我们可以用来评估更复杂配置演变的关键参考模型。此外，它还为主要测试中列出的各种孔隙特征提供了最清晰的解释。在这项工作的背景下，最重要的是，它为我们发展层次空洞演化的形式主义提供了基础。
球形孔洞或尖峰的结构可以用质量壳来处理。在“球形模型”中，同心壳保持同心，并假设其完全均匀，无任何子结构。假设壳层在最终奇异点之前永远不会交叉，这一条件的有效性由初始密度分布决定。只要不发生壳体交叉，每个壳体运动方程的最终解可能涵盖摄动的全部非线性演化。
球面模型在宇宙学背景下的处理已经完全解决(Gunn&Gott 1972年;Lilje和Lahav 1991年). 只要质量壳层不交叉，它们就表现为迷你弗里德曼宇宙，其运动方程与修正值为Ω的等效FRW宇宙的形式完全相同秒壳体内部质量分布的细节与每个壳体的演变没有直接关系。相反，进化取决于壳半径内的总质量和全球宇宙背景密度。
尽管定量细节取决于宇宙学模型，但对爱因斯坦-德西特宇宙中球面扰动演化的研究足以说明所有重要的物理特征。
A2定义
当质量壳在某个初始时间t吨我从物理半径开始扩展第页我=一(t吨我)x个我，其后续运动的特征是膨胀系数
外壳：哪里第页(t吨,第页我) =一(t吨)x个(t吨,x个我)是壳体在时间点的物理半径t吨和x个(t吨,x个我)是相应的移动半径。壳层的演化是由宇宙密度参数决定的和壳体半径内的平均密度对比度，为了确定R（右）(t吨,第页我)，便于引入参数Δci公司=Δc（c）(t吨我)和α我哪里这里，Ω我=Ω(t吨我),H（H）我=H（H）(t吨我)和v（v）我是质量壳的物理速度（即相对于空穴中心的特殊速度和哈勃膨胀速度之和）t吨=t吨我.增长模式扰动的通常假设意味着速度扰动v（v）佩克，我对于球形扰动，在初始时间t吨我，是因此实际上，Δci公司是宇宙时间壳层相对于临界宇宙（Ω=1）的密度对比t吨我，而α我是对壳体相应的特殊速度（或者更确切地说，动能）的测量。球面过密或欠密的演变是完全地和唯一地由（初始）半径内的初始（有效）超密度或欠密度确定第页我壳体的Δci公司(第页我,t吨我)，以及相应的速度扰动，v（v）佩克，我因此，Δ的值ci公司和α我确定外壳是否会停止膨胀，即它是关闭的、临界的还是打开的。标准为Δci公司> α我对于封闭壳体，Δci公司=α我对于临界壳体，以及Δci公司< α我用于打开的壳。 注意，这些表达式假设初始密度波动可以忽略不计，因此初始质量米和初始移动大小R（右）相关：米∝R（右）三.
A3壳牌解决方案
膨胀系数的解决方案
超密（分别为欠密）壳的参数化表达式其中发展角度θ第页参数化与质量壳有关的所有物理量，与时间有关t吨通过而对于临界壳，解由直接关系给出请注意，超稠密区域和欠稠密区域演化的解决方案本质上是相同的，通过替换可以互换 A4密度演变
如果壳体的初始密度对比度为Δ我(第页我)，其密度对比度Δ(第页,t吨)在随后的任何时间t吨由提供带Δ(第页,t吨)作为相对量，比较质量壳在半径处的密度第页时间t吨与全球宇宙背景相一致。Δ的值(第页,t吨)是壳体展开角θ的函数第页以及宇宙发展的角度u个,壳体的密度对比度可通过以下公式获得哪里（f）（Θ）是宇宙“密度”函数：该表达式对壳体同样有效（在这种情况下，“open”表示Δci公司< α我)以及全球背景宇宙（其中“open”表示Ω<1）。 A5壳体速度
球壳的膨胀或收缩速度通过计算得出
，所以可以用θ表示第页和θu个特别是壳层相对于全球哈勃速度的特殊速度，可以从表达式中推断哪里
宇宙“速度”函数是因此，我们可以定义一个哈勃参数H（H）秒对于每个单独的外壳， A6超密度和坍塌Ω=1
前面的章节提供了无宇宙学常数的FRW背景下球面扰动演化的显式表达式。为了更好地说明我们的论点，我们现在将专门讨论爱因斯坦-德西特模型的情况。将球面演化与线性理论预测的球面演化进行对比将证明是有用的。我们将使用D类(z)表示线性密度扰动增长因子，标准化以便D类(z= 0) = 1. 对于爱因斯坦-德西特的宇宙，D类(z) = 1/(1 +z). 请注意，这使得D类∝ (t吨/t吨0)2/3类似地，线性理论中的速度增长由下式给出哪里（f）(Ω) ≈Ω0.6(皮伯斯1980). 验证球形演化模型在其早期阶段（即小的发展角度）确实再现了线性理论，这是一项有用的工作。 考虑一个最初超密（或者更确切地说，束缚）壳的演化。这样一个壳最初的膨胀速度会比背景稍慢，这种膨胀速度会逐渐减慢到完全停止，然后它会转过身来开始收缩。在周转时，v（v）(第页,t吨)=0，所以θ第页=π，密度为因此，在转向时共移动半径球面摄动的系数缩小了（3π/4）2/3与最初相比，为1.771。如果扰动是根据线性理论演变的，那么当线性理论预测Δ林，达到δ值助教:完全折叠与θ相关第页=2π。此时，线性外推的初始过密度达到阈值δc（c）,这使得确定坍缩红移变得简单z科勒直接从给定的初始密度场计算每个边界扰动。就目前线性外推的原始场而言，Δ林，0，崩塌红移z科勒可以直接从所以从形式上讲，坍塌时的移动半径非常小[
]. 实际上，坍缩物体中的物质将虚拟化，因为壳中物质之间的相互作用将在壳之间交换能量，最终将找到平衡分布。因此，通常假设塌陷球形物体的最终尺寸是有限的，并且等于其维里半径。为了完美大礼帽密度，对象的最终大小R（右）翅片则≈5.622倍于最初（Gunn&Gott 1973），即。哪里
. A7欠密度和壳体交叉Ω=1
欠密球形区域的演化与超密区域不同。向外的特殊加速度与积分密度亏损Δ成正比(第页,t吨)空虚的。在一般情况下，内壳比外壳“感觉”到更强的缺陷，因此向外加速更强。
再次，为了更好地说明我们的论点，我们现在将专门讨论爱因斯坦-德西特模型。密度赤字演变为相比之下，相应的线性初始密度赤字Δ林(z)是空隙膨胀到周围的（特殊）速度是 由于空隙内部和周围的差异向外膨胀，以及伴随而来的膨胀率随半径的减小第页，壳开始在空隙边界附近堆积。密度赤字|Δ(第页)|空隙率随半径减小第页，在中间降到最低。最初靠近中心的炮弹最终会赶上外面的炮弹，直到它们最终通过。这标志着炮弹穿越密度的相应逐渐增加将变成一个无限密集的山脊。从这一刻起，空洞的演变可以用自相似的向外移动的外壳来描述(佐藤、佐藤和佐藤1984;Fillmore&Goldreich 1984年;贝辛格1985). 严格地说，这只发生在密度分布足够陡峭的孔隙中，因为必须产生足够强的壳差加速度。这一条件在顶帽空隙边缘附近的阶跃函数密度剖面上得到满足。
对于爱因斯坦-德西特宇宙中的顶帽状空洞，最初位于空洞边缘外的壳以精确确定的质量壳发展角θ的值穿过壳交叉阶段第页=Θ供应链,在此壳交叉阶段，空隙内的平均密度为乘以宇宙背景密度。这意味着壳体膨胀了一倍（0.1982）−1/3≈ 1.7151. 相比之下，在穿壳时使用线性理论估计的欠密度为就原始密度场而言，壳交叉红移z供应链具有（线性外推）密度缺陷Δ的空洞林，0因此可以直接预测。对于爱因斯坦-德西特的宇宙来说在壳体交叉处，空隙具有精确确定的哈勃膨胀率：具有H（H）u个=H（H）u个(t吨供应链)全球哈勃膨胀系数t吨供应链. 对于球形欠压，壳体交叉的瞬间标志着动态相变。这与等效过密度达到的完全坍塌阶段一样重要。此外，与超密度崩溃一样，发生这种情况的时间尺度与扰动的初始密度密切相关。壳体交叉瞬间由整体密度参数Ω决定我，初始密度赤字Δ我以及密度分布的陡峭度。反过来，初始空隙配置和空隙之间的联系贝壳杂交过渡期为基于原始密度场预测宇宙空洞种群的非线性演化铺平了道路。
A8一个有用的近似值
值得强调的是，本质上，球形演化模型(方程式A13)提供了密度对比度Δ与t吨其初始值Δ我到目前为止，我们已经导出了特殊情况下的解析表达式第页=π和θ第页=2π（在超密度的情况下），以及θ第页=Θ供应链针对弱势群体。球面演化关系的一个方便拟合公式，适用于整个θ范围第页，是（例如。Mo&White 1996年)，式中Δ林表示使用线性理论外推到时间的初始密度对比度值t吨注意Δ林符号与Δ相同；初始稠密区域变得更稠密，而欠稠密区域的伴随密度随时间而降低。（图22和23van de Weygaert&van Kampen 1993年表明更通用的孔隙结构似乎也满足线性外推和物理、非线性密度赤字之间的类似一般关系。） 此外，注意拟合允许Δ林小于-1。尽管这似乎是非物理的，但请注意Δ林表示密度对比度值线性的理论。如果我们认为球形演化模型提供了线性理论精确范围以外的密度对比度描述，那么密度对比度的适当表达式是Δ，而不是Δ林上述拟合公式清楚地表明，当|Δ|≪1时，则Δ≈Δ林Δ→∞为Δ林→δc（c）Δ≥−1。
或者，考虑球形顶帽密度扰动内流体元素密度演化的拉格朗日处理。如果没有剪切项，那么将连续性方程与Raychaudhury方程结合起来会得到其中所有导数都是关于共形时间dτ=dt吨/一（例如。Bertschinger&Jain 1994年). 对于超密度，右侧的第二项导致重力崩塌的加速增长特征。同样的术语控制着负密度扰动的增长，限制Δ≥−1。 A9跨越壳体
几乎所有早期的空穴演化研究都集中在均匀背景下对称空穴的解析可处理构型上，无论有无补偿脊。这是允许的霍夫曼和沙哈姆（1982）我们认为空洞确实应该被视为无耗散集群场景的自然结果，它是从原始密度场中的深度欠密区域演化而来的。随后进行了各种类似的数值研究(Peebles 1982年;Hoffman，Salpeter&Wasserman 1983年;豪斯曼、奥尔森和罗斯1983). 对球形孔隙演化的最广泛和系统的研究贝辛格（1983）;贝辛格（1985）对于爱因斯坦-德西特宇宙中的空洞，得出的结论是，在大多数可行的情况下，空洞会形成致密的周围壳层。在这些空隙边界处的壳体交叉后，空隙将进入非线性演化阶段，其特征是自相似向外膨胀（另请参见Suto等人，1984年;Fillmore&Goldreich 1984年). 基于此，Blumenthal等人（1992年）试图将导出的空洞特征与观测到的星系分布联系起来。Dubinski等人（1993年）（另请参见van de Weygaert&van Kampen 1993年)结果表明，当完成这项工作时，球形top-hat模型在其数值模拟中很好地描述了孔隙的形成和演化。球形模型同样成功地描述了具有更通用密度分布的球形孔隙的演化，并可用于证明它们通常会快速演化为顶帽结构（参见图3). 因此，基于球形演化模型（我们将在正文中遵循的策略）的空洞演化描述是完全合理的。
A10超出球形模型
我们集中讨论了球面扰动的演化。然而，高斯随机场中的一般峰值是三轴的（BBKS），因此值得花点时间讨论椭球扰动的演化。结果表明，随着欠密椭球体的膨胀，球面模型变得越来越接近。
密度极小值附近引力势的简单近似是一个二阶格式，它通过均匀密度的椭球近似密度场。The evolution of低的-因此，可以通过运动方程近似计算密度区域均匀椭球因此，对空洞演化的描述类似于对超密度坍塌的等效描述(Icke 1972年,1973;白色和丝绸1979).邦德等人（1996）注意到，通过适当修改运动方程，可以引入外部（各向异性）影响（艾森斯坦和勒布1995).
在形成坍塌晕的过密区域中，随后的非线性演化往往会强烈放大这些初始偏离球形的现象(Lin，Mestel&Shu 1965年). 超密度坍塌通常以各向异性的方式进行，在沿所有方向的最终坍塌完成之前，通过逐渐变平和拉长的结构进行。理解这一趋势的关键是对应于非球形物体的各向异性力场。在密度过大的情况下，有效的重力被向内引导，这与其各向异性相结合，转化为沿最短轴的坍塌速率增加。在宇宙学背景下，这解释了巨帕斯卡尺度上丝状和片状结构的存在(Icke 1973年;白丝绸1979).
基于同样的论点，随着空洞的演变，它们变得越来越球形(Icke 1984年;贝辛格1985). 也就是说，指向外部的各向异性奇特力场将引起最强的沿最短轴，导致空隙扩展速度最快沿着那个方向。相反，沿最长轴的加速度越小，过度膨胀率越小。因此，弱势地区倾向于使初始非球面无效并发展成为越来越球形几何图形。此外，对于广泛的初始密度剖面，空洞将发展成为具有明显顶帽结构的对象。其原因与上面研究的球形欠压相同。事实上，从范德韦加特和范坎彭（1993）用于更一般情况下的空隙。均匀的内部密度伴随着均匀的速度发散。因此，一般的原始不足似乎演变成了“超级气泡膨胀气泡”(Icke 1984年;van de Weygaert&van Kampen 1993年).
当然，椭球模型有严重的局限性。它忽略了诸如下部结构的存在等重要方面。更严重的是，它忽视了任何外部影响，无论是二次流入、与周围物质的“碰撞”（邻近膨胀的空洞！），还是非局部潮汐场的作用。然而，有趣的是，在空隙的情况下，随着时间的推移，均匀椭球模型在不断增加的空间体积上变得更好。这已由确认N个-真实集群场景中空洞演化的身体模拟，显示了（原）空洞中心区域的物质分布如何随着膨胀和排水而变平（例如。范德韦加特和范坎彭（1993），图31）。基于球形模型（参见示例。图3)人们可能很容易理解这个通用的压扁密度分布及其向外膨胀因此，我们有椭球模型为空洞的球形性提供了论证，而球形模型则证明了为什么在空洞的情况下通常会遇到椭球模型适用性所需的条件。
附录B：随机场特征
当评估在特定空间尺度上过滤的密度扰动三维随机场的统计时R（右），光谱矩，发挥关键作用。在这里P（P）(k个)表示使用线性理论外推到现在的非光滑密度初始涨落场的功率谱，以及
表示过滤器的形状。例如，如果使用顶帽滤波器或高斯滤波器平滑密度场，则
是或分别是。这些过滤器的总体积为五真实航向= 4πR（右）三/3和五G公司= (2π)3/2R（右）三分别是。过滤器内的质量为
式中，δ代表超密度：正是这个量在不同位置上波动。如果密度波动到处都很小，那么过滤器内的质量到处都差不多：
. 在层次结构形成模型中，平均密度周围的初始波动确实很小。因此，质量和过滤秤之间的对应关系米∝R（右）三建议，如果人们希望建模（原型）质量物体米当初始密度起伏场在（移动的）空间尺度上平滑时，应该研究它R（右）∝米1/3，具体系数取决于滤波器的选择。
因此，我们可以根据波动场的空间尺度来分析它R（右），或质量刻度米为了进行说明，考虑幂律功率谱P（P）(k个),对于其中请注意，如果−3<n个≤1，则σ0(米)是的递减函数米对于其“广义”功率谱斜率的任何频谱，在−3范围内<n个(k个)≤1，即使它在整个光谱范围内不一定是常数。 数量σ0(米)量化质量尺度上密度波动的均方根振幅米它将在这项工作中占据显著地位。在分层场景中，σ0(米)是尺度的单调递减函数，因此它将用作表征密度波动“尺度”的“无量纲”参数。我们将经常使用S公司(米)或S公司米表示σ2(米).
评估标度峰值的数量密度米在初始高斯密度场中，必须通过谱参数考虑功率谱的形状R（右）*和γ，其中σ0, σ1和σ2取决于功率谱的形状，定义为方程式（B1）. B1简单峰值模型
高度（深度）δ的峰值（最小值）数密度第页在初始高斯密度起伏场中，用滤波尺度平滑R（右）和相应的质量标度
已由BBKS制定。他们表明，高度（深度）的峰值（最小值）密度在高斯随机场中使用光谱参数R（右）*和γ，单位为方程式（B7）对于幂律P（P）(k个),P（P）(k个) ∝k个n个，如果使用top-hat滤波器，其中一些积分会发散。因此，在不损失物理意义的情况下，最好使用高斯滤波器。功能G公司然后由给出其中函数（f）(x个)定义为 附录C：首次穿越和线性屏障
让（f）(x个)表示恒定高度单个障碍物的第一次交叉分布B类:这种分布的拉普拉斯变换是如果我们设置S公司等于σ20(米)由定义方程式（B1），然后是分布（f）(S公司, δc（c）)给出了偏移集方法对束缚在坍塌质量物体中的质量分数的近似值米(S公司) (Bond等人，1991年). 因此，如果n个(米)表示这种坍塌晕的数量密度，则哪里
是背景密度。在分层聚类的模型中，S公司随增加单调减少米如果初始波动谱是幂律，则δ2c（c）/S公司∝ (米/米*)(n个+3)/3带−3<n个≤ 1. 通过类比，每个包含质量的空隙中的质量分数米(S公司)由提供右侧的第一项是势垒δ的第一个交叉分布v（v）第二项从中减去穿过δ的轨迹子集c（c）在达到δ之前v（v）.自（f）(S公司, δv（v）∣秒, δc（c）) =（f）(S公司−秒, δc（c）−δv（v）)，拉普拉斯变换
是而实际分布是通过卷积关联的(方程式C4)拉普拉斯变换只是乘法：在这方面，拉普拉斯转换的行为类似于一个人关于在障碍物之间行走的独立性的直觉。通过对称性，将此插入方程式（C5）产量反转此拉普拉斯变换将产生方程式（1）在正文中。 请注意第一个等式表明所有随机游动都穿过δc（c），并被解释为表明所有质量都与引力束缚晕有关。相反，第二个等式表明，所有随机游动中只有一小部分穿过δv（v）没有先穿过δc（c）; 显然只有一小部分（f）无效=δc/(δc（c）−δv（v）)质量与空隙有关。 尽管我们在正文中没有使用这一事实，但上述计算可以概括为包括形式障碍B类c（c）=δc（c）−βS公司。这些障碍并非恒定不变；相反，它们的高度随S公司如果β>0，如果β为负，则增加。线性障碍物的第一交叉分布为逆高斯分布；相关的拉普拉斯变换是
（例如。谢斯1998); 它减少到方程式（C2）当β=0时。
如果两个屏障与S公司，但坡度相同，B类c（c）=δc（c）−βS公司和B类v（v）=δv（v）−βS公司然后就是导致方程式（C7）产量交叉分布的拉普拉斯变换B类v（v）没有第一个十字路口B类c（c）.（δ的第一次交叉c无交叉δv（v）通过在上面的表达式中交换“c”和“v”来给出。）请注意
; 在恒定障碍模型中，只有一小部分步行穿过一个障碍而没有先穿过另一个障碍。将拉普拉斯变换逆变换得到其中ν≡δ2v（v）/S公司和
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