高精度二维二次双调和方程的求解

本文的目的是介绍求解具有第二类Dirichlet边界条件的二维双调和方程的有效方法。该方程用简支板类边界条件描述了加载板的挠度。此外，它可以从变分法中结合最小势能的变分原理推导出来。由于该方程中存在四阶导数，引入高阶精确方法需要使用人工点。当使用迭代方法时，求解得到的线性方程组也存在收敛速度慢的问题。本文旨在介绍克服这些问题的有效方法。

本文考虑了在九点紧致模板上使用解的值及其二阶导数作为未知数导出的几种紧致有限差分近似。在这些近似中，无需在边界附近定义特殊公式，边界条件可以与这些技术结合。已经开发了几种迭代线性系统求解器，如Krylov子空间和多重网格方法及其组合（使用合适的预处理程序），以比较每种方法的效率并设计强大的求解器。

本文发现，紧致有限差分格式与多重网格方法的结合以及多重网格预处理的Krylov迭代方法对二次双调和方程有很好的结果，多重网格预条件的Kryllov迭代方法是最有效的方法。

本文通过一些表格和图表，展示了在几个测试问题上应用新方法所进行的一些数值实验，并与传统方法进行了比较，具有一定的价值。