修订版Mod。物理。81、109（2009）-石墨烯的电子特性

石墨烯的电子性质

A.H.Castro Neto、F.几内亚、N.M.R.Peres、K.S.Novoselov和A.K.Geim

修订版Mod。物理学。81，109–2009年1月14日出版

摘要

本文回顾了石墨烯的基本理论，石墨烯是碳的一个单原子厚同素异形体，具有不寻常的二维类狄拉克电子激发。狄拉克电子可以通过施加外部电场和磁场，或者通过改变样品的几何形状和/或拓扑结构来控制。狄拉克电子在隧道、限制和整数量子霍尔效应中以不寻常的方式表现。讨论了石墨烯堆栈的电子特性，并随堆栈顺序和层数的变化而变化。石墨烯中的边缘（表面）状态取决于边缘终端（之字形或扶手椅），并影响纳米带的物理性质。不同类型的无序改变了狄拉克方程，导致了不寻常的光谱和输运性质。还介绍了单层和多层石墨烯中电子-电子和电子-声子相互作用的影响。

31更多

内政部：https://doi.org/10.103/RevModPhys.81.109

作者和附属机构

A.H.卡斯特罗·内托

美国马萨诸塞州波士顿市联邦大道590号波士顿大学物理系，邮编：02215

F.几内亚

西班牙马德里E-28049 Cantoblanco CSIC马德里材料研究所

N.M.R.佩雷斯

葡萄牙布拉加米尼奥大学物理中心和物理系，P-4710-057

K.S.诺沃塞洛夫和A.K.盖姆

英国曼彻斯特大学物理与天文学系，曼彻斯特，M13 9PL

文章文本（需要订阅）

单击以展开

参考（需要订阅）

单击以展开

问题

第81卷，第。2009年1月至3月

重用权限（&P）

访问选项

图像

图1
（在线彩色）石墨烯（左上角）是碳原子的蜂窝状晶格。石墨（右上角）可以看作是一堆石墨烯层。碳纳米管是石墨烯卷起的圆柱体（左下）。富勒烯 $({C类}_{60})$ 是通过在六角晶格上引入五边形，由包裹石墨烯组成的分子。发件人75.重用权限（&P）
图2
（在线彩色）蜂窝状晶格及其布里渊区。左图：石墨烯的晶格结构，由两个相互穿透的三角形晶格组成( $一_{1}$ 和 $一_{2}$ 是晶格单位向量，以及 $δ_{我}$ , $我 = 1, 2, 三$ 是最近邻向量）。右：对应的布里渊区。Dirac锥位于 $K（K）$ 和 ${K（K）}^{'}$ 点。重用权限（&P）
图3
（在线彩色）蜂窝状晶格中的电子色散。左：能量谱（单位： $t吨$ )对于的有限值 $t吨$ 和 ${t吨}^{'}$ ，使用 $t吨 = 2.7 电子伏$ 和 ${t吨}^{'} = - 0.2 t吨$ 右：放大靠近狄拉克点之一的能带。重用权限（&P）
图4
（在线彩色）石墨烯中电荷载流子的回旋质量与其浓度的函数 $n个$ .积极和消极 $n个$ 分别对应于电子和空穴。符号是从SdH振荡的温度依赖性中提取的实验数据；实心曲线是通过公式(13). $米_{0}$ 是自由电子质量。改编自293.重用权限（&P）
图5
作为能量函数的每个单位电池的状态密度（单位： $t吨$ )根据能量色散计算(5), ${t吨}^{'} = 0.2 t吨$ （顶部）和 ${t吨}^{'} = 0$ （底部）。图中还显示了靠近每个位置一个电子中性点的态密度的放大图。对于这个案例 ${t吨}^{'} = 0$ ，谱的电子-空穴性质是明显的，接近中性点的态密度可以近似为 $ρ (ϵ) \propto ∣ ϵ ∣$ .重用权限（&P）
图6
（在线彩色）石墨烯中的克莱因隧穿。上图：狄拉克电子被方势散射的示意图。底部：角度定义 $ϕ$ 和 $θ$ 用于区域I、II和III的散射形式。重用权限（&P）
图7
（在线着色）的角度行为 $吨 (ϕ)$ 对于两个不同的值 ${V（V）}_{0}$ : ${V（V）}_{0} = 200 百万电子伏$ ，虚线； ${V（V）}_{0} = 285 百万电子伏$ ，实线。其余参数为 $D类 = 110 纳米$ （顶部）， $D类 = 50 纳米$ （底部） $E类 = 80 百万电子伏$ , ${k个}_{F类} = 2 π ∕ λ$ ，以及 $λ = 50 纳米$ .重用权限（&P）
图8
（在线彩色）能谱（单位： $t吨$ )石墨烯带 $600 一$ 宽，作为动量的函数 $k个$ 沿功能区（单位为 $1 ∕ \sqrt{三} 一$ )，在存在限制性潜力的情况下 ${V（V）}_{0} = 1 电子伏$ , $λ = 180 一$ .重用权限（&P）
图9
（在线彩色）双层石墨烯的晶格结构、其各自的电子跳跃能量和布里渊区。（a）根据SWM模型，具有不同跳跃参数的双层晶格结构。这个 $A类$ 亚晶格由较暗的球体表示。（b）布里渊区。改编自240.重用权限（&P）
图10
（在线彩色）双层石墨烯的能带结构 $V（V） = 0$ 和 $γ_{三} = 0$ .重用权限（&P）
图11
（彩色在线）双层石墨烯的能带结构 $V（V） \neq 0$ 和 $γ_{三} = 0$ .重用权限（&P）
图12
（在线彩色）石墨烯层相对彼此的三个不相等方向的草图。重用权限（&P）
图13
（在线彩色）石墨烯多层膜的电子带。（a）偏压双层膜。（b）具有Bernal堆叠的三层结构。（c）具有正交叠加的三层。（d）四层堆叠，其中顶层和底层相对于两个中间层的能量移动 $+ 0.1 电子伏$ .重用权限（&P）
图14
（联机颜色）具有锯齿形边的功能区几何图形。重用权限（&P）
图15
石墨烯双层的锯齿状端接草图。由讨论72)，有一条完全位于底层的表面态带，另一条表面态带在二者之间交替出现。重用权限（&P）
图16
（在线彩色）一块蜂窝状格子，显示锯齿状和扶手椅边缘。重用权限（&P）
图17
石墨烯纳米带的电子色散。左图：从紧束缚方程计算出的具有扶手椅（顶部）和锯齿（底部）边缘的纳米带的能谱。纳米带的宽度为 $N个 = 200$ 单位单元格。仅描述了14个本征态。右：缩放右侧显示的低能状态。重用权限（&P）
图18
纵向电阻率中观察到的（彩色在线）SdH振荡 $ρ_{x个 x个}$ 石墨烯与载流子浓度的关系 $n个$ 每个峰值对应一个Landau水平的人口。注意，当通过Dirac点时，电子和空穴之间的序列不会中断。振荡周期为 $Δ n个 = 4 B类 ∕ Φ_{0}$ ，其中 $B类$ 是应用领域 $Φ_{0}$ 是通量量子(293).重用权限（&P）
图19
（在线彩色）劳克林用石墨烯带进行的思维实验的几何学：磁场 $B类$ 垂直于带状表面应用；电流 $我$ 使回路旋转，产生霍尔电压 ${V（V）}_{H（H）}$ 和磁通量 $Φ$ .重用权限（&P）
图20
（在线彩色）石墨烯中的量子霍尔效应是电荷载流子浓度的函数。峰值在 $n个 = 0$ 结果表明，在强磁场中，在零能量处出现朗道能级，而零磁场中不存在任何状态。该场从导带和价带中提取该能级的电子态。虚线表示高原 $σ_{x个年}$ 由等式描述(111). 改编自293.重用权限（&P）
图21
（在线彩色）存在磁通量时石墨烯中紧束缚电子的十四个能级 $Φ = Φ_{0} ∕ 701$ ，对于具有 $N个 = 200$ 晶胞。底部面板是顶部面板的放大图像。虚线表示化学势 $μ$ .重用权限（&P）
图22
（在线彩色）图13所示石墨烯堆栈的Landau能级。外加磁场为 $1 吨$ .重用权限（&P）
图23
（在线彩色）具有Bernal排序和奇数层的石墨烯堆栈中Landau能级之间低能光学跃迁的相对光谱强度。外加磁场为 $1 吨$ 左：3层。中间：11层。右：51层。大圆圈是单层中的过渡。重用权限（&P）
图24
（在线彩色）悬浮石墨烯板。（a）石墨烯膜的亮场透射电镜图像。它的中心部分（均匀且无特征的区域）是单层石墨烯。改编自263（b）尽管只有一个原子厚，但石墨烯在这种原子分辨率下仍是一种完美的晶体。图像是在扫描透射电子显微镜中获得的。可见周期由苯环的晶格给出。改编自53.重用权限（&P）
图25
石墨烯表面弯曲半径 $R（右）$ 及其对 ${第页}_{z（z）}$ 轨道。重用权限（&P）
图26
（在线彩色）蜂窝晶格中与向错（五边形）相关的边界条件草图。重用权限（&P）
图27
（在线彩色）粗糙石墨烯表面的草图。整条线给出了可以认为晶格未变形的边界。中隙态的数量取决于两个子晶格中移除的位点数量的差异。重用权限（&P）
图28
（在线彩色）靠近石墨烯之字形边缘的位移电荷。顶部：以连续线显示的位移电荷密度（单位：每碳的电子数）和相应的静电势（单位： $t吨$ )如虚线所示，对于沿锯齿边缘具有周期性边界条件的石墨烯带（长度为 $L（左） = 960 一$ )和周长一样大 $W公司 = 80 \sqrt{三} 一$ 插图：边缘附近的电荷密度。由于边缘的存在，散装（底部面板）中有一个位移电荷，显示为宽度的函数 $W公司$ 注意，位移电荷在体积极限内消失 $(W公司 \to \infty)$ ，符合等式(161). 改编自324.重用权限（&P）
图29
（在线彩色）由简单弹性应变引起的规场。顶部：假设沿水平键的跳跃在石墨烯晶格的右侧发生变化，在未扰动区域和扰动区域之间定义了一条直线边界（虚线）。底部：修改后的跳跃行为就像一个恒定规范场，在 $K（K）$ 和 ${K（K）}^{'}$ 布里渊区的点。平行于边界的能量和动量守恒导致电子被边界偏转。重用权限（&P）
图30
（在线着色）电导率变化 $σ$ 栅电压变化的石墨烯 ${V（V）}_{克}$ 和载体浓度 $n个$ .在这里 $σ$ 与…成比例 $n个$ 请注意，具有较高迁移率的样本 $(> 1 米^{2} ∕ V（V）秒)$ 通常表现出次线性依赖性，可能表明存在不同类型的散射体。插图：其中一个实验装置的扫描电子显微照片（假彩色与可见光相匹配）。显微照片的比例由霍尔棒的宽度给出，即 $1 μ 米$ .改编自293.重用权限（&P）
图31
（在线彩色）磁场中狄拉克费米子的状态密度。顶部：电子态密度（DOS） $ρ (ω)$ 作为的函数 $ω ∕ ω_{c}$ $(ω_{c} = 0.14 电子伏)$ 在磁场中 $B类 = 12 吨$ 针对不同杂质浓度 ${n个}_{我}$ .底部： $ρ (ω)$ 作为的函数 $ω ∕ ω_{c}$ ( $ω_{c} = 0.1 电子伏$ 是回旋频率） $B类 = 6 吨$ .实线表示无混乱状态下的DOS。在没有混乱的情况下，朗道能级的位置显示为垂直线。顶部面板中的两个箭头显示了方程解给出的重整化朗道能级的位置（见图32）(202). 改编自324.重用权限（&P）
图32
（在线彩色）的虚拟（右）和真实（左）部分 $\sum_{1} (ω)$ （顶部）和 $\sum_{2} (ω)$ （底部），单位为 $ω_{c}$ ，作为的函数 $ω ∕ ω_{c}$ 。右侧面板还显示了截距 $ω - E类 (α, n个)$ 具有 $重新 \sum (ω)$ 根据公式(202). 改编自324.重用权限（&P）
图33
（在线彩色）电导率内核 $K（K） (ω)$ （单位： ${e（电子）}^{2} ∕ π 小时$ )作为能量的函数 $ω$ 对于不同的磁场和 ${n个}_{我} = 10^{- 三}$ 水平线表示每个锥体电导率的通用极限 $σ_{0} = 2 {e（电子）}^{2} ∕ π 小时$ 垂直线显示了无混乱状态下朗道能级的位置。改编自324.重用权限（&P）
图34
（在线彩色）每个锥体的频率相关电导率 $σ (ω)$ （单位： ${e（电子）}^{2} ∕ π 小时$ )在 $吨 = 10 K（K）$ 和 ${n个}_{我} = 10^{- 三}$ ，作为能量的函数 $ω$ （单位： $ω_{c}$ )对于不同的磁场值 $B类$ 。左上方面板中标记为a、b和c的垂直箭头显示了不同Landau级别之间过渡的位置： $E类 (1, 1) - E类 (- 1, 0)$ , $E类 (2, 1) - E类 (- 1, 0)$ ，以及 $E类 (1, 1) - E类 (1, - 1)$ 分别是。水平连续线表示通用电导率的值。右下方的面板显示了不同磁场值的电导率，它是 $ω ∕ \sqrt{B类}$ .改编自324.重用权限（&P）
图35
石墨烯中的科恩异常。顶部：连续线是相对声子频率偏移，作为 $μ ∕ ω_{0}$ 虚线是由于电子-空穴对的产生而产生的声子阻尼。底部：（a）导致声子软化的电子空穴过程 $(ω_{0} > 2 μ)$ 以及（b）导致声子硬化的电子-空穴过程 $(ω_{0} < 2 μ)$ .重用权限（&P）
图36
（在线彩色）（a）2DEG、（b）未掺杂石墨烯和（c）掺杂石墨烯的电子-空穴连续体和集体模式。重用权限（&P）
图37
（在线彩色）Hartree-Fock自能图，它导致费米速度的对数重正化。重用权限（&P）
图38
（在线彩色）半填充石墨烯双层的预期磁化草图。重用权限（&P）