物理学。Rev.B 87，155114（2013）-对称保护拓扑序及其对称群的群上同调

对称保护拓扑序及其对称群的群上同调

谢晨、顾正成、刘正欣、小刚文

物理学。版本B87，155114–2013年4月4日出版

摘要

对称保护拓扑（SPT）相位是具有对称性的间隙短距离纠缠量子相位 $G公司$ 。如果我们打破对称性，它们都可以平滑地连接到相同的平凡乘积状态。自旋-1链的霍尔丹相是SPT相的第一个例子，它受到 $SO公司 (三)$ 自旋-旋转对称性。拓扑绝缘体是SPT相位的另一个例子，其由 $U型 (1)$ 时间反转对称性。在本文中，我们证明了相互作用的玻色SPT相位可以用群上同调理论系统地描述：Distinct $d日$ -具有现场对称性的维玻色SPT相位 $G公司$ （可能包含反酉时间反转对称）可以用 ${H（H）}^{1 + d日} [G公司, {U型}_{T型} (1)]$ 、Borel $(1 + d日)$ -群同调类 $G公司$ 超过 $G公司$ 模块 ${U型}_{T型} (1)$ 我们的理论基于一种新的拓扑项，它推广了拓扑 $θ$ 连续非线性项 $σ$ 晶格非线性模型 $σ$ 模型。非平凡SPT相的边界激发由晶格非线性描述 $σ$ 具有非局部拉格朗日项的模型，推广了连续非线性的Wess-Zumino-Witten项 $σ$ 模型。因此，对称性 $G公司$ 对于低能边界激发，必须实现非现场对称，并且这些边界状态必须是无间隙或退化的。作为我们结果的应用，我们可以使用 ${H（H）}^{1 + d日} [U型 (1) ⋊ {Z轴}_{2}^{T型}, {U型}_{T型} (1)]$ 获得相互作用的玻色拓扑绝缘体（受时间反转保护 ${Z轴}_{2}^{T型}$ 和玻色子数守恒），其中包含一个一维（1D）或二维的非平凡相位，以及三个三维相位。我们还获得了相互作用的玻色拓扑超导体（仅受时间反转对称性保护），根据 ${H（H）}^{1 + d日} [{Z轴}_{2}^{T型}, {U型}_{T型} (1)]$ ，在奇数空间维中包含一个非平凡相位，在偶数维中不包含。我们的结果比上述两个例子更普遍，因为它适用于任何对称群。例如，我们可以使用 ${H（H）}^{1 + d日} [U型 (1) \times {Z轴}_{2}^{T型}, {U型}_{T型} (1)]$ 构造具有时间反转和 $U型 (1)$ 自旋旋转对称性，在1D中包含三个非平凡的SPT相，在2D中没有，在3D中包含七个。更一般地说，我们发现不同的玻色对称破缺短程纠缠相位由以下三个数学对象标记： $({G公司}_{H（H）}, {G公司}_{Ψ}, {H（H）}^{1 + d日} [{G公司}_{Ψ}, {U型}_{T型} (1)])$ ，其中 ${G公司}_{H（H）}$ 是哈密顿量的对称群 ${G公司}_{Ψ}$ 基态的对称群。