物理学。Rev.A 83，043619（2011）-有限温度玻色气体微观方法的比较

有限温度玻色气体微观方法的比较

S.P.Cockburn、A.Negretti、N.P.Proukakis和C.Henkel

物理学。版次A83，043619–2011年4月21日出版

摘要

我们分析了有限温度下弱相互作用、囚禁准一维玻色气体的平衡性质，并比较了不同的理论方法。我们特别关注两种随机理论：数值守恒Bogoliubov（NCB）方法和随机Gross-Pitaevskii方程（SGPE），这两种理论已被广泛用于数值模拟。将密度剖面、相关函数和凝析油统计等平衡特性与基于多种替代理论的预测进行比较。我们发现，由于热相波动和相应的冷凝损耗，NCB方法在相对较低的温度下失去其有效性。这可以归因于凝结水热耗竭时波哥利乌波夫谱的变化，以及超出微扰理论的大波动。尽管这两个随机理论建立在不同的热力学系综上（NCB，正则；SGPE，巨正则），但它们在大的玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）（足够强的粒子相互作用）中产生了正确的凝聚统计。对于较小的系统，SGPE结果容易出现异常大的数值波动，这是众所周知的经典理想玻色气体。基于上述理论与改进的Popov方法的比较，我们提出了一种从一阶和二阶相关函数中近似提取Penrose-Onsager凝聚体的简单方法，该方法计算方便，对实验人员有潜在的用途。这也澄清了低维系统波波夫理论中凝聚态和准凝聚态之间的联系。

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收到日期：2010年12月7日

内政部：https://doi.org/10.103/PhysRevA.83.043619

作者和附属机构

S.P.Cockburn公司^1,*,A.内格丽蒂^{2, 3},N.P.Proukakis公司¹、和C.汉克尔⁴

¹英国纽卡斯尔大学数学与统计学院
²伦德贝克基金会量子系统研究理论中心，奥胡斯大学物理与天文学系，丹麦奥胡斯C 8000
^三德国乌尔姆阿尔伯特·伊斯坦·阿列尔11号乌尔姆大学量子信息研究所，邮编：D-89069
⁴德国波茨坦大学物理与天文学研究所，卡尔·利布克内赫特街24-25号，D-14476波茨坦

^*s.p.cockburn@ncl.ac.uk

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问题

第83卷，第。2011年4月4日

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图像

图1
凝结水密度 ${N个}_{c（c）} | ϕ_{c（c）} (x个) |^{2}$ （虚线，黑色）和非冷凝密度的典型实现 $| ψ^{'} (x个) |^{2} \equiv | ψ_{⊥} (x个) |^{2}$ （有噪声的红色曲线；数据乘以5，在这个刻度上可见）。冷凝模式的耗尽修正， $ϕ_{2} (z（z）)$ ，通过绘制“干扰项”进行说明 $2 重新 [ϕ_{0}^{*} (z（z）) ϕ_{2} (z（z）)]$ （点灰色，绿色；也乘以5）。注意凝聚态原子数 ${N个}_{c（c）} \approx 19 500$ 取决于实现。还绘制了相同参数的零温度托马斯·费米形状（倒抛物线；细的棕色实线）。在这里（以及在大多数文章中），我们修复了 $μ = 22.41 ℏ ω$ （对应于 $N个 = 20 000$ 参加GPE $吨 = 0$ )，在此处选择 ${k个}_{B} 吨 = 46 ℏ ω$ .密度以单位绘制 $克 / μ$ .重用权限（&P）
图2
通过SGPE数值解获得的增长到平衡。（a）原子密度剖面快照 $〈 | ψ (z（z）, 吨) |^{2} 〉$ ，时间从下到上递增。（b）平均中心密度与时间的增长，此处彩色方块突出显示的时间标记了（a）中相应的彩色密度剖面。（c）系统接近平衡时粒子数的增长。插图显示了单个数值实现的轨迹，与（c）中主绘图的结果相比，该结果显示了这些数值实现之间的波动粒子数，主绘图是通过对 $1000$ 这样的轨迹。（参数如第2f节所述，但带有 ${k个}_{B} 吨 = 860 ℏ ω$ .)重用权限（&P）
图3
修正波波夫理论的求解过程说明。（左）自持准凝聚体密度的图形测定：虚线和实线之间的交叉点[等式的左侧和右侧(20), ${n个}_{质量控制}$ 是准凝析密度 $n个$ 总密度]。细线（红色）表示方程式的经典（高温）近似(19). 如果我们采取 $μ$ 与本文其余部分一样，这两个温度对应 $N个 \approx 23 800$ , $吨 \approx 1.3 吨_{ϕ} \approx 0.63 吨_{c（c）}$ 和 $N个 = 20 000$ , $吨 \approx 0.16 吨_{ϕ} \approx 0.074 吨_{c（c）}$ ，分别[参见公式(1)]. （右）温度相关的托马斯半径 $R（右） (吨)$ 通过数值求解（局部）化学势确定，式中 $μ (z（z）) = 2 克 {n个}_{第个}^{'} (z（z）)$ 陷阱是调和的，化学势在中心 $μ = 22.41 ℏ ω$ 如本文其余部分所述，以及 $克 = 0.01 (ℏ^{三} ω / 米)^{1 / 2}$ 箭头标记了为模拟选择的温度（最左边的三个箭头对应于表中所示的温度）。重用权限（&P）
图4
SGPE和NCB模拟的特征温度和原子数（空心黑圈）。填充的黑色圆圈显示了仅进行SGPE模拟的较高温度状态。( $1 D类$ )陷阱中的特征温度为 $吨_{c（c）}$ [等式(1); 理想气体中的玻色-爱因斯坦凝聚]和 $吨_{ϕ} < 吨_{c（c）}$ [等式(1); 相位相干性]，分别由蓝色虚线和黑色实线表示。红色方块标记了为第3d1节中以固定比率进行冷凝水统计比较而选择的参数 $吨 / 吨_{c（c）} = 0.23$ ，如棕色虚线所示。重用权限（&P）
图5
表示随机场值集合的数据点 $ψ (z（z）)$ 在三个位置 $z（z）$ 在陷阱中（从左到右，平均密度减小）。温度从上到下升高。黑色：SGPE模拟，红色：NCB模拟。绿色虚线圆圈表示 $| z（z） | < R（右）$ Thomas-Fermi波函数的模量 $z（z） = 1.5 R（右）$ 玻色-爱因斯坦密度的平方根(26). 在陷阱中心，Thomas-Fermi近似得到了这些参数 $| ψ_{TF公司} (0) | \approx 47 / \sqrt{ℓ}$ .（原子序数 $N个 \approx 20 000$ .)重用权限（&P）
图6
平均密度剖面 $n个 (z（z）)$ ，规范化为 $克 n个 (z（z）) / μ$ ，在平衡时间后由随机Gross-Pitaevskii方程（实心黑色）返回 $吨_{等式}$ 以及保数Bogoliubov展开图（红色虚线）。图（a）-（c）表示温度 ${k个}_{B} 吨 = 46, 140, 430 ℏ ω$ 表中列出， $R（右）$ Thomas-Fermi半径为 $吨 = 0$ [等式(24)]. 点状绿色曲线给出了安徒生发展的修正波波夫理论的预测等。[6]. 图（d）在对数标度上分析图（c）“热翼”中的密度 $R（右） < z（z） ≲ {z（z）}_{吨}$ 哪里 ${z（z）}_{吨}$ （灰色垂直线）是陷阱能量与温度相当的点， $V（V） ({z（z）}_{吨}) = {k个}_{B} 吨 + μ$ 计算了理想气体的Rayleigh-Jeans密度（蓝色虚线）和Bose-Einstein密度（绿色点状虚线）。棕色实线对应于NCB密度加上逐渐趋于后者的量子密度水平， ${n个}_{问}$ [等式(4)]，由蓝色虚线表示。重用权限（&P）
图7
温度（a）、（d）下的冷凝水（顶行）和热云（底行）密度 ${k个}_{B} 吨 = 46 ℏ ω$ ; （b），（e） ${k个}_{B} 吨 = 140 ℏ ω$ ; 和（c）、（f） ${k个}_{B} 吨 = 430 ℏ ω$ .冷凝液密度 ${n个}_{c（c）} (z（z）) = 〈 {N个}_{c（c）} 〉 | ϕ_{c（c）} (z（z）) |^{2}$ 通过对单体密度矩阵的Penrose-Onsager分析获得[实心（黑色），SGPE；虚线（红色），TWNCB方法]。还显示了供参考的 $吨 = 0$ 具有特征值的GP方程的平稳解 $μ$ （薄固体，绿松石），这与NCB方法中的零级冷凝模式一致。In（c）冷凝液密度 $〈 {N个}_{c（c）} 〉 | ϕ_{c（c）} (z（z）) |^{2}$ 在NCB扩展内进行二阶校正后，还显示了（点灰，蓝色），以及修改后的波波夫凝结水密度（点双虚线，绿色）[见第4节公式(56)有关详细信息]。最下面一行：热密度 ${n个}_{第个} (z（z）) = n个 (z（z）) - {n个}_{c（c）} (z（z）)$ [实心（黑色）SGPE；虚线（红色），TWNCB方法]。如图6所示，对TWNCB方法进行了Wigner校正。（d）–（f）中所示为 $吨 = 0$ Bogoliubov预测公式(A4)，使用 $N个$ （实心棕色），并且仅在（f）中，还 $N个 = {N个}_{人事军官}$ SGPE（带点的栗色），以及修改后的Popov结果（双点虚线，绿色）。重用权限（&P）
图8
非凝聚原子对凝聚模形状的反作用分析 $ϕ_{c（c）}$ .我们绘制了等式的有效电势(34)有（下曲线，HFB理论）和无最后一项（上曲线，HF理论），归一化为 $μ$ .冷凝模式功能 $ϕ_{c（c）} (z（z）)$ 来自于对单体密度矩阵的Penrose-Onsager分析。黑色/棕色实线：SGPE数据，（点）红色/绿色虚线：TWNCB方法数据。包括异常平均的反作用在内的HFB理论更接近实际的化学势。重用权限（&P）
图9
一阶相关函数 $克^{(1)} (z（z）) = 克^{(1)} (0, z（z）)$ ，如等式(37)，来自SGPE数据（纯黑色）和NCB数据（红色虚线）。表（d）中给出的（a）-（c）中的温度，我们有 $吨 \approx 1.3 吨_{ϕ}$ （仅显示SGPE数据）。我们绘制了 $克^{(1)} (z（z）)$ 想象的部分很小，可以忽略不计。点灰绿色线条-等式。(39)基于修正的波波夫理论。棕色细实线-等式。(40). 在（d）中，我们绘制了等式(40)使用 $R（右） (吨) < R（右）$ （纯薄棕色）和 $R（右） (吨) = R（右）$ （带点的栗色）。SGPE Penrose-Onsager冷凝模式（蓝色虚线）和非冷凝模式（红色点状虚线）的贡献分别显示在等式中(43). 在（a）–（d）中，垂直虚线细线表示 $R（右） (吨)$ （e）基于配件的估计温度 $克^{(1)} (z（z）)$ 近的 $z（z） = 0$ 至等式(42)（虚线）表示SGPE（黑圈）和NCB进近（红色方块）。重用权限（&P）
图10
密度相关函数 $克^{(2)} (z（z）)$ [等式(44)]来自SGPE仿真（纯黑色）和NCB仿真（红色虚线）。对于NCB方法情况，公式(45)因此在量子场论中， $克^{(2)} (z（z）)$ 具有二阶相干函数的含义。垂直虚线细线表示 $R（右） (吨)$ （a）–（c）中的温度，如表所示。（d）结果比较 $克^{(2)} (0)$ （黑圈，SGPE；红方块，TWNCB方法），采用Lieb-Liniger理论，方程式(46)，摘自参考[75]（棕色虚线）。重用权限（&P）
图11
压缩相关性的实部（异常平均） $米 (z（z）)$ ，如等式(47)表中的温度。纯黑色，SGPE结果；红色虚线表示NCB进近结果。Bogoliubov结果[固体棕色，等式(32)]使用的模式函数计算 $吨 = 0$ BdG运算符(A3号)，并且仅在（c）中，使用Bogoliubov谱，该谱是针对等于SGPE PO冷凝物数的冷凝物数计算的（蓝色，点划线）。重用权限（&P）
图12
随机场系综的表示 $ψ (z（z）)$ ，锁定到凝聚态模式的相位[我们乘以 $一_{c（c）}^{*} / | 一_{c（c）} |$ 哪里 $一_{c（c）}$ 是振幅(27)（Penrose-Onsager）冷凝模式]。黑色，SGPE模拟；红色，NCB进近模拟。陷阱位置和温度如图5所示。注意点云的椭圆形状，说明相位波动的相对增强（虚部）。SGPE数据在中高温下变形为“新月形”云，而NCB分布与正交正交保持一致。绿色虚线圆圈代表Thomas-Fermi( $| z（z） | < R（右）$ )和Bose-Einstein( $z（z） = 1.5 R（右）$ )预测每个陷阱位置和温度的密度平方根，如图5所示。重用权限（&P）
图13
计数统计 $P（P） ({N个}_{c（c）})$ 冷凝水数量，带 ${N个}_{c（c）} = | 一_{c（c）} |^{2}$ ，以及等式中的冷凝模式(27)根据Penrose-Onsager准则获得。纯黑色，SGPE；红色虚线，NCB进近；点灰绿色，参考理论[71]. （a）–（c）中的温度从左向右升高（如表所示）( $N个 \approx 20 000$ , $μ = 22.41 ℏ ω$ ). 面板（d）具有 $N个 \approx 1000$ ( $μ = 3.11 ℏ ω$ )和温度 $吨 \approx 0.23 吨_{c（c）}$ ，与（c）中的比率相同。蓝色虚线，NCB方法使用Rayleigh-Jeans代替Bose-Einstein职业编号，即方程式(7), $σ_{k个}^{2} \mapsto {k个}_{B} 吨 / {E类}_{k个}$ .重用权限（&P）
图14
的前三个时刻 $P（P） ({N个}_{c（c）})$ 与总粒子数 $〈 N个 〉$ SGPE（开环）与参考理论[71]（填充绿色方块）：（a）平均值 $〈 {N个}_{c（c）} 〉$ 缩放到 $〈 N个 〉$ （冷凝分数），（b）相对标准偏差 $σ ({N个}_{c（c）}) / 〈 {N个}_{c（c）} 〉$ （c）偏斜或三阶中心力矩， $倾斜 ({N个}_{c（c）}) = 〈 ({N个}_{c（c）} - 〈 {N个}_{c（c）} 〉)^{三} 〉 / σ^{三} ({N个}_{c（c）})$ .总粒子数 $N个$ 在区域上计算 $| z（z） | < 2 R（右）$ .重用权限（&P）
图15
SGPE模拟的施密特数与标度温度。插图：在温度下 $吨 \approx 1.3 吨_{ϕ}$ ，部分职业 ${N个}_{k个} / 〈 N个 〉$ 对于 $30$ 占用最大的最低模式；冷凝分数（in $k个 = 0$ 上述模式） $〈 {N个}_{c（c）} 〉 / 〈 N个 〉 \approx 0.2$ 、和 $〈 N个 〉 \approx 23 800$ .重用权限（&P）
图16
归一化密度曲线显示：总密度（SGPE，实心黑色，有噪声；修改波波夫，虚线，棕色）、准凝析油密度（SGPE，实心橙色，有噪声，修改波波夫虚线，蓝色）和（相位相干）凝析油密度（SGPE PO，有噪声、绿松石；修改波波夫，点状/点状，褐红色）。修正后的波波夫凝聚体密度显示在距离圈闭中心很小的距离处，其中 ${n个}_{c（c）}^{'} (z（z）) = {n个}_{c（c）} (z（z）)$ [参见公式(56)]发生故障。灰色阴影区域显示Penrose-Onsager凝析油密度。红色虚线表示 $n个 (z（z）) - {n个}_{质量控制} (z（z）)$ 修正的波波夫理论。在这里 $吨 = 1.3 吨_{ϕ} = 0.63 吨_{c（c）}$ 和 $〈 N个 〉 \approx 23 800$ 。由于NCB膨胀在该温度下不再工作，因此没有NCB数据。重用权限（&P）
图17
等式之间的比较(56)（点灰色，褐红色）和PO模式，这是由于在三个温度下对角化密度矩阵（实心绿松石和阴影）。还显示了等式中的准凝析油密度(54)（嘈杂的橙色曲线），用于生成点灰色的栗色密度。这里的数据是从SGPE模拟中提取的。重用权限（&P）
图18
（1D）来自SGPE（黑圈）和修正Popov理论（空心绿色三角形）的准凝聚和PO凝聚数。SGPE结果基于单体密度矩阵PO分析给出的冷凝模式（第3b节）和公式(53)对于准凝聚体。对于集成 ${n个}_{质量控制} (z（z）)$ ，仅区域 $| z（z） | ⩽ R（右） (吨)$ 已考虑在内。修改后的波波夫数据基于第2e节中描述的准凝结水密度和凝结水密度 ${n个}_{c（c）}^{'} (z（z）)$ 等式中给出(56)，其中 $克^{(1)}$ (0, $z（z）$ )根据公式(40).重用权限（&P）
图19
顶行（a）、（b）：平衡状态下SGPE（固体、黑色）和TWNCB方法（a）通过GPE进化之前（红色虚线）和（b）进化之后（蓝色虚线）的总原子密度。TWNCB数据包含正常顺序的修正；进化期是 $5000 ω^{- 1}$ 底行（c），（d）：冷凝液（热）密度[SGPE，纯绿色（棕色）；TWNCB方法，虚线]，通过Penrose-Onsager分析获得（见图7），（c）NCB状态演变之前（红色虚线）和（d）之后（蓝色虚线） $5000 ω^{- 1}$ 上曲线：凝析油密度，下曲线最大值为 $| z（z） | ≲ R（右）$ ：热密度。重用权限（&P）
图20
左图：初始标称温度下GPE下不同演化时间的凝结水统计数据 $吨 \approx 0.48 吨_{ϕ}$ .纯蓝色，TWNCB数据；虚线绿、平衡史卡利和同事理论[71]. 未显示平衡状态下的SGPE数据，因为冷凝水统计数据基本上与图13中的相同。右，平均冷凝数 $〈 {N个}_{c（c）} (吨) 〉$ 用于SGPE（上部，黑线）；表中温度下的TWNCB方法（较低的红色曲线），温度从顶部（g）增加到底部（i）。重用权限（&P）
图21
顶行： $克^{(1)} (z（z）)$ 对于SGPE（纯黑色），（a）TWNCB方法最初在 $(吨 = 0)$ （红色虚线）和（b）GPE进化到 $吨 = 5000 ω^{- 1}$ （蓝色虚线）；底行：根据顶行 $克^{(2)} (z（z）)$ 。在每个图中，垂直虚线表示 $R（右） (吨)$ 在 $吨 = 430 ℏ ω$ .重用权限（&P）
图22
使用相关函数作为GPE演化时间的函数进行温度测量：（上部数据） $克^{(1)} (z（z）)$ ，用于 $0 < z（z） < R（右） / 2$ 和等式(42)（蓝色三角形）；（较低数据） $克^{(2)} (0)$ 和等式(46)（黑色方块）。初始温度（红色虚线）；最佳水平拟合 $克^{(1)} (z（z）)$ 数据（棕色虚线）和 $克^{(2)} (0)$ 数据（点灰绿色）；显示了与水平线对应的温度。重用权限（&P）