修订版Mod。物理学。801355（2008）-安德森过渡

安德森变换

费迪南德·埃弗斯和亚历山大·米林

修订版Mod。物理学。80，1355–2008年10月17日出版

摘要

综述了无序体系中局域相和金属相之间安德森跃迁的物理。术语“安德森跃迁”是广义的，包括金属-绝缘体跃迁和具有局域态的相之间的量子-全型跃迁。重点介绍了临界波函数的多重分形、幂律随机带状矩阵模型的临界性、无序电子系统的对称性分类、准一维和二维系统的临界机制以及相应的临界理论综述，网络模型和随机狄拉克哈密顿量。分析方法得到了高级数值模拟的补充。

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内政部：https://doi.org/10.103/RevModPhys.80.1355

作者和附属机构

费迪南德·埃弗斯

德国卡尔斯鲁厄Forschungszentrum Karlsruhe纳米技术研究所，邮编：76021

亚历山大·米林

德国卡尔斯鲁厄，76021，Forschungszentrum Karlsruhe，fur Nanotechnologie研究所；德国卡尔斯鲁厄76128，卡尔斯鲁赫大学，康登登材料理论研究所；和彼得堡核物理研究所，188300圣彼得堡，俄罗斯

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问题

第80卷，第。2008年10月4日至12月

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图像

图1
多重分形谱示意图 $（f） (α)$ 金属用“针”表示，即。， $（f） (α)$ 具有零宽度，在 $α = d日$ .处于临界状态 $（f） (α)$ 获得有限宽度，顶点移动到 $α_{0} > d日$ .的负面部分 $（f） (α)$ （灰色区域）对应于罕见事件——通常在单个样本中不会出现的波函数振幅值。重用权限（&P）
图2
多重分形谱的对称性。（a）多重分形指数 $Δ_{问}$ 对于PRBM模型 $b条 = 4$ 、1、0.3和0.1。对称性(2.37)关于这一点 $问 = 1 ∕ 2$ 显而易见。两者之间的微小差异 $Δ_{问}$ （全线）和 $Δ_{1 - 问}$ （虚线）是由于数值错误造成的。（b）现在奇异谱方面的数据相同 $（f） (α)$ .虚线表示 $（f） (2 - α) + α - 1$ ，证明了公式(2.38)发件人220.重用权限（&P）
图3
安德森过渡（GOE）的IPR分布：（a）3D（系统尺寸 $我 = 8$ 11、16、22、32、44、64和80）和（b）4D( $我 = 8$ 、10、12、14和16）自217.重用权限（&P）
图4
均方根偏差 $σ_{问}$ 属于 $自然对数 {P（P）}_{问}$ 推断到 $我 \to \infty$ 在3D中 $(\times)$ 和4D $(*)$ 虚线为分析结果(2.49)的 $¦Β = 0.2$ ; 全线表示等式(2.49,2.50)带有 $¦Β = 1$ 插图： $σ_{问}$ 具有 $我$ 3D中的值 $问 = 0.5$ 、1.5、2、2.5、3、4、5和6。所有数据的领先有限尺寸校正具有以下形式 $我^{- 年}$ 具有 $年 = 0.25 - 0.5$ 用于3D和 $年 = 0.1 - 0.4$ 4D。发件人217.重用权限（&P）
图5
多重分形谱的维数依赖性。（a）奇异性谱 $（f） (α)$ 3D（虚线）和4D（全线）。为了说明光谱的演变 $d日 = 2$ 到 $d日 = 4$ ，的分析结果 $d日 = 2 + ¦Β$ 显示的是 $¦Β = 0.2$ （虚线）和 $¦Β = 0.01$ （点灰）。插图：两者的比较 $（f） (α)$ 对于3D和单循环结果 $2 + ¦Β$ 用扩展 $¦Β = 1$ （实心）。（b）分形维数 ${D类}_{问}$ 3D（虚线）和4D（全线）。的分析结果 $d日 = 2 + ¦Β$ 具有 $¦Β = 0.2$ （虚线）和 $¦Β = 0.01$ （点画）也显示出来。发件人217.重用权限（&P）
图6
奇异谱的可能行为 $（f） (α)$ 在 $α \to 0$ ：（a）无奇异性，（b）终止，和（c）冻结。相应的行为 $τ_{问}$ 图中也显示了。重用权限（&P）
图7
表面和体多重分形谱 $τ_{问}$ 和 $（f） (α)$ 对于2D金属 $γ = 0.01$ 。有关详细信息，请参阅文本。发件人307.重用权限（&P）
图8
周期（PBC）和Dirichlet（DBC）边界条件和不同系统尺寸下二维辛系统的临界能级间距分布 $我$ .中国人民银行： $我 = 20$ $(◇)$ ; 数据库管理员： $我 = 40, 80, 120$ $(+, ◻, \times)$ .改编自290; 另请参阅291.重用权限（&P）
图9
准金属的交叉 $(b条 ⪢ 1)$ 到准绝热 $(b条 ⪡ 1)$ PRBM系综中的行为：分形维数 ${D类}_{2}$ vs参数 $b条$ $(◻)$ 数据点为数值模拟，虚线表示 $b条 ⪢ 1$ 和 $b条 ⪡ 1$ 分析渐近， ${D类}_{2} = 1 - 1 ∕ π b条$ [等式(3.7)]和 ${D类}_{2} = 2 b条$ [等式(3.20)]. 还显示了光谱压缩性 $χ$ $(○)$ 虚线表示以下各项的分析结果 $b条 ⪢ 1$ 和 $b条 ⪡ 1$ ，等式(3.28,3.30). 发件人225.重用权限（&P）
图10
多重分形谱 $（f） (α)$ 对于 $b条 = 1$ $(◻)$ 和 $b条 = 4$ $(○)$ 线表示抛物线近似(2.36). 插图：指数 $τ_{问}$ $(◻)$ , $τ_{问}^{类型}$ $(◼)$ 对于 $b条 = 1$ .来自225.重用权限（&P）
图11
PRBM模型中IPR分布的尺度不变性。（a）分布的演变 $P（P） (自然对数 {P（P）}_{2})$ 对于 $b条 = 1$ 具有系统大小 $我$ （从右到左： $我 = 256$ 、512、1024、2048和4096）。IPR分布的尺度不变性显而易见。（b）的分配流量 $自然对数 {P（P）}_{2}$ 根据动力学方程计算(3.17)在 $吨 = b条自然对数第页 = 1.2 \dots 1.7$ （从右向左）。附近的振荡 $自然对数 {P（P）}_{2} = - 1.5$ 是由于舍入误差造成的数值伪影。发件人225.重用权限（&P）
图12
分布函数 $P（P） ({\tilde{P（P）}}_{问})$ 在 $问 = 2$ $(○)$ , 4 $(◻)$ 、和6 $(◇)$ 在 $b条 = 4$ 对于尺寸系统 $我 = 4096$ 实线表示分析结果方程式(3.9). 插图：渐近线 $P（P） ({\tilde{P（P）}}_{4})$ 虚线表示指数幂律 ${x个}_{4} = 1.7$ .来自225.重用权限（&P）
图13
PRBM模型中的强多重分形。（a）功能 $T型 (问)$ 表征指数 $τ (问)$ 通过 $τ (问) = 2 b条 T型 (问)$ 在 $b条 ⪡ 1$ 虚线表示极点位置。插图：勒让德变换 $F类 (A类)$ 通过描述多重分形谱 $（f） (α) = 2 b条 F类 (α ∕ 2 b条)$ .（b） $（f） (α)$ 对于 $b条 = 0.25$ $(◇)$ 和 $b条 = 0.1$ $(△)$ .插入：指数 $τ (问)$ 虚线和虚线表示分析结果，等式(3.23,3.20). 发件人225.重用权限（&P）
图14
PRBM模型中的级别统计信息。（a）二级相关函数 $对_{2} (秒)$ 对于两种系统尺寸 $我 = 256$ $(○)$ 和 $我 = 512$ $(◻)$ 在 $b条 = 0.1$ 实线表示理论结果(3.29). （b）层数差异 $⟨ δ {N个}^{2} ⟩$ 作为平均能级数参数化区间能量宽度的函数 $⟨ N个 ⟩$ 。痕迹对应于 $b条 = 1$ （打开 $\circ$ : $我 = 4096$ ，已关闭： $我 = 2048$ ), $b条 = 0.25$ （打开 $◻$ : $我 = 4096$ ，已关闭： $我 = 2048$ )以及 $b条 = 0.05$ （打开 $◇$ : $我 = 4096$ , $◇$ 带点： $我 = 1024$ ，已关闭： $我 = 512$ ). 虚线表示分析预测公式(3.30). 发件人225.重用权限（&P）
图15
比率 $对_{第页} = Δ_{问}^{秒} (b条, 第页) ∕ Δ_{问}^{b条} (b条)$ 大的表面和体积反常指数 $b条$ ，作为反射参数的函数 $第页$ 。钻石代表 $σ$ -经典演化方程数值解的模型分析(3.35). 圆圈表示PRBM模型的直接计算机模拟 $b条 = 8$ .比率 $对_{第页}$ 已评估范围 $0 < 问 < 1$ ，其中异常指数的数值精度最高。在此间隔内，获得 $对_{第页}$ 是 $问$ 独立（在数值误差范围内），符合公式(3.34). 发件人220.重用权限（&P）
图16
PRBM模型中的表面与体临界性：从准金属演变而来 $(b条 ⪢ 1)$ 到准绝热 $(b条 ⪡ 1)$ 政体。上部面板：异常指数 $Δ_{2} \equiv {D类}_{2} - 1$ 作为的函数 $b条$ 从体和边界反射参数的数值模拟 $第页 = 0$ 和 $1$ .Inset：数据 $第页 = 三$ 与 $第页 = 0$ 批量值。下部面板：曲面和体积数据 $第页 = 0$ 与小型和大型的分析结果进行比较 $b条$ （使用 $对_{0} = 2.78$ )，等式(3.7,3.34,3.20,3.38). 发件人220.重用权限（&P）
图17
大型PRBM模型中的表面与体多重分形 $b条$ 上面板：边界和体多重分形谱 $Δ_{问}^{秒}$ 和 $Δ_{问}^{b条}$ 在 $b条 = 2$ , $4$ 、和 $8$ 对于反射参数 $第页 = 1$ 根据公式(3.37)与体相比较，表面多重分形谱增强了一个接近2的因子。中间面板：表面光谱除以分析 $b条 ⪢ 1$ 结果，等式(3.34). 随着增长 $b条$ ，数值数据收敛于分析结果（虚线）。下部面板：体光谱的类似图。发件人220.重用权限（&P）
图18
数值确定的边界和体积异常尺寸 $Δ_{问}$ 在 $b条 = 0.1$ 对于 $第页 = 0$ , $1$ 、和 $三$ 如预期，体积反常维数与 $第页$ 根据等式(3.39)，用于 $第页 = 三$ 表面尺寸和体积尺寸具有相同的值。插图： $第页 = 0$ 数据与分析结果进行比较，表面[实线，等式(3.38)]和散装[虚线，等式(3.20)]. 已计算分析数据 $问 \geq 0.6$ 和镜像用于 $问 \leq 0.4$ 使用对称关系 $Δ_{问} = Δ_{1 - 问}$ .在 $问 = 1 ∕ 2$ ，于 $∣ 问 - 1 ∕ 2 ∣ ≲ 1 ∕ 自然对数 {b条}^{- 1}$ 、分析结果(3.20)发生故障。来自Subramaniam，220.重用权限（&P）
图19
多重分形谱 $δ_{问}$ 安藤模型（虚线， ${W公司}_{c（c）} = 5.84$ )和SU（2）模型（固体， ${W公司}_{c（c）} = 5.953$ ). 为了突出抛物线的偏差，减少反常尺寸 $δ_{问} = Δ_{问} ∕ 问 (1 - 问)$ 绘制。异常尺寸 $δ_{问}^{类型}$ 还显示了从典型IPR获得的 $(◇)$ 虚线表示估计误差 $(2 σ)$ 在里面 $δ_{0}$ 插图：附近实线行为的放大 $问 = \frac{1}{2}$ 由空圆圈表示 $(○)$ .填充符号 $(●)$ 在反射后显示原始轨迹 $问 = \frac{1}{2}$ 点划线表示拟合（偏移： $10^{- 三}$ ) $δ_{问} = 0.1705 + 0.0043 (问 - \frac{1}{2})^{2}$ .来自216.重用权限（&P）
图20
普鲁士肯双参数流程图 $σ$ 模型，由首次提出175.重用权限（&P）
图21
智商转换的Chalker-Coddington网络模型(64). 符号 $\pm c（c）$ , $\pm 秒$ 表示组件 $\pm 余弦 θ$ , $\pm 罪 θ$ 网络节点处的散射矩阵。重用权限（&P）
图22
IQH（固体）和 $2 d日$ 周期边界条件和方形样本几何体的辛（虚线）临界点。改编自255.重用权限（&P）
图23
IQH跃迁处的多重分形光谱。粗实线：数值结果 $（f） (α)$ 通过外推后平均IPR的缩放获得 $我 \to \infty$ 多个有限值的数据 $我 = 16$ 图中还显示了、128和1024。粗虚线：抛物线近似，等式(6.9). 插图：典型IPR的数据点 $我 = 16,128$ 和1024（开放符号）并外推到无限系统大小（闭合圆）；平均IPR的数据用实线表示。发件人99.重用权限（&P）
图24
反常多重分形维数 $Δ_{问}$ [除以 $问 (1 - 问)$ ]在IQHE临界点，根据平均IPR外推得出。在精确抛物线的情况下，绘制的数量应为常数。虚线表示获得的误差条 $α_{0} - 2$ .圆圈给出 $Δ_{问}^{类型} ∕ 问 (1 - 问)$ 从典型IPR中获得。如第2C5节所述， $Δ_{问}^{类型} = Δ_{问}$ 对于 $问 < 问_{+}$ ; 对于抛物线光谱的IQHE(6.9,6.10)我们发现 $问_{+} = [2 ∕ (α_{0} - 2)]^{1 ∕ 2} ≃ 2.76$ 。因此 $Δ_{问}^{类型} ∕ 问 (1 - 问)$ 在范围内 $问 > 问_{+}$ ，这解释了它们与 $Δ_{问} ∕ 问 (1 - 问)$ .基于的数据99.重用权限（&P）
图25
四次通过网络节点的路径的可能配置。符号 $c（c）$ 和 $\pm 秒$ 表示元素 $余弦 θ$ , $\pm 罪 θ$ 的 $S公司$ -矩阵。第6D2节中的声明（2）允许删除量子干涉贡献（iii）并与贡献（i）和（ii）权重关联 ${余弦}^{2} θ$ 和 $罪^{2} θ$ 分别产生到经典渗流的映射。重用权限（&P）
图26
SQHE关键性。（a） DOS的系统尺寸缩放图 $我 = 16 (◇)$ , $32 (◻)$ 、和 $96 (○)$ 虚线和虚线表示功率定律（虚线： ${E类}^{1 ∕ 7}$ ，带点： ${E类}^{2}$ ), $δ = 1 ∕ 2 π 我^{7 ∕ 4}$ 表示水平间距 $E类 = 0$ 插图：线性刻度上的相同数据和RMT结果（实心曲线）。发件人100（b）两点电导随距离的缩放 $第页$ 触点之间：平均值（空符号）， $⟨ 克 ⟩$ 和典型值（填充符号）， $克_{类型} = 经验 ⟨ 自然对数克 ⟩$ ，用于 $我 = 128 (◻)$ 和 $我 = 196 (○)$ 图中还显示了两点格林函数的缩放 $⟨ ∣ G公司 ∣^{2} ⟩$ 和 $∣ G公司 ∣_{类型}^{2} = 经验 ⟨ 自然对数 ∣ G公司 ∣^{2} ⟩$ [ $我 = 128 (△)$ , $我 = 196 (◇)$ ]. 这些线对应于 ${第页}^{- 1 ∕ 2}$ （虚线）和 ${第页}^{- 三 ∕ 4}$ （虚线）幂律。普遍偏离幂律缩放 $第页$ 是由于有限的系统尺寸。发件人226.重用权限（&P）
图27
SQHE多重分形。上面板：异常尺寸 $Δ_{问}$ （实线）和 $Δ_{问}^{类型}$ （圈）在SQHE临界点。数值结果与分析结果吻合良好 $Δ_{2} = - 1 ∕ 4$ 和 $Δ_{三} = - 三 ∕ 4$ 数据以表格形式呈现 $Δ_{问} ∕ 问 (1 - 问)$ 强调与精确抛物线的偏差（虚线）。下部面板：奇点谱 $（f） (α)$ （实线）和抛物线近似（虚线）。插图：顶点区域的放大视图。发件人226.重用权限（&P）
图28
Cho-Fisher模型的相位图，通过65通过传输矩阵计算得出。平面的跨度由参数决定 $罪^{2} θ$ 、相互模式隧道概率，以及 $第页$ 涡旋无序的浓度：这些控制着电导率分量的短距离值 $σ_{x个年}$ 和 $σ_{x个 x个}$ 分别是。重用权限（&P）
图29
Cho-Fisher模型热金属相的DOS。（a）金属相低能量DOS。参数（上部曲线）： $第页 = 0.5$ , $θ = π ∕ 4$ ，系统大小 $我 = 128$ （正方形）和 $我 = 256$ （整圈）。直线虚线表示对数渐近。对于最低能量，RMT振荡清晰可见；如右图所示，它们塌陷在一条曲线上。为了进行比较 $第页 = 0.15$ 和 $0.1$ 还显示了；后一点靠近金属相的预期边界，见图28。可以看出，当系统接近相界时，DOS的对数增加消失，RMT振荡被阻尼。（b）最大无序状态下的重正化DOS $第页 = 0.5$ 在对称线上 $罪^{2} θ = 1 ∕ 2$ 对于不同的系统尺寸和能量，以能级间距为单位 $δ_{我}$ RMT结果，等式(6.53)，绘制为虚线以进行比较。插图：对数相关性 $1 ∕ 我^{2} δ_{我}$ 论系统规模 $我$ ，与左图数据一致。发件人218.重用权限（&P）
图30
DOS附近 $E类 = 0$ 对于无序值 $第页 = 0.13$ 、0.08、0.04和0.02以及两种系统尺寸 $我 = 64$ 和 $128$ 固定式型板联轴器 $罪^{2} θ = 0.579$ DOS的对数发散为 $E类 \to 0$ 金属相 $(第页 = 0.13)$ 并在局部化阶段保持有限（其他值 $第页$ ). 最低杂质浓度的结果， $第页 = 0.02$ ，显示了由清洁系统的能带结构引起的振荡特征，以及在最低能量下数据的强散射，这是由于不充分的系综平均。上部插图：低能量峰值 $第页 = 0.13$ ; 其振幅随 $我$ 符合第3A节的规定。下插图：低能量DOS $第页 = 0.08$ 。无峰值 $E类 \to 0$ 检测到； $ρ (E类 \to 0)$ 是一个独立于 $我$ ，表示系统处于绝缘阶段。由于DOS较小，下部插图中的统计噪声比上部插图中的更明显。发件人218.重用权限（&P）
图31
自双线低能量DOS $罪^{2} θ = 0.5$ 对于无序浓度 $第页 = 0.2$ ( $○$ , $◇$ ), 0.1 ( $◻$ 、x）和0.05( $△$ ，+），其中在每种情况下，第一个符号表示 $我 = 128$ 第二个是为了 $我 = 256$ .插图： $ρ (E类) ∕ ∣ E类 ∣$ 在 $第页 = 0.05$ 在对数尺度上。可以清楚地观察到对数校正，与等式一致(6.54). 发件人218.重用权限（&P）