量子计算中的一个新阶段

量子全能或几何相位是微分几何中众所周知的旋转效应的量子模拟，当向量围绕曲面上的环平行传输时，会出现这种效应（见图。2). 尽管没有沿循环进行局部旋转，但该向量可能会返回旋转。这种“无局部旋转的全局旋转”是由底层空间的曲率引起的完整性。在量子力学中，状态由希尔伯特空间中的向量表示，这些向量的旋转是通过对其应用酉矩阵或相位因子来给出的。正如在微分几何情况下一样，量子状态向量可以在某些量子参数空间中无需绕环路局部旋转即可进行传输，由此产生的变换对状态向量的影响与应用酉矩阵的影响相同[7]或相位因数[8,9]这只取决于循环的全局几何属性。

插图：艾伦·斯通布雷克

完整量子计算的原始形式[10]，量子比特（量子比特）的状态编码在一个合适的参数依赖哈密顿量的简并能量本征空间中。当参数在环周围绝热变化时，在初始哈密顿量的这种能量本征空间中开始的状态将在相同本征空间中的另一个状态结束。量子比特的最终状态和初始状态将通过酉旋转来关联，酉旋转仅取决于参数空间中循环的属性，但与状态的能量和遍历循环所需的时间无关。这种旋转是所需的完整变换，它构成完整量子门——完整量子计算的基本构建块。这与更传统的量子计算非常不同，在这种量子计算中，某种寄存器中的量子比特被各种逻辑操作所作用，以便及时动态地将系统演化为结果。几何量子计算（将在下一节讨论）是完整量子计算，或其非绝热扩展，仅限于哈密顿量的非简并（一维）能量本征空间。

实际上，要进行量子计算，只需实现某些基本的一个和两个量子位操作，即可形成通用集。这些操作类似于传统微电子的基本构造块OR、AND、NOT操作。这样一组对量子比特的操作可用于以任意精度模拟任何量子计算。完整量子计算的第一个目标是找到全几何通用门集的物理实现，即完全基于量子完整性。

基本上，我们正在寻找的是物理量子位（二能级量子系统），其演化可以通过弯曲空间中的参数进行控制。乌纳扬等。 [13]发现一个四能级原子形成了一个“三脚架”系统（见图。三)可以表示曲线参数空间。该系统由三个简并的内部原子态组成，每个态通过激光场耦合到一个激发态。场提升了内部态的简并度，但只是部分提升：对于所有场配置，两个能级保持简并。这些简并能级具有零能量，不涉及激发态，即它们形成一对“暗”态，可用于编码单个量子比特的状态。

插图：艾伦·斯通布雷克

如果激光场的振幅和相位围绕合适的环路变化，就可以对量子比特进行计算。通过这种方式，人们可以实现一对对量子比特通用的非交互性完整门。接下来，如果允许存储不同量子比特的原子相互作用，并且场围绕一个合适的环路变化，那么结果就是一个纯几何起源的纠缠双量子比特门，它完成了全几何通用集。

值得注意的是，上述纯几何量子计算场景可以用于其他量子门结构，如离子阱[14]，超导纳米电路[15]和半导体量子点[16]这使得三脚架能级系统成为完整量子计算的范例场景。

几何量子计算使用一维几何相位因子代替多维全息来实现量子门的通用集合。基于几何相位的量子计算有三种不同的实现方式。

首先，考虑Berry阶段[8]这种情况发生在Aharonov-Bohm设置中，在这种情况下，限制在盒子内的带电粒子获得几何相位，同时缓慢地将盒子绕着磁通量旋转。正如在上一节中描述的更一般的整体论中一样，这个阶段出现在绝热演化中，但现在对于哈密顿量的非退化本征空间来说。事实上，Berry相位可以被认为是限制在一维能量本征空间的绝热量子全能。

Berry相位可以通过在非简并能级（例如磁场中自旋−1/2粒子的自旋向上和自旋向下状态）中编码逻辑状态来用于量子计算。当该场围绕一个环缓慢旋转时，自旋态将拾取由封闭立体角的一半给出的大小为相反符号的Berry相位，这定义了作用于两个自旋态的绝热几何相移门。但这些状态也会拾取不同的动力学相位（由于磁场与自旋相互作用引起的塞曼分裂），需要对此进行补偿。琼斯等。 [12]通过一系列巧妙的射频场消除这些动态相位 $\mathrm{<trans\; data-src="\pi ">\pi </trans>}$-脉冲（交换自旋向上和自旋向下状态）应用于核磁共振装置中的一对耦合核自旋。

几何量子计算的第二种方法是基于这样一个事实，即几何相位也可能在非绝热过程中积累[9]在哈密顿量参数（例如自旋1/2系统中的磁场）随时间迅速变化的情况下，会导致不同能级之间的跃迁。这些相位由状态空间中环路的几何性质决定，例如表示量子自旋方向的空间，而不是由慢参数空间中的环路决定，例如上述Berry相位场景中旋转磁场的方向。与Berry相位相比，人们可以确定非绝热几何相位的两个重要优点：它们可以更快地实现，这意味着不需要的退相干效应生效的时间更短，即使动态相位消失，它们也可能发生，从而避免了引入复杂技术来去除这些相位的需要。

非绝热几何量子计算的关键思想是在状态空间中找到动力学相位为零的路径。让我们考虑一个量子比特，它的状态空间是一个二维球体，称为布洛赫球体，其中极角为 $\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}$（方位角 $\mathrm{<trans\; data-src="\varphi ">\varphi </trans>}$)描述了两个计算基态0和1之间的相对权重（相对相位）。如果我们沿着这个球体上的大圆（测地线）移动量子位，就不会发生动力学相位。现在，考虑由大圆段组成的环的演化，形成测地线多边形（见图。4). 它导致了纯几何起源的相位因子，因为动力相位沿每个测地线段消失。几何相位变为布洛赫球体上循环所包围的立体角的一半。

插图：艾伦·斯通布雷克

了解非绝热几何量子计算[17,18]可以在物理设置中实现，可以想象磁场中的自旋−1/2粒子。如果改变磁场，使其始终与演化的自旋正交，则动力学相位消失，由此产生的相位变为纯几何相位。获得的几何相位的符号取决于自旋的方向，也就是说，上旋和下旋状态的叠加会拾取一个相对相位，该相对相位等于由状态矢量运动切出的封闭立体角。此相位旋转对应于在 $\mathrm{<trans\; data-src="\varphi ">\varphi </trans>}$-布洛赫球面上的方向（见图。4)是一个非绝热几何相位门，是一个普适集合的必要成分之一。

实现几何量子计算的第三种方法是基于这样的想法，即在某些情况下，动力学相位可能与几何相位成比例。对于这种演变，不需要删除动态阶段，因为它应该显示出与几何阶段相同的错误恢复能力。这个想法被命名为非常规几何量子计算[19].

例如，雷布弗里德等。 [20]实现了一种基于非常规几何相位的鲁棒双量子比特相位门。他们展示了激光束如何在太空中移动两个铍离子，以及这种运动如何导致以离子内部状态为条件的量子相。朱和王[19]随后证明，这个相位实际上是一个非常规的几何相位，在这种情况下，它与传统的几何相位相等，但带有负号。莱布弗里德实现的门的极高保真度等。 [20]指出了非常规几何相位方案，这也被提出用于超导[21]和原子[22]腔中的量子比特可能对量子计算有用。

几何相位和量子完整性是量子演化的全局特性，因此对局部误差具有鲁棒性。这就是完整量子计算和几何量子计算的弹性猜想的基本原因，这是一个最近被详细研究过的猜想。

为了理解几何相位的概念是如何被用来实现误差恢复能力的，考虑一个暴露在围绕绝热环波动的磁场中的自旋。这些波动会在自旋的获得阶段造成误差。误差仅存在于动态阶段，因为如果波动足够随机，则回路的立体角平均保持不变。因此，如果可以消除动态相位，则可以预期参数波动的恢复能力。

现在，关键是可以系统地消除动力学相位对量子门的影响。至少有两种方法可以做到这一点：要么使用自旋回旋，要么在暗能量本征空间中编码量子比特态。自旋回波是通过两次遍历循环演化来实现的，第二次应用在相反的方向上，由一对短的 $\mathrm{<trans\; data-src="\pi ">\pi </trans>}$-翻转量子位的脉冲，如琼斯演示的核磁共振装置等。 [12]这将有效地消除动态相位（包括波动引起的修正），因为该相位将成为对闸门无影响的整体相位。暗态的能量为零，因此没有动态相位。因此，基于暗态的门对绝热演化具有自动鲁棒性，这一鲁棒性已在三脚架系统的仿真中得到证实[23]这些结果有力地证明了完整量子计算在参数波动情况下的鲁棒性猜想。

然而，参数波动并不是量子计算中唯一的误差源。环境诱导的退相干也会引入误差，即计算系统因与环境纠缠而失去连贯性的过程。但是退相干使得如何区分几何和动力学对量子门的贡献变得不那么明显。这两种贡献在量子系统的去包裹进化中基本上交织在一起。因此，几何相位如何保护量子信息不受环境引起的误差影响，确实是一个微妙的问题。

最近，人们从不同的角度分析了几何相位在消相干存在下的行为。卡罗洛等。 [24]提出了基于量子轨道模型的几何相位概念。该模型从马尔可夫型演化的假设出发，马尔可夫演化可以分解为纯状态演化的轨迹集。每个这样的量子轨迹都会拾取一个与误差相关的几何相位。这种方法的要点是，它可以用来理解如何防止不同误差源对几何相位或量子完整性的影响。Cen和Zanardi利用这个想法[25]提出了一种类似于spin-echo的方法，通过沿相反方向两次遍历轨迹来防止与最低阶轨迹相关的耗散误差。

用钳子钳起等。 [26]基于干涉测量中的量子运动学，介绍了研究非均匀演化几何相位的一般理论框架。这种方法抓住了非均匀演化的另一个特征，即与环境接触的量子系统的状态必须用密度矩阵来描述，即几个波函数的统计混合。当这些波函数发展时，它们获得不同的几何相位，导致总体几何相位是统计混合物上的某个平均值。这种方法的一个关键点是它是运动学的，这意味着它适用于任何形式的潜在动力学。它被用来证明时间的存在[27]和温度[28]几何相位实际上不受退相干影响的尺度，因此对量子计算很有用。

几何相位和量子完整性领域的进展导致了几何和计算概念的有趣融合。我们不仅见证了在实际系统中实现量子完整性和几何相位的新方法，还见证了如何使用这些实现来进行稳健的量子计算。几个小组的结果为解决几何相位和完整量子计算的稳健性提供了新的思路。

迄今为止，使用绝热全息的量子计算实验仅限于一维情况：由几何相位实现的一个和两个量子比特门。未来的一个挑战是在实验室中执行矩阵值的完整性。它们是全几何通用量子计算所必需的，并且具有对动力学误差具有内在鲁棒性的吸引人的特性。因此，矩阵值全息的实验实现将是实现容错量子计算的关键一步。

另一个值得进一步研究的实验问题涉及开放系统效应中的几何相位。杜等。 [29]进行了核磁共振实验，以测量混合量子态的几何相位，理论上在[30].韭菜等。 [31]实验分析了受参数涨落影响的超导量子比特的Berry相位。未来的一个挑战是将这项工作扩展到更一般形式的开放系统效应，如耗散和量子跳跃。这样的实验将有助于测试真实系统中完整和几何量子计算的误差恢复能力。

研究已经达到一个水平，将完整和几何量子计算与其他形式的错误避免和错误纠正方法相结合，以提高错误恢复能力。事实上，已经在这方面采取了一些步骤。吴等。 [32]演示了如何将完整量子计算对参数波动的弹性与无消相干子空间的固有鲁棒性结合起来。最近，奥雷什科夫等。 [33]演示了如何将完整量子计算与主动纠错相结合。为了找到达到容错量子计算所需精度的方法，进一步发展这些想法似乎是非常可取的。