物理学。Rev.Research 4，043090（2022）-用人工神经网络求解高阶微分方程的相空间方法

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用人工神经网络求解高阶微分方程的相空间方法

弗洛里亚诺·托里和文森特·吉尼斯

物理学。Rev.研究4，043090–2022年11月8日出版

摘要

求解微分方程的能力是复杂系统建模和理解的关键一步。求解微分方程有几种分析和数值方法，每种方法都有各自的优点和局限性。物理信息神经网络（PINNs）提供了另一种视角。尽管PINN提供了很有希望的结果，但许多人对这种方法仍然一无所知。本文介绍了一种提高PINN求解微分方程效率的方法。我们的方法与问题的表述有关：不是训练网络来解决 $n个第个$ 阶微分方程，我们建议将问题转化为 $n个$ 相空间中的一阶方程。该网络的目标是同时求解系统的所有方程，有效地引入了多任务优化问题。我们比较了这两种方法在各种问题上的经验，从具有常系数的二阶微分方程到高阶和非线性问题。我们还表明，我们的方法适用于求解偏微分方程。我们的结果表明，该系统方法在大多数实验中表现相同或更好。我们分析了少数表现不佳的跑步的学习过程，并表明问题源于训练过程中相互冲突的梯度，有效地阻碍了多任务学习。本文的结果是一种简单的启发式方法，可以结合到任何后续的研究中，这些研究建立在PINN求解微分方程的基础上。此外，它还展示了如何通过实施多任务学习文献中的技术来提高PINN的效率。