图1

（a） Schwinger-Keldysh配分函数的示意图[55,56]. 密度矩阵的时间演化$\mathrm{<trans\; data-src="\rho ">\rho </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="e">e（电子）</trans>}}^{<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="\rho ">\rho </trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="e">e（电子）</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}}$可以通过在$\mathrm{<trans\; data-src="\rho ">\rho </trans>}$。这些时间线对应于$<trans\; data-src="+">+</trans>$和$<trans\; data-src="-">-</trans>$Schwinger-Keldysh轮廓的部分。（b） 四时间相关函数KMS条件的示意图$<trans\; data-src="\langle ">\langle </trans>{\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="b">b</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="b">b</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="b">b</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="b">b</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="\rangle ">\rangle </trans>$具有${\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="<"><</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}$和${\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="b">b</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="<"><</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="b">b</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}$，其中${\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}$和${\mathrm{<trans\; data-src="b">b</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}$是玻色子场操作员。如第一等式（浅蓝色方框）所示，该相关函数具有适当的时间顺序，因此可以用算符在Schwinger-Keldysh形式主义中直接表示${\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}$和${\mathrm{<trans\; data-src="b">b</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}$根据$<trans\; data-src="-">-</trans>$和$<trans\; data-src="+">+</trans>$轮廓。热密度矩阵$\mathrm{<trans\; data-src="\rho ">\rho </trans>}<trans\; data-src="=">=</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="e">e（电子）</trans>}}^{<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\beta ">\beta </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}}<trans\; data-src="/">/</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="r">第页</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="e">e（电子）</trans>}}^{<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\beta ">\beta </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}}$可以首先分为以下产品${\mathrm{<trans\; data-src="e">e（电子）</trans>}}^{<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\beta ">\beta </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}<trans\; data-src="/">/</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="\times ">\times </trans>{\mathrm{<trans\; data-src="e">e（电子）</trans>}}^{<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\beta ">\beta </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}<trans\; data-src="/">/</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}$然后这两个因素可以沿着两条时间线向相反的方向移动，其效果是$<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="\beta ">\beta </trans>}<trans\; data-src="/">/</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}$和$<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="\beta ">\beta </trans>}<trans\; data-src="/">/</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}$到的时间参数${\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}$和${\mathrm{<trans\; data-src="b">b</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}$分别是。在这两个因素移动到时间线的末尾后，由于轨迹的循环特性，它们结合在一起，如第二个等式（橙色方框）所示，此时时间线绕道进入复杂平面，并且如箭头所示，整体时间顺序有效颠倒，箭头向$\mathrm{<trans\; data-src="\rho ">\rho </trans>}$而不是像草图（a）或草图（b）的第一等式那样偏离它。然后可以通过时间反转操作恢复原始时间顺序$\mathsf{<trans\; data-src="T">T型</trans>}$，在应用时，操作符被时间反转变换的操作符替换，$\stackrel{<trans\; data-src="̃">̃</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="\rho ">\rho </trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans>\mathsf{<trans\; data-src="T">T型</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="\rho ">\rho </trans>}{\mathsf{<trans\; data-src="T">T型</trans>}}^{<trans\; data-src="†">†</trans>}$等，时间变量的符号颠倒。此外，由于$\mathsf{<trans\; data-src="T">T型</trans>}$，必须在轨迹内取表达式的埃尔米特伴随。因此，运算符的顺序颠倒了，其中一个获得了第三个等式（绿色框），这也是正确的时间顺序。这种结构可以推广到任意相关函数，从而得出公式(47).