物理学。Rev.B 75，075103（2007）-$D=3$及以上的精确拓扑量子顺序：Branyons和brane-net凝聚

中的精确拓扑量子序 $D类 = 三$ 除此之外：Branyons和膜网冷凝液

H.Bombin和M.A.Martin-Delgado

物理学。版本B75，075103–2007年2月7日出版

摘要

我们构造了作用于三维自旋晶格上的精确可解哈密顿量- $\frac{1}{2}$ 展现拓扑量子秩序的系统。基态是一个弦网和一个膜网冷凝物。激发以准粒子和通量的形式出现，分别作为弦和膜的边界。基态的简并性取决于3-流形的同调性。我们将该系统推广到 $D类 ⩾ 4$ ，其中可能会出现不同的拓扑相位。整个结构基于我们称之为colex的特定复合物。

15更多

收到日期：2006年8月4日

内政部：https://doi.org/10.103/PhysRevB.75.075103

作者和附属机构

H.炸弹和马丁·德尔加多（M.A.Martin-Delgado）

西班牙马德里，28040，Complutense大学，西班牙西嘉第一学院

文章文本（需要订阅）

单击以展开

参考（需要订阅）

单击以展开

问题

第75卷，第。2007年2月7日至15日

重用权限（&P）

Access选项

图像

图1
在（a）中，这两条曲线是同源的，因为它们形成了变形圆盘的边界。在（b）和（c）中，3个圆环体表示为一个立方体，其中必须标识相对的边。在（b）中 $1 − 循环$ 如（c）所示，是 $2 − 循环$ .重用权限（&P）
图2
（a）顶点、（b）边、（c）面和（d）多面体。重用权限（&P）
图3
3列顶点的邻域。四条边、六个面和四个单元在每个顶点相交。重用权限（&P）
图4
（在线着色）（a）顶点（b）a的3-列中的邻域 $克$ 边缘，（c）a $b条年$ 面，黄色面可见，蓝色面隐藏，以及（d）a $b条$ 单元格。面是根据其可见侧单元格的颜色进行着色的。重用权限（&P）
图5
（在线彩色）射影空间 ${P（P）}^{三}$ 可以从实心球体开始并识别其表面上的相对点来获得。这里，我们使用这样的表示来表示 ${P（P）}^{三}$ .重用权限（&P）
图6
（在线着色）（a）可以填充无限空间或三维圆环体的柱体单元。忘记了非物理的颜色，它的对称性是立方体的对称性，只有一个 $第页$ 核心单元。在这里，单元格和链接都被赋予了颜色。去掉一个黄色单元格以显示单元单元格的内部。（b）八个单元单元放在一起。回想一下，哈密顿量中没有反映出颜色，所以所有的单位细胞都是相等的，尽管它们因着色而看起来不同。重用权限（&P）
图7
（在线着色）（a）空间的表示 ${S公司}^{2} \times {S公司}^{1}$ .实心管的每一段都是一个球体，管的两端都有标识。（b）一个3芯的 ${S公司}^{2} \times {S公司}^{1}$ 。它由24个顶点组成，每种颜色有12条边，4条 $b条第页$ 面，八个 $b条年$ 面，六个 $第页克$ 面，四个 $第页年$ 面，四个 $克年$ 面，两个 $b条$ 单元格，一个 $第页$ 电池，三个 $克$ 单元格，和两个 $年$ 细胞。（c） $第页$ -以前colex的收缩复合物。顶点对应于 $第页$ 单元格和边缘 $第页$ 边缘。闭合字符串的一个示例是用 $秒$ .它具有重要的同源性。（d） $克年$ -以前colex的收缩复合物。顶点对应于 $b条$ 和 $第页$ 单元格，边缘到 $第页 b条$ 面，面对面 $克年$ 面和单元格 $克$ 和 $年$ 细胞。封闭膜的一个例子是标记有 $米$ 这层膜具有重要的同源性。重用权限（&P）
图8
（在线着色）在该图中，顶部表示colex的一部分，底部表示colex对应的部分 $b条$ -缩小了复杂度。中的顶点 $b条$ -收缩复合体来自 $b条$ -colex中的细胞，边缘来自 $b条$ -边，面 $第页年$ -, $第页克$ -、和 $克年$ -面和单元格 $第页$ -, $年$ -、和 $克$ -单元格。（a） a类 $b条$ -字符串。在colex中，它是 $b条$ -边链接 $b条$ -单元格。在 $b条$ -收缩复杂，可以清楚地看到边缘的路径。（b） A类 $第页年$ -面对应于 $b条$ -收缩复合体，因此其边界可以被视为 $b条$ -字符串。重用权限（&P）
图9
（在线着色）在该图中，顶部表示colex的一部分，底部表示colex对应的部分 $第页年$ -缩小了复杂度。中的顶点 $第页年$ -收缩复合物来自 $克$ 和 $b条$ colex中的细胞，边缘来自 $克 b条$ 面，面自 $第页年$ 面和单元格 $第页$ 和 $年$ 细胞。（a）安 $第页年$ 膜。在colex中，它是 $第页年$ 由链接的面 $克 b条$ 面孔。在 $第页年$ -收缩复杂，膜清晰可见。（b）安 $第页$ 单元格对应于 $第页年$ -收缩复合体，因此其边界可视为 $第页年$ 膜。重用权限（&P）
图10
（联机着色）当 $第页$ 一串 $秒$ 穿过 $第页年$ 薄膜 $米$ ，它们在一个顶点相遇。就管柱和膜操作器而言，这意味着 ${B类}_{米}^{X（X）}$ 和 ${B类}_{秒}^{Z轴}$ 在公共场所行动。重用权限（&P）
图11
（在线着色）在这里，我们代表 ${S公司}^{2} \times {S公司}^{1}$ 如图7所示。在（a）中，给出了非平凡闭字符串的基。另一个可能的字符串是绿色的，但它是这些字符串的组合(10). （b）膜基础 ${S公司}^{2} \times {S公司}^{1}$ 。我们选择了 $克 b条$ ，一个 $克第页$ 、和 $克年$ 膜。还有另外三种非平凡的膜，尤其是 $b条第页$ ，一个 $b条年$ 和a $年第页$ 膜，但它们是这些膜的组合(11).重用权限（&P）
图12
（在线彩色）系统的基态为串网冷凝。这张图片在一个三圆环中表示了求和的典型元素(13).重用权限（&P）
图13
（在线着色）在膜网中，不同的膜可以沿着共同的边界连接。如图所示，这与焊剂的保存有关。重用权限（&P）
图14
（在线着色）有两种方法可以局部创建准粒子。我们可以（a）通过成对相同颜色的线来创建它们，或（b）成组创建它们，每种颜色中的一种形成一个线网。重用权限（&P）
图15
（在线彩色）膜操作器产生的通量激励 ${B类}_{米}^{X（X）}$ 的 $第页年$ 由单个组成的薄膜 $第页年$ 脸。重用权限（&P）
图16
（在线着色）（a） $克年$ 膜是一种 $克年$ 通量。（b） A类 $克年$ 通量可以分裂为 $克 b条$ 通量和a $b条年$ 当它穿过 $第页$ 单元格(16). （c）如文中所述，给定位置的微通量。重用权限（&P）
图17
（联机着色）当 $克$ 电荷绕着 $克年$ 通量，系统获得全局 $- 1$ 阶段。这是因为产生通量的膜操作器和与绕组防腐蚀相关的串操作器。重用权限（&P）
图18
（在线上色）一个红色表面的示例，位于3-colex和已擦除的big之间的边界 $第页$ 单元格。在红色的表面， $第页$ 字符串可以有没有准粒子的端点，并且 $b条克$ , $克年$ 、和 $b条年$ 膜可以有无通量的边界。这些准粒子和通量将准确地生活在缺失的红细胞中。请注意 $年$ 图中的单元格被删除。重用权限（&P）
图19
（在线彩色）A $c（c）$ 生成4个球体的图形。它是最简单的4列，只有两个顶点。重用权限（&P）
图20
（在线彩色）A $b条第页年$ 属于某个 $D类$ colex与 $D类 ⩾ 三$ 。我们在黑色粗线中叠加了它的对偶边界的结构，这在构造 $b条第页年$ -缩小了复杂度。重用权限（&P）
图21
（在线着色）此图显示了双核聚合体中两种可能的收缩复合物。收缩的复合体以黑色粗线条与原始colex重叠。在（a）中 $年$ -收缩复合物如图所示，在（b）中 $b条年$ -缩小了复杂度。重用权限（&P）
图22
（联机着色）此图解释了将曲面上的任意2-复合体转换为2-colex的过程。在（a）中，2-络合物的所有2-细胞均为绿色。在（b）中，1-细胞膨胀为蓝色2-细胞。最后，在（c）中，0-细胞膨胀为红色2-细胞，1-细胞相应着色。重用权限（&P）