物理学。Rev.A 107，012202（2023）-零维玻色子系统合成空间中出现的非厄米局域化现象

零维玻色子系统合成空间中出现的非厄米局域化现象

Ievgen I.Arkhipov和Fabrizio Minganti

物理学。版次A107，012202–2023年1月3日发布

摘要

非厄米体系的相变是前沿理论和实验研究的重点。一方面，平价时间- $(PT公司 -)$ 和 $反对的 - PT公司 - 对称的$ 由于存在称为例外点（EP）的非厄米谱奇异性，物理学越来越受到关注。另一方面，非厄尔米特系统中的拓扑和局部化转变揭示了新的现象，例如，非厄尔米特趋肤效应和传统边界对应的缺失。以前的绝大多数研究只关注非厄米特哈密顿量，其实现需要一个先验的精细调谐扩展晶格，显示拓扑和局域跃迁现象。在这项工作中，我们展示了非厄米特局域化现象如何自然地出现在零维玻色子系统的合成场矩空间中，例如 $反对的 - PT公司$ -和 $PT公司 - 对称的$ 量子二聚体。这为模拟低维系统中的局域跃迁提供了机会，而无需构造复杂的阵列，例如耦合腔或波导。实际上，场矩运动方程可以描述一维（1D）合成晶格中运动的等效（准）粒子。这种合成场矩空间可以表现出非平凡的局域化现象，例如高度简并的EP引起的非厄米蒙皮效应。我们以一个 $反对的 - PT公司 - 对称的$ 双模系统，其高阶场矩本征空间由具有Sylvester矩阵形状的合成一维非厄米哈密顿量模拟。我们的结果可以通过测量光子矩或相关函数，在最先进的光学装置（如超导电路和环形谐振器）中直接验证。

收到日期：2022年10月14日
2022年12月12日验收

内政部：https://doi.org/10.103/PhysRevA.107.012202

物理学科标题（PhySH）

本地化开放量子系统皮肤效应对称保护拓扑状态光子系统中的拓扑效应

非高温系统

PT对称性

多体系统的精确解林德布拉德方程马尔科夫过程主方程平均场理论拓扑结构

原子、分子和光学普通物理学统计物理与热力学

作者和附属机构

列夫根·阿尔基波夫 ^1,*和法布里奇奥·明安蒂 ^2,3,†

¹Palacký大学光学联合实验室和中国科学院物理研究所，Palacký大学理学院，17。listopadu 12，771 46奥洛穆克，捷克共和国
²瑞士洛桑CH-1015洛桑高等技术学院物理研究所
^三瑞士洛桑CH-1015洛桑高等理工学院（EPFL）量子科学与工程中心

^*ievgen.arkhipov@upol.cz
^†fabrizio.minganti@gmail.com制造

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问题

第107卷，第。2023年1月1日

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图1
符合等式的可能实验装置(1)以及由此产生的动态。（a）在微旋体谐振器中，通过适当放置纳米尖端，可以在顺时针和逆时针传播模式之间引入不对称散射。（b）类似地，在光学系统（如腔或电路QED）中，级联系统可以设计为在两个模式或两个腔（表示为模式）之间具有不对称的损耗率 ${\hat{一}}_{1}$ 和 ${\hat{一}}_{2}$ （位于面板中）。（c）如正文所述，使用Lindbladian系统作为量子模拟器的拟议方法的方案。（d）等式的动力学(1)对应于方程式中的NHH(2)，描述了在1D晶格中移动的粒子。现场能量（由椭球体表示）在模量（大小）和符号（从正（红色）到负（蓝色））方面发生变化。站点间右（蓝色）和左（绿色）耦合是不对称的，取决于站点，如箭头的不同宽度所示。（e）能量的实部（蓝色）和虚部（红色） ${E类}_{k个}$ 等式的(2)与 $Δ$ ，根据公式(三)对于站点数为奇数的链 $n个 = 31$ 。在 $Δ = Δ_{欧洲药典} = γ$ ，系统显示 $n个第个$ -订购EP $n个 = N个 + 1$ 站点晶格。在EP处，能量重合，相应的特征向量合并（此处未显示）。对于具有奇数个位点的晶格，谱在实部和虚部（红色虚线和蓝色虚线）始终为零能模式，而对于偶数个位点，谱不具有零能本征模式。
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图2
右特征向量分量的强度分布 $| ψ_{k个}^{R（右）} {(我) |}^{2}$ 带有（a） $k个 = 0$ ，（b） $k个 = 5$ 和（c） $k个 = 10$ 在1D中 $PT公司$ -对称晶格 $n个 = 21$ 各种值的位置 $Δ / γ$ ，根据公式(B1). 具有本征能量的本征向量 ${E类}_{0}$ 整体上是完全离域的 $PT公司$ -对称相位 $Δ / γ < 1$ [（a）]。在破碎的 $PT公司$ 然而，相位位于右边缘。具有的特征向量 $k个 \neq 0, N个$ 相反，它位于深精确的两个边界 $PT公司$ 相位( $Δ / γ ≪ 1$ )，并在EP下方经历非本地化 $Δ_{欧洲药典} = γ$ [（b）和（c）]，因为所有特征向量在EP处浓缩为扩展特征向量。此外，除零能模式外的所有特征向量 $k个 = N个 / 2$ ，穿过EP后( $Δ / γ > 1$ )，在左边缘或右边缘表现出强烈的局部化，经历了所谓的非埃尔米特皮肤效应[（a）和（b）]。相反，零能量模式仍保持在EP[（c）]的正上方。在深深的破碎中 $PT公司$ 相位( $Δ / γ ≫ 1$ )，每个特征向量 $ψ_{k个}^{R（右）}$ 倾向于使用索引对站点进行本地化 $N个 - k个$ [（a）-（c）]。我们不绘制具有相反本征能量的本征向量 ${E类}_{N个 - k个} = - {E类}_{k个}$ 因为除了相对于链中心的对称反射外，它们与所示的相同，这是NHH手性对称的结果。在所有面板中，红色虚线表示 $N个第个$ -订购EP。
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图3
具有本征能量的各种右特征向量的IPR ${E类}_{k个}$ 在1D中 $PT公司$ -对称链。（a）知识产权作为 $Δ / γ$ ，根据公式(4)，对于具有 $n个 = 21$ 地点。除了光谱和拓扑跃迁外 $n个第个$ 顺序还表示局域化转变，IPR在EP附近经历了离域态的连续跳跃[例如，（a）中的蓝色实线、青色虚线和绿色虚线-斑点曲线]。在深深的精确和破碎中 $PT公司$ 阶段，有 $O（运行） (n个)$ 边界定域态，以有序IPR值为特征 $O（运行） (1)$ 在EP附近，EP正下方和上方有 $n个$ 扩展和 $O（运行） (n个)$ 局域本征模。（b）（c）知识产权与站点数量的关系 $n个$ 系统中：（b）EP正下方 $Δ / γ = 0.99$ ，和（c）EP正上方 $Δ / γ = 1.01$ 在EP（b）的正下方，所有 $n个$ 本征模变得离域，IPR随着站点数量的增加而减少 $O（运行） (1 / n个)$ 在EP（c）的正上方，有 $O（运行） (n个)$ 本征态位于链的左边缘或右边缘，对于这些本征态，IPR随着位点数量的增加而饱和，并达到有限的阶数 $O（运行） (1)$ .
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图4
高阶场矩实部的时间演化 $〈 {\hat{一}}_{1}^{j个} {\hat{一}}_{2}^{9 - j个} 〉$ （直到第九阶）反- $PT公司$ -演化矩阵控制的对称双模玻色系统 $M（M）$ 对于特征向量 $| ψ_{0}^{R（右）} 〉$ 和 $| ψ_{N个}^{R（右）} 〉$ 的 $M（M）$ ，如方程式所示(地下二层)和(A1类)分别是。（a） –（c）断裂抗- $PT公司$ 相位 $Δ = 0$ 和（d）–（f）在精确反- $PT公司$ 相位 $Δ / γ = 2$ （a），（b）在破环反辐射中形成扩展本征态的场矩- $PT公司$ 相位和相干态初始化 $| α = 1 〉 | β = - 1 〉$ 和 $| α = 1 〉 | β = 1 〉$ 分别是。这些本征态要么呈指数增长（奇数 $j个$ ，甚至下降 $j个$ )按费率计算 $| {E类}_{0} |$ 在（a）中，或以相同速率衰减 $| {E类}_{N个} | = | {E类}_{0} |$ 在（b）中。（d），（e）相同的初始相干态，但在精确反- $PT公司$ 相位，它们不再是系统本征态。（f）形成边缘本征态的场矩 $| ψ_{0}^{R（右）} 〉$ 在精确的反- $PT公司$ 相位，在相干状态下初始化 $| 1 〉 | - 0.268 我 〉$ .只有最高阶的三个时刻 $j个 = 9, 8, 7$ 可以看出在（f）上形成了边缘状态。（d）–（f）中的颜色图例与（c）中的相同。为了清楚起见，假设二聚体在局部框架中演化，其中 $Γ = 0$ 但可能会以某种速度在全球范围内衰减 $Γ \neq 0$ （详见正文）。
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图5
涌现（a）三角形和（b）四面体合成链的示意图，它们分别出现在三耦合腔和四耦合腔的高阶场矩空间中（如下所示）。（a）和（b）中的场地指数对应于空腔的某些（非）厄米特场力矩，类似于图1.
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图6
右本征模相图 $ψ_{n个}$ ，式中(D8日)由NHH控制的合成链的特征向量组成 $我$ 在等式中(第3天). 四个不同的相位被方程描述的两条线分开 $κ_{1} = κ_{2}$ ( $PT公司$ -对称条件）和等式(第11天). 高度退化异常线（EL）显示为白色虚线。相位I和相位II的特征分别是链的右边缘和左边缘的完全局域本征模。第三阶段（IV）描述了参数空间，其中大多数本征模位于右（左）边缘。在整个阶段III（IV）中，唯一仍局限于左（右）边缘的模式是 $ψ_{N个}$ ( $ψ_{0}$ )其离域化意味着第三和第一阶段（第四和第二阶段）之间的过渡边界。
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物理复习A

涵盖原子、分子、光学物理和量子信息

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