微分层上除数类的正性

摘要

三十年前，Cornalba和Harris证明了与稳定曲线族相关的除数类的基本正性结果。本文对与稳定微分族相关的除数类建立了一个类似的正结果。

1引言

对于正整数|$k$|，让|$\mu=（m_1，\ldot，m_n）$|是的整数（有序）划分|$k（2g-2）$|也就是说，|$m_i\在{\mathbb{Z}}中$|和|$\sum_{i=1}^n m_i=k（2g-2）$|.地层|千美元$|-差速器|${\mathcal{H}}^k（\mu）$|参数化|$（C，\xi，p_1，\ldots，p_n）$|，其中|C美元$|是亏格的光滑且连通的复代数曲线|$克$|和|$\xi美元$|是的（可能是亚纯的）部分|$K_C^{\otimes K}$|这样的话|$（\xi）_0-（\ xi）_\infty=\sum_{i=1}^n m_i p_i$|对于不同（有序）点|$p_1、\ldots、p_n\以C$|表示.如果我们考虑规模差异，则相应的地层|千美元$|-标准除数|${\mathcal{P}}^k（\mu）$|参数化基础除数|$\sum_{i=1}^n m_i p_i$|、和|${\mathcal{P}}^k（\mu）$|因此是|${\mathcal{H}}^k（\mu）$|。我们这样说是为了特别|$\亩$|地层|${\mathcal{H}}^k（\mu）$|和|$｛\mathcal｛P｝｝^k（\mu）$|可以用超椭圆、自旋或非本原连接分量断开[7, 24, 25].

阿贝尔微分和二次微分，即|$k=1$|和|$k=2$|分别与平面几何、台球动力学和Teichmüller理论有着广泛的联系。最近它们的代数性质（也适用于一般|千美元$|-微分）已被大量研究，这在Teichmüller动力学和曲线模量的研究中产生了显著的结果。我们参考[三, 4, 8, 15–17, 19, 29, 31]相关主题以及一些最新发展。

让|${\mathcal{M}}_{g，n}$|是光滑亏格的模空间|$克$|曲线|n美元$|不同的（有序的）标记点。对于签名|$\mu=（m_1，\ldot，m_n）$|具有|$m_1，\ldot，m_r\geq 0$|和|$m_{r+1}，\ldot，m_n<0$|，定义（扭曲）|千美元$|第Hodge束|${\mathcal{H}}^k（\mu^{-}）$|结束|${\mathcal{M}}_{g，n}$|（被负极扭曲|$\mu^{-}=（m_{r+1}，\ldot，m_n）$|属于|$\mu$|)作为|$\pi_{*}（\omega^{otimesk}（-m_{r+1}S_{r+1}-\cdots-m_n S_n）$|，其中|$\pi\冒号{\mathcal{C}}\到{\mathcal{M}}_{g，n}$|是通用曲线，|$\欧米茄$|是相对的二元化线束|$S_i美元$|是的部分|美元\pi$|对应于标记点|$p_i$|.然后|${\mathcal{H}}^k（\mu^{-}）$|包含|$｛\mathcal｛H｝｝^k（\mu）$|作为子变种。根据Riemann–Roch公式|$H^0（C，\omega_C^{\otimesk}（-m_{r+1}p_{r+1}-\cdots-m_n p_n）$|具有预期的维度，其中|$\omega_C美元$|是稳定节点曲线的对偶线束|C美元$|（参见示例[23第83页）。因此，（扭曲的）|千美元$|第Hodge束|${\mathcal{H}}^k（\mu^{-}）$|扩展并保持为向量束|$\上划线{{mathcal{H}}^k（\mu^{-}）$|Deligne–Mumford压缩|$\上划线{{\mathcal{M}}}_{g，n}$|指向稳定曲线。表示方式|$\上划线{{mathcal{P}}^k（\mu^{-}）$|项目化|$\上划线{{mathcal{H}}^k（\mu^{-}）$|结束|$\上划线{{\mathcal{M}}}_{g，n}$|然后让|$\上划线{{\mathcal{P}}}^k（\mu）$|是…的结束|${\mathcal{P}}^k（\mu）$|在里面|$\上划线{{\mathcal{P}}}^k（\mu^{-}）$|.压实地层|$\上划线{{\mathcal{P}}}^k（\mu）$|被称为|${\mathcal{P}}^k（\mu）$|.

关联变量紧致化|$\上划线{{\mathcal{P}}}^k（\mu）$|参数化类型的指向稳定微分（按比例）|$\亩$|[20]，并且它比Deligne–Mumford地层压实作用携带了更丰富的信息。具体来说|$\overline｛\mathcal｛P｝｝｝^k（\mu）$|参数化元组|$（C，\xi，p_1，\ldots，p_n）$|，其中|$（C，p_1，\ldot，p_n）$|是一条尖稳定曲线|$\xi美元$|是的非平凡部分|$\omega_C^{\otimesk}（-m_{r+1}p_{r+1}-\cdots-m_n p_n）$|（按比例），以便|$（C，\xi，p_1，\ldot，p_n）$|在以下情况下显示为限制|千美元$|-类型差异|$\亩$|在光滑曲线上（标记了基本零和极点）退化（扭曲）|千美元$|第Hodge束|$\上划线{{\mathcal{P}}}^k（\mu^{-}）$|.边界点|$\上划线{{\mathcal{P}}}^k（\mu）$|在[三, 4]. 表示方式|美元\eta$|这个|${\mathcal{O}}（-1）$|射影丛的线丛类|$\上划线{{mathcal{P}}^k（\mu^{-}）$|及其对各压实层的限制|$\overline{{mathcal{P}}}^k（\mu）\subset\overline{{mathcal{P{}}^k（\mu^{-}）$|。我们注意到|美元\eta$|在地层的同义重复环中起着重要作用[10].

回想一下，理性的皮卡德集团|$\overline｛｛\mathcal｛M｝｝｝_｛g，n｝$|由生成|$\卡帕$|（或|$\lambda$|),|$\psi _1，\ldots，\psi _n$|和边界除数类，其中|$\kappa=\pi_｛*｝c_1^2（\omega）$|是Miller–Morita–Mumford的第一节课，|美元\lambda$|是（普通）Hodge束的第一个Chern类|美元\psi _i$|是与|1美元$|第个标记点。表示方式|$\psi=\psi_1+\cdots+\psi_n$|我们注意到，我们对|$\卡帕$|类与中定义的类不同[1]，其中|$\kappa^{\textrm{AC}}=\kappa+\psi$|。我们仍在使用|$\kappa$|,|美元\lambda$|和|美元\psi _i$|表示这些类的回调|$\上划线{{\mathcal{P}}}^k（\mu）$|。我们还表示为|美元\ delta$|的总边界因子类|$\上划线{{\mathcal{M}}}_{g，n}$|并将其拉回|$\上划线{{\mathcal{P}}}^k（\mu）$|.关系|$\kappa=12\lambda-\δ$|等待|$\上划线{{\mathcal{M}}}_{g，n}$|，因此它也能保持|$\上划线{{\mathcal{P}}}^k（\mu）$|.

对于一个紧化模空间，了解除数类的正性可以为其双有理几何提供重要信息。对于模量空间|$\上划线{{\mathcal{M}}_g$|稳定属|$克$|曲线，Cornalba和Harris[14]表明某些线性组合|$\卡帕$|（或|$\lambda$|)和|美元\ delta$|都是nef。他们也获得了类似的结果（由肖独立完成[30])对于不包含在边界中的稳定曲线族|$\上划线{{\mathcal{M}}_g$|（参见第节2.1以获得准确的陈述和相关结果）。本文对与点稳定微分族相关的除数类建立了一个类似的正结果。

 

 

我们将证明定理1.1和推论1.2在节中三此外，在第节4我们将构造点稳定微分的特殊族，以表明我们的结果总体上是最优的（参见推论4.4). 请注意，由于|美元\eta$|是|${\mathcal{O}}（-1）$|Hodge丛类，线性组合|美元\eta$|具有|$\卡帕$|和|美元\psi$|跨越地层中Neron–Severi群的重要部分。特别是，涉及的除数类|美元\eta$|在定理中1.1不是从|$\上划线{{\mathcal{M}}}_{g，n}$|，因此不能通过使用上除数类的正性直接推导出结果|$\上划线{{\mathcal{M}}}_{g，n}$|.

我们的结果和方法至少有三个潜在的应用。首先，关联变量压缩|$\上划线{{\mathcal{P}}}^k（\mu）$|是一个更精细的模块化紧化的影子，参数化扭曲微分在基础曲线的任何不可约分量上都不等于零[5]. 自年施工以来[5]是复解析的，我们不能直接得出所得到的模空间的射影率。然而，很有希望应用本文的思想展示与扭微分族相关的一个充分的除数类，从而证明扭微分模空间的射影性。此外，知道充足的除数类有助于确定基础簇的双有理类型，例如，一个一般类型簇的规范类可以写成充足除数类和有效除数类的和。我们希望将地层的标准类与本文中产生的大量除数类进行比较，以确定地层的双有理类型（参见[6, 9, 20]对于某些部分结果）。最后，定理的第二部分1.1给出了一种分析地层大锥体外除数类基址的方法，从而帮助我们更好地理解地层的有效锥体分解以及Mori程序意义上的替代双数模型。我们计划在未来的工作中处理这些问题。

2准备工作

在本节中，我们收集了一些与我们的研究相关的初步结果。

2.1除数类的正性|$\上划线{{\mathcal{M}}}_{g，n}$|

我们回顾了一些关于模空间上除数类正性的已知结果|$\上划线{{\mathcal{M}}}_{g，n}$|点稳定曲线（参见[2（第十四章）。

一般来说|$\上划线{{\mathcal{M}}}_{g，n}$|,|美元\lambda$|和|美元\psi _i$|被称为nef，可以追溯到Arakelov和Mumford[26, 27]. 此外，Cornalba表示|12美元\lambda-\delta+\psi=\kappa+\psi$|足够了|$\上划线{{\mathcal{M}}}_{g，n}$|[13]. Fedorchuk进一步将这种正结果推广到加权点稳定曲线的模空间[18].

2.2结构|千美元$|第Hodge束

我们分析了（扭曲的）|千美元$|一类特殊节点曲线上的Hodge丛。结果将用于第节4当我们构造特殊的点稳定微分族时。

让|C美元$|是尖光滑曲线的并集|$（C_1，q_1）$|和|$（C_2，q_2）$|具有|$q_1美元$|和|$q_2$|标识为节点|$q$|，其中|$C_i$|有属|$g_i$|和|$g_1+g_2=g$|。表示方式|$\omega_C美元$|二元化线束|$加元|.让|$D_i（美元）$|是…的有效除数|$C_i$|其支持不包含|$q_i$|.考虑空间|$H^0（C，ω_C^{音符k}（D_1+D_2））$|其元素|$\xi=（\xi_1，\xi_2）$|由（可能是亚纯的）组成|千美元$|-差速器|$\xi _ i$|在里面|$H^0（C_i，K_{C_i}^{\otimes K}（kq_i+D_i））$|使得|千美元$|-残渣状态|$\operatorname{Res}^k_{q_1}\xi_1=（-1）^k\operator名称{Res}^k_{q_2}\xi_2$|保持（请参见[4，命题3.1]关于|千美元$|-残留物）。注意，如果|$q_1$|不是|千美元$|的次极点|$\xi _1$|，那么|$\运算符名称{Res}^k_{q_1}\xi_1=0$|，因此|$\运算符名称｛Res｝^k_{q_2｝\xi _2=0$|，如果满足|$q_2$|不是|千美元$|的次极点|$\xi _2$|尤其是子空间|$H^0（C_1，K_{C_1}^{otimes K}）\oplus（0）\subset H^0$|与节点的位置无关|q美元$|和的模量|$C_2$|我们注意到除数|$D_1+D_2$|对应于由|$\亩$|在的设置中|千美元$|霍奇捆绑。

3上除数类的正性|$\上划线{{\mathcal{P}}}^k（\mu）$|

在本节中，我们将证明定理1.1和推论1.2.

 

现在我们证明推论1.2.

 

4特殊类型的差速器

我们首先解释，平等可以为(2)和(三)在定理中1.1.在证明中，我们看到如果|$V=0$|，然后是除数类|$（m_i+k）\psi _i-\eta$|和|$k（\kappa+\psi）-（2g-2+n）$|零度开启|$B$|美元。例如，当|十亿美元$|对应于阿贝尔或二次微分地层中的Teichmüller曲线，因为在Teichmüler曲线边界中参数化的退化微分不具有任何相同的零分量（参见[11, 12]).

接下来，我们构造了特殊的点稳定微分族，它们与推论中的充分范围之外的除数类具有非正交集1.2.

 

 

 

将这些示例与推论结合起来1.2，我们得出以下结论。

 

 

致谢

作者感谢Maksym Fedorchuk和Quentin Gendron就相关主题进行的交流。作者还感谢裁判提出的非常有益的纠正和建议。

基金

在这项工作的准备过程中，作者得到了NSF职业奖DMS-1350396和IAS的冯·诺依曼奖学金的部分支持。

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