基于稀疏建模的无线电干涉超分辨率成像

摘要

我们提出了一种利用稀疏建模的无线电干涉测量获得超分辨率图像的新技术。在标准无线电干涉测量中(u个, v（v）)通常是不完整的，因此从观察到的可视性中获取图像成为一个未确定的问题，并且通常使用所谓的“零填充”技术来填充未采样的网格(u个, v（v）)平面，由于有限的光束尺寸以及众多的副瓣，导致图像退化。在本文中，我们表明，基于稀疏建模（在本文中，称为LASSO的最小绝对收缩和选择算子）直接解决这样一个欠定问题可以避免零填充引入的上述问题，从而产生超分辨率图像，其中结构比标准光束尺寸（衍射极限）更细可以复制。我们给出了干涉成像的一维和二维模拟结果，并讨论了其对超分辨率成像的影响，特别是重点讨论了使用毫米VLBI（甚长基线干涉测量）对黑洞阴影的成像。

1引言

1.1提高分辨率

干涉测量是一种替代方法，通过合成无法作为独立单望远镜实现的大型望远镜来获得高角度分辨率。通过整个电磁光谱窗口，射电干涉测量最成功地合成了一个巨大的望远镜，从而合成了一束锐利的光束（例如，Thompson等人。2001). 特别是，VLBI（甚长基线干涉测量）利用了洲际基线，有时甚至是空间基线，提供了天文学史上获得的最高角度分辨率。具有厘米波长地球尺寸基线的VLBI很容易提供0.1 mas的角分辨率。然而，天文物体的结构仍然小于VLBI可用的角度分辨率，因此绝对需要更高的角度分辨率。不幸的是，VLBI阵列的最大基线基本上受到地球大小的限制，除了VSOP/HALCA等空间VLBI项目（Hirabayashi等人。1998)和RadioAstron（Kardashev等人。2013). 一旦阵列大小达到最大值，提高分辨率的唯一方法就是使用更短的波长。

为了获得更高的角度分辨率，人们做出了大量努力来构建国际毫米（mm）/亚毫米VLBI阵列（例如，EHT：事件地平线望远镜；参见Doeleman等人。2009). 用EHT进行高角度分辨率观测的主要目的之一是解析附近超质量黑洞（如Sgr A*和M 87）的事件视界尺度。为此，需要10μas的分辨率。然而，使用短波长（或高频）是一个很大的挑战，并且不能通过缩短波长来无限地提高角度分辨率。例如，考虑到地球上的可用站点和站点，亚毫米VLBI的实际极限被认为是～0.8毫米（或350 GHz）。具有0.8毫米波长和9000公里基线的VLBI将提供～20μas的角分辨率。然而，根据黑洞的大小，这个分辨率可能不足以解决视界附近的黑洞结构，并且还需要进一步提高角度分辨率。

超分辨率，其分辨率高于标准衍射极限λ/D类是打破地球大小和最大观测频率对角度分辨率的限制的另一种极具吸引力的方法。超分辨率相当于扩大阵列尺寸和/或提高频率，因此它将对高分辨率天文学产生重大影响，例如黑洞成像和天文学的其他领域。

1.2无线电干涉测量和稀疏建模的基础

另一方面，有不同的方法重建无线电干涉图像，如最大熵法（MEM）和/或模型拟合，与上述标准成像合成不同的是，这些方法不使用带零通的傅里叶变换，而是选择使用其他标准来最好地描述观察到的能见度的模型（因为该问题不确定，并且有无穷多个解）。如本文后面所述，如果进行了适当的选择，这种选择最佳解决方案的方法可以提供高于标准成像的分辨率。事实上，关于MEM超分辨率的可能性和可视性的模型构建（例如，Cornwell&Evans1985).

同时，稀疏建模被认为是通过引入解的稀疏性来解决欠定问题的一种新的有效方法。压缩传感的最新发展（Donoho2006; 糖果和陶器2006)和LASSO（最小绝对收缩和选择算子；Tibshirani1996)提供稀疏建模的数学工具，可应用于无线电干涉成像。事实上，Wiaux等人的开创性工作。(2009)还有Li、Cornwell和de Hoog(2011)讨论了压缩传感的应用，并通过与标准CLEAN图像的比较，证明了其在无线电干涉成像中的威力。在本文中，为了评估稀疏建模技术对超分辨率成像的影响，我们将LASSO应用于模拟数据，并讨论其在黑洞阴影成像中的应用。

2超分辨率的一维考虑

2.1标准成像

在实际的成像合成中，可以通过使用锥形函数来降低副瓣电平，而不是对所有采样数据使用相等的权重。例如，通过引入高斯锥函数，可以显著降低副瓣电平。然而，尽管锥度对于处理副瓣问题很有用，但它对改善主波束尺寸没有任何用处。事实上，引入高斯锥度函数（以及在较长基线上具有较低权重的其他典型锥度）会增加主光束尺寸，从而降低合成图像的角度分辨率。这个例子清楚地显示了标准傅里叶变换方法（带零通）是如何限制合成光束的大小和图像的角分辨率的。

2.2超分辨率成像

现在简单的问题是：我们如何在无数可能的解决方案中选择最佳解决方案？除了方程式中描述的观测值外，还可以通过施加附加约束来进行选择(4). 事实上，在实际合成中，经常会引入对图像的附加约束。例如，通常假设强度分布我(x个)[或我(x个,年)在二维情况下]是非负的，除了吸收特征的成像。此外，在实际的无线电干涉合成中，可以获得天空平面中有限区域的图像，其中隐式假设源强度分布在所考虑的图像大小内。在大多数情况下，这些假设都是相当合理的，通常用于获得基于标准傅里叶变换的合成图像。

虽然这些假设对于标准成像来说似乎有些微不足道，但这些额外的约束对于在当前部分中考虑的方法中选择最佳解决方案有很大帮助。例如，对于数字1c和1d、 虽然有无穷多的sinc函数解我(x个)与观察结果一致[|$\mathcal{V}（u）=1$|的|u个|≤1]，对我(x个)自动选择我(x个) = δ(x个)作为最佳解决方案。在这种情况下，生成的图像是与初始图像完全匹配的点源，可以恢复具有无限角度分辨率的超分辨率图像！此外，如果对发射区域采取限制，最好的图像也应该是点源解决方案，它具有最低的副瓣电平，因此在考虑成像的区域外提供最小功率。提供额外约束的另一种可能方法是假设图像的“稀疏性”。如果人们更喜欢具有最小数量的非零网格的图像，那么点源解再次成为无限数量的sinc函数解中的最佳图像。

上述三个示例都表明，从可能的解中选择具有附加约束的最佳解，至少在某些情况下，可以提供比标准傅里叶变换方法获得的图像更好地表示真实图像的超分辨率图像。当然，无法保证这种方法是否总是行之有效。然而，可以放心地说，虽然采用标准傅里叶变换（带零通）的确定性方法总是受到合成光束的有限尺寸的影响，但有可能通过在欠定问题中选择最佳解决方案来获得超分辨率图像。

3稀疏建模、压缩传感和LASSO

3.1稀疏建模

如前一节所述，从干涉测量数据（可见性）重建图像通常会成为一个不适定问题。零通技术会导致有限光束大小和多个旁瓣的图像严重退化。另一方面，如果不进行零通运算，基本上干涉方程将成为一个欠定问题，其中存在无穷多个解。如最后一节所示，从可能的解决方案中适当选择最佳解决方案可能会导致我们获得超分辨率图像。然而，一般来说，选择并不是唯一的，很难判断哪一个是最好的。

稀疏建模是一类有效解决这种欠定问题的技术。稀疏建模的基本思想是通过引入一个额外的稀疏性约束来选择欠定问题的有意义的稀疏解：如果解向量的大多数分量为0（称为“稀疏解”），那么这样的欠定问题可以提供唯一的解。由于这种方法支持稀疏解，因此可以预期，如前一节所述，将其应用于干涉成像将产生超分辨率图像。

3.2压缩传感

3.3拉索

压缩传感和LASSO的基本思想非常相似：对于任何未确定的问题，都有无数满足条件的解决方案，例如|$\boldsymbol{z}={\bf A}\boldsymbol{x}$|或|$\|\粗体符号｛z｝-{\bf A}\boldsymbol{x}\|_2^2<\epsilon$|关键问题是如何选择最真实的解决方案（最能代表真实情况），而压缩传感和LASSO都是通过选择一个稀疏的解决方案来实现这一点的，该解决方案在x个。这两种方法的区别在于，在压缩传感中，仅通过以下方式进行选择我1范数，因此选择是相当自动的，但在LASSO中，可以通过改变正则化参数∧来调整解的稀疏性。例如，较大的∧偏爱具有很少非零分量的解，而∧=0不引入稀疏性（在这种情况下，人们不能从无限多的可能解中选择任何特定的解）。

一般来说，LASSO中∧的优化是一个重要问题。一些统计方法，如信息标准或交叉验证，可用于此优化。另一个想法是根据稀疏度的估计来调整∧，稀疏度可能是从一些先验信息或理论预测中获得的。∧的优化值取决于待解决问题的特征（即观测矩阵的形状|${\bf A}$|还有图像x个)，关于这个问题的详细讨论将在未来的工作中给出。在本文中，我们基本上使用∧，这是一个统一的顺序，但在节中5我们还讨论了∧在黑洞阴影合成图像中的作用。

我们还指出，在应用压缩传感或LASSO时，重要的是我们正在处理的现象确实具有稀疏解。否则，引入稀疏性变得不切实际，因此，通过压缩传感或LASSO获得的稀疏解是无用的。然而，正如我们稍后讨论的那样，在VLBI成像的情况下，由于干涉仪的滤波效应（即解决了扩展发射），只能观察到发射的最亮部分，我们可以预计VLBI图像中的稀疏性，因此可以预计这种方法会起作用，特别是在成像黑洞阴影时。

3.4数值模拟

在稀疏建模中，一个重要的问题是在哪个域中解变得稀疏。如果实际解决方案在考虑的领域中不是稀疏的，那么应用稀疏建模（压缩感知或LASSO）可能会导致不合理的解决方案，而这些解决方案并不代表实际解决方案。在本研究中，我们简单地假设解在图像域变得稀疏，因为我们专注于用mm和亚mm VLBI观测超大质量黑洞提取紧凑的高亮度组件（解决了长时间发射问题）。这种紧凑的发射预计主要与黑洞附近有关，因此被限制在图像区域的一部分，使得预期的图像在图像域中稀疏。

4一维模拟

4.1两点源

图2显示了δ的模拟结果示例x个= 0.3. 如图所示2标准光束尺寸内的两个点光源（其全宽为～1英寸x个)在用LASSO获得的图像中被清楚地分开。这个简单的模拟清楚地表明，波束尺寸内的结构可以通过稀疏建模技术解决（但请注意，此模拟中没有噪声；噪声的影响将在后面的小节中讨论4.3). 图中的虚线2表示主点源和次点源的初始位置，表明次峰的位置得到了准确的恢复。此外，两个光源的强度比也得到了很好的再现。此处显示的结果清楚地表明，使用稀疏建模获取图像确实可以检索小于合成波束尺寸的结构的信息，如前一节所述。对于较大的δ值x个，稀疏建模也很有效，如图所示2另一方面，对于δx个小于～0.1时，溶液变成位于初始图像中两个点源之间的单个组分，这表明存在一个临界分离，低于此分离两个相邻点变得困难。

4.2最佳恢复波束尺寸

图三显示Δ我作为初始图像中两个点源分离的函数（δx个)，具有九个不同的恢复梁尺寸值：θ_{服务提供商}= θ_bm公司/2, θ_bm公司/3, …, θ_bm公司/10 (θ_bm公司是标准光束尺寸，等于单位）。如图所示三，初始图像和超分辨率之间的最大差异出现在δ附近x个=0.05，其中两个成分的识别变得困难。然而，即使在δ最坏的情况下x个=0.05，图像残差Δ我对于θ的恢复梁尺寸，保持在10%以内_bm公司/10（或超分辨率因子为10）。如果要求最大图像残差为～3%或更低，则超分辨率因子5仍然可以接受。因此，这些仿真结果表明，基于稀疏建模技术的超分辨率图像可以以较小的误差实现，超分辨率因子为少数或稍大。

4.3噪声影响

在这里，我们考虑了噪声的影响，这在上面的讨论中没有考虑。我们解决了图中所示的相同问题2源分离δx个=0.3，但这一次我们将高斯噪声添加到可视性中，并且使用LASSO以相同的方式进行图像重建。图4显示了三种不同噪声振幅情况下的结果，高斯噪声水平σ设置为峰值能见度振幅的5%、15%和25%。对于高斯卷积，我们再次使用标准光束大小的十分之一。

对于5%噪声级的情况，图像重建几乎是完美的：基本上，两个峰值在两个位置上都得到了正确恢复(x个=0和0.3）和峰值通量（1和0.8）。这一结果确保了，只要噪声足够小，噪声的添加就不会改变用LASSO进行图像重建可以获得比光束尺寸更细的结构的主要结论。另一方面，图形的中间面板4对应于15%噪声级的情况。在该图中，可以看到较大的噪声逐渐影响结果，因为两个峰值的通量比与初始值（最初为1到0.8）不同，但更多的功率集中在x个= 0. 此外，两个峰值的位置略微偏移了～0.03，但这仍比光束大小本身小得多。因此，根据从图像中得出的结论，这种超分辨率图像可能仍然可以接受。

在图的右侧面板中4，我们显示了25%噪声级的情况（这对应于即使在能见度峰值时，信噪比（以下简称SNR）也只有4的情况）。在这种情况下，噪声的影响是显著的，因为两个峰值合并为一个，并且没有双峰结构的迹象。上述仿真结果表明：（1）本文提出的超分辨率技术可以用于存在观测噪声的实际情况，以及（2）超分辨率图像需要相对良好的信噪比，正如合理预期的那样。

对于其他分离，基本上较小的分离情况对噪声更敏感：例如，δx个=0.15，添加大于3%水平的噪声将无法分离两个峰值。因此，就对噪声的容忍度而言，非常高的超分辨率因子是不实际的。然而，如图所示4，即使在存在噪声的情况下，也可以使用几个超分辨率因子。

值得注意的是，图中显示了LASSO的解决方案4有一个与零完全匹配的基线，而不是在信号位置（周围x个=0和0.3），无任何噪声地板。这种明显的噪声抵消也是由于稀疏建模：而具有噪声地板的解决方案在误差项中可能具有较小的值|$\|\粗体符号{z}（z）-{\bf A}\boldsymbol{x}\|_2^2$|（LASSO方程论证中的第一项），此类带噪声层的解在x个，因此，由于较大的罚款期限∧，它们被丢弃||x个||₁因此，稀疏建模的首选解决方案往往具有零基线，因此噪声明显降低（尽管不一定清楚表面上无噪声的图像是否确实更好地代表了现实。由于这超出了我们的论文范围，因此我们将此问题留给未来的研究）。

5二维模拟

现在我们讨论二维情况，它对应于使用无线电干涉术对天文物体进行实际成像。特别是，在这里我们考虑将超分辨率技术应用于黑洞阴影的VLBI观测，其中获得高分辨率是至关重要的。

5.1模拟条件

黑洞阴影的直接成像将最终证实星系中心存在超大质量黑洞。为了构建一个能够解决黑洞阴影的阵列，EHT合作团队目前正在开发一个全球范围的亚毫米VLBI阵列。在这里，我们模拟了预期在不久的将来将成为现实的EHT观测。目前，美国有三个站点（CARMA：毫米波研究组合阵列，SMTO：亚毫米波望远镜天文台，JCMT：詹姆斯·克拉克·麦克斯韦望远镜/SMA：亚毫米阵列/CSO：加州理工学院亚毫米波天文台）在1.3毫米处运行，并定期产生科学结果（例如，Doeleman等人。2008,2012; Lu等人。2012,2013). 在本文中，我们考虑一个具有六个站的阵列；这三个地点以及将在不久的将来实现的另外三个站点，即智利的ALMA（阿塔卡马大毫米/亚毫米阵列）、墨西哥的LMT（大毫米望远镜）和西班牙的IRAM（千米射电天文研究所），距离为30米。后三个台站都有参与亚毫米VLBI观测（ALMA和LMT）的具体计划，甚至已经有测试观测（IRAM）。因此，这里考虑的六站阵列很可能很快就能投入使用。至于观测波长，我们取λ=1.3 mm（或230 GHz的频率ν），这比0.8 mm等较短波长更容易获得，尽管这两个波长都在EHT项目的范围内。

对于目标源，这里我们考虑M87，它是与银河系中心黑洞Sgr A*一起的最佳目标之一。M87黑洞的质量仍然存在争议：而盖伯哈特和托马斯(2009)建议质量为6.4（±0.5）×10⁹ M（M）_⊙，最近对黑洞质量的重新评估给出了3.5×10的质量⁹ M（M）_⊙（沃尔什等人。2013另见Macchetto等人。1997早期的研究表明有小肿块）。后者比Gebhardt和Thomas之前的估计要小两倍(2009). 如果采用3.5×10的质量⁹ M（M）_⊙距离为17 Mpc，黑洞阴影的预期直径对于非旋转黑洞约为20μ，对于旋转黑洞则可能更小。

图5显示了M 87的EHT紫外线覆盖图（在δ=+12°的源赤纬下）。这里我们假设在每个测站观测到的震源仰角超过20°。如图所示5，最大基线长度约为9000 km，因此对于1.3 mm的观测波长，该阵列提供了～30μas的角分辨率。在这种情况下，角度分辨率（标准光束大小）可能仍然大于阴影直径的预期大小（特别是对于小质量和/或高自旋黑洞）。因此，在小质量的情况下，基于标准成像合成很难解析阴影。因此，测试超分辨率技术是否能有效提高图像分辨率以解析黑洞阴影是非常有意义的。

5.2结果

我们对M87黑洞阴影的两种情况进行了模拟：环形阴影和新月形阴影（直径均为20μas）。这里，为了模拟真实的观察结果，我们假设可视性每10分钟采样一次(u个,v（v）)覆盖范围如图所示5在峰值通量的5%水平上，随机噪声也被添加到能见度中：换句话说，能见度信噪比对于最短基线是20，对于较长基线是较小的（能见度振幅随着基线长度的增加而减小，因为源结构是用较长基线部分解决的）。通过将LASSO应用于模拟可视性（如小节所述3.4)与比标准合成光束小4倍的超分辨率光束进行卷积。请注意，在此模拟中有976个可见性样本。由于解决方案维度（图像网格数）为64²=4096，这里研究的问题实际上是一个未确定的问题。

在图中6，我们显示了顶部面板中环形阴影和底部面板中新月形阴影的结果。所有图像都有64×64个网格，网格大小为1μas。图的左侧面板6显示用比标准合成光束尺寸精细四倍的超分辨率光束卷积的初始模型图像。中间面板是与标准合成光束卷积的图像（合成光束尺寸为33×29μas，位置角为30°）。右侧面板显示用LASSO重建的图像。

图形的右侧面板6清楚地表明，使用稀疏建模的超分辨率图像确实再现了合成光束中的详细结构：而在标准光束卷积图像中看不到阴影结构（在图的中间面板中6)在超分辨率图像中，环形/新月形结构被清晰地重建。当然，本仿真中噪声的存在避免了初始图像和重建图像之间的完美匹配。然而，亮度分布的基本结构被很好地跟踪。

为了阐明超分辨率技术相对于标准图像的优势，如图所示7我们显示了环结果的横截面（图的顶部面板6)沿着Y（Y）= 0. 如图所示7，双峰（对应于环）在超分辨率图像中再现良好。另一方面，在标准成像中，由于卷积效应，两个峰值合并为一个分量，基于标准CLEAN算法从卷积图像中检索两个峰值很困难。这里我们注意到，在CLEAN过程中，CLEAN组件始终设置在卷积图像中的峰值，因此CLEANed图像应该在X（X）～0，而不是两个峰值X（X）±～10μas。因此，在图中所示的情况下6与标准成像相比，稀疏建模的超分辨率技术确实具有很强的优势，这里的结果表明，超分辨率技术将有助于解决超大质量黑洞的阴影问题。

5.3∧的选择

为了评估合成图像如何随∧的选择而变化，这里我们通过改变∧来解决上一节中的相同问题。图8显示了环壳（对应于图中上部面板中的环壳6)∧有四个值：0.01、1、100和10000。请注意，图像区域的大小与图中的相同6还应注意图中8与超分辨率光束尺寸的卷积，如图所示6，因此可以直接详细比较解决方案之间的差异。

对于∧小于100，一个基本趋势是常见的：标准光束尺寸内的环形结构恢复良好。另一方面，对于非常大的∧情况（∧=10000）我1正则化项对解具有很强的稀疏性，因此大部分能量都被强制集中在沿着环形结构的四个弧上。当然，这个结果表明，引入过多的稀疏性可能会导致过度简化的非真实图像。然而，对于∧的适度范围，LASSO解提供了初始模型的合理表示。如果可以获得有关源的先前信息（例如源图像如何显示的粗略想法），那么这些信息将有助于区分图中的两种不同类型的解决方案8或者，即使没有关于可能的源结构的先验信息，具有较大∧范围的LASSO解仍然可以提供一些可能的解类别（例如∧=0.01/1/100的解和∧=10000的解），这对于约束源结构仍然非常有帮助。

6未来相关问题

在这里，我们简要讨论了与本研究相关的问题，特别是在将超分辨率技术应用于mm和亚mm VLBI的实际数据分析时的重要问题。

6.1具有扩展结构的源

在目前的研究中，我们关注的是黑洞阴影图像，其中发射仅限于黑洞附近。这样的图像在图像域中是稀疏的，因此稀疏建模技术成功地用于重建超分辨率图像。这里的关键是，毫米/亚毫米VLBI阵列，例如EHT，具有相对较低的灵敏度和稀疏性紫外线覆盖范围，因此观测作为一个“过滤器”从真实图像中提取紧凑和明亮的成分（换句话说，扩展结构被解析出来）。然而，在现实中，黑洞可能具有扩展的结构，如吸积盘和喷流。随着VLBI技术的发展以及阵列灵敏度的提高，相对微弱和扩展的结构将在不久的将来被检测到。然后，“图像域稀疏性”的假设将不再成立，应修改稀疏模型以重建真实图像。

我们如何使用稀疏建模技术来处理这样的非解析图像？就黑洞阴影而言，处理此类问题的一种方法是分离与黑洞相关的扩展分量和压缩分量，对于后者，我们希望应用超分辨率技术。这种方法可以通过以下步骤实现。首先，对数据进行标准成像（傅里叶变换零加和CLEAN），得到包含扩展结构和紧凑分量（与标准合成光束卷积）的映射。其次，从观察到的能见度中减去扩展结构的贡献。这可以通过减去扩展结构的CLEAN组件的可见性贡献来实现。其余可视性仅与紧凑组件相关，因此现在图像应该是稀疏的（没有扩展结构）。在这个阶段，我们可以应用LASSO获得黑洞阴影的超分辨率图像，正如我们在前面的章节中已经演示过的那样。

另一种可能的方法是修改方程中的正则化项(10). 例如，在成像领域，基于总变差的正则化项（TV:？∑|x个_我−x个_{我+ 1}|)经常使用。电视的正规化倾向于以较少的离散性平滑地分配功率。因此，包含TV术语可能会导致扩展结构的更好成像，但一个权衡是，与仅使用正则化的分辨率相比，这会降低分辨率我1-标准。为了优化图像，可以使用两个正则化项的组合来跟踪紧凑源和扩展源。

在更一般的情况下，人们可能会对将稀疏建模技术应用于黑洞以外的天文物体感兴趣。在这种情况下，应用稀疏建模的主要理由不是超分辨率，但仍然有显著的优点，因为在不添加零对的情况下解决未确定问题可以避免副瓣的生成，并且可以避免像CLEAN这样的过程，而CLEAN通常需要非自动交互分析。Wiaux等人之前的作品。(2009)还有Li、Cornwell和de Hoog(2011)讨论了这种一般应用。我们注意到，在这种情况下，无法保证图像在图像域中是稀疏的，因此LASSO和压缩感知可能无法以此处所示的方式工作。

为了克服这一点，最基本的是将图像转换到另一个域，在该域中相应的“解决方案”变得稀疏。其中一种可能的变换是小波变换，因为众所周知，小波变换可以使自然图像在小波域中稀疏（因此它被用于图像压缩）。事实上，李、康威尔和德胡格(2011)深入研究了各向同性抽取小波变换的成像，并证明了其相对于标准CLEAN过程的优势。然而，我们注意到，如果稀疏解是在不同的域（如小波）中获得的，则无法保证分辨率是否优于标准成像，因此它可能不是黑洞成像的有效方法。

6.2非线性问题案例

与单个相位相比，双谱（或闭合相位，当涉及相位时）相对容易获得，例如⌀₁₂事实上，即使在VLBI观测中很难获得能见度相位，也可以基于非相干平均来测量双谱（例如，Rogers等人。1995). 类似地，光学/红外干涉术也可以使用双光谱，并且已经研究了其在图像重建中的应用（例如，BSMEM，使用最大熵方法从双光谱重建图像：参见Buscher1994).

如果唯一可用的相位是闭合量，则无法将观测方程（二维傅里叶变换）写入线性方程，因此无法应用压缩传感/LASSO等稀疏建模。这将严重限制本文件中讨论的技术的应用。

为了克服这个限制，可以使用迭代方法。作为第一步，基于观测到的双光谱和/或天文物体的先验知识创建初始模型图像。然后，通过将初始图像与观察到的双谱相结合，估计每个基线的可见性（振幅+相位）。一旦估计了一组完整的可见性，就可以对估计的可见性应用稀疏建模来获得图像。当然，获得的图像可能不是真实图像的良好表示，因为可见性是根据双谱和初始模型图像估计的。为了改进图像，我们基于新图像和观察到的双谱重新估计完整的可见性，并再次应用稀疏建模来细化图像。这样的过程是迭代进行的，直到图像收敛。

这种迭代技术用于分析X射线衍射图像，其中基本方程与射电干涉仪的基本方程相同，但从未观察到相位（该技术称为“相位恢复”，例如Ikeda&Kono2012). 因此，只要选择合适的初始图像，迭代处理将有助于找到一个能很好地代表观测到的双谱的好解。测试这个方案是否适用于黑洞成像将是一个非常有趣的问题，也是近期工作的一个很好的目标。

7摘要

在本论文中，我们提出了基于稀疏建模的超分辨率成像技术。通常，干涉成像是一个未定问题，有无数可能的解决方案。我们表明，从许多可能的解决方案中选择一个解决方案可以提供比“零通”获得的标准图像更好的分辨率，并且我们证明了稀疏建模，特别是本文中的LASSO，可以用于根据解决方案的稀疏性选择解决方案。基于模拟，我们发现上述方案在一维和二维情况下都能很好地工作，尤其是在应用于黑洞阴影的VLBI观测时，证明了其强大的威力。因此，超分辨率技术有望对未来的无线电干涉测量观测产生重大影响。

作者要感谢冈田正人、长田贤治、长井广史和黑田大辅进行了富有成果的讨论。我们还感谢裁判J.Moran教授的仔细阅读和建设性建议，这些建议改进了论文。作者还感谢MEXT/JSPS KAKENHI拨款24540242、25120007和25120008的资助~

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