完全广义相对论中双星中子星模拟的超越二阶收敛性

摘要

尽管最近在数值相对论方面取得了迅速进展，但到目前为止，小于第二阶的收敛阶一直困扰着求解爱因斯坦-欧拉方程组的代码。我们报道了用一种新代码计算的双星中子星在准圆轨道上激发的模拟，该代码采用了高阶、高分辨率的激波捕获、有限差分格式，首次超越了二阶势垒。特别是，在没有任何调谐或校准的情况下，我们测量了引力波相位和振幅均大于三的收敛阶。由于新代码已经能够在中等分辨率下计算相位误差非常小的波形，因此我们能够准确估计激励中的潮汐效应，这些潮汐效应基本上不受低阶方法典型的大数值粘性的影响，甚至对于这里所考虑的具有挑战性的大紧性和小变形二进制。我们发现，我们的Richardson提取波形与潮汐校正后牛顿（PN）Taylor-T4模型的波形非常一致，在吸气的七个轨道和接触点之间的相位差小于0.4 rad。由于我们的结果可以可靠地用于评估PN或其他近似值在远大于文献中迄今为止所考虑频率的频率下的有效性，因此在这些紧度下，它们似乎排除了PN扩展中相邻前导阶项的显著潮汐放大。

简介

双星中子星（BNS）的激发和合并是未来陆基激光干涉探测器（如LIGO、处女座或KAGRA（Sathyaprakash&Schutz2009). 由于GW几乎可以在物质中不受散射地传播，因此它携带着来自中子星深核的有关超核密度下物质状态方程（EOS）的宝贵信息。不幸的是，它们也极难检测，因此它们的识别和分析需要分析或半分析GW模板的可用性。反过来，必须通过将这些模型与完全非线性数值相对论（NR）计算的预测相匹配来验证和调整这些模型，这是准确描述BNS晚期精神状态的唯一方法（Baiotti et al。2010,2011; Bernuzzi等人。2012年b; Hotokezaka、Kyutoku和Shibata2013).

虽然可以获得非常高质量的二元黑洞合并NR波形，例如Aylott等人。(2009)，Hinder等人。(2013)和Mroue等人。(2013)（但请参见兹洛克豪威尔（Zlochower）、蓬斯（Ponce）和卢斯托（Lousto）2012)BNS模拟一直受到低收敛阶和大相位不确定性的困扰（Baiotti、Giacomazzo和Rezzolla2009; 贝努齐、蒂尔费尔德和布吕格曼2012年a). 此外，由于NS的质量较小，波形的合并部分超出了下一代GW探测器的频带，因此EOS相关效应很可能必须从激励信号中提取出来。特别是，EOS诱导的效应将被编码在GW信号相对于点粒子（PP）的预期相位去相位中；使用后牛顿（PN）语言，这可以看作是由于部分轨道角能量耗散到潮汐变形中（参见，例如Damour、Nagar和Villain2012用于讨论）。因此，EOS诱导效应的测量需要对激励信号进行非常准确的一般相对论性预测，这就要求尽可能准确地模拟这部分过程。尽管当前代码可以以非常高的计算成本计算出准确的波形（Baiotti等人。2010,2011; Bernuzzi等人。2012年b; Hotokezaka等人。2013)，它们的分析由于所采用的方法的低收敛阶而变得复杂。特别是，分析通常需要使用不同分辨率的波的时间缩放或对齐（Baiotti et al。2011; Hotokezaka等人。2013)从数学的角度来看，这几乎是不合理的，这使人们对结果的稳健性产生了怀疑。最后，准确探索大的对于目前完全通用的相对论性代码来说，参数空间似乎遥不可及。

在这封信中，我们表明，通过使用高阶数值方法，确实可以获得BNS系统晚期激励的波形，其质量几乎可以与二进制黑洞的波形相媲美（Hinder等人。2013)即在相位和振幅上都具有干净的、高于二阶的收敛性。

数值方法

这里的结果是通过我们新的高阶、高分辨率冲击捕获（HRSC）有限差分代码获得的：威士忌，表示广义相对论的扩展thc（总碳氢化合物）代码（Radie&Rezzolla2012). 特别是，新代码利用了Radie&Rezzolla中描述的高阶通量矢量分裂有限差分技术(2012)同时也得益于威士忌酒关于原始量的恢复和列表EOS的使用（参见Galeazzi等人。2013详细信息）；尽管我们的结果将参考理想流体EOS。更具体地说，威士忌以守恒形式求解广义相对论流体力学方程（Banyuls等人。1997)使用有限差分格式，该格式使用单调保持5格式（Suresh&Huynh1997). 这个方案在空间和Radie&Rezzolla中都是正式的五阶(2012)在一个涉及非线性波在平坦时空中传播的严格测试中，结果表明该方法可以实现干净的五阶收敛。

相反，时空演化利用了爱因斯坦方程的BSSNOK公式（Nakamura、Oohara和Kojima1987; 柴田和中村1995; 鲍姆加特和夏皮罗1998)并使用麦克拉克伦的代码爱因斯坦工具包（施奈特、霍利和霍克2004; Brown等人。2009; Löffler等人。2012)使用四阶精确的有限差分格式。为了确保方案的非线性稳定性，我们仅对时空变量添加了五阶Kreiss-Oliger型人工耗散。

最后，利用直线法和四阶Runge-Kutta时间积分器实现了流体动力学和时空解算器之间的耦合。

我们注意到，由于在时间和空间上具有形式上的四阶收敛性，我们的程序是第一个高阶广义相对论流体动力学程序。¹

二进制设置

初始数据在保形平面近似中使用洛林伪谱码（Gourgoulhon等人。2001)并描述了准圆轨道上的两个等质量NSs。其主要特性总结在表中1，我们注意到它是使用具有K（K）=123.56和Γ=2，而演化是使用具有相同Γ的理想流体EOS进行的。

Hotokezaka等人也考虑了具有相同紧致性但不同EOS的二元系。(2013)发现高紧度二进制比低紧度二进制更难精确进化。这是因为数值粘度成为PP极限脱相的主要来源，因为潮汐效应很小。这里选择的模型比Hotokezaka等人的模型更具挑战性。(2013)，因为我们的EOS导致更小的潮汐变形能力（即更小的κ值₂爱情号码）。

所有运行均在覆盖0的网格上进行x个,z（z）≤512百万_⊙，-5.12亿_⊙ ≤ 年≤512百万_⊙，其中我们假设反射对称(x个,年)平面和π对称性(年,z（z）)平面。电网有六名员工固定的精细化级别，最精细的一个覆盖两颗星，我们考虑三种不同的分辨率，在最精细化级别中，网格间距为小时/M（M）_⊙分别为0.25、0.20和0.14545。我们的量规是标准的1+原木切片条件（Bona等人。1995)和移动穿刺空间规条件（van Meter等人。2006)阻尼参数设置为0.3。

由于我们的重点主要是方法的准确性，因此我们考虑代码的准确性时，主要考虑了▽=2，米=Weyl标量Ψ的2模₄在固定坐标半径处提取第页=4.5亿_⊙(≃130 M（M）). 我们不计算应变，因为这涉及其他不确定性（Reisswig&Pollney2011)，也不外推半径Ψ₄因为我们预计这不会对我们的错误预算造成很大影响。事实上，对于类似于我们的网格设置，但紧凑度较低且总质量较小的模型，Baiotti等人。(2011)估计相位不确定度为±0.05rad，与初始数据中偏心引起的不确定度相比可以忽略不计。

重力波

BNS的激励和合并的动态已经在文献中多次详细描述，例如Baiotti、Giacomazzo和Rezzolla2008; 出于这个原因，我们在这里没有对此进行非常深入的讨论。我们只提到，我们的恒星在合并之前激励了大约八个轨道，然后迅速产生黑洞。对于该型号，没有留下任何重要的椎间盘。GW信号由合并前约16个周期组成，随后是黑洞关闭。

图1示出了？=2的振幅，米=2Ψ模式₄，在半径处提取第页=4.5亿_⊙，作为延迟时间的函数t吨 − 第页_*，其中第页_* = 第页 + 2M（M） 日志(第页/2M（M） − 1). 首先要注意的是合并时间，定义为曲率GW振幅|Ψ的时间₄|有其最大值，在不同的运行中非常接近。当我们将决议从低变为高，调整系数为1.7时，合并时间的差异仅为2.5%左右。相比之下，Hotokezaka等人报告的结果。(2013)显示，对于具有相同紧度的模型，当分辨率改变系数1.4时，20%的顺序会发生变化，尽管其最高分辨率比我们的最高分辨率高出约35%（这大致相当于计算成本增加系数3）。合并时间如此之小的差异使得我们能够对Hotokezaka等人提出的合并时间进行更简单、更清晰的分析。(2013). 特别是，在测量收敛阶数或执行Richardson外推时，我们不需要对数值波形进行任何对齐/时间缩放。

图2代表了全广义相对论中BNS模拟所显示的最高收敛阶。它比方案的标称值小（因为我们对空间-时间使用四阶有限差分，所以是第四个），但这是意料之中的，因为HRSC方法通常仅在非常高的分辨率（Shu1997; Radie和Rezzolla2012). 更重要的是，如上所述，这种高阶收敛是在不操纵波形的情况下获得的，虽然我们中的一些人使用了这种方法，但从数学角度来看，这种方法几乎没有道理（Baiotti等人。2009; Read等人。2013)和Hotokezaka等人。(2013). 正如其他规范（Bernuzzi等人。2012年a)，我们的解决方案显示在t吨≳5000万_⊙，因为这代表了恒星合并后的时间。不同分辨率下，这一时间不同，不可避免地会导致会聚损失。

潮汐效应

作为我们的代码首次直接应用于探索半分析近似技术的有效性，我们使用Taylor-T4公式在PP近似中与PN理论的预测进行了比较（Santamaría et al。2010)或将潮汐效应纳入相对1PN级（Flanagan和Hinderer2008; Hinderer等人。2010; Pannarale等人。2011; 藤蔓、弗拉纳根和欣德勒2011; Maselli等人。2012). 如图所示三特别是，我们参考了Richardson加成相的演化，_小时=0，使用测量的收敛阶3.2计算，我们绘制了与之相关的不同模型的退相。因为外推波形是使用中高分辨率获得的，直到t吨 − 第页_*≃5200米_⊙，将与PN波形的比较扩展到图中的这些时间是合理的三.

在比较数值解时，我们发现最高分辨率运行和Richardson提取结果之间的相位差在NR接触点处为≃0.4 rad，t吨 − 第页_*=5000万_⊙（约13.5 GW周期；参见图中的红色实线三)以及在裸接触频率下，在～15 GW周期内的≃1.4 rad。作为比较，对于具有相同紧度的模型，Hotokezaka等人。(2013)发现在最高分辨率模拟（甚至比我们的模拟高35%）和在裸接触频率下超过15 GW周期的外推解决方案之间存在≃5 rad的失相。然而，我们注意到，在NR接触后，理查森超极化波形应小心处理，因为那时会失去收敛。

另一方面，当与半分析预测进行比较时，我们发现PP PN波形和外推波形之间的相位差t吨 − 第页_*=5000万_⊙仅为≃0.65 rad（淡蓝色实线）。在包含潮汐效应的情况下，退相进一步减少到仅为≃0.35rad，即几乎可以与初始数据偏心导致的不确定性相比较，我们估计其为±0.1rad（参见图中的插图三). 事实上，潮汐修正PN波形似乎非常接近Richardson提取的数据，直到NR接触点，t吨 − 第页_*=5000万_⊙现在，裸露接触频率下的累计退相仅为≃0.9rad。这一结果明确排除了，至少对于该模型而言，PN扩展中相邻至相邻超前项的任何显著潮汐贡献的重要性。

当将我们的结果与最近发表的结果进行比较时，我们注意到Bernuzzi等人。(2012年b)得出了与我们类似的结论，即半解析近似，如有效单体（EOB）和潮汐校正的泰勒-T4 PN展开，能够准确地描述基本上到接触的双星的相位。然而，他们的结果是基于更多可变形恒星模型，对于这些模型，潮汐退相本质上更大。另一方面，对于变形性较小的恒星模型，其可比性与此处考虑的模型相比，但仍然较大，Hotokezaka等人。(2013)发现所有可用的分析模型都低估了吸气最后阶段的潮汐变形能力。因此，Hotokezaka等人得出的结论是可能的。(2013)可能受到更大数值粘度的影响，如Baiotti等人早期计算中的数值粘度。(2011). 使用相同的恒星模型进行直接比较有助于澄清这一点。

由于我们正在考虑Richardson的额外结果，因此需要报告我们对退相的估计，但存在一定程度的误差。我们可以跟随Hotokezaka等人。(2013)并在假设方差为±0.2的情况下，按照外推中使用的收敛顺序估计误差。如果我们这样做，并且由于我们的高收敛阶，我们发现在t吨 − 第页_*=5000万_⊙然而，在实践中，该不确定性低于二进制初始偏心引起的较大系统误差。

结论

我们提出了第一个高阶、多维、广义相对论流体动力学代码：威士忌–由于威士忌酒（Baiotti等人。2005; Galeazzi等人。2013)和thc（总碳氢化合物）（Radie和Rezzolla2012)代码。我们将其应用于模拟准圆形轨道上两个NSs的晚期吸气和合并。我们表明，我们的代码能够准确估计二进制文件中存在的微小潮汐效应，并且具有实际的紧凑性，|$\mathcal{C}=0.18$|和小潮汐数κ₂=0.05，分辨率低得多，成本仅为文献中所用成本的一小部分（例如Baiotti等人。2010,2011; Bernuzzi等人。2012年b; Hotokezaka等人。2013). 特别是，在数值模拟中，我们发现GW的振幅和相位到接触点的收敛阶均为3.2。当将数值Richardson提取波形与解析PN预测进行比较时，我们发现了显著的一致性，特别是当包含潮汐修正时。至少对于这里考虑的情况，我们的结果表明，潮汐修正后的Taylor-T4波形与接触前的NR波形非常吻合，即高达≃1 kHz的频率，远高于Hinderer等人保守估计的450 Hz。(2010)作为此处考虑的PN扩展的有效限制。因此，我们可以排除以下显著贡献：（1）▽=2个高于1PN阶的线性潮汐项，（2）▽>2个潮汐项，以及（3）非线性潮汐项。

在开发了一个非常准确和高阶的代码后，我们现在准备利用它的效率，用简单而现实的EOS系统地探索潮汐效应在BNS合并中的作用。此外，我们将使用它来测试和改进半分析描述，例如PN和EOB（Baiotti等人。2010)，并根据Read等人。(2013).

很高兴感谢W.Kastaun提供原始恢复程序，以及F.Pannarale提供PN波形。我们还感谢D.Alic和K.Takami进行了许多有益的讨论。部分支持来自VESF拨款（EGO-DIR-69-2010）、DFG拨款SFB/Transregio 7和欧洲科学基金会的研究网络计划“Compstar”。计算是在LRZ的SuperMUC集群、AEI的曼陀罗集群和法兰克福的LOEWE集群上进行的。

参考文献