根据天体测量数据测量银河系中心黑洞的自转需要什么恒星轨道？

摘要

对银河中心超大质量黑洞周围单个恒星的天体测量和光谱监测为检测一般相对论效应提供了一种有希望的方法。虽然低阶效应预计将在2018年春季S2周星际轨道通过后检测到，但检测黑洞自转产生的高阶效应需要发现距离较近的恒星。在本文中，我们着手确定这样一颗恒星为了探测黑洞自旋而必须满足的要求。我们将重点放在重力仪上，该仪器于2016年首次亮相，有望实现天文测量精度|10美元\hbox{--}100\，\mu$|对于持续时间的观察活动T型年，总观测值N个_{光突发事件}，天体测量精度σ_x个和归一化黑洞自旋χ，我们发现|$a{\rm orb}（1-e^2）^{3/4}\lesssim 300 R{\rm-S}\sqrt{\frac{T}{4\，{\rm{yr}}}\左（\frac}N{\rm-obs}}{120}\右）^{0.25}\sqrt{\ frac{10\，\mu{\rm-as}}{\sigma_x}}}\sqart{\frac{\chi}{0.9}}$|需要。对于χ=0.9和潜在的观察活动|$\西格玛_x=10\，\mu$|as，每年30次观测⁻¹持续时间为4-10年，预计为-0.1星K（K）<19根据目前对中心1弧秒恒星数量的了解，满足了这一约束。我们还提出了一种方法，通过该方法，重力可以精确到50 km s测量径向速度⁻¹如果可以保持天体测量的精度，那么添加径向速度信息将使预期的恒星数量增加大约2倍。当我们关注引力时，结果也可以按比例缩放到与未来超大望远镜相关的参数。

1简介

银河系中心1角秒短周期恒星（S星）的轨道为超大质量黑洞的存在提供了目前最好的证据。目前已知约40个轨道（Gillessen等人。2017)，包括恒星S2，达到R（右）≈ 1300R（右）_S公司从黑洞中R（右）_S公司 = 2通用汽车/c（c）²这样的轨道监测对黑洞质量和到银河中心的距离产生了强烈的限制（Ghez等人。2008; Gillessen等人。2009; Boehle等人。2016; Gillessen等人。2017).

这些轨道目前都与牛顿引力兼容。预期将用恒星S2（Jaroszynski1998; 易碎和马修斯2000; Rubilar&Eckart公司2001; Weinberg、Milosavljević和Ghez2005; Zucker等人。2006; 安热利尔和萨哈2010; Hees等人。2017; Parsa等人。2017; Grould等人。2017)在2018年春季的下一个最接近的方法期间或之后。然而，来自中心区域恒星或残余物分布的牛顿扰动很可能主导与目前已知恒星的黑洞自旋相关的高阶相对论效应（例如Merritt等人。2010; Zhang&Iorio公司2017). 因此，从Lense-Thirring进动探测黑洞自旋需要发现和监测距离较近的恒星。

有几项工作指出，可以利用近距离恒星的天体测量来限制黑洞的自转（例如Kraniotis2007; 威尔2008; Merritt等人。2010; Sadeghian&Will律师事务所2011; Psaltis、Wex和Kramer2016)，但缺乏找到此类恒星并达到所需精度的技术。然而，随着超大望远镜干涉仪（VLTI，GRAVITY Collaboration2017)，其主要目标之一是以几mas的分辨率解析SgrA*周围的内部区域，以搜索更近的恒星，并实现|${\sim}10\hbox{--}100\，\mu$|监测恒星轨道的天文测量精度（Eisenhauer等人。2011).

最近的研究利用更近的恒星探索了SgrA*黑洞自旋的可能约束（张、卢和余）2015; 于、张、鲁2016)假设天体测量的组合|1美元\hbox｛-｝30\，\mu$|as和红移0.1–10 km s⁻¹精确度。虽然后者可以允许自旋约束（Kannan和Saha2009; Angélil、Saha和Merritt2010)，使用目前限制在～30 km s的仪器无法实现⁻¹即使是像S2这样明亮的恒星（Gillessen等人。2017).

在这里，我们扩展了这些研究，为非零黑洞自旋的可探测性提供了一个表达式，作为现实重力观测活动中恒星轨道参数的函数（持续时间、观测次数、天体测量中可实现的误差和径向速度）。我们使用半分析测地线代码（第节2)以快速模拟和拟合相对论轨道，并表明它可以重现过去在恒星S2上的工作（第三). 然后，我们利用天体测量数据模拟近距离恒星的引力运动，以确定自旋探测的必要条件（第节4). 根据目前关于恒星分布的知识，我们估计了满足这些条件的可探测恒星的预期数量（第节4.3). 我们将天体测量与径向速度测量相结合，以约50 km s的精度研究自旋探测前景的改进⁻¹（第节5)，更符合重力可能达到的程度（附录A类). 讨论和结论见第节6.

2方法

我们将黑洞附近的势近似为克尔空间-时间和恒星作为测试粒子。这适用于100范围R（右）_S公司≲一≲ 5000R（右）_S公司，其中下限和上限分别由潮汐破坏半径和来自潜在恒星/残余分布的牛顿扰动设定（Merritt et al。2010; 诗篇、李和勒布2013; Zhang&Iorio公司2017). 然后，我们可以使用测地线追踪跟踪恒星的轨道。我们注意到，根据恒星/残骸分布的特性，上限可能会更具约束性（参见第节6).

2.1恒星轨道作为类时间测地线

我们利用公众伊诺格姆代码（Yang&Wang2014)在克尔度量中追踪类时测地线。该代码通过反演与第页以及分离哈密尔顿-雅可比方程得到的θ坐标（卡特1968). 和t吨然后将坐标表示为涉及函数的椭圆积分第页和θ（劳赫和布兰德福德1994). 使用Carlson（Carlson）开发的形式加快了许多椭圆积分的计算1992; 德克斯特和阿戈尔2009). 将该方法推广到类时测地线的主要困难是要考虑任意数量的第页轨道上的转折点。Yang和Wang(2013,2014)通过使用不同的自变量来缓解这个问题，第页，沿测地线从0单调增加到最大值。

计算恒星在坐标时间的位置t吨从初始坐标位置和速度（见下文），我们选择了以下的初始猜测第页它要么等于测地线（第一点）上最大值的一半，要么等于上一次（后续点）使用的值。从最初的猜测开始，计算坐标时间，然后迭代求解，直到观测时间达到所需的精度。通常收敛到10⁻⁶通用汽车/c（c）^三在10次迭代中达到。

这个伊诺金代码采用输入初始位置(第页₀, θ₀)坐标系和局部非旋转坐标系（Bardeen，Press&Teukolsky1972)三速，v（v）^(我)为了将我们的轨道与GC中已知和预期的恒星进行比较，最方便的方法是根据开普勒轨道元素进行参数化(一_球体,e、 我_球体, ω, Ω,T型_第页). 我们通过假设恒星在远心附近是非相对论的，计算出与轨道相对应的近似坐标位置和速度。轨道元素是相对于天空平面指定的，而输入位置和速度伊诺金相对于黑洞坐标系。我们旋转恒星的天空坐标，以允许黑洞自旋轴的任意位置角度和倾斜度。按照天空坐标的约定(x、 y，z)沿着RA、Dec.和视线（远离观察者）方向的点，我们定义了黑洞的自旋角我_旋转（[0，π]）和ε_旋转（[0,2π]）作为自旋轴和z（z）以及自旋轴在天空平面上的投影和−x个分别是。

这种半分析测地线方法在这里特别有效。恒星轨道的每个样本都是独立的，因此在不规则、稀疏的观测时段进行采样不需要对轨道进行多次积分。这是在保持机器精度的同时，分析代码比数值积分快得多的极限（德克斯特和阿戈尔2009).

2.2红移计算

四速|$\粗体符号{u}_*$|是根据恒星轨道代码计算的，而|$\粗体符号{p}_*$|可以根据光子的撞击参数进行计算（Cunningham和Bardeen1973).

2.3光子轨道

光子的光弯曲会影响恒星的测量位置以及红移。由于光子的撞击参数事先未知，因此精确计算成本很高，并且需要迭代方法，例如，光子从观测器传播回来，直到足够靠近恒星（例如，Zhang等人。2015). 注意到黑洞自旋对本文中感兴趣恒星的光子轨道的影响，我们可以大大简化这个问题(一_球体≳ 100R（右）_S公司)是|${\ll}1\，\mu$|作为（博扎和曼奇尼2012; Zhang等人。2015)且<3 km s⁻¹（Angélil等人。2010; Zhang等人。2015)，对应于|${\lesssim}0.1\，\，\rm{per\，\$|和|${\lesssim}10\，\，\rm{per\，\$|恒星轨道上的自旋效应（Zhang等人。2015). 因此，为了本文的目的，我们可以计算Schwarzschild度量中的光子轨道。

此外，弱场近似对于这里所考虑的轨道是有效的，除了当恒星经过黑洞后具有极高倾角的恒星。光子到黑洞最近接近距离的上限可以估计为d日至R（右）_第页科斯(我_球体)，其中R（右）_第页 = 一_球体(1 − 电子)是近天文距离。对于R（右）_第页 = 100R（右）_S公司，光子可以通过20R（右）_S公司从黑洞倾斜|$i_{\rm orb}\gtraprox 78^{\circ}$|。对于随机定向轨道，在|$1-\cos（90^{\circ}-78^{\circ}）\sim 2\，\，\rm{per\，\，cent}$|然而，有趣的是，如果确实发现了这样一颗恒星，那么在其通过黑洞后的过程中，对天体测量学和红移的光弯曲效应可能会非常显著，并可能允许探测黑洞的自转（博扎和曼奇尼2012).

3使用STAR S2进行代码验证

在目前已知的S星中，S2是距离黑洞最近的一颗(R（右）_第页≈ 1300R（右）_S公司)如第节所述，通过监测其轨道来探测相对论效应的潜力一直是众多工作的主题1因此，它提供了一个机会，通过比较测量的相对论效应和以前工作的结果来验证我们的代码。在下面的所有内容中，我们采用黑洞的质量M（M）_{伯克希尔哈撒韦} = 4.3 × 10⁶ M（M）_⊙，到银河中心的距离R（右）₀=8.3 kpc和S2的以下轨道参数：半长轴一_球体=111.1 mas，偏心率电子=0.881，倾角我_球体=131.9°，周星点自变量ω=65.4°，升交点经度Ω=225.0°，周星通过时间T型_第页=2002.33年（Gillessen等人。2009,2017). 我们还将考虑一个假设恒星，其轨道参数与S2相同，但半长轴（“S2/10”）小10倍。

3.1低阶相对论效应

我们检查了S2的轨道和红移曲线是否与观测曲线相符（Gillessen等人。2017). 对于零自旋轨道，我们检查了S2和S2/10的周星际位移是否符合预期值|$\delta\omega|_{\rm轨道}\约0.22^{\circ}$|和2.2°。

图1图中显示了S2/10在5年时间内连续发生的天文周移2图中显示了与S2的纯开普勒轨道相比，随着近天文点通过时间的变化，近天文点漂移的影响，在近天文点期间出现了特征性的“扭结”，随后几年这种影响持续增加。这些曲线只是相对论轨道和开普勒轨道在相同初始参数下的差异。同样，我们还测试了近天文期间横向多普勒频移和引力红移对S2轨道的影响，其最大偏差约为100 kms⁻¹每个。这些影响都与之前的工作一致（例如Weinberg等人。2005; Zucker等人。2006; Angélil等人。2010; Grould等人。2017).

3.2光子轨道

为了测试我们的光子轨道解决方案的实现，我们计算了光线弯曲对恒星S2天体位置的影响。这是通过计算差值来完成的|$|\sqrt{{\rm-RA}^2+{\rm-D{ec.}}^2}|$|作为弯曲和非弯曲光子轨道之间的时间的函数。如图所示2，效果相当于|${\大约}20\，\亩$|比如在天文学家穿越期间。这与之前的结果一致（波扎和曼奇尼2012; Grould等人。2017). 在图中2，我们还显示了天文周移和光弯曲的叠加效应；后者在周星际“扭结”期间放大了前者，增加了早期发现联合效应的机会。

3.3自旋效应

我们还计算了红移的等效自旋效应。同样，自旋角依赖性和效应大小（0.01–0.3和3–30 km s⁻¹S2和S2/10的每轨道）与Yu等人。(2016).

黑洞自旋测量所需的4个轨道参数

4.1模拟恒星轨道

在保持所有其他参数（恒星的初始位置和速度、BH质量和距离）不变的情况下，上述自旋引起的天体测量偏差被计算为黑洞自旋为零和最大的模型之间的差异。实际上，这些参数并不完全已知，必须与黑洞自旋相匹配，这导致了自旋相关效应的掩盖。

我们通过网格模拟恒星轨道(一_球体,电子)，使用一_球体∈ (200R（右）_S公司, 5000R（右）_S公司)和电子∈（0.1，0.9）。其他开普勒参数（ω，Ω，我_球体)与S2相同。就自旋相关效应而言，它们只与黑洞自旋角有关。我们选择我_旋转 = ε_旋转=0°，这使得天体测量位移接近于自旋角的平均值（具体来说，9.6和|31.7美元\，\亩$|根据S2和S2/10的轨道，与8.5和8.5的平均值相比|27.5美元\，\亩$|如上所述）。我们使用χ=0.9和正则M（M）_{伯克希尔哈撒韦}和R（右）₀同上。观察活动的总持续时间设置为T型=4年，每年连续三个月，每月连续10天进行观察，总计N个_球体=120个观察值。σ的高斯误差_x个=10和|100美元\，\亩$|如所添加的，表示可以通过重力实现的标准天体测量精度。

为了找到最适合的零自旋解，我们使用了一种下坡单纯形算法（Nelder&Mead1965)它不需要数值导数（与Levenberg–Marquardt等梯度方法相反），并且更稳定，对局部极小值不太敏感。该方法基于构造单纯形（n个+1个顶点n个尺寸）和使用操作（反射、膨胀、收缩、收缩）更新顶点，从而获得连续更好的解决方案。由于该方法对局部极小值不是完全免疫的，因此我们在每次拟合的初始参数周围使用了10个初始单纯形。为了避免局部极小值，这个数字是足够的。我们还注意到，没有为M（M）_{伯克希尔哈撒韦}和R（右）₀。尽管它们受到当前已知S星的约束，但最合适的零旋解总是在初始值的百分之几以内，因此当前已知的边界不会导致显著性的变化。

4.2结果

图三（顶行）显示了产生的显著性等值线σ(一_球体,电子)的|$\西格玛_x=10\，\mu$|由于模拟轨道之间的误差实例化不同，导致颗粒度增加。有一个低自旋显著性区域（σ≲2）和高自旋显著性（σ\8819; 5）被一个相对狭窄的过渡区隔开。白色等高线显示了根据方程式对该区域形状的分析估计(11).

左侧面板显示拟合前的显著性，即使用初始参数但设置χ=0，而右侧面板显示找到最佳拟合零旋解后的显著性。该效应的纯大小表明一颗恒星具有一_球体（1−电子²)^3/4≲ 900R（右）_S公司需要在高显著性下检测自旋，但在实际应用中，当拟合所有参数时，恒星具有一_球体(1 − 电子²)^3/4≲ 300R（右）_S公司（即～3×更近）。

4.3预期恒星数

为了将上一节中对轨道参数的约束转化为重力能够探测黑洞自旋的预期恒星数，有必要估计半长轴的概率密度，n个(一_球体)和偏心率，n个(电子)、和K（K）-波段光度函数（KLF，|$\压裂{{\rm d}\log N（K）}{{\rma d}K}=\beta$|)在中央1弧秒/0.04个。

后者已通过多项工作进行了估算，结果一致，β≈0.20（Genzel等人。2003; Buchholz、Schödel和Eckart2009; Sabha等人。2012). 最近对S星轨道的分析与“热”偏心率分布一致（Gillessen等人。2017); 因此，我们采用n个(电子)天电子 = 2电子 d日电子对于这样的分布，如果能量分布函数遵循幂律，（f）(ε) ∝ ε^第页，然后是空间密度分布n个(第页) ∝第页^−γ和|$n（a{\rm orb}）\propto a{\rma orb{^{-\gamma+2}$|（Schödel等人。2003). 根据该地区恒星计数估算γ第页≲10 arcsec一致发现γ≈1.2–1.4（Genzel等人。2003; Schödel等人。2007; Do等人。2009). 因此，我们采用|$n（a_{\rm orb}）\，{\rmd}a_{\fm orb}\propto a_{rm orb}^{0.7}\，{rmd}a_{rm orb2}$|这也与直接从S星轨道估计的半长轴分布一致（Gillessen et al。2009).

如前所述，我们设置一_最大值=10弧秒n个(一_球体)否则会发生分歧。有证据表明，γ~2的恒星计数第页>10弧秒（Genzel等人。2003; Schödel等人。2007; Fritz等人。2016)，所以n个(一_球体)=常数第页>10弧秒。此外，在黑洞影响半径以外～75弧秒（亚历山大2005，我们还注意到Schödel等人对核星团的半光半径的直接测量为~100 arcsec/178 arcsec。(2014)和Fritz等人。(2016))，轨道明显受到扰动，不再受黑洞引力势的支配。检查所选的一_最大值导致偏差，我们用10 arcsec模拟恒星的贡献一_球体距离该区域小于75弧秒第页<1 arcsec，发现|$｛\lesssim｝1\，\，\rm｛per\，\，cent｝$|，因为恒星有可能到达第页<1 arcsec，由于其较高的偏心率，其轨道周期的很小一部分花费在该区域。

我们选择K（K）<19是可以用重力探测到的恒星的上限（Eisenhauer等人。2011). 模拟预测半径内约有1颗这样的恒星第页<50 mas（～重力FOV），与之前的估计一致（Genzel等人。2003). 中位数(一_球体,电子)从模拟结果来看，这样一颗恒星的质量约为≈（80mas，0.8）。因为我们已经包括了偏心率分布，所以我们还可以预测满足上一节推导的自旋测量轮廓的预期恒星数量。我们在一_球体为了确保观测活动至少覆盖一个轨道(一_球体 < 5000R（右）_S公司对于T型=4年）。

表1显示了允许检测自旋的预期恒星数。通过其他参数（“Fit”与“No Fit”）掩盖相对论效应，导致预期恒星数量显著减少。为了我们的规范观测活动T型=4年，N个_{光突发事件}=30×4=120和|$\西格玛_x=10\，\mu$|正如我们预计的那样，0.035颗恒星将允许对黑洞自旋进行重大探测。中位数(一_球体,电子)这类恒星的直径≈（1200R（右）_S公司, 0.95).

我们注意到，最近的一些论文更详细地研究了银河中心恒星的微弱数量，这两篇论文都使用了恒星数量下降到更微弱的极限（Gallego-Cano等人。2018)以及微弱的漫射光（Schödel等人。2018). 重要的是要将上述估计数字（使用基于较亮恒星的恒星人口假设）与仅基于微弱人口的数字进行比较。他们发现σ₀=20星弧秒⁻²和σ₀～72星arcsec⁻²在R（右）₀=0.25弧秒，对于17.5≤的恒星K（K）≤18.5和18.5≤K（K）分别≤19.5和表面密度指数Γ～−0.4。由此我们估计，在上述两个星等范围内，50毫秒内约有≈0.5和≈2颗恒星，相比之下K（K）<19我们之前发现。在这种情况下，我们上面的数字可能悲观到了～2倍。我们还注意到，Schödel等人。(2018)和Gallego-Cano等人。(2018)得出的结论是，暗恒星的数量很可能由老恒星数量占主导地位，在这种情况下，引力发现的一颗可能的暗恒星更有可能是老尖点的一部分，而不是a型暗的、典型的年轻S星。

等式的一个结果(10)是在增加吗T型和N个_{光突发事件}或减小σ_x个不会大幅增加一_球体(1 − 电子²)^3/4（以及恒星的数量）。如果我们考虑进行为期10年的观察活动N个_操作系统=30×10=300总观测值，然后使用方程式(10)（并要求一_球体 < 9000R（右）_S公司因此，至少覆盖了一个轨道周期），用于测量黑洞自旋的恒星的预期数量增加到0.12，中值为(一_球体,电子)这类恒星的数量≈（2400R（右）_S公司, 0.96). 这类恒星的分数一_球体 > 5000R（右）_S公司（自旋测量很可能开始受到牛顿扰动）是|${大约}25\，\，\rm{每\，\分}$|.

我们还可以利用这些尺度来估计未来超大望远镜从恒星轨道测量黑洞自转的潜力。主要优点是灵敏度大大提高。假设一个极限K（K）<22，上述数字应根据KLF乘以系数4。然而，如果天体测量精度不能达到|10美元\，\亩$|作为一级，恒星的数量将相应减少。此外，如果这种望远镜能够达到径向速度精度～1–10 kms⁻¹在暗恒星上，这些也可以用来探测黑洞的自转。由于径向速度变化在近天文学家附近最强（相对于天体测量变化的apastron），它们应该对牛顿扰动更为稳健（例如Psaltis et al。2016). 最后，在大视场的情况下，有可能测量来自许多更远恒星集体运动的相对论效应（例如Do等人。2017)，但这种方法对于测量牛顿扰动引起的自旋可能是一个挑战。

我们注意到，这些估计应该慎重对待，因为它们是基于对黑洞周围的内部区域的外推，该区域在引力之前已经超出了任何仪器的分辨率极限。黑洞附近的一个大质量恒星尖（亚历山大和霍普曼2009)例如，恒星质量黑洞的前兆可能会增加预期数量。或者，恒星形成历史爆发导致KLF中断（Pfuhl等人。2011)可以减少它。

5径向速度的影响

在上述检测黑洞自旋的分析中，我们迄今尚未考虑径向速度测量，而径向速度测量可能是通过测量光谱线的红移来实现的，这与传统上对银河中心S星所做的一样（Gillessen et al。2009). 然而，为了探测自旋对恒星轨道的红移影响，需要非常高的红移精度。如上所述，χ=0和χ=0.99的模型在整个轨道上的最大红移差（假设最乐观的自旋角）分别为≈0.3和30km/s⁻¹分别用于S2和S2/10。这种影响在近天文轨道附近也非常明显，需要有针对性的观测活动才能被探测到。

之前的工作（Zhang等人。2015; Yu等人。2016)假设红移误差1–10 km s⁻¹在估计自旋误差时结合天体测量。这种精度允许对SgrA*附近近距离轨道上的潜在恒星进行红移探测，但只能通过E-ELT或TMT等未来设施来实现（Do等人。2017). 目前对恒星S2的红移测量（比任何潜在的近距离恒星都要明亮，引力协作2017)具有不确定性～30 km s⁻¹因此，一个自然要问的问题是潜在径向速度测量误差σ的程度_v（v）>30公里秒⁻¹可以帮助检测旋转。虽然这样的精度可能不足以单独测量自旋，但它应该有助于更好地约束其他参数，从而在一定程度上防止自旋效应的掩盖，减轻对所需恒星轨道的约束。

除了直接光谱法之外，我们还提出了一种利用中等分辨率的光谱差分干涉法直接利用重力测量近轨道恒星径向速度的潜在方法。附录中概述了该方法A类我们估计径向速度精度σ_v（v）～50公里⁻¹为了测试添加径向速度测量的效果，我们选择了图中过渡区附近的两个示例轨道三, (一_球体,电子) = (500R（右）_S公司，0.3）和（1600R（右）_S公司，0.9），对应于一(1 − 电子²)^3/4≈ 460R（右）_S公司，并使用（i）仅天体测量与|$\西格玛_x=10\，\mu$|作为；（ii）天体测量和径向速度测量|$\西格玛_x=10\，\mu$|as和σ_v（v）=50公里⁻¹; 和（iii）与之前相同，但|$\西格玛_x=50\，\mu$|后者包括以牺牲天体测量精度为代价的径向速度测量。图4显示了每种情况下自旋检测显著性σ的直方图。由于不同的误差实例化，σ（与前面显示的等高线图的颗粒度有关）的扩展是自然的。观察到一个明显的趋势，即只有在天文测量精度能够保持的情况下，增加径向速度才能增加自旋检测的重要性。否则，如果天体测量精度降低了几倍，则显著性将严重降低，因为径向速度本身并没有探测自旋效应，而是导致对其他参数的更好约束。此外，当增加径向速度时，对于更偏心的轨道，显著性的增加更强。

为了估计包含径向速度时所需恒星数的变化，我们创建了(一_球体,电子)等高线图，参数与之前相同，但带有附加红移测量σ_车辆=50公里⁻¹每次观察时。结果如图所示三（下一行）和表1虽然等高线在拟合零旋解之前不会发生变化（因为具有此精度的径向速度不会探测自旋效应），但在执行零旋解拟合之后，它会向外移动，这与上述两个具体示例中观察到的行为一致。对于我们使用的规范观测活动，这意味着一_球体(1 − 电子²)^3/4≲ 500R（右）_S公司，预计恒星数量增加了2-0.07倍。将观察活动增加到T型=10年使恒星数量增加到0.23。

6讨论和结论

在本文中，主要目标是确定假设恒星需要满足的要求，以便通过对银河中心超大质量黑洞周围轨道的天体测量监测来探测黑洞自转。为了做到这一点，我们使用了半解析克尔测地线代码来计算SgrA*附近的恒星轨道。考虑到轨道的稀疏采样和所需的大量模拟，避免轨道的数值积分将大大提高计算时间。对于光子轨道，由于与实际精度相比，自旋对天体测量和红移的影响可以忽略不计，因此我们使用了弱场史瓦西近似。

我们通过检查代码是否再现了对恒星S2和假设恒星S2/10的预期相对论效应来测试代码的有效性。特别是，我们注意到，当S2在天文学家通过时经过黑洞后，光的弯曲增强了来自天文学家前进的信号，并可能导致早期检测到综合效应。

我们还显示了径向速度在精度～50 km s范围内的影响⁻¹在检测自旋时会有。虽然这样的红移精度不允许直接探测自旋，但它通过对其他参数提供更强的约束而起到帮助作用。如果在此精度下的径向速度也可用，则预期恒星数将增加2倍。因此，重要的是要考虑与天体测量平行进行径向速度测量的可能性，我们给出了一个利用重力进行径向速度测量的潜在方法的例子。

在上述分析中，我们假设黑洞始终位于原点。实际上，拟合S星轨道需要包含黑洞的偏移和线性漂移参数（Boehle et al。2016; Gillessen等人。2017). 在重力的情况下，天文测量是相对于用于边缘跟踪的参考恒星进行的（Eisenhauer等人。2011). 检测相对论效应需要测量其轨道参数。然而，重力协作(2017)表明，可以直接将恒星位置参考到SgrA*，只要近红外发射源靠近黑洞，就不需要参考坐标系参数。对于即将到来的超大望远镜，此处获得的结果仍然适用，但应包括参考坐标系参数。

我们假设SgrA*周围的时空为纯克尔度量，对应于最乐观的情况。实际上，恒星/残骸的分布会引入扰动，从而掩盖黑洞自转引起的进动。尽管这两种效应可能是分开的（例如，由自旋引起的天体测量偏差在apastron最大，而牛顿扰动在periaston最大，Zhang&Iorio2017)，用有限的观测数据和事先不了解扰动的情况来解开它们的纠缠将是非常具有挑战性的。Schödel等人从目前无法解析的微弱恒星发出的漫射光背景出发。(2018)估计封闭恒星的总质量为～180 M_⊙250毫秒内。使用他们测得的3D幂律密度剖面γ≈1.1，这仅转化为～2 M_⊙25 mas内。根据Merritt等人的图1。(2010)，这将设置上限一_球体约10000R（右）_S公司对于牛顿摄动的框架拖曳，本文所考虑的恒星轨道都在其中。然而，理论考虑和模拟都预测了恒星质量黑洞的积累（～10M_⊙)通过质量分离（Freitag、Amaro-Seoane和Kalogera）在靠近SgrA*的陡峭尖端（γ≈1.75–2.0）2006; 霍普曼和亚历山大2006; 亚历山大·霍普曼2009; 普雷托（Preto）和阿玛罗（Amaro-Seoane）2010; Amaro Seoane&Preto公司2011). 25 mas（1.3×10）内总质量的当前上限⁵ M（M）_⊙，Boehle等人。2016)或13毫秒（4×10⁴ M（M）_⊙，Gillessen等人。2017)通过恒星轨道拟合，不能排除存在更大质量的暗尖点，因此在测量黑洞自旋时，考虑其潜在的扰动对近距离恒星的影响是非常重要的。

Merritt等人。(2010)和Zhang&Iorio(2017)考虑具有不同扰动质量、总质量和密度分布的各种恒星/残余分布，比较牛顿扰动对黑洞进动的影响。而Merritt等人。(2010)已使用N个-通过人体模拟来研究整个星团Zhang&Iorio的整体演化(2017)研究了一颗测试恒星对扰动的详细演化。我们可以使用他们的结果来评估第节中我们的两个示例恒星的黑洞自旋测量值5带有(一_球体,电子) = (500R（右）_S公司，0.3）和（1600R（右）_S公司，0.9）会因不同的团簇性质而受到牛顿扰动。考虑明星电子=0.88和电子=0.3，χ=1，自旋角使得自旋引起的天体测量变化是平均的（正如我们在这里考虑的那样），Zhang&Iorio(2017)发现临界半长轴为1440–2040R（右）_S公司和1200–1560R（右）_S公司对于10 M的集群_⊙密度分布γ=1.75且总质量为30和100 M的黑洞扰动器_⊙分别在25mas内。因此，对于星团质量≳100 M，更偏心的恒星将开始受到牛顿扰动_⊙自Zhang&Iorio(2017)发现牛顿摄动的影响对偏心率的依赖性远小于对框架拖曳的依赖性，更偏心的恒星在允许更大的半长轴方面的优势被对牛顿摄动更高的灵敏度所平衡。或者，根据Merritt等人的图3。(2010)，尖端10米_⊙γ=2且总质量为100 M的黑洞_⊙在25mas内，χ=1，临界半径为≳5000R（右）_S公司，假设最乐观的黑洞自旋角。虽然准确的数值取决于黑洞的自旋参数，但这些结果表明，总质量为100 M的黑洞尖角陡峭_⊙在25mas内，黑洞自旋的测量可能会与潜在的更近恒星发生妥协。

其他方法也可用于探测SgrA*的黑洞自旋。脉冲星定时可以达到更高的精度（例如Liu等人。2012; Psaltis等人。2016; Zhang和Saha2017)，但在对中心秒差距的深入调查中缺乏普通的脉冲星探测（Johnston et al。1995; Macquart等人。2010; 沃顿等人。2012; 德克斯特和奥利里2014)对这种方法提出了重大挑战。利用无线电VLBI直接成像SgrA*“黑洞阴影”周围的发射（Doeleman等人。2009; Falke、Melia和Agol公司2000; Goddi等人。2017)也可能限制自旋，但迄今为止受到复杂模型依赖性的影响（例如Broderick等人。2009; Dexter、Agol和Fragile2009). 最后，根据SgrA*近红外耀斑背后的机制，对轨道热点等的天体测量监测也可以测量自旋（例如Broderick和Loeb2006; Hamaus等人。2009; Vincent等人。2011). 所有这些方法都是互补的。尽管每种方法都很有挑战性，但它们的组合可以探测到SgrA*周围的时空，范围从～1到3000 Schwarzschild半径。

鸣谢

JD感谢Yang和Wang(2014)用于制作伊诺金代码public和D.Psaltis和J.Stone以进行有用的讨论。这项工作得到了德国亚历山大·冯·洪堡基金会颁发的Sofja Kovalevskaja奖的部分支持。OP感谢ERC第610058号协同拨款“BlackHoleCam:成像黑洞的事件视界”的支持。SG和PP感谢ERC对第306311号启动拨款的支持。

参考文献

附录A：用重力测量虚恒星的径向速度

在这里，我们探索了利用光谱线上的可见度差特征测量引力暗恒星径向速度的可能性。这需要使用中等分辨率(R（右）≈500）。尽管分辨率低(R（右）≈22）是银河中心的设想操作模式，因为SNR考虑，这是一种明亮的耀斑状态(K（K）～15）或S2的部分耦合(K（K）≈14）进入重力纤维（重力协作2017)可以提供中等分辨率所需的信噪比，以及较长的积分时间。

一颗可能很暗的恒星的光谱中会有吸收线。在银河系中心用光谱法观测到的最暗的早期恒星(K（K）≲17.5）与A0/B9V分类兼容，并包含Brγ吸收线（Pfuhl等人。2011). 对于快速移动的恒星v（v）_第页～10000公里⁻¹，这样一条线将显著偏离其静止波长；因此，在意想不到的波长上发现不同的可见度特征可以识别这些恒星并测量它们的径向速度。我们关注的是一颗早期恒星，因为它们在S星团中占据了当前光谱识别恒星的主导地位（Eisenhauer et al。2005; Habibi等人。2017); 然而，我们注意到，晚型巨行星也有可能形成暗恒星（Pfuhl等人。2011)，并可能在靠近中心的暗恒星中占据主导地位（Gallego-Cano等人。2018; Schödel等人。2018). 在后一种情况下，一系列尖锐的CO波段可以提供更令人信服的差异能见度特征。

而最大能见度差值为|$｛\approxy｝8\，\，\rm｛per\，\，cent｝$|，差分能见度相位是强非线性的，对于等亮度的双星来说，可能＞80°。例如，这样大的信号可以用来测试SgrA*的静态发射是否有恒星成分的贡献。

这里，我们考虑ΔK（K） = 2 (⁠|$f=16\，\，\rm｛per\，\，cent｝$|)可能对应于例如一颗微弱的恒星K（K）=18，带有较亮的部件（火炬或S2）。我们设置了二元分离σ=（10，10）mas，并再次考虑了深度为0.85的Brγ线的上述情况。图A2类显示了不同能见度振幅和相位的函数|$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\sigma}$|，以及由六个VLTI UT基线采样的点，假设LST=18小时进行模拟，以适合观测银河中心。最大差分相位和振幅信号≈1.5°|$4\、\、\rm{per\、\，cent}$|分别是。重力已达到0.2°的差分精度/|0.4美元$|和0.5°/|$1\，\，\rm{per\，\、cent}美元$|在K（K）≈6和K（K）≈10个震源，积分时间分别短至1小时（重力协作2017).

为了估计这种方法可能达到的径向速度精度，我们在假设精度σ_ϕ=0.3°和|$\sigma_{{rm-amp}}=0.6，\，\rm{per\，\，cent}$|，并将所有基线与微分签名的洛伦兹轮廓同时拟合。红移产生的统计误差为σ_车辆≈30公里秒⁻¹考虑到可比阶数的附加系统误差，我们采用σ_车辆=50公里⁻¹用于我们的模拟。