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摘要

核坍塌超新星的引力波是由原中子星（PNS）及其周围环境（包括激波）中不同振荡模式的激发产生的。在这项工作中，我们研究了PNS-激波系统的弹跳后振荡谱与在核坍塌模拟的重力波信号中观察到的特征频率之间的关系。这是发展推断核坍塌超新星形成的PNS天体物理参数的程序的基本第一步。我们的方法将背景物理系统广义相对论中通过线性摄动分析获得的PNS振荡谱信息与相应非线性核坍塌模拟的引力波谱信息相结合。使用35M坍塌模拟结果⊙前超新星前体我们表明这两种光谱确实相关，我们能够识别PNS的振荡模式，即g模式、p模式、混合模式和驻留吸积激波不稳定性（SASI）模式，获得了与引力波模式的时频分布非常密切的对应关系。本文的分析提供了一个概念证明，在核坍塌情况下，星震学确实是可能的，它可以作为未来基于引力波观测的PNS参数推断工作的基础。

星震学,引力波,方法：数值,恒星：中子,恒星：振荡,超新星：概述

1简介

大质量恒星的坍塌，即质量大于约8M的恒星⊙是最有趣的引力辐射源之一。坍塌恒星会产生丰富而复杂的波形，这可以提供有关场景现象学的丰富而重要的信息，尤其是当结合对其电磁发射和中微子发射的观测时。这些事件的结果要么是中子星，要么是黑洞（BH），通常（但不一定是后者）伴随着超新星爆炸。核坍塌超新星的建模需要多种物理成分，包括广义相对论、核物理激发的状态方程（EoS）和中微子相互作用的详细描述（参见Janka等人2007，查看）。对于足够致密的恒星核心，很可能形成BH而不是中子星（奥康纳和奥特2013)尽管这些情况并不总是与最大质量恒星一致（参见Ugliano et al2012). 最近的研究表明，即使形成了BH，只要堆芯有足够的旋转，爆炸仍然可能成功（Obergaulinger&Aloy2017). 此外，有必要对复杂的多维效应和不稳定性进行建模，例如对流、驻留吸积激波不稳定性（SASI）和湍流，这些对成功超新星爆炸的发展至关重要。

核坍塌情景的数值模拟在计算上具有挑战性，即使在今天，随着可用的最大科学超级计算设施的使用，我们才刚刚开始了解所涉及的物理，我们可能还远远没有得到详细的波形。与双星BH情况不同，目前不可能将前身恒星的性质（如质量、旋转速率、金属丰度或磁场）与产生的波形唯一明确地联系起来。原因是与流体与中微子辐射相互作用的演化相关的复杂非线性动力学，不稳定性的随机和混沌行为（恒星坍塌期间和之前），大质量恒星恒星演化的不确定性（尤其是对流、磁场和角动量输运的处理），以及高密度和中微子辐射下EoS所需的核和弱相互作用的不确定性。

尽管困难重重，但在过去十年中，波形方面取得了令人瞩目的进展。核心脉冲信号是波形中最容易理解的部分（Dimmelmeier，Font&Müller2002年b). 其频率（约800 Hz）可直接与磁芯的旋转特性相关（Dimmelmeier等人2008; Abdikamalov等人。 2014; Richers等人。 2017). 然而，快速旋转的祖恒星并不常见，由于其频率高、振幅低，在典型的慢速旋转星系事件中可能很难观察到它们的反弹信号。更有趣的是与新形成的原中子星（PNS）反弹后演化相关的信号。在该阶段，引力波的主要机制是对流和通过吸积材料和不稳定性（SASI）激发PNS中的高阻尼模式。许多研究小组已经确定了引力波信号中与PNS和SASI中的g模式相关的特征（墨菲、奥特和伯罗斯2009; Cerdá-Durán等人。 2013; 米勒、詹卡和马雷克2013)或3D模拟（黑田、神户和高崎2016; Andresen等人。 2017). 通常，波形持续约200-500毫秒，直到超新星爆发（参见Müller et al2013)或者，在BH形成的情况下，典型持续时间为1s或以上（Cerdá-Durán等人2013). 由于PNS的收缩，其质量稳步增加，典型频率随时间单调上升。PNS的特征频率可以低至～100 Hz，尤其是与g模式相关的频率，这使其成为在这些频率下灵敏度最高的地基干涉仪的理想目标。PNS中的两个区域似乎容易受到g模式的激发（Cerdá-Durán等人2013; Kuroda等人。 2016; Andresen等人。 2017)即PNS的表面和PNS最里面的冷芯。在这两个区域中，比熵随半径增加而增加，从而形成对流稳定区域，其中浮力起到恢复力的作用。此外，旋转芯中的准径向模式在波形中产生了一种独特的频率下降模式，当BH的频率接近零时，这种模式就表明BH的形成（Cerdá-Durán等人2013). 所有这些结果都表明，在不需要完全了解核坍塌场景中涉及的物理细节的情况下，可以根据波形中模式频率的识别来推断PNS的特性。

基于对PNS正常振动模式频率的研究来识别PNS特性的想法并不新鲜。PNS星震学的研究已在许多工作中报告（参见Reisenegger和Goldreich等1992; Ferrari等人。 2004; Passamonti、Stergioulas和Nagar2007; Krüger、Ho和Andersson2015; Camelio等人。 2017). 在这些情况下，通常的方法是将PNS中的振荡作为球形平衡星的线性扰动进行研究（我们在下文中将其称为“背景模型”）。这导致了一个特征值问题，其解是PNS的正常振荡模式。在之前的大多数工作中，都考虑了对PNS反弹后演化的相当简化的描述。最近，Sotani&Takiwaki(2016)基于对真实一维核坍塌模拟的简单拟合，对PNS进行了线性扰动分析，以研究反弹后数百毫秒内模式频率的演变。Fuller等人。(2015)使用2D模拟中更真实的轮廓进行牛顿线性扰动分析，但其分析仅限于快速旋转祖细胞的反弹信号，未考虑反弹后的演化。到目前为止，尚未考虑PNS表面上方存在的驻留激波，并且通过在PNS表面施加边界条件，将振荡限制在PNS内部。1

本文提出了一种对背景模型进行广义相对论线性摄动分析的方法，该背景模型是多维核坍塌模拟的结果，包括PNS和热泡区域直至激波位置。这使得我们可以直接将通过线性分析获得的模式频率与相应数值模拟的重力波频谱中的实际频率进行比较。该分析提供了一个概念证明，尽管系统很复杂，但在核心坍塌情况下，星震学确实是可行的，并将作为基于引力波观测的PNS参数推断未来工作的基础。

迄今为止，在核坍塌超新星背景下进行参数估计的尝试主要集中在反弹信号上。在此背景下，Summerscales等人采取了波形重建和参数估计的第一步。(2008)，随后是Logue等人的工作。(2012)世卫组织使用数值引力波模板信号确定超新星爆炸机制。Powell等人最近扩展了这项开创性的工作。(2016)解决了Logue等人工作中讨论的几个局限性。(2012).

本文的结构如下。在节中2我们简要描述了我们用来计算正常振动模式的核坍塌模型，以及我们要分析的重力波谱。章节三描述了我们研究所基于的线性摄动近似方程。在节中4我们提出了识别和分类物理系统各种振荡模式族的程序。在节中5我们将模式的时频分布与PNS的引力波发射谱图进行了比较，并研究了它们之间的关系。最后一部分6我们给出了我们的结论并概述了这项工作的未来扩展。本文还包含一个附录，其中我们使用恒密度星提供的精确解来测试我们的线性分析方法。在本文中，我们使用了一个类似于空格的度量签名（−，+，+c（c） = G公司=1（几何化）单位，其中c（c）代表光速G公司是牛顿的引力常数。按照惯例，希腊指数从0到3，拉丁指数从1到3，我们对重复指数使用爱因斯坦的求和约定。

2黑洞成型模型35OC

在这项工作中，我们研究了一个单核坍塌模型，目的是了解PNS和超新星冲击波形成的耦合物理系统的本征模谱。为了实现这一目标，我们开发了一个数字代码，用于计算和自动分类特征模式。我们使用一个我们之前已经模拟过的模型，以便在将其应用于更大的模型集之前建立对我们的方法的信心。更准确地说，我们采用了Cerdá-Durán等人进行的2D岩芯崩塌模拟的结果。(2013)使用广义相对论代码椰子（Dimmelmeier，Font&Müller2002年a; Dimmelmeier等人。 2005). 前体是低金属丰度35 M⊙Woosley&Heger零年龄主序列中的恒星(2006). 该祖细胞具有较高的旋转速率，通常被视为长时间γ射线爆发（GRB）的祖细胞。模拟使用了Lattimer&Swesty的LS220 EoS(1991)描述高密度物质以及简化的泄漏方案以近似中微子传输。342.7毫秒后，前体的核心崩塌，形成PNS和吸积激波，随后进入吸积阶段。由于对流和SASI，流入物质穿过失速激波，加热并通过热气泡下落，流体在热气泡中停留一段时间，然后到达PNS表面。最后，在1.6秒后，PNS因径向扰动而变得不稳定，并崩塌为BH。在此期间，高度扰动的PNS是引力波的有效发射器，如图1显示。

图1。
Cerdá-Durán等人在岩芯崩塌模拟中计算的重力波信号波形。（2013）在距离D=100kpc处的35OC超新星前模型。
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Cerdá-Durán等人在岩芯崩塌模拟中计算的重力波信号波形。(2013)对于35OC超新星前模型D类=100 kpc。

在整个吸积阶段，我们计算了从PNS延伸到激波位置的区域的本征模。该区域的大小随冲击位置的变化而变化。在弹跳后的时间，该区域大致处于静水平衡状态，与声速相比，流速较小（超音速下落的物质穿过激波时变为亚音速）。因此，我们可以研究在给定时间由模拟结果提供的背景的线性扰动。只要背景的典型演化时间尺度远长于所研究模式频率的倒数，这种方法是可能的。在我们的案例中，PNS的结构在～100 ms的时间范围内变化，这限制了我们对大于～10 Hz的频率的方法的有效性。此外，尽管其旋转频率相对较高，但与重力相比，离心力并不占主导地位（参见Cerdá-Durán et al2013). 为了简化分析，我们对所有量进行角平均（按每个数值单元所覆盖球体的表面积加权），以计算有效的1D模型，该模型将用于进行线性扰动分析。由于模拟中的冲击不是完全球形的，而是由于SASI的存在而变形的，因此必须小心地进行角度平均。我们首先计算平均激波位置，然后将所有量的径向剖面重新缩放为平均激波半径，最后执行角度平均。

对于我们的分析，有趣的是定义恒星中心和吸积激波位置之间的三个不同区域。这些区域如图所示2内冷核（蓝色）是指比熵小于3的中心和半径之间的区域k个B类每个重子，在图中标记为第页寒冷的。PNS的表面不容易定义。冷内核上方有一个10–20 km宽的热地幔，密度迅速下降。中微子层，第页ν，通常位于表面下方，可以被视为PNS半径的代理。然而，它往往会略微低估PNS的规模。我们发现密度变为10的点11 克厘米−3是PNS曲面的更好代理，我们使用它的值，|$r_{\rho_{11}$|作为PNS表面位置的定义。最后，图2作为第页震惊综上所述，这三个区域分别是区域I（对应于内核）、区域II（定义为PNS地幔对应的核与表面之间的区域）和区域III（定义为表面与激波之间的区域，对应于热气泡）。

图2。
所考虑PNS不同区域的代表性。（详见正文。）
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所考虑PNS不同区域的代表性。（详见正文。）

3球对称背景的线性扰动

我们从描述球对称自引力平衡配置的扰动开始分析。感兴趣的读者请联系Kokkotas&Schmidt(1999)还有Friedman&Stergioulas(2013)有关致密恒星线性扰动和星震学的详细信息。传统上，这种分析是在史瓦西坐标系下进行的（Thorne&Campolattaro1967). 在我们的工作中，我们将使用各向同性坐标，它更接近于原始数值模拟中使用的规范条件（共形平面条件、CFC、近似；Wilson、Mathews和Marronetti1996; 伊森伯格2008). 此外，在这些坐标系中推导的方程也与牛顿情况下的方程相似（参见Reisenegger&Goldreich1992)从而更容易识别方程中不同项的作用并解释解。这种量规的选择也使得牛顿模拟的模态分析变得简单。

让我们考虑坐标系中空间-时间的3+1叶理(t、 x个我)，其中度量可以写为
\开始{eqnarray}{}{rmd}s^2=g_{mu\nu}{rmd}x^\mu{rmd{x^\nu=（beta^i\beta_i-\alpha^2）！\结束{eqnarray}
(1)
其中β我是位移三矢量，α是衰减函数，γij公司是空间三公制。在各向同性坐标中，静态和球对称配置的背景度量可以写为
\开始{eqnarray}｛｝｛\rmd｝s^2＝g_｛\mu\nu｝｛\rmd｝x^\mud｝x^\nu＝-α^2｛\rmd｝t^2+\psi^4 f_｛ij｝｛\rmd｝x^i｛\rmd｝x^j，\结束{eqnarray}
(2)
其中ψ是保角因子（f）ij公司是平面空间三公制。在球对称和静态极限下，CFC度量的爱因斯坦方程2阅读
\开始{eqnarray}\Delta\psi=-2\pi\psi^{5}E，\结束{eqnarray}
(3)
\开始{eqnarray}\Delta（alpha\psi）&=2\pi\alpha\psi^{5}\left[E+2S\right]，\结束{eqnarray}
(4)
其中Δ是关于平面三公制的拉普拉斯算子。在这种情况下，β我=0和γij公司 = ψ4（f）ij公司能量-动量内容通过能量-动量张量的投影耦合到时空几何，T型μν，在3+1叶理上：
\开始{eqnarray}E\equiv\alpha^2 T^{00}，\quad S_i\equiv-（T_{0i}-T_{ij}\beta^j），\结束{eqnarray}
(5)
\开始{eqnarray}S_｛ij｝\equiv T_｛ij｝，\ quad S\equiv S_｛ij｝\gamma ^｛ij｝。\结束{eqnarray}
(6)
我们考虑一种完美流体，其能量-动量张量由下式给出
\开始{eqnarray}T^{\mu\nu}=\rho h u ^{\mu}u ^{\nu}+P g ^{，\结束{eqnarray}
(7)
式中，ρ是剩余质量密度，P（P）是压力，u个μ是四速，小时≡ 1 + ε + P（P）/ρ是比焓，ε是比内能。将能量密度定义为e（电子）≡ ρ(1 + ε).
如果我们考虑Bianchi恒等式和重子数守恒（连续性方程），则相对于坐标基的广义相对论流体动力学方程读取（Banyuls等人1997)
\开始{eqnarray}\压裂{1}{\sqrt{\gamma}}\mathrm{\partial}_t\left[\sqrt{\ gamma}D\right]+\frac{1}}{\sqlt{\gama}}\methrm{\ partial{_i\left[\sqrt}\gamma Dv^{*i}\right]=0，\结束{eqnarray}
(8)
\开始{eqnarray}\frac｛1｝\\\结束{eqnarray}
（9）
\开始{eqnarray}&&{\frac{1}{\sqrt{\gamma}}\mathrm{\partial}_t\left[\sqrt{\ gamma}E\right]+\frac{1}}{\sqlt{\gama}}\nabla-i\left[\sqrt}\gamma}\left（Ev^{i}+\alpha-Pv^i\right）\right]}非数字\\&&{\quad=\alpha^2\left（T^{\mu0}\mathrm{\partial}_\mu\ln\alpha-T^{\mu\nu}\Gamma^0_{\mu\nu}\ right），}\结束{eqnarray}
（10）
其中γ是三公制的行列式，|$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$|是与四公制相关联的Christoffel符号，守恒量定义为
\开始{eqnarray}D=\rho W，\qquad S_j=\rhoh W^2 v_j，\qquad E=\rho-h W^2-P，\结束{eqnarray}
(11)
哪里|$W=1/\sqrt{1-v_iv^i}$|是洛伦兹因子。欧拉速度和“平流”速度分别为，
\开始{eqnarray}v^i=\frac{u^i}{W}+\frac{\beta^i}}{\alpha}，\quad\quad v^{*i}=\frac{u^i}{u^0}=\alpha v^i-\ beta^i。\结束{eqnarray}
(12)
让我们考虑一个处于平衡状态的流体动力学方程的解吨=0）且为静态(v（v）我 = 0). 在这种情况下，方程式(9)读取
\开始{eqnarray}\frac｛1｝｛\rho h｝\mathrm｛\partial｝_i P＝-\mathrm｛\partial｝_i\ln\alpha\equiv G_ i，\结束{eqnarray}
(13)
哪里G公司我是重力加速度，以牛顿极限表示，其唯一非零分量为G公司第页≡G公司.方程的求解(13)对应于未扰动状态或背景解。

接下来，我们考虑流体动力学方程相对于背景平衡构型的线性绝热扰动。我们用δ表示不同量的欧拉摄动，例如对于剩余密度ρ，欧拉摄动力是δρ。线性化方程是通过在方程中替换ρ→ρ+δρ等得到的(8)–(10). 注意ρ，P（P）等，对应于线性化方程中的背景值。此外，我们考虑了考林近似，即我们没有考虑度量的扰动（δα=δψ=δβj个 = 0). 我们在下面讨论了这种近似在我们的结果中的影响。

我们表示为ξ我流体元素相对于其静止位置的拉格朗日位移。其值与平流速度有关
\开始｛eqnarray｝{}\mathrm{\partial}_t\xi^i=\delta v^{*i}。\结束{eqnarray}
(14)
任何数量的拉格朗日摄动，例如ρ，与欧拉摄动有关
\开始{eqnarray}\Delta\rho=\Delta\rho+\xi^i\mathrm{\partial}_i\rho。\结束{eqnarray}
(15)
方程的线性化版本(8)和(9)是
\开始{eqnarray}\压裂{\Delta\rho}{\rho{&=&-\left（\mathrm{\partial}_i\xi^i+\xi^i \mathrm{\paratil}_i \ln\sqrt{\gamma}\right），\结束{eqnarray}
(16)
\开始{eqnarray}\ρh{\，}\mathrm{\partial}_t\delta v_i+\alpha\mathrm{\partical}_i\delta P&=-\delta\left（\rho h\right）\mathrm2{\partital}_i \alpha，\结束{eqnarray}
（17）
哪里|$\sqrt{\gamma}$|是三个度量的行列式。我们使用球坐标{第页，θ，φ}，其中|$\sqrt{\gamma}=\psi^6 r^2\sin\theta$|.由于我们考虑绝热扰动，方程(10)不会为问题添加其他信息。
扰动的绝热条件意味着
\开始{eqnarray}\frac｛\Delta P｝｛\Delta\rho｝=\left。\压裂{\mathrm{\partial}P}{\mathrm{\protial}\rho}\right|_{\rm绝热}=hc^2_{\rms}}=\frac{P}{\ rho}\γ_1，\结束{eqnarray}
(18)
哪里c（c）秒是相对论声速和Γ1是绝热指数。这让我们可以写
\开始{eqnarray}\delta\左（\rhoh\右）=\左（1+\frac{1}{c{\rms}^2}\右）\delta P-\rhoh{\，}\xi^i\mathcal{乙}_{i} ，\结束{eqnarray}
(19)
哪里
\开始{eqnarray}\马查尔{B} _ i相等\分形{\mathrm{\partial}_ie}{\rhoh}-\frac{1}{\Gamma_1}\frac}\mathrm{\paratil}_i P}{P}\结束{eqnarray}
(20)
是Schwarzschild判别式的相对论版本。由于背景是球对称的，因此唯一的非零分量是|${\mathcal{B}}_r\equiv{\matchcal{B}{$|.
方程的径向和角部分(17)由提供
\开始{eqnarray}\ρh{，}\psi^4\alpha^{-2}\frac{\mathrm{\partial}^2\xi^r}{\mathrm{\protial}t^2}+\mathrm{\paratil}_r\delta P&=&\delta\ left（\rhoh\ right）G，\结束{eqnarray}
(21)
\开始{eqnarray}\ρh{\，}\psi^4\alpha^{-2}r^2\frac{\mathrm{\partial}^2\xi^{\theta}}{\mathr{\partitle}t^2}+\mathrm{\paratil}_{\theta}\delta P&=&0，\结束{eqnarray}
(22)
\开始{eqnarray}\ρh{，}\psi^4\alpha^{-2}r^2\sin^2\theta\frac{\mathrm{\partial}^2\xi^{\varphi}}{\mathrm{\protial}t^2}+\mathrm{\paratil}{\varfi}\delta P=0，\结束{eqnarray}
(23)
在我们使用的坐标系中，速度的协变分量由δ给出v（v）第页 = ψ4δv（v）第页, δv（v）θ = 第页2ψ4δv（v）θ、和δv（v）φ = 第页2罪2θψ4δv（v）φ.
我们用频率σ的谐波时间依赖性和角度依赖性的球面谐波展开来展开扰动：
\开始{eqnarray}\δP&=&\δ\hat{P}\Y_{lm}{\rme}^{-{\rmi}\sigma t}，\结束{eqnarray}
(24)
\开始｛eqnarray｝{}{\boldsymbol\xi}^r&=&\eta_r\Y_{lm}{\rme}^{-{\rmi}\sigma t}，\结束｛eqnarray｝
(25)
\开始{eqnarray}{}{\boldsymbol\xi}^\theta&=&\eta_\perp\\frac{1}{r^{2}}\mathrm{\partial}_\theta Y_{lm}{\rme}^{-{\rmi}\sigmat}，\结束{eqnarray}
(26)
\开始{eqnarray}{}{\boldsymbol\xi}^\varphi&=&\eta_\perp\\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\mathrm{\partial}_\varphi Y{lm}{\rme}^{-{\rmi}\sigma t}。\结束{eqnarray}
(27)
这里我们只考虑极摄动，因为纯流体非旋转恒星不维持轴向（扭转）振荡。数量η第页, η⊥以及帽子的标量扰动，即。|$\delta\hat{P}$|，是径向坐标的唯一函数。对于我≠0，通过在方程中插入球面调和展开式(21)和(22)我们获得
\开始{eqnarray}-\ sigma^2 \ rho h｛\，｝\ psi ^4\ alpha ^｛-2｝\ eta _r+\ mathrm｛\partial｝_r \ delta \ hat｛P｝=\ delta \ left（\ rho h\ right）G，\结束{eqnarray}
(28)
\开始{eqnarray}-\sigma^2\rhoh{，}\psi^4\alpha^{-2}\eta_{\perp}+\delta\hat{P}=0。\结束{eqnarray}
(29)
我=0模式的球状恒星不发射引力波，因此在本工作中不考虑(29)我们得到
\开始{eqnarray}\delta\hat{P}=q\sigma^2\eta_\perp，\结束{eqnarray}
(30)
为了方便起见，我们在哪里定义了q个≡ ρ小时 α−2ψ4.
使用方程式(30)和(19)简化方程式(16)和(28)我们获得
\开始{eqnarray}{}\mathrm{\partial}_r\eta_{r}+\left[\frac{2}{r}+\frac}1}{\Gamma_1}\frac\\mathrm}\partial}_rP}{P}+6\frac{\mathrm{\parial}_r\psi}{\psi}\right]\eta_r+\frac}{\psi^4}{\alpha^2c^2_{\rms}}\left（\sigma^2-\mathcal{L}^2\right）\eta_\perp=0，\n数字\\\结束{eqnarray}
(31)
\开始{eqnarray}{}\mathrm{\partial}_r\eta_\perp-\left（1-\frac{\mathcal{N}^2}{\sigma^2}\right）\eta_r+\left[\mathrm{\particl}_r\ln q-G\left，\结束{eqnarray}
(32)
哪里|$\mathcal{N}$|相对论Brunt–Väisälä频率定义为
\开始{eqnarray}\数学｛N｝^2｛equiv｝frac｛\alpha^2｝｛\psi^4｝G^i\mathcal{B} _ i=\frac{\alpha^2}{\psi^{4}}\mathcal{B}G，\结束{eqnarray}
(33)
和|$\mathcal{L}$|相对论兰姆频率定义为
\开始{eqnarray}\mathcal{L}^2\equiv\frac{\alpha^2}{\psi^4}c^2_{\rms}\frac}L\左（L+1\右）}{r^2}。\结束{eqnarray}
(34)
为了简化讨论，我们定义了系数A、 B、C类、和D类在方程式中(31)和(32)这样方程的形式
\开始{eqnarray}{}\mathrm{\partial}_r\eta_r&=&A\eta_r+B\eta_{\perp}，\结束{eqnarray}
(35)
\开始｛eqnarray｝{}\mathrm{\partial}_r\eta_\perp&=C\eta_r+D\eta_{\perp}。\结束{eqnarray}
(36)

3.1平面波极限

在平面波近似下η第页, η⊥～e我克朗，我们可以从最后两个方程中写出以下色散关系：
\开始{eqnarray}-k^2-{\rmi}k（A+D）+AD-BC=0。\结束{eqnarray}
(37)
的真实部分k个非零，即局部存在平面波解，当且仅当
\开始{eqnarray}4 B C<（A-D）^2。\结束{eqnarray}
(38)
因此，一个充分条件是k个是那个吗不列颠哥伦比亚省<0，因此
\开始{eqnarray}（\sigma^2-\mathcal{L}^2）（\sigma^2-\mathcal{N}^2。\结束{eqnarray}
(39)
在冷中子星中，通常|$\mathcal{L}^2\gg\mathcal{N}^2$|，因此解决方案可以是|$\sigma^2>\mathcal{L}^2>\ mathcal}N}^2$|（声学模式）或|$\西格玛^2$|（g模式）。然而，在本研究中考虑的核心崩溃场景中，我们处理的是一个新生的PNS。因此，PNS仍然很热，被延伸的地幔包围，而那些简化的假设并不成立。

3.2 g模式限制

g模式（或重力模式）可能出现在恒星的浮力起恢复力作用的区域。在这些地区，Brunt–Väisälä的频率是这样的|$\mathcal{N}^2>0$|即区域对对流不稳定性是稳定的。忽略系统中的声波，可以获得恒星g模的近似解。在这种近似下计算g模可以大致了解PNS的典型g模频率。当进行无近似的全面分析时，它还可以作为识别哪些模式属于g模式类的基础。通过采用方程的极限，可以从系统中去除声波(31)和(32)当声速趋于无穷大时，|$c_{\rm s}^2\rightarrow\infty$|。在该极限下，方程式为
\开始{eqnarray}{}\mathrm{\partial}_r\eta_{r}+\left[\frac{2}{r}+6\frac{\mathrm{\parial}_r\psi}{\psi}\right]\eta_r-\frac{l（l+1）}{r^2}\eta_perp=0，\结束{eqnarray}
(40)
\开始{eqnarray}{}\mathrm{\partial}_r\eta_\perp-\left（1-\frac{\mathcal{N}^2}{\sigma^2}\right）\eta_r+\left[\mathrm{\parial}_r\ln q-G\right]\eta_ \perp=0。\结束{eqnarray}
(41)

3.3声学模式限制

与前一种情况类似，也可以通过仅考虑声波支持的模式，即p模式，从系统中去除浮力。通过设置达到声学极限|$\mathcal{B}=0$|，因此，|$\mathcal{N}^2=0$|.生成的方程组显示
\开始{eqnarray}{}\mathrm{\partial}_r\eta_{r}+\left[\frac{2}{r}+\frac}\partial}_r e}{\rho h}+6\frac[\mathrm{\parial}_r\psi}{\psi}\right]\eta_r+\frac:\psi^4}{\alpha^2c^2_\rms}}\left（\sigma^2-\mathcal{L}^2\right）\eta _ \perp=0，\结束{eqnarray}
(42)
\开始{eqnarray}｛｝\mathrm｛\partial｝_r\eta_\perp-\eta_r+\left[\mathrm｛\partial｝_r\ln q-G\left（1+\frac｛1｝｛c^2_｛\rm s｝｝\right）\right]\eta_\perp=0。\结束{eqnarray}
(43)

3.4边界条件

我们在激波位置施加边界条件。激波是气流从超音速（外部）减速到亚音速（内部）的音速点。因此，我们需要施加边界条件的激波内部的所有特征曲线都指向内部；从内部向外传播的波在到达激波位置时会失速。换言之，冲击位置的任何（径向）扰动应为零位移：
\开始{eqnarray}\xi_r|_{\rm冲击}=0\quad\rightarrow\quad\\eta_r|{\rm-shock}=0。\结束{eqnarray}
(44)
在原点(第页=0）这足以施加规律性（参见Reisenegger&Goldreich1992):
\开始{eqnarray}\eta_r|{r=0}=l{\，}\eta_\perp|{r0}\proptor^{l-1}。\结束{eqnarray}
(45)

3.5特征模计算

计算本征模（以下简称“模”）的过程需要对方程进行积分(31)和(32)从PNS中心到不同σ值的冲击位置。我们使用与Cerdá-Durán等人的核坍塌模拟相同的径向网格。(2013)以执行模式计算。初始数据在原点的规格有点随意，只要它满足等式(45). σ值，从而η第页激波处的消失对应于系统的特征值。通过求η的根可以获得准确的特征值第页|震惊（σ） =0（例如，使用二分法），其中η第页|震惊（σ） 是η的值第页|震惊对给定的σ值进行积分后。方程的积分(31)和(32)通过梯形规则执行，梯形规则是二阶精度的，由于其隐式特性，确保了积分的稳定性。事实上，当提高分辨率时，我们的数值程序收敛于预期的二阶精度。也就是说，我们已经检查过，当积分中的点数加倍时，本征函数振幅变化不超过10%，本征模频率变化不超过1%。附录中显示了对该数值程序的进一步评估，以确定特征值和特征模式A类使用已知分析溶液进行简单测试。计算近似g模式方程时采用了相同的数值程序(40)和(41)，以及近似的p模式、方程(42)和(43). 此后，我们将后两个近似系统的解称为“近似模式”，以区别于由完整方程组产生的“完整模式”（通常简称“模式”）。图三示出了在堆芯反弹1秒后计算的与2608Hz的频率相对应的本征函数的径向分量和垂直分量的绝对值的示例。在这种情况下，两个组件在域中都有几个节点。节点的数量被用作识别和分类不同模式的基础，如我们在下一节中所示。

图3。
一个示例模式的径向分量ηr（蓝线）和垂直分量ηñ（橙色）的绝对值在堆芯反弹后计算≈1s。模式频率为2608 Hz。y轴代表对数标度的归一化振幅，而x轴是以km为单位的半径，以冲击结束。
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径向分量η的绝对值第页（蓝线）和垂直分量η⊥核心反弹后计算的一个示例模式的（橙色）≈1s。模式频率为2608 Hz。这个年-轴表示对数标度的标准化振幅，而x个-轴是冲击终点的半径，单位为km。

3.6能量和辐射功率

在牛顿极限下，以一定振幅模式存储的能量可以近似为
\开始{eqnarray}E=\frac{\sigma^2}{2}\int_0^{r{\rm冲击}}\rho r^2\left[\eta r^2+l（l+1）\frac}\eta_\perp^2}{r^2}\right]{\rmd}r。\结束{eqnarray}
（46）
被积函数可以被识别为能量密度|$\mathcal{E}$|.跟随索恩(1969)可以用以下公式计算每种模式下引力波的总辐射功率我≥ 2,
\开始{eqnarray}P_{\rm g}=\frac{1}{8\pi}\frac{（l+1）（l+2）}{（l-1）l}\left[\frac{4\pi\sigma^{l+1}}{{（2l+1）！}\int_0^{r{\rmshock}}\delta{\hat{\rho}}r^{l+2}{\rmd}r\right]^2，\结束{eqnarray}
(47)
哪里
\开始{eqnarray}\三角洲{\hat{\rho}}\近似\rho\左（\frac{\mathcal{N}^2}{G}\eta_r+\frac}\sigma^2}{c{\rms}^2{\eta_ \perp\右）。\结束{eqnarray}
(48)

4模式分类

除了将模式作为频率的函数进行简单分类外，我们的目标是以允许我们确定每个模式对引力波发射的贡献的方式对模式进行分类。在本节中，我们重点关注我 = 2, 米=0模式。其他值的模式我>2看起来在质量上类似，将在下一节讨论。对于非旋转和非磁化恒星，非轴对称模式米≠0与模式具有相同的频率米=0，对于相同的值我，并且不被考虑。

4.1节点数量

我们第一次尝试对模式进行分类是根据它们的节点数量。我们将节点数定义为径向函数η的符号变化数第页然而，在η值为第页方程的数值离散化误差很小，会引起特征函数的微小波动，从而可能导致节点数的错误计算。因此，我们在计数算法中尽量减少这个错误；例如，除非节点之间的距离超过几个数字单元，否则我们不会将节点计算为不同的节点，以避免可能的高频数字噪声。然而，在少数情况下仍可能存在节点错误计数。虽然这个问题可以通过手动计算节点数来解决，但我们的目标是构建一个完全自动化、可靠的模式分类算法。

图4显示了模式频率的反弹后演变，模式根据节点数以不同颜色分类。注意，也可以使用其他分类方法，如基于模式频率连续性或类似特征的分类方法。从这个图中可以得出一些有趣的结论。我们根据节点数量进行的简单分类使我们能够区分模式，并在模拟过程中跟踪其频率的时间演变。约200 ms后，吸积率下降（见Cerdá-Durán et al2013（具体来说）不同类型的模式开始分裂，很明显，有一类模式的频率迅速增加，而另一类的频率几乎不随时间变化甚至降低。如我们在下一节中所示，这两个类分别近似对应于p模式和g模式。连续时间之间的频率跳跃是由于吸积冲击位置的变化，这主要是由于SASI。我们称之为基本模式（或f模式），我（f）径向节点为零的模式。在图中4该模式以蓝色显示，从～800 ms开始，频率约为1000 Hz，可清楚区分。一旦确定了基本模式，很明显，它将分为两类模式：一类是f模式之上的模式，其中节点数量随着频率的增加而增加，另一类是f模式之下的模式，其节点数量随频率的降低而增加。这分别是p模式和g模式的预期行为。在～800 ms之前，没有将零径向节点识别为f模式的模式。这两类模式似乎混合在一起。在每个十字路口，节点数量都会发生变化。当不同性质的模式（在本例中为p模式和g模式）具有相似的频率时（参见Stergioulas2003).

图4。
系统本征模频率的振荡后时间演化。节点数相同的模式用相同的颜色表示。仅表示节点少于五个的模式。
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系统本征模频率的振荡后时间演化。节点数相同的模式用相同的颜色表示。仅表示节点少于五个的模式。

4.2模式识别

先前的分析表明，在新生儿PNS的进化过程中，至少存在两种模式。为了检查这些类别是否对应于g模式和声学模式（p模式）的理论分离，我们使用第节中给出的近似值计算它们3.2和3.3并计算每种情况下的节点数。我们将其标记为我克n个和我第页n个分别使用索引n个是节点的数量。图5显示了近似g模式（交叉）和p模式（星形）的结果。很明显，对于近似g模式，节点数量随着频率的降低而增加。相反，对于近似的p模式，这种关系正好相反，随着频率的增加，节点数也会增加。这种行为支持了我们在上一节中对完整模式所做的识别假设。

图5。
在g模极限（十字）和p模极限（星形）中计算的近似模式的时频图。节点数相同的模式用相同的颜色表示。仅表示节点少于五个的模式。
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在g模极限（十字）和p模极限（星形）中计算的近似模式的时频图。节点数相同的模式用相同的颜色表示。仅表示节点少于五个的模式。

接下来我们分析两类近似模式频率的时间演化。基本近似g模式，标记为2克0，频率在范围内（f）∈[5001000]Hz，在模拟结束时，在流体动力学反弹和BH形成之间非单调但缓慢地变化。其余的g模也有类似的演变，尽管频率较低。这是PNS中g模的预期行为，其频率跟踪产生模式区域的表面重力。基本近似p模2第页0是频率最低的。随着系统的发展，所有近似的p模频率几乎单调增加。这种模式表现为驻留在PNS表面和冲击之间的驻留声波。然而，由于PNS表面是一个扩展区域而不是硬壁，声波能够穿透PNS，因此本征模频率和结构不仅取决于腔体的结构，还取决于PNS的内部结构。随着激波在演化过程中的收缩，该空腔的径向范围减小，p模的频率增加。

鉴于这些结果，我们设计了一种将完整模式分类为p模式或g模式的方法：我们定义了n个第p模式/g模式，在给定时间内，作为具有最大/最低频率的模式n个节点。不属于这两种类型的模式被归类为混合模式（下文中的h模式）。该分类结果如图所示6。将此图与图进行比较很有趣5完全特征值问题的分类过程与近似g模和p模计算的频率之间明显匹配，尤其是在远高于或低于基本模频率的频率下。这使我们确信，我们的程序能够准确地对不同的模式进行分类。我们还注意到，仔细查看这两个图，会发现完整模式的频率比相应的近似模式的频率要大一些。正如预期的那样，混合模式主要出现在g模式和p模式的交叉处，尽管有些可能出现在不同的频率上，并可能在整个演变过程中持续存在（见图6).

图6。
完整问题模式的时频图，分为g模式（十字）、p模式（星形）、f模式（三角形）和h模式（点）。节点数相同的模式用相同的颜色表示。仅表示具有少于五个节点的模式。
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完整问题模式的时频图，分为g模式（十字）、p模式（星形）、f模式（三角形）和h模式（点）。具有相同数量节点的模式用相同的颜色表示。仅表示节点少于五个的模式。

一旦模式被识别，就可以详细检查其对应的本征函数。图7, 8、和9分别显示一组典型完整模式的径向分量、垂直分量和能量密度。注意模式的形状，可以看到类中的模式有些相似，但节点数不同。图中的垂直虚线7–9表示我们正在考虑的恒星不同部分的径向位置。蓝线是铁芯的极限第页寒冷的橙色线是中微子层的位置第页ν并限制PNS曲面的较低半径。最后，绿线表示密度小于10的半径11 克厘米−3并标记PNS曲面上半径的位置。这些图中所示时间的每个半径的相对位置与图中相同2.

图7。
反弹后1s，每类前几个振型的径向分量（ηr）。g模用蓝色表示，p模用橙色表示，f模用绿色表示，h模用红色表示。垂直线表示恒星三部分的径向位置，如图2所示。（详见正文。）
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径向分量（η第页)在每个类的前几个模式中，反弹后1s。g模用蓝色表示，p模用橙色表示，f模用绿色表示，h模用红色表示。垂直线表示恒星三部分的径向位置，如图所示2（详见正文）

图8。
与图7相同，但垂直分量（ηб）除外。
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与图相同7但对于垂直分量（η⊥).

图9。
与图7相同，但能量密度（$\mathcal{E}$）。
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与图相同7但对于能量密度(⁠|$\数学{E}$|).

图中所示的能量密度9提供了特征函数的补充视图，这有助于进一步解释模式分类。所有的能量密度2（f）模式位于恒星内部，核心和表面之间，在图中我们将其标记为区域II2.模式2小时2也被限制在同一区域内，区别于g模式和p模式。节点数为奇数的g模能量密度被限制在恒星内部，其中一部分分布在区域I和II中，而节点数为奇数的p模能量密度分布在区域III中2克2由于其能量密度被限制在区域III，而其余的g模属于区域I，因此表现出一种特殊的行为。此外，p模2第页2与其他模式不同的是，它的能量密度更类似于h模式2小时2而不是其他p模式。目前尚不清楚如何解释不同区域之间的能量密度分布。了解这个问题值得进一步研究，因为它可以改进我们的分类程序。

为了结束这一节，我们在图中显示10模式两个组件的二维表示2第页1和2克1图中的黑色虚线表示相应本征函数的零点。蓝色径向线和橙色径向线分别代表PNS核心和中微子层的极限。各模式振幅的较大值以黄色显示，而较小值以深红色显示。p模式（左侧面板）的最大振幅集中在PNS的外部，这与p模式被困在PNS表面和冲击之间的驻波的解释一致。然而，PNS内部还有一个不可忽略的额外组件。这可能是由于声波穿透PNS内部或声波与内部浮力响应层的耦合造成的。右侧面板显示了在PNS内部具有最大值的g模式组件。在此频率下，PNS内部的对流稳定区域允许形成g模。然而，这些g模式延伸到PNS之外直至冲击。PNS表面与激波的耦合是由在该区域传播的无节声波介导的。

图10。
模式2p1和2g1两个分量的极坐标表示。
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模式的两个分量的极坐标表示2第页1和2克1.

5重力波发射

5.1频域比较

在前面的章节中，我们计算了PNS和冲击在模拟中任何给定时间形成的系统的本征模。预计，如果我们扰动系统，其中一些模式将被激发，引力波将以这些特定频率发射。模拟中确实存在这些扰动：PNS表面和激波之间的区域受到竞争不稳定性的影响，例如SASI和对流，这些不稳定性破坏了球对称性。在这个区域，向下流动的冷却物质羽流撞击PNS表面，激发系统的本征模。所有这些扰动都转化为引力波信号（见图1，其频谱预计与模式的频率相关）。为了比较两者，我们将模式的时频分布与从模拟中获得的引力波信号的谱图叠加。对于此比较，我们只考虑具有我=2和我 = 4. Cerdá-Duran等人的数值模拟。(2013)假设赤道平面对称，因此模式为奇数我不存在，此处不考虑。此外，我=0模式未在分析中考虑，将在其他地方考虑。我们不考虑我=6或更高偶数我模式，因为与低能量模式相比，这些模式通常存储的能量较少，因此会产生较弱的引力波信号我.

结果显示在图的光谱图中11作为一个普遍的结论，谱图中的大多数特征都有一个相应的本征模，密切跟踪其演化。但相反的情况并非如此，并不是每个计算出的本征模都在谱图中有踪迹。这是意料之中的，因为不是每个模式都必须在演化过程中被激发，或者即使被激发，也不是每个模式都能具有足够高的振幅以在引力波信号中留下印记。

图11。
Cerdá-Durán等人数值模拟的光谱图比较。（2013），采用l=2和l=4模式的时间-频率分布。彩色编码是引力波功率谱密度（PSD），黄色表示最高值。上部面板显示g模式（十字），下部面板显示p模式（星形）。f模式（三角形）显示在两个面板中。左侧和右侧面板分别显示l=2和l=4模式。节点数用不同的颜色表示：蓝色（0）；橙色（1）；绿色（2）；红色（3）；紫色（4）；和棕色（5）。
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Cerdá-Durán等人数值模拟的光谱图比较。(2013)具有的时间-频率分布我=2和我=4种模式。彩色编码是引力波功率谱密度（PSD），黄色表示最高值。上部面板显示g模式（十字），下部面板显示p模式（星形）。f模式（三角形）显示在两个面板中。左侧和右侧面板显示我=2和我分别=4种模式。节点数用不同的颜色表示：蓝色（0）；橙色（1）；绿色（2）；红色（3）；紫色（4）；和棕色（5）。

图11表明引力波发射可以用我=仅2种模式。一些功能还可以通过4（f）模式（右下面板，蓝色）。在反弹后的前半秒，低阶g模是主要的引力波发射机制（上面板）。这与先前的核坍塌模拟一致，在该模拟中，前半秒（超新星爆发之前）的光谱特征被解释为g模式（参见Müller et al2013). 在以后的时间里，引力波信号的一个分量会随着频率的增加而出现。此部件由以下部件完美装配2（f）和2第页n个模式（左下面板），频率大于～1500 Hz。4第页n个模式似乎对信号没有影响（参见第节中的讨论5.3).

在～1500 Hz以下，引力波发射似乎主要由三个特征控制，这三个特征在频率范围内与低阶g模一致。然而，这些特征与g模式的形状不同，可以用不同的方式进行解释，我们将在下文中进行讨论。Cerdá-Durán et al.中解释了频率在反弹后约1.2 s时从～1000 Hz降至BH形成时0 Hz的分量。(2013)作为准径向模式(我 = 0). 尽管我=0模式可以在Cowling近似中进行研究（使用适当的形式），这种近似不会产生准确的结果，因为对象变得更紧凑，特别是基本频率我=0模式在BH形成开始时不会过零。因此，我们决定在这项工作中不考虑这些模式，并将其留到没有考林近似的未来扩展中。在下一节中，将讨论具有准线性递增频率的最低频率下的两个特征（其中一个特征被准径向模式部分隐藏）。第节讨论了谱图中明显缺乏g模式（除了基本模式）5.3.

一般来说，所有最低阶p-模式（就我和n个)被印在光谱图上。这与以下解释一致：扰动主要激发低阶模态，而高阶模态对信号没有贡献。此外，这一观测结果还有助于决定哪些模式与引力波发射相关，而与模拟中计算的波形无关。我们还注意到，至少在高频下，Cowling近似似乎不会在本征模计算中引入较大误差。许多模式显示出与谱图的微小不匹配，通常是向较大频率的微小偏移，这可能是由Cowling近似引起的。缺乏与基本模式相关的功能令人困惑。然而，对于基本模式，Cowling近似可能会引入较大的误差，导致对结果的误解。在不久的将来，我们计划放宽这种近似，以分析是否发现更接近的一致性，并研究准径向模式的行为。

5.2 SASI印记

Cerdá-Durán等人将本研究中识别为p模式的大多数特征识别为SASI模式。(2013)因为它们的频率追踪冲击波的晃动。这可以在图的左下面板中看到12在这里，我们绘制了赤道激波径向位置的频谱图，并与p模频率（符号）进行了比较。有趣的是，对于低于最低阶p模的频率，谱图中存在重力波信号和激波位置的特征，形状类似于p模特征，但频率较低。Cerdá-Durán等人将这些低频信号归因于SASI。(2013)以及Kuroda等人。(2016)Andresen等人。(2017). 它们出现在激波位置的频谱图中（而基频却没有），这一事实证实了它们不太可能与g模式相关，尽管频率相似，但与其他一些模式相关。

图12。
左侧面板：冲击波径向位置的时间演变（上部面板）及其相应的光谱图（彩色编码，下部面板）。将l=2个p模式（符号）的频率叠加到后者上，即声波时间$t的倒数^{-1}_{\rms}$（黑色虚线），平流时间$t的倒数^{-1}_{\rm adv}$（粉色虚线）和特征声波频率的整数分数：$f{^2s}$（实心蓝线）和$f{*2s}/2$（实心洋红色线）。右侧面板：使用n上的2pn频率估计2s频率。随着n的增加，频率收敛到2s的频率。
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左侧面板：冲击径向位置的时间演变（上图）及其相应的光谱图（彩色编码，下图）。对于后者我=2个p模式（符号），声学时间的倒数|$t（美元）^{-1}_{\rm s}$|（黑色虚线），平流时间的倒数|$t（美元）^{-1}_{\rm广告}$|（粉红色虚线）和特征声波频率的整数分数：|$f_{^2s}$|（蓝色实线）和|$f_{^2s}/2$|（实心品红色线）。右侧面板：估计2秒频率使用频率2第页n个结束n个.作为n个增加频率收敛到2秒.

为了理解这些特征，我们简要回顾了SASI的机制（Foglizzo&Tagger2000; Blondin、Mezzacappa和DeMarino2003). 在激波位置产生扰动后，亚音速吸积流体向下平流，直至到达PNS表面，此时它减速并激发向上传播的声波，进一步激发激波。在正确的条件下（参见Foglizzo2002; Foglizzo等人。 2007)，这个平流-声学循环是不稳定的，小扰动的振幅呈指数增长，进入非线性状态。在PNS和激波之间的同一区域，也可能形成一个纯声学循环，其中向下和向上扰动都是声学的。在这种情况下，该声循环被证明是稳定的（Foglizzo等人2007).

我们的线性分析允许我们研究与计算出的p模式相对应的纯声循环。然而，我们无法在我们的框架中获得SASI频率，因为我们忽略了激波下方的亚音速吸积流（我们考虑静水平衡）。无论如何，很明显，我们的分析表明，模拟中出现的SASI并不是由纯粹的声学循环（与p模式相关的频率较高）引起的，因此它很可能是由平流-声学循环产生的。

解释图的左下面板的模式12根据平流-声学和纯声学循环，我们绘制了声学和平流时间的倒数：
\开始{eqnarray}t_{\rms}&=&\int_{r{\rm PNS}}^{r{\rm shock}}\frac{{\rmd}r}{\alpha c{\rms}}\quad{\rma and}\quad t_{\orm adv}=\int_{r{\ rm PNS}}^{r_{\rm-shock}}\frac}{\rmd}r}{\ alpha |v_r|}，\结束{eqnarray}
(49)
分别（谱图顶部的虚线）。自吨秒是PNS和电击之间区域的声音穿越时间，值为|$t_{\rms}^{-1}$|匹配所有p模式的典型频率和上升行为。然而，由于无法很好地确定声波在PNS表面反射的确切位置，我们无法可靠地使用该值作为p模式频率的估计值。或者，可以直接从p模式频率估计纯声循环的频率。对于足够大的n个（和小型我)，我们接近于波的短波长（几何）近似，p模接近于特征声学频率的整数倍|$f_{^2s}$|。在图的右侧面板上12我们通过绘图来估计这个频率2第页n个模式除以n个。我们使用n个=3以估算|$f_{^2s}$|在我们的系统中。

频谱图中的两个特征（图的左下面板12)用p模态不能解释的，可以用平流-声学循环来解释。考虑到声波时间远小于平流时间，平流-声波循环的频率约为|$t_{\rm广告}^{-1}$|。此频率与观测到的最低频率非常匹配。第二个特征的频率为|${\sim}2t_{\rm广告}^{-1}$|并且可能是泛音。此外，我们观察到这两个低频SASI特征对应于|${\sim}f_{^2s}$|和|${\sim}f_{^2s}/2$|这可能是Fernández&Thompson提出的声学平流循环和纯声学循环之间的建设性干扰的迹象(2009); 然而，应该对该系统进行更详细的分析，以确认这一事实。

5.3引力波辐射效率

在前面的章节中，我们仅从频率演变的角度将本征模分析与引力波信号进行了比较。不幸的是，本征模分析不允许我们预测引力波信号中每种模式的振幅。这个振幅取决于两个因素：每个模式中存储的能量和每个模式发射引力波的效率。在上一节中，我们还发现了一些迹象，表明扰动的大部分能量存储在低阶模式中。能量E类可以从方程中计算出模式的(46)和辐射功率P（P）由方程式给出(47). 这两个量与（未知）本征模振幅成正比。两个量之间的比率，
\开始{eqnarray}\τ{\rm GW}=\压裂{E}{P}，\结束{eqnarray}
(50)
是引力波时间尺度，它给出了模式能量在引力波中辐射的特征时间。τ值较小的模式千兆瓦预计它们将成为更有效的引力波发射器，并将在信号中产生更强的印记。我们也可以将引力波发射效率定义为
\开始{eqnarray}{\rm（GW\，效率）}=\frac{P}{Ef}，\结束{eqnarray}
（51）
哪里（f）是模式的频率。这个方程给出了每个振荡周期在引力波中辐射的模式能量的分数。
图13显示了τ的时频图千兆瓦对于每个模式。τ值最低的模式千兆瓦（彩色编码）是最强、最有效的引力波发射器（见图14). 将此图与图进行比较11，人们可以看到2第页4模式（图中的淡蓝色恒星13)是最有效的发射器。根据τ的定义千兆瓦，人们意识到
\开始{eqnarray}\tau_{\rm GW}\propto\frac{（n（2l+1）！！）^2}{\sigma^{2l}}，\结束{eqnarray}
(52)
其中依赖于n个是一种粗略的近似，是方程被积函数中节点数不同的结果(46)和(47). 这种依赖性产生了p模和g模在τ方面的性质不同的行为千兆瓦在这两种情况下，高阶引力波发射n个模式应被抑制。然而，对于p-模式，τ千兆瓦随着频率的增加而减少。这在一定程度上补偿了高抑制因子n个并允许出现高阶p模式n个=光谱图中的5。相反，高阶g模中的引力波发射受到n个低频，这导致除了基波之外没有观察到g模频率。显然，我们的分类程序允许我们将谱图中的特征与τ值较低的模式相匹配千兆瓦即高效率。
图13。
τGW分离的完整问题模式的时频图。τGW值较低的模式用蓝色表示，值按比例放大为红色。上排对应于g模式（十字），而下排对应于p模式（星形）。基本模式用三角形表示。彩色条显示τGW的对数，单位为秒。
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由τ分隔的完整问题的模式的时频图千兆瓦.τ值较低的模式千兆瓦为蓝色，数值按比例放大为红色。上一行对应g模式（十字），下一行对应p模式（星星）。基本模式用三角形表示。颜色条显示τ的对数千兆瓦，以秒为单位。

图14。
完整问题模式的时频图分离了它们的效率。低值模式用蓝色表示，其值按比例放大为红色。上排对应于g模式（交叉），而下排对应于p模式（星形）。基本模式用三角形表示。颜色栏显示效率的对数。
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完整问题模式的时频图分离了它们的效率。低值模式用蓝色表示，其值按比例放大为红色。上排对应于g模式（交叉），而下排对应于p模式（星形）。基本模式用三角形表示。颜色栏显示效率的对数。

关于我=4模式，我们发现4第页4是具有最低τ的模式千兆瓦请注意，在比较时我=2和我=4个模式，τ有差异千兆瓦几个数量级的。这种差异的原因是，对于球形背景的扰动，我=4模式对引力波发射的四极贡献没有贡献，只对八极分量有贡献。此组件被1高度抑制/c（c）2与…有关的系数我=2种模式。三然而，Cerdá-Durán等人的模拟。(2013)表明PNS因旋转而变形，因此我=4模式能够产生四极辐射。这增强了这些模式的发射，这可能解释了光谱图中的一些特征。因此，为了正确捕获模式的引力波发射特性我在旋转铁芯中≠2，应考虑PNS变形引起的修正。这些修正超出了当前定性分析的范围，将在未来进行调查。我们还可以得出结论，对于背景为球对称的非旋转核，模式我≠2对引力波发射没有显著贡献，可以将分析限制为我=2种模式。

尽管事实上2第页4模式是最有效的发射器，光谱图中最突出的特征实际上更接近2第页1模式。这意味着仅凭引力波无法有效解释谱图中不同特征的相对振幅，但还必须考虑系统中激发的不同模式中存储的能量的相对振幅。如果考虑冲击径向位置的功率谱密度（PSD）中不同特征的相对振幅（图的左侧面板12)作为不同模式中能量相对差异的度量，可以看到对于高阶模式（高阶模式n个)振幅较小。腐烂与n个大致缩放为(n个 + 1)−5它比二维湍流级联更陡峭(n个 + 1)−3这种急剧下降可以解释为什么引力波谱图中最显著的特征与2第页1模式而不是最有效的模式(2第页4). 如Andresen等人所述。(2017)引力波信号不同分量之间的能量分布在很大程度上取决于模拟的维数（2D或3D）。因此，为了能够预测在引力波信号中观察到的最主要的模式，有必要对场景进行更详细的3D模拟，以了解能量如何在不同模式之间分布。

6总结

在本文中，我们利用引力波观测，在核坍塌超新星场景中，朝着星震学的发展迈出了第一步。这项研究的最终目标是推断由此产生的PNS的天体物理参数的可能性。我们的方法基于完全广义相对论中的线性摄动分析，已用于计算背景模型的本征振动模式，该背景模型取自Cerdá-Durán等人的轴对称核坍塌模拟。(2013). 定义计算模式的空腔的物理系统由从PNS中心延伸到激波位置的区域定义，包括对流不稳定热泡区域。

我们已经研究了35M的地核坍塌所产生的引力波信号的频谱⊙恒星，从反弹信号到～2s长的反弹后信号，与导致BH形成的吸积相有关，可以与系统的振动模式有关。为此，我们计算了所发现的每种振荡模式的节点数，无论是（浮力介导）g模式、（压力介导）p模式还是混合模式（两者的混合）。我们根据节点数进行的简单模式分类显示了这些模式集的存在。我们发现，对于p模式，节点数随频率增加而增加，而g模式则遵循相反的趋势。这两个族被所谓的基本模式整齐地分开，这种模式没有径向节点。将我们的扰动结果与数值模拟的完全非线性结果进行比较，可以明确识别两组模式。通过使用数值模拟中获得的引力波信号的谱图，获得了进一步的支持，这表明两个结果之间具有显著的对应性。

我们还确认了先前工作获得的结果（Cerdá-Durán等人2013; Kuroda等人。 2016; Andresen等人。 2017)，表明一些低频特征与SASI有关，并对应于PNS表面和激波之间区域平流时间尺度的倒数。这些SASI模式特别有趣，因为它们的频率，特别是在演变的前半秒，非常接近（～100Hz）至地基干涉仪的最大灵敏度，如先进激光干涉仪重力波观测台（LIGO）、先进处女座和神冈重力波探测器（KAGRA）。

本文的分析提供了一个概念证明，尽管系统很复杂，但在核坍塌情况下，星震学确实是可行的，它将为今后基于引力波观测的PNS参数推断工作奠定基础。我们研究的最终目标是建立一个可靠的模型，将核坍塌前驱体的参数与PNS的相应振动谱联系起来，从而与引力波谱联系起来，这使得我们可以直接从引力波谱推断出这些参数，而无需执行计算成本高昂的多维模拟。我们近期的计划包括模拟跨越前体参数空间的大量（廉价）一维核坍塌模型，以研究模式的时频分布和功率与这些参数的相关性。此外，当前工作中采用的Cowling近似假设将被放宽，我们的方法也将通过三维核坍塌模拟的现有结果进行评估。

致谢

这项工作得到了西班牙MINECO（拨款AYA2015-66899-C2-1-P）和巴伦西亚总司令（PROMETEOI-2014-069）的支持。美联社感谢欧盟根据玛丽·斯科洛多夫斯卡·居里行动个人研究金（编号656370）提供的支持。我们感谢T.Foglizzo进行了有益的讨论。

脚注

1

一个显著的例外是Fuller等人的工作。(2015)考虑到PNS被低密度吸积区包围，并在外边界处施加了输出声波边界条件。

2

注意，在球对称性中，CFC度量不再是近似值，它等价于选择最大切片和各向同性坐标。

三

该系数在方程式中无法明确显示(47)因为使用了带有c（c） = 1.

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附录A：恒密度球体的振动模式

作为对特征值求解器的测试，我们考虑半径为R（右）=1，恒定密度（为简单起见，我们设置ρ=1）和恒定声速，c（c）秒 = 1. 此问题的解决方案可以通过分析获得，并读取
\开始{eqnarray}\eta_r=\eta_0{\，}\mathrm{\部分}_r（j_l（\sigma_nr）），\结束{eqnarray}
（A1）
\开始{eqnarray}\eta_\perp=\eta_0{\，}j_l（\sigma_nr），\结束{eqnarray}
（A2）
哪里j个我是第一类球面贝塞尔函数，η0是描述模式振幅的常数。此外，σn个是特征值，对应于使η第页(第页=1）=0，即j个我(σn个).

我们用数值方法计算了本征值和本征函数，并与解析解进行了比较。为此，我们使用等距网格N个=间隔[0,1]中的300个区域，这与Cerdá-Durán et al。(2013). 图A1类显示了数值和解析计算的前三个特征函数以及相应的相对误差。表中报告了前七种模式的数值计算特征值A1类在所有情况下，频率计算中的平方根误差（RMSE）定义为|$\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=0}^N（f_{rma}-f_{rmn}）^2}$|，其中下标“a”和“n”分别表示解析频率和数值频率，最多为|${\mathcal{O}}（10^{-3}）$|.

图A1。
恒密度球体前三种振动模式的解析特征函数（实线）和数值特征函数（符号）之间的比较。每个图的下部子面板显示相对错误。
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等密度球体前三种振荡模式的解析本征函数（实线）和数值本征函数（符号）之间的比较。每个图的下部子面板显示相对错误。

表A1。

恒定密度球体的解析振荡频率和数值振荡频率（前七种模式）之间的比较。这些列报告了分析频率，（f）一，数字频率，（f）n个它们的相对误差，以及所有前七个模态的径向解和垂直解的RMSE。

（f）一（f）n个|$\显示样式{\frac{f_{rma}-f_{rmn}}{f_}\rma}}}$|RMSE公司第页RMSE公司⊥
(10−3)(10−3)
3.343.350.000982.350.33
7.297.300.0013.930.70
10.6110.620.0014.700.53
13.8513.860.00115.050.42
17.0417.060.00125.280.34
20.2220.250.00125.430.29
（f）一（f）n个|$\显示样式{\frac{f_{rma}-f_{rmn}}{f_}\rma}}}$|RMSE公司第页RMSE公司⊥
(10−3)(10−3)
3.343.350.000982.350.33
7.297.300.0013.930.70
10.6110.620.0014.700.53
13.8513.860.00115.050.42
17.0417.060.00125.280.34
20.2220.250.00125.430.29
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表A1。

恒定密度球体的解析振荡频率和数值振荡频率（前七种模式）之间的比较。这些列报告了分析频率，（f）一，数值频率，（f）n个它们的相对误差，以及所有前七个模态的径向解和垂直解的RMSE。

（f）一（f）n个|$\显示样式{\frac{f_{rma}-f_{rmn}}{f_}\rma}}}$|RMSE公司第页RMSE公司⊥
(10−3)(10−3)
3.343.350.000982.350.33
7.297.300.0013.930.70
10.6110.620.0014.700.53
13.8513.860.00115.050.42
17.0417.060.00125.280.34
20.2220.250.00125.430.29
（f）一（f）n个|$\显示样式{\frac{f_{rma}-f_{rmn}}{f_}\rma}}}$|RMSE公司第页RMSE公司⊥
(10−3)(10−3)
3.343.350.000982.350.33
7.297.300.0013.930.70
10.6110.620.0014.700.53
13.8513.860.00115.050.42
17.0417.060.00125.280.34
20.2220.250.00125.430.29
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