李型例外群的特征比

摘要

我们证明了有限例外群的特征比界|G美元（q）$|Lie类型。这些采取的形式|$\dfrac{|\chi（g）|}{\chi[1）}\le\dfrac{c}{q^k}$|对于所有非平凡的不可约字符|美元\chi$|和非同一元素|$g$|，其中|$c美元$|是绝对常数，并且|千美元$|是一个正整数。应用于这些群上随机游动的边界混合时间及其McKay图的直径。

1引言

对于有限群|$G$|，一个字符比率是形式的复数|$\dfrac{\chi（g）}{\ch（1）}$|，其中|$g\单位：g$|和|美元\chi$|是|$G$|由于各种原因，字符值和字符比率的绝对值上限一直是人们感兴趣的问题；这些应用包括随机生成、覆盖数、随机游动的混合时间、单词映射的研究、表示变体和其他领域。有关此类应用程序的调查，尤其侧重于简单组，请参见[24].

非常需要获得字符比率的这种界限|$\dfrac{|\chi（x）|}{\ch（1）}$|对于任意的元素|x美元$|（即，没有关于|${\textbf C}_G（x）$|). 对于经典组|$G（q）$|，这样的界限将在接下来的工作中获得[30]. 本文得到了李型例外群的此类界。这是我们的主要结果。

 

 

我们用我们的主要结果的两个推论来结束引言。第一个是关于混合时间对应共轭类的Lie型有限拟单群上的随机游动。让|$G=G（q）$|成为这样的一个群体，让我们|$y\单位：G$|是一个非中心元素，让|$C=y^G$|，魔术类|$y$|考虑对应Cayley图上的随机游动，从恒等式开始，每一步都从一个顶点开始|$克$|给邻居|$gs$|，其中|$s\单位为y^G$|随机统一选择。让|$P^t（克）$|是到达顶点的概率|$克$|之后|$t（美元）$|步骤。这个随机游走的混合时间被定义为最小整数|$t=t（G，y）$|这样的话|$||P^t-U||<\frac｛1｝｛e｝$|，其中|美元$|是均匀分布和|$||f||=\sum_｛g\in g｝|f（g）|$|是|l_1美元$|-规范。有大量关于这种随机游动的混合时间的文献（参见例如[24]进行简要调查）。

Gluck的特征比界[13]可以用于显示任何|$y\在G\小集减号{\textbf Z}（G）$|中、搅拌时间|$T（G，y）$|由Lie秩的二次函数上界|$G=G（q）$|.使用定理1，我们可以加强李型例外群的这个界，如下所示。

 

的值|$M_i:=\lceil\frac｛\dim｛\mathcal G｝+1｝｛2a_i｝\ rceil$|表中列出了1.3.

下一个推论是关于麦凯曲线图对于Lie类型的例外群。对于有限群|$G$|，和一个（复杂）字符|$\阿尔法$|属于|$G$|，麦凯图|$\mathcal{M}（G，\alpha）$|定义为具有顶点集的有向图|${\textrm-Irr}（G）$|，有一个边缘|$\chi_1美元$|到|$\chi _2美元$|当且仅当|$\chi _2美元$|是的组成部分|$\alpha\chi_1$|根据Burnside的经典结果（参见[4]),|$\mathcal{M}（G，\alpha）$|仅当且仅当|$\阿尔法$|是忠诚的。有限简单群的McKay图的研究始于[29]、和[29，定理2]表明任何McKay图的直径|$\mathcal{M}（G，\alpha）$|，其中|$G=G（q）$|是Lie类型的简单组|$\阿尔法$|一个非平凡的不可约特征，在上面有一个李秩的二次函数|$G$|。下一个结果加强了对李型特殊群的这一界限。

 

的值|$D:=2\lceil\frac{D-N+1}{a_2}\rceil$|表中列出了1.3.

论文的布局如下。章节2包含初步结果，第节三我们研究了一个长根抛物子群的作用|G美元（q）$|关于它的幂零根，它是定理证明的一个重要组成部分1此证明在第节中完成4.最后一节5包含推论的证明2和三.

2初步结果

我们首先从关于例外群的最小度不可约特征的一些众所周知的信息开始。对于有限群|$G$|，表示的不可约字符集|G美元$|通过|${\textrm-Irr}（G）$|.

 

 

我们还需要确定一些抛物子群的结构|$G=G（q）$|如引理所示2.1。抛物线的符号将是标准的：|$P_i$|（分别为。|$P_{ij}$|)是与删除节点相对应的标准抛物线|1美元$|（相应节点|$i，j$|)从Dynkin图|$G$|，标记为[三]. 也适用于抛物线子群|$P$|，我们写|$P=QL$|，其中|Q美元$|是unipower根式|L美元$|利瓦伊因素。

 

 

 

 

3长根抛物线

让|${\mathcal G}$|是类型的简单代数群|$E_8、E_7、E_6$|或|F_4美元$|奇特征代数闭域上|$p$|，并让|$G（q）={\mathcal G}^F$|是Lie类型的对应组|$\mathbb美元{F} （_q）$|⁠，其中|$F（美元）$|是的Frobenius自同态|${\mathcal G}$|.让|美元\菲律宾比索$|是…的根系统|${\mathcal G}$|相对于固定的最大环面|$\alpha\in\Phi$|表示为|$U_\alpha$|对应的根子群|${\mathcal G}$|.让|$\阿尔法_0$|成为最高的根|$\菲律宾元|.然后|$\mathcal{P}={\textbf N}_{\mathcal G}}（U_{\alpha_0}）$|是的抛物线子群|${\mathcal G}$|，我们将其称为长根抛物线; 同样，采取|$\mathcal{P}$|成为|$F美元$|-稳定，|$P=\数学｛P｝^F$|是长根抛物线|$G（q）$|.

定理的证明1基于以下关于例外群的长根抛物线的结果。这些将在接下来的章节中得到证明。

该语句中使用了一些标准符号：用于向量空间|$W$|和元素|$g\总账（W）$|，我们表示为|$P_1（W）$|的一维子空间集|$W$|，和依据|美元[W，g]$|换向器空间|$\{w-wg:w\在w\}$|中.

 

 

 

我们将在下一节中给出这些结果的证明。

3.1命题证明3.3

第（i）部分源自以下事实：|$V=V^{{textbf Z}（Q）}\oplus[V，{textbf-Z}[（Q）]$|（ii）是Harish-Chandra限制的定义。

现在考虑第（iii）部分。写入|$V_1=\bigoplus_\mu V_{\mu}$|，非平凡的权重空间之和|$\mu\in{\textrm{Irr}}（Q/{\textbf Z}（Q））$|。这些由|$g$|以及（iii）。对于（iv），请填写|$V_2=\bigoplus_\lambda V_{\lambda}$|，非平凡的权重空间之和|$\lambda\在{\textrm{Irr}}（{\textbf Z}（Q））$|中.然后|$|\chi_{V_\lambda}（g）|=|{\textbf C}_W（g）| ^{1/2}$|，由[17, 2.4]. 第（iv）部分如下。

3.2定理的证明3.1

3.2.1定理证明3.1（i），（ii）

第（i）部分众所周知，可以在[8，第4节]。

第（ii）部分摘自各种参考文献：[25，4.3]用于|$L^{\prime}=E_7（q）$|; [19，提案3]|D_6美元（q）$|和[19，提案7]|$C_3（q）$|; [7，定理2.1]|$A_5（q）$|（扭曲的版本是根据朗的定理得出的）。

3.2.2定理证明3.1（iii）

我们考虑每种可能性|G美元$|分别进行。回想一下|q美元$|根据假设，这很奇怪。让|$W={\textrm{Irr}}（Q/{\textbf Z}（Q））$|如定理中所述，并注意由|L美元$|在|$P_1（W）$|是|$L_1:=L/{\textbf Z}（L）$|，一个伴随群。

现在考虑一个轨道|美元\ Delta$|点稳定器位于抛物线|$P_6$|。这里我们使用的信息来自[31]，它给出了|$1_{P_6}^{L_1}（x）$|为所有人|L_1$|中的$x\.我们从中读出|${\textrm{fpr}}（u_\alpha，\Delta）<\frac{1.32}{q^4}$|还有那个|${\textrm{fpr}}（x，\Delta）<\frac{2}{q^5}$|如果|L_1\小集减号\{1\}中的$x\$|不是根元素。

最后，考虑轨道|美元\ Delta$|在表中3.1点稳定器|$小时=$||$q^{1+16}。（答1（q）B_3（q））。（q-1）<P_2$|。我们可以再次参考[31]对于的值|$1_{P_2}^{L_1}（x）$|为所有人|L_1$|中的$x\。从中我们可以看到有几个元素类|x美元$|对于其中|${\textrm{fpr}}（x，L_1/P_2）$|顺序为|$q^{-4}$|。这些类如下：

（1） 根元素|$u_\alpha$|;

（2） 标记类中的unipower元素|$（A_1^2）^{（1）}$|-论自然|D_6美元$|-这些模块有约旦格式|$（J_3，J_1^9）$|;

（3） 带中心点的半单元|L_1美元$|类型为|$D_5^\epsilon（q）。（q-\epsilon）$|(⁠|$\epsilon=\pm$|).

其余类满足|${\textrm{fpr}}（x，L_1/P_2）<\frac{5}{q^8}$|，如定理所需3.1（iii）。

案例|$G=E_6^\epsilon（q）$|.在这里|$L^{\prime}=A_5^\epsilon（q）$|.让|美元\ Delta$|是表中列出的轨道之一3.1，以便包含点稳定器|$P_3$|，|$P_{15}$|，|$（{\textrm SL}_3^\epsilon（q）\wr\textsf{S} _2).（q-\epsilon）$|或|$（{\textrm SL}_3（q^2）.2）。（q-\epsilon）$|。在最后两种情况下，我们使用[5，定理1]得到结果。

考虑一个轨道|美元\ Delta$|其中包含点稳定器|$P_3$|。此处用于任何元素|L_1\smallsetminus\{1\}$|中的$x\, [31]给予|${\textrm{fpr}}（x，\Delta）<\frac{2}{q^3}$|如果|$\epsilon=+$|、和|${\textrm{fpr}}（x，\Delta）<\frac{2.35}{q^4}$|如果|$\epsilon=-$|因此，该结论适用于此类轨道。

最后，考虑轨道|美元\ Delta$|在表中3.1点稳定器|$小时=$||$q^{1+8}。{\textrm Sp}_4（q）。（q-1）（q-\ε）<P_{15}$|.在这里[31]表明|${\textrm{fpr}}（x，L_1/P_{15}）$|满足表的边界3.2为所有人|L_1\小集减号\{1\}中的$x\$|以下类别除外：

（1） 根元素|$u_\alpha$|，

（2） 带中心点的半单元|L_1美元$|类型为|$A_4^\epsilon（q）。（q-\epsilon）$|.

案例|$G=F_4（q）$|.在这里|$L^｛\prime｝=C_3（q）$|和表中列出的轨道3.1包含点稳定器|$P_3$|，|P_1美元$|或|${\textbf N}（{\textrm SL}_3^\epsilon（q））$|在最后一种情况下，我们使用[5，定理1]得到结果。

对于轨道|美元\ Delta$|包含点稳定器|$P_3$|[31]给予|${\textrm{fpr}}（x，\Delta）<\frac{1.3}{q^2}$|为所有人|L_1\smallsetminus\{1\}$|中的$x\，给出结论。

最后，让我们|美元\ Delta$|是带点稳定器的轨道|$H<P_1$|.我们有|${\textrm{fpr}}（x，L_1/P_1）<\frac{1.1}{q^2}$|为所有人|L_1\小集减号\{1\}中的$x\$|长根元素除外|$u_\alpha$|和|${\textrm{fpr}}（u_\alpha，L_1/P_1）<\frac{1}{q}$|.我们有|$H=Q.DT_1.2<P_1=Q.C_2T_1$|，其中|$Q=Q^{1+4}$|和|$D={\textrm SL}_2（q）^2$|或|${\textrm SL}_2（q^2）$|现在，按照前一个案例的说法|$｛\textrm｛fpr｝｝（x，L_1/H）\le\frac｛1.34｝｛q^2｝$|.

这就完成了定理的证明3.1（iii）。

3.2.3定理3.1（iv）的证明

首先考虑|$G=E_8（q）$|，其中|$L^{\prime}=E_7（q）$|和|V美元$|是56维|$L^{\prime}$|-模块|$V_{L^{\prime}}（\lambda_7）$|.写入|${\mathcal G}=E_8$|，|${\mathcal L}=E_7T_1$|对应的代数群|$\bar{\mathbb{F}}_q$|、和|$\bar V=V\otimes\bar{\mathbb{F}}_q$|.我们的目标是从以下维度绑定|$[V，\lambda g]$|对于任何|$g\在{\mathcal L}^{\prime}\smallset减号{\textbf Z}（{\mathcal L}^{\prime}）中$|和|$\lambda\in\bar{\mathbb{F}}_q^*$|。在这样做时，我们可以假设|$克$|要么是半单的，要么是单的。

对于半简单元素|$g$|，我们遵循的方法是[15，第8节]（原为[20]). 让|美元\磅/平方英寸$|是根系统的子系统|美元\菲律宾比索$|属于|${\mathcal L}^{\prime}$|，并在的权重集上定义等价关系|$\bar V=V（\lambda _7）$|如果两个权重之差是根的和，那么这两个权重是相关的|$\Psi$|.调用等价类|美元\磅/平方英寸$|-网.

现在定义|$\Phi _g=\｛\alpha\in\Phi \，| \，\alpha（g）=1\｝$|，根系统|${\textbf C}_{{mathcal L}^{prime}}（g）$|.如果|$\Phi _g\cap\Psi=\空集$|，那么给定的|$\磅/平方英寸$|-根不同的网络|美元\磅/平方英寸$|对应不同的特征空间|$g$|.

子系统|$\Phi（_g）$|包含在由扩展Dynkin图节点子集跨越的适当子系统中|${\mathcal L}^{\prime}$|.假设|$\Phi_g\ne A_7$|。然后很容易检查是否有子系统|$\Psi=（A_1）^2$|这样的话|$\Phi_g\cap\Psi=\emptyset$|.为此|美元\磅/平方英寸$|这个|美元\磅/平方英寸$|-网的尺寸|$4^2, 2^{16},1^{16}$|⁠根据上一段的观察|$\dim[\bar V，\lambda g]\ge 20美元$|对于任何|$\lambda\in\bar{\mathbb{F}}_q^*$|，根据定理的要求3.1（iv）。此外，如果|$\Phi_g=A_7$|，然后|$g\在{\textbf Z}（A_7）中$|和|$\bar V\向下箭头A_7=V_{A_7}（\lambda _2）\oplus V_{A_7{（\lambda _6）$|（请参见[28，11.8]），因此|$\dim[\bar V，λg]\ge 28美元$|对于任何|$\lambda$|.

定理的证明3.1现在已完成。

3.3命题证明3.2

（i） 让|G美元$|和|$P=QL$|与命题的陈述相同，并假设|$G\ne\，^2\！E_6（q）$|.

我们提供的证据|$G=E_7（q）$|; 对于所有其他情况，该方法都是相同的。回想一下|q美元$|根据假设，这很奇怪。

现在|$Q=\langle U_{\alpha}:\alpha=\sum c_i\alpha_i，\，c1\ne 0\rangle$|、和|$L^{\prime}$|由根组生成|$U_{\pm\alpha_i}$|对于|$i\ne 1$|。在上述列表的第一行中，每个|${\mathcal G}$|-类只对应于一个|G美元$|-类，因此可以将其编写为根元素的乘积|$U_\alpha（1）$|用于根|$\阿尔法$|在列出的Levi子群的基本系统中|$G$|显而易见，所有这些表达都属于|$Ql$|，其中|$1\单位l$|是不是根元素的非身份唯一元素。

以上列表中的其余条目需要不同的处理，因为每个条目对应多个条目|G美元$|-unipower元素类。处理这些问题最方便的方法是参考[34]，其中显式表示|$y_i美元$|对于每个unipower类都给出了。在表中3.3我们指出哪些代表|$y_i$|对应于中的哪个类|${\mathcal G}$|检查这些代表[34]显示每个都在|$Ql$|，其中|$1\单位l$|是不是根元素的非身份唯一元素。这就完成了命题的证明3.2（i） 的|$G=E_7（q）$|。该方法与其他例外组相同（使用[32，35]对于唯一有效的共轭类代表|E_6美元（q）$|和|$F_4（q））$|.

（ii）现在假设|$G=\，^2\！E_6（q）$|（对于这个组，没有明确的单幂类代表列表（我们知道），这就是为什么我们要证明这个比（i）中更弱的结论。）让|$g\单位：g$|是一个非恒等元。当然有一个共轭|$u（美元）$|属于|G美元$|位于长根抛物线上|$P$|.如果|Q中的$u\不\$|那么我们就完成了，所以假设|$u\在Q$|中.然后|${\textbf C}_G（u）$|包含表中列出的稳定器之一3.1此外，我们可以假设|${\textbf C}_G（u）$|不包含子组|A_1（q）美元$|由长根子群生成，因为这样的子群的中心化子是|$L^{\prime}=\，^2\！A_5（q）$|，如果|L^{prime}中的$u\$|结论显然成立。

因此，|${\textbf C}_G（u）$|包含表中的一个稳定器3.1，但不包含长根|$A_1（q）$|。请参阅中的unipower类和集中器列表|G美元$|在中给出[28，表22.2.3]，我们看到只有一个类|$u^G（美元）$|对于其中|${\textbf C}_G（u）$|将这些属性命名为类|A_2美元$|对于其中|$|{\textbf C}_G（u）|=2q^{20}|A_2（q^2）|$|。对于|$u美元$|在这个班里，|${\textbf C}_G（u）$|包含子组|A_2美元（q^2）$|来自子系统|$A_2^2$|、和|${\textbf C}_G（A_2（q^2））$|是子系统子组|$A=A_2（q）$|（参见，例如[27，表5.1]）。因此，|A$|中的$u\.如果我们接受这个|A_2美元$|根跨越的子系统|$\α_2，\α_4$|，我们看到了|$u（美元）$|可以被认为是|$u{\alpha_2}（1）u{\alpha_4}（一）$|，它是|$P\smallset-Q$|，根据需要。

4定理证明1

我们从一个引理开始。

 

 

定理的证明1

让|$G=G（q）$|如定理所示1，所以|G美元$|属于其中一个家庭|$E_8（q）$|，|$E_7（q）$|，|$E_6^\ε（q）$|，|$F_4（q）$|，使用|$q=p^a$|为了一个好的全盛期|$p$|.让|$g\in g\smallset-minus｛\textbf Z｝（g）$|，并让|$1\ne\chi\in{\textrm{Irr}}（G）$|。我们考虑了以下各种可能性|$克$|由引理给出4.1.

 

 

 

5推论2和3的证明

基金

这项工作得到了国家科学基金会[DMS-1840702 to P.H.T.，DMS-140140 to MSRI]和Joshua Barlaz数学主席的支持。

致谢

本论文部分基于2018年春季学期，作者在加州伯克利数学科学研究院居住期间，国家科学基金会拨款DMS-140140支持的工作。很高兴感谢研究所的支持、款待和激励环境。作者感谢Bob Guralnick的有益讨论，感谢Frank Lübeck善意地计算Lie型例外群的某些置换特征，感谢Frark Himstedt、Alex Malcolm、Amanda Schaeffer Fry，尤其是Diep Nguyen在几个计算中的帮助。

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