摘要

我们提供了中集合维数的估计|$\mathbb{R}$|一致避免有限算术级数(AP)。更准确地说,我们说|$F(美元)$|统一避免长度的AP|$k\geq 3美元$|如果有|$\epsilon>0$|这样就找不到长度的AP|千美元$|和间隙长度|$\增量>0$|在内部|$\epsilon\增量$|邻里|$F$|(美元).我们的主要结果是,根据|千美元$||$\epsilon$|在另一方面,我们提供了一些集合的例子,这些集合一致地避免了给定长度的AP,但仍具有相对较大的Hausdorff维数。我们还考虑了这些问题的高维类比,其中AP被位于超平面上的算术补丁取代。因此,我们得到了一个离散版本的“反向Kakeya问题”:我们证明,如果集合的维数|$\mathbb{R}^d$|足够大,那么它在每个方向上都非常接近AP。

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