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摘要

我们在无穷多变量中定义了Dunkl和Dunkl–Heckman算子，并用它们构造了无限远Calogero–Moser–Sutherland（CMS）问题的量子积分。作为推论，我们得到了与经典李超代数相关的变形量子CMS系统可积性的简单证明。我们展示了这是如何自然地导致莫瑟矩阵的量子版本的，而在变形的情况下，这是以前不知道的。

1引言

通常的Calogero–Moser或Calogero-Moser–Sutherland（CMS）系统描述了|N美元$|在具有平方反比势的直线上具有相等质量的粒子，或者在三角型中，在具有平方反势的直线上等质量的粒子|$\在^2$|电势[6]. 相应的量子哈密顿量具有以下形式
\[H_N=-\sum_{i=1}^N\frac{\partial^2}{\particalx^2_i}+\sum_{i\ltj}\frac}{2k（k+1）}{（x_i-x_j）^2}\]
（1）
在合理的情况下
\[H_N=-\和{i=1}^N\分数{\部分^2}{\部分x^2_i}+\和{i \lt j}\分数{2k（k+1）}{\sin^2（x_i-x_j）}\]
(2)
在三角函数的情况下。还有一个非常重要的椭圆情况，但我们在本文中不考虑它。
CMS系统允许与根系统和简单李代数相关的自然推广[20]，并且，仅在量子水平上，非对称可积版本称为CMS系统变形[7]，与基本经典李超代数相关[21]. 特别是在李超代数的情况下|$\mathfrak{sl}（m，n）$|我们有两组具有两个不同质量的粒子，其哈密顿量如下所示：
\开始{align}H_{n，m}&=-\left（\frac{\partial^2}{\particlx_1^2}+\cdots+\frac}\partial ^2}{\partilx_{n}^2}\right）-k\left k（k+1）}{\sin^2（x_{i} -x个_{j} ）}\\&\四元+\和{i\ltj}^{m}\分形{2（k^{-1}+1）}{\sin^2（y_{i} -年_{j} ）}+\总和{i=1}^{n}\总和{j=1}^}m}\压裂{2（k+1）}{\sin^2（x_{i} -年_{j} ）}。\结束{对齐}
(3)

变形CMS系统的重要性在发现它们与广义判别式和重合根位点理论的深层联系后变得清晰起来[22,23]和李超代数的表示理论[26,27]以及与对数Frobenius结构理论的有趣联系[12].

变形CMS系统的可积性是一个非常重要的问题。像Dunkl算子技术这样的标准方法在一般变形情况下不起作用（有关参数的特殊值，请参阅最近的Feigin论文[11]). 对于经典系列|澳元（n，m）$|和|不列颠哥伦比亚元（n，m）$|可积性在[21]通过显式构造量子积分。重复的程序是根据松尾的公式进行的猜测[16]结果被简单冗长的计算所证实。

本文的目的可能是给出这些积分的最简单解释。我们的主要工具是无穷远处的Dunkl算子，这似乎以前没有考虑过。我们表明，尽管它不允许在变形情况下构造Dunkl算子，但它自然会导致量子Moser矩阵用于变形的CMS系统。

这解释了变形CMS系统的积分[21]根据量子Lax对Ujino等人首先考虑了常规CMS系统[31]和Wadati等人[32]. 注意，与变形CMS系统的通常情况相反，没有经典的Lax对可量化，因为它们的经典对应物被认为是不可积分的。

对于变形的CMS系统(三)，量子Moser矩阵如下|$（n+m）\次（n+m）$|具有非交换项的矩阵
\[L_{i}=k^{p（i）}\frac{\部分}{\部分x_i}，\quad L_{ij}=k_{1-p（j）}\cot（x_i-x_j），\enspace i\neq j，\]
(4)
哪里|$x_{n+j}:=y_j，\j=1，\ldot，m$|和|$p（i）=0$|对于|$i=1，\ldot，n$||$p（i）=1$|对于|$i=n+1，\ldot，n+m$|.的量子积分(三)可以被构造为|L美元$|
\[I_r=\sum_{I，j=1}^{n+m}k^{-p（I）}（L^r）_{ij}，\quadr r=1,2，\ldots\]
(5)
（见第5节）。我们在|BC美元$|案例。

本文的另一个结果是，在有理和三角两种情况下，对于类型，无穷远处量子CMS积分的新公式|美元$|和|$BC$|.在类型的三角情况下|美元$|最近在[18]Nazarov和Sklyanin。我们在最后一节中评论了它与我们的结果之间的关系。

无穷远处的Dunkl算子：有理情形

维中常用的Dunkl算子|亿美元$|有这个表格
\[D_{i，N}=\分形{\部分}{\部分x_i}-k\sum_{j\nei}^N\分形{1}{x_i-x_j}{（1-\sigma_{ij}）}，四i=1,2，\ldots，N，\]
(6)
哪里|$\西格玛{ij}$|作用于函数|$f（x）$|通过排列变量|$x_i$|和|$x_j$|.它们的主要性质是可交换性[9]
\[[D_{i，N}，D_{j，N}]=0.\]
赫克曼[13]做了一个重要的观察，微分算子
\[\mathcal L^{（r）}_{N}={\rm Res}（D_{1，N}^r+\cdots+D^r_{N，N}），\]
(7)
哪里|${\rm Res}$|是指对对称多项式空间的限制运算，对量子CMS系统进行交换并给出积分。更准确地说，|$\mathcal L^{（2）}_{N}=\ mathcal H_N$|，其中操作员|$\mathcal H_N$|是CMS操作员的标准（和相反符号）版本(1)由提供
\[\mathcal H_N=\sum_{i=1}^N\frac{\partial^2}{\partical x^2_i}-\sum_{i\ltj}\frac{2k}{x_i-x_j}\left（\frac}\partial/x_i}-\ frac{\ partial}{\protialx_j{\right）。\]
(8)
注意操作员(8)保留对称多项式的代数
\[\Lambda_{N}=\mathbb C[x_{1}，\ldots，x_{N{]^{S_N}，\]
由生成（非自由生成）|$p_j（x）=x_1^j+\cdots+x_N^j，\j\in\mathbb Z_{>0}$|.

让|$\兰姆达$|成为对称函数代数定义为的反极限|$\兰姆达_N$|在分次代数的范畴中（参见[15]). 我们还考虑更大的代数|$\bar\Lambda=\Lambda[p_0]$|它是带有自由生成元的交换代数|$p_{i}，\i\in\mathbb Z_{\ge 0}$|.尺寸|$p_0=1+1+\cdots+1=N$|在无限维情况下没有意义，所以我们添加|$p_0$|作为附加变量（参见[24,25]).|美元\bar\Lambda$|具有自然分级，其中|$p_i$|是|$i$|.

现在定义无穷维Dunkl算子|$D_{\infty}:\bar\Lambda[x]\rightarrow\bar\Lambda[x]$|通过
\[D_{\infty}=\部分-k\增量，\]
(9)
其中推导|$\部分$|在里面|$\bar\Lambda[x]$|由公式定义
\[\partial（x）=1，\quad\partial
和操作员|$\增量：\bar\Lambda[x]\rightarrow\bar \Lambda[x]$|由定义
\[\Delta（x^lf）=\ Delta（x^l）f，\quad\Delta（1）=0，\enspace f\in\bar\Lambda，\l\in\mathbb Z_{\ge 0}\]
和
\[\Delta（x^l）=x^{l-1}p0+x个^{l-2}p1+\cdots+xp_{l-2}+p_{l-1}-lx^{l-1}，\quad l>0。\]
动机由以下命题给出。让
\[\varphi _｛i，N｝：\bar\Lambda[x]\longrightarrow\Lambda _｛N｝[x_i]\]
是由定义的同态
\[\varphi _{i，N}（x）=x_i，\quad\varphi _{i，N}（p_1）=x_1^l+cdots+x_N^l，\enspace l\in\mathbb Z_{ge 0}.\]

提议2.1

 
下图
\开始{数组}{ccc}\bar\Lambda[x]&\stackrel{D_{\infty}}{\longrightarrow}&\bar\Lambda[x]\\downarrow{\varphi_{i，N}}&&\downarror{\varfi_{i
(10)
哪里|$D_{i，N}$|是Dunkl操作员(6)，是可交换的。

证明

 
我们有
\[\varphi_{i，N}\circ\Delta=\left（\sum_{j\nei}\frac{1}{x_i-x_j}（1-\sigma_{ij}）\right）\circ\ varphi_{i，N}\]
自从
\[\sum_{j\nei}\frac{1}{x_i-x_j}（1-\sigma_{ij}）x_i^{l}=\sum_{j\n ei}\frac{x_i^{l} -x个^{l} _j（_j）}{x_i-x_j}=x_i^｛l-1｝N+x _ i^{l-2}p1+\cdots+x_ip_{l-2}+p_{l-1}-lxi^{l-1}.\]
关系|$\varphi_{i，N}\circ\partial=\partial _i\circ\ varphi_}，N}$|很明显。
还引入一个线性算子|$E:\bar\Lambda[x]\longrightarrow\bar\Lambda$|根据公式
\[E（x^lf）=p_lf，\quad f\in\bar\Lambda，\enspace l\in\mathbb Z_{\ge 0}\]
(11)
并定义运算符|$\mathcal{L}^{（r）}:\bar\Lambda\longrightarrow\bar\Lambda，\r\in\mathbb Z_+$|通过
\[\mathcal{L}^{（r）}={\rm Res}\，E\circ D_{\infty}^r，\]
(12)
哪里|${\rm Res}$|是指对以下方面的限制|$\bar\Lambda$|.

我们声称这些算符在无穷远处给出了量子CMS积分。更准确地说，我们得到了以下结果。 

定理2.2
操作员|$\mathcal{L}^{（r）}$|是中的微分算子|$\bar\λ$|订单的|$r$|，与他人通勤：
\[[\mathcal{L}^{（r）}，\mathcal{L}^{
操作员|$\mathcal L^{（2）}$|具有以下显式形式：
\[\mathcal L^{（2）}=\sum_{a，b\geq1}p_{a+b-2}\部分_{a}\部分_{b} -k个\和{a，b\geq0}p_{a} p_b（p）\partial_{a+b+2}+（1+k）\sum_{a\geq2}（a-1）p_{a-2}\ partial_a\]
(13)
具有|$\部分_a=a\部分/\部分p_a$|并定义了rational CMS运算符的无限维版本(8)在无穷远处。

证明

 
为了表明这一点|$\mathcal{L}^{（r）}$|是一个阶微分算子|$r$|我们基本上可以重复赫克曼的论点[13]. 回想一下|美元\mathcal L$|是中的微分算子|美元\bar\Lambda$|订单的|美元$|如果|${\rm ad}（f）^{r+1}\mathcal L=0$|对于任何|$f\in\bar\Lambda$|但总的来说|${\rm ad}（f）^{r}\mathcal L\neq 0$|.自|E美元$|和|美元\ Delta$|乘法通勤|$f$|，我们有
\[{\rm ad}（f）^{r+1}（\mathcal L^{（r）}）={\rm-Res}\，E\circ{\rm-ad}（f）^{r+1}（D_{\infty}^r）.\]
自
\[{\rm ad}（f）（D_{\infty}）={\rm-ad}（f）（\partial）=-\ partial f，\]
这意味着|${\rm ad}（f）^2（D_{\infty}）=0$|因此|${\rm广告}（f）^{r+1}（D_{\infty}^r）=0$|另一方面，|$｛\rm ad｝（f）^｛r｝（D_｛\infty｝^r）=r！（-\部分f）^r$|，这意味着|${\rm ad}（p_1）\mathcal{L}^{（r）}=r！（-p_0）^r\neq 0$|所以|$\mathcal{L}^{（r）}$|是一个阶微分算子|$r$|.

显式形式(13)很容易从直接计算中得出结论。据我们所知，这样一个公式最早出现在[24,25]，尽管在三角函数的情况下有类似的公式（参见(38))斯坦利基本上都知道[30]. 三角函数情况的一个重要优点是稳定性，这意味着在这种情况下，我们不需要额外的变量|$p_0$|.

为了证明交换性，我们考虑了有限维的约简。对于每一个自然的|N美元$|有一个同态|$\varphi_N:\bar\Lambda\rightarrow\Lambda _{N}$|由定义
\[\varphi_N（p_j）=x_1^j+\cdots+x_N^j，\quad j\in\mathbb Z_{\ge 0}.\]
(14)
我们有下面的交换图：
\开始{数组}{ccc}\bar\Lambda&\stackrel{\mathcal L^{
(15)
哪里|$\mathcal L^{（r）}_{N}$|是Heckman构造的CMS积分(7). 的确，对于任何人|$f\in\bar\Lambda$|我们有|$D_{\infty}^r（f）=\sum_{l} x个^lg_l，g_l\in\bar\Lambda$|，其中和是有限的。根据提案2.1，
\开始{align}D_{i，N}^r\circ\varphi_N（f）&=\varphi_{i、N}\circD_{infty}^r（f）=\sum_{l} x _ i^l\varphi_N（g_l），\\sum_{i=1}^ND_{i，N}^r\circ\varphi-N（f）&=\sum_{i=1}^N\sum_{l} x _ i^l\varphi_N（g_l）=\sum_{l}\varphi_{N}（p_l）\varphi-N（g_1）=\varphi_N（E（D_{infty}^r（f））），\end{align}
这证明了图的可交换性。这意味着
\[\varphi_N（[\mathcal L^{（r）}，\mathcall L^{[（s）}]（f））=[\mathcal L_{N}^{
由于积分(7)通勤[14]. 为了结束证明，我们需要以下引理。

 

让|$f美元$|是…的元素|$\bar\Lambda$|.如果|$\varphi_N（f）=0$|对所有人来说|$N$|然后|$f=0$|.

 

根据定义，|$f美元$|是有限个生成器中的多项式|$p_r，\1\le r \le M$|对一些人来说|百万美元$|系数多项式取决于|$p_0$|.接受|N美元$|大于此数字|百万美元|.由于相应|$\varphi_N（p_{r}）$|具有|百万美元$|在中代数独立|$\兰姆达_N$|和|$\varphi_N（f）=0$|，所有系数|$f美元$|在以下位置为零|$p_0=N$|.因为这对所有人来说都是真的|N>M美元$|系数为零，因此|$f=0$|.

应用引理，我们得到了交换性|$[\mathcal L^{（r）}，\mathcall L^{}]=0$|.

3畸形CMS操作员：理性案例

有理情况下的变形CMS算子具有以下形式
\[H_{n，m}=\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\particalx^2_i}+k\sum_{i=1}^m\frac}\partial ^2}}{\protialy^2_i{-\sum_i\ltj}^{n}\frac[2k（k+1）}{（x_{i} -x个_{j} ）^2｝-\sum _｛i\lt j｝^｛m｝\frac｛2（k^｛-1｝+1）｝｛（y_{i} -年_{j} ）^2}-\总和{i=1}^{n}\总和{j=1}^}m}\分形{2（k+1）}{（x_{i} -年_{j} ）^2}。\]
(16)
它们描述了直线上两组粒子与质量1和|1美元/k$|分别是。什么时候？|$k=1$|我们有通常的CMS系统|n+m美元$|粒子，这就是术语。

操作员(16)的|$m=1$|由Chalykh等人于年介绍和研究[7]; 一般情况下|百万美元$|他们被贝雷斯特和亚基莫夫考虑过[2]. 它们的可积性在年首次被证明[21]，其中量子积分是通过递归过程构造的。我们现在要展示的是，这个过程有一个简单的Dunkl算子解释。

让|${\mathcal H}_{n，m}=\Psi_0 L_{n、m}\Psi _0^{-1}$|是…的标准形式(16)带有
\开始{align}\Psi_0&=\prod_{i\ltj}^n（x_i-x_j）^k\prod\ltj}^m（y_i-y_j）和{i=1}^m\frac{\部分^2}{\部分y^2_i}-\和{i\ltj}^n\frac{2k}{x_{i} -x个_{j} }\左（部分x{i}}-\部分x{j}}\右）_{i} -年_{j} }\左（部分y{部分}{部分y{i}}-\部分y{j}}\右）-\和{i=1}^n\和{j=1}^m\和{2}{x_{i} -年_{j} }\左（\frac{\部分}{\部分x{i}}-k\部分}}{\局部y{j}}\右）。\结束{对齐}
（17）

便于定义|$y_j=x_{n+j}，\j=1，\ldot，m$|并引入奇偶函数|$p（i）=0，\i=1，\ldots，n$|和|$p（i）=1，\i=n+1，\ldot，n+m$|.

以下[21]，考虑操作员|$\部分^{（r）}_i$|由递归定义
\[\partial ^｛（r）｝_i=\ partial ^｛（1）｝_i\ partial ^｛（r-1）｝_i-\sum _｛j\ne i｝\frac｛k^｛1-p（j）｝｛x_i-x_j｝（\ partial ^｛（r-1）｝_i-\partial ^｛（r-1）｝_j）\]
(18)
具有|$\部分^{（1）}_i=k^{p（i）}\分数{\部分}{\部分x_i}$|（参见[21，公式（17）]）。可以很容易地检查操作员
\[\mathcal L_{n，m}^{（2）}=\sum_{i=1}^{n+m}k^{p（i）}\部分^{
与变形CMS操作员一致(17). 在[21]一个冗长但直接的计算证明
\[\matcal L_｛n，m｝^｛（r）｝=\sum_｛i=1｝^｛n+m｝k^｛p（i）｝\partial ^｛（r）｝_i\]
(19)
相互交换，特别是变形CMS系统的量子积分。递归公式(18)都是基于递归松尾公式的猜测[16].

现在我们将给出一个更简单的证明，并对这些公式进行更概念性的解释。

定义|$\varphi^｛（i）｝_｛n，m｝：\bar\Lambda[x]\longrightarrow\mathbb C[x_1，\ldots，x_｛n+m｝]$|通过|$\varphi^{（i）}_{n，m}（x）=x_i$|和
\[\varphi^{（i）}_{n，m}（p_1）=p_1（x，k）：=\sum_{i=1}^{n+m}k^{-p（i
(20)
对所有人来说|$l\in\mathbb Z_{\ge 0}$|.

表示方式|$\Lambda_{n，m}$|中的子代数|$\mathbb C[x_1，\ldots，x_{n+m}]$|由变形幂和生成|$p_l（x，k），\l\in\mathbb Z_{>0}$|。我们将向操作员展示|$\部分^{（r）}_i$|映射代数|$\Lambda_{n，m}$|进入之内|$\Lambda_{n，m}[x_i]$|（见图表(23)).

在变形的情况下，我们没有类似于(10)，但我们有以下重要关系。

 

提议3.1
以下关系成立|$\bar\Lambda[x]$|:
\[\varphi_{n，m}^{（i）}\circD_{\infty}=k^{p（i）{\frac{\partial}{\partitlex_i}\cic\varphi_{n，m}^{-和{j\nei}\frac}{k^{1-p（j）}{x_i-x_j}\]
(21)
 
证明
对于任何|$f\in\bar\Lambda$|我们有
\begin｛align｝\varphi ^｛（i）｝_｛n，m｝\circ（\partial-k\Delta）（x^lf）&=\varphi _｛n，m｝^｛（i）｝（lx^{l-1}f+x^l\部分f\\&\四-k（lx^{l-1}p0+x个^{l-2}p1+\cdots+xp_{l-2}+p_{l-1}-lx^{1-1}）f）\\&=lx_i^{l-1}（1+k）\varphi_{n，m}（f）+x_i~l\varphi_{n，m}（\partial f）\\&\quad-k（x_i^｛l-1｝p_0+x _ i^{l-2}p1+\cdots+x_ip_{l-2}+p_{l-1}）\varphi^{（i）}_{n，m}（f）。\结束{对齐}
另一方面，
\开始{align}&k^{p（i）}\frac{\partial}{\parialx_i}\circ\varphi_{n，m}^{（i）{（x^lf）-\sum_{j\nei}\frac{k^{1-p（j）}}{x_i-x_j}lx_i^{l-1}\varphi^{（i）}_{n，m}（f）+x_i_i^lk^{p（i）{部分_i（\varphi（i^{l-2}p1+\cdots+x_ip_｛l-2｝+p_{l-1}-k^{-p（i）}lx_i^{l-1}）\varphi^{（i x_i^l（n+k^{-1}米)+x _ i^{l-2}p1+\cdots+x_ip_{l-2}+p_{l-1}））\varphi^{（i）}_{n，m}（f）。\结束{对齐}
自|$k^{p（i）}+k^{1-p（i$|对所有人来说|$i=1，\ldot，n+m$|我们只需要证明一下
\[\varphi^{（i）}{n，m}（\partial f）=k^{p（i）{\ partial i \varphi ^{
(22)
因为两者都是|$\部分$|和|$\部分_i$|是派生的，检查一下就足够了|$f=p_l$|，这是显而易见的。

 

提议3.2
下图是可交换的：
\开始{数组}{ccc}\bar\Lambda&\stackrel{D_{\infty}^r}{\longrightarrow}&\bar\Lambda[x]\\downarrow{\varphi^{（i）}_{n，m}}&&\downarror{\varfi^{x_i]\结束{数组}
(23)
 
证明
我们在中使用归纳法|$r$|.何时|$r＝1$|以下是(22). 对于|$r>1$|我们有
\[\varphi_{n，m}^{（i）}（D_{\infty}^r（f））=
哪里|$g=D_{\infty}^{r-1}f\in\bar\Lambda[x]$|.根据之前的提议，
\[\varphi_{n，m}^{（i）}（D_{infty}（g））=\partial_i^{
通过归纳假设|$\varphi_{n，m}^{（i）}（g）=\partial^{$|因此
\[\varphi_{n，m}^{（i）}（D_{\infty}（g））=\左（\partial^{
在我们使用它的地方|$f\in\bar\Lambda$||$\varphi^{（i）}_{n，m}（f）=\varphi^{（j）}_{n，m}（f）$|因此，
\[\varphi_{n，m}^{（i）}（D_{\infty}^r（f））=\partial^{
证明到此结束。

定义同态|$\varphi_{n，m}:\bar\Lambda\rightarrow\Lambda _{n，m}$|通过
\[\varphi_{n，m}（p_l）=\sum_{i=1}^{n+m}k^{-p（i）}x_i^l，\quad l\in\mathbb Z_{ge0}.\]
 
定理3.3
下图是可交换的：
\开始{数组}{ccc}\bar\Lambda&\stackrel{\mathcal L^{（r）}}{\longrightarrow}&\bar\Lambda\\downarrow{\varphi_{n，m}}&&\downarror{\varfi_{n
(24)
哪里|$\mathcal L^{（r）}$|是CMS积分(12)无穷大和|$\mathcal L_{n，m}^{（r）}$|是操作员吗(19). 特别是，后一种运营商通勤：
\[[mathcal L_{n，m}^{（r）}，\mathcal L_n，m}^{
对所有人来说|$r，s\in\mathbb Z_{>0}$|从而给出了变形CMS系统的量子积分。
 
证明
对于任何|$f\in\Lambda$|我们有
\[D_{\infty}^r（f）=\sum_{l} x个^lg_l，\quad g_l\in\Lambda，\]
其中右侧的和是有限的。根据命题3.2，
\[\partial _i^{（r）}（\varphi_{n，m}（f））=\varphi^{_{l} x _ i^l\varphi_{n，m}（g_l）
因此，我们有
\开始{align}\mathcal L_{n，m}^{（r）}\varphi_{n、m}（f）&=\sum_{i=1}^{n+m}k^{p（i）}\partial^{_{l} x _ i^l\varphi_{n，m}（g_l）\\&=\sum_{l}\varphi_n，m}（p_（x，k））\varphi_{n，m}（g _l）=\varphi{n，m2}（mathcal l^{（r）}（f））。\结束{对齐}
这证明了该图的可交换性。算子的交换性(19)现在从CMS积分的交换性开始(12)在无穷远处。

变形CMS系统的4量子Moser矩阵

与通常的CMS情形相反，变形CMS系统的经典版本被认为是不可积的；参见[7]. 这意味着以下内容没有合适的替代品莫瑟矩阵在经典情况下
\[L=\开始{pmatrix}p1\\dfrac{k}{q_1-q_2}&\dfrac{k}{q_1-q_3}&\cdots&\cdot和\dfrac{k}{q_1-q_n}&\\-\dfrac}k}{q _1-q_2}&p2&\dfras{k}{q_2-q_3}&\cdotes&\dfrac{k}}{q_2-q}&\\vdots&\\vdot和\\vdots \\-\dfrac{k}{q1-q_n}&-\dfras{k}}{q2-q_n}&-\defrac{k{q_3-q_n}&\cdots&-\ dfrac{k}{q_{n-1}-qn}&p_n\end{pmatrix}.\]
回想一下，Moser已经证明了经典CMS系统的运动方程
\[H=\sum_{i=1}^np_i^2-\sum_{i\ltj}^{n}\frac{2k^2}{（q_i-q_j）^2}\]
可以以Lax形式重写为
\[\dot L=[L，M]，\]
哪里
\[M=-2k\开始{pmatrix}一个_{11} &\dfrac{1}{（q_1-q_2）^2}&\dfras{1}}{^2}&\\vdots&\vdots&\vdots&\vdot&\vdotes&\vdots&\\dfrac{1}{（q_1-q_n）^2}&\dfrac&\cdots&\dfrac{1}{（q_{n-1}-qn)^2} &a_{nn}\end{pmatrix}\]
具有|$a{i}=-\sum_{i\neqj}^n\frac{1}{（q_i-q_j）^2}$|（请参见[17]). 注意，最后一个条件意味着|$Me={e}^{\rm T}M=0$|，其中|$e=（1，\ldot，1）^{\rm T}$|.

上一节中的Dunkl运算符方法自然会导致以下结果量子Moser矩阵|L美元$|用于变形的CMS系统。Ujino等人于1992年提出了常规CMS系统中Lax对的量子模拟[31]和Wadati等人[32]（另见Shastry和Sutherland[29])，但量子版的Moser矩阵|L美元$|已于1975年由Calogero等人在[5]产生CMS系统的量子积分。

为了推导变形情况下的量子Moser矩阵，重写关系式(21)以矩阵形式表示为
\[\Phi_{n，m}\circ D_{infty}=\mathcal L\circ\Phi_{n，m}，\]
(25)
哪里|$\Phi_{n，m}$|是带有分量的矢量|$\varphi^{（i）}_{n，m}，\i=1，\ldot，n+m$|和|美元\mathcal L$|是一个|$（n+m）\次（n+m）$|包含（非交换）项的矩阵
\[\mathcal L_{i}=k^{p（i）}\frac{\partial}{\partical x_i}-\sum_{j\neqi}^{n+m}\frac{k^{1-p（j
(26)
量子Moser矩阵|L美元$|是以下标准版本的|$\mathcal L$|:
\[L_{i}=k^{p（i）}\frac{\部分}{\部分x_i}，\quad L_{ij}=\ frac{k^{1-p（j）}}{x_i-x_j}，\ enspace i\neq j.\]
(27)
注意操作员|$\mathcal L_{ii}$|和|$L_{ii}$|被乘法运算符共轭
\[\Psi_0=\prod_{i\ltj}^{n+m}（x_i-x_j）^{k^{1-p（i）-p（j）}}。\]
介绍相应的矩阵|百万美元$|如下对莫瑟矩阵的简单修改：
\[M_{ij}=\frac{2k^{1-p（j）}}{（x_i-x_j）^2}，\nspace i\neqj，\quad M_{ii}=-\sum_{j\neqi}^{n+M}\frac[2k^{1-p（j
(28)
请注意，此矩阵具有以下属性|$Me=0$|（与通常情况一样），以及|$e^*M=0$|美元，其中|$e^*=（1，\ldot，1，\frac{1}{k}，\ldots，\frac{1}}{k{）$|（或，|$e^*_i=k^{-p（i）}，\i=1，\ldots，n+m$|)变形对偶|$e$|.
还介绍了“矩阵哈密顿量”|H美元$|哪一个是对角线|$（n+m）\次（n+m）$|带变形CMS算子的矩阵(16)对角线上：
\[H_{i}=H_{n，m}，\quad H_{ij}=0，\enspace i\neq j.\]
换向器|$[升，小时]$|有条目|$[L，H]_{ij}=[L_{iij}，H_{n，m}]$|可以被认为是量子版本的|$\点L$|（参见[31,32]). 
定理4.1（变形CMS系统的量子Lax对）
我们具有以下身份：
\[[L，H]=[L，M].\]
(29)
该证明是通过与通常情况类似的直接计算得出的[31,32]. 
推论4.2

操作员|$L_{n，m}^{（r）}=e^*L^r e$|是变形CMS系统的量子积分(16). 这些积分与上一节模数共轭的积分一致|$\Psi _0$|.

确实，来自(29)我们有|$[L，H-M]=0$|，因此|$[L^r，H-M]=0$|，或
\[[L^r，H]=[L^r，M].\]
这意味着
\[[L_{n，m}^{（r）}，H_{n、m}]=0，\]
自从|$Me=e^*M=0美元$|（参考中常见CMS系统的情况[32]). 这证明了|$L_{n，m}^{（r）}$|是变形CMS系统的积分。可以检查一下|$L_{n，m}^{（2）}=H_{n、m}$|.积分|$L_{n，m}^{（r）}$|可以解释为“变形的总轨迹”（参见[32])量子Moser矩阵的幂：
\[L_{n，m}^{（r）}=\sum_{i，j=1}^{m+n}k^{-p（i）}（L^r）{ij}

请注意|$L_{n，m}^{（r）}$|相互通勤并不遵循Lax方法。在我们的案例中，这是根据上一节的结果得出的，因为|$L_{n，m}^{（r）}$|是标准版本的|$\mathcal L_{n，m}^{（r）}$|或者，可以首先显示图的可交换性(24)带有|$\mathcal L^{（r）}_{n，m}$|定义为|$e^*\mathcal L^r e$|然后是|$\mathcal L^{（r）}_{n，m}$|（因此|$L_｛n，m｝^｛（r）｝$|)根据运算符的可交换性|$\mathcal L^{（r）}$|.

5三角情形：无穷远处的Dunkl–Heckman算子

在本节中，我们主要关注我们的论文[28]，其中考虑更一般的Laurent情况。由于它在很大程度上与理性案例平行，我们将省略大多数证明。我们还将使用相同的字母来表示类似于有理情况下的数量；希望这不会导致太多混乱。

在三角（双曲线）情况下，我们有以下CMS运算符：
\[H_N=\sum_{i=1}^N\frac{\partial^2}{\paratilz_{i}^2}-\sum_{i\ltj}^N\ frac{2k（k+1）}{\sinh^2（z_{i} -z（-z）_{j} ）｝。\]
它有一个特征函数|$\Psi_0=\prod_{i\ltj}^N\sinh^{-k}（z_i-z_j）$|具有特征值|$\lambda _0=-k^2N（N-1）/4$|.其标准版本|$\压裂{1}{4}\Psi _0^{-1}（L_N-\lambda _0）\Psi _ 0$|在指数坐标中|$x_i={\rm e}^{2z_i}$|有表单
\[｛\mathcal H｝_｛N｝=\sum _｛i＝1｝^N\left（x_｛i｝\frac｛\partial｝｛\partial x_｛i｝｝\right）^2-k\sum _｛i \lt j｝^N\ frac｛x_ i｝+x__{i} -x个_{j} }\左（x{i}\部分}{\部分x{i{}}-x{j}\frac{\部分}}\右）
(30)
本例中对应的Dunkl算子是由Heckman首先引入的[14]并具有表单
\[D_{i，N}=\partial_i-\frac{k}{2}\sum_{j\nei}^N\frac{x_i+x_j}{x_i-x_j{（1-\sigma_{ij}），\quad\partial _i=x_i\frac{partial}{\partial x_i}，\enspace i=1，\ldots，N，\]
(31)
和以前一样|$\西格玛_｛ij｝$|是一个换位，通过排列坐标作用于函数|$x_i$|和|$x_j$|这些运营商的主要问题是他们不通勤。（我们应该注意到，由于Cherednik的缘故，三角函数中存在Dunkl算子的交换版本[8]但是，它们缺乏赫克曼版本的对称性，而这些对称性对我们来说至关重要。）然而，赫克曼[14]设法证明微分算子
\[\mathcal L^{（r）}_{N}={\rm Res}（D_{1，N}^r+\cdots+D^r_{N，N}），\]
(32)
哪里|${\rm Res}$|是指对对称多项式空间的限制运算，相互交换
\[[mathcal L^{（r）}_{N}，\mathcal L_{（s）}_}N}]=0
(33)
自|$\mathcal L^{（2）}_{N}={\mathcalH}_{N}$|，它们是量子CMS系统的积分(30).
操作员
\[\Delta_{i，N}:=\sum_{j\nei}^N\frac{x_i+x_j}{x_i-x_j{（1-\sigma_{ij}）\]
(34)
作用于对称多项式代数|$\Lambda_{N}$|并且拥有财产
\开始{align}\Delta_{i，N}（x_i^l）&=\sum_{j\nei}\frac{x_i+x_j}{x_i-x_j{（1-\sigma_{ij}）^{l-1}p1+\cdots+2x_ip_{l-1}+p_l-2lx_i^l.\end{align}
(35)
定义无穷维Dunkl–Heckman算子|$D_｛\fty｝：\bar\Lambda[x]\rightarrow\bar\Lambda[x]$|通过
\[D_{\infty}=\partial-\tfrac 12k\Delta，\]
(36)
其中推导|$\部分$|在里面|$\bar\Lambda[x]$|由公式定义
\[\partial（x）=x，\quad\partial
和操作员|$\增量：\bar\Lambda[x]\rightarrow\bar \Lambda[x]$|由定义
\[\Delta（x^lf）=\Delta（x^l）f，quad\Delta（1）=0，\enspace f\in\bar\Lambda，\l\in\mathbb Z_｛\ge 0｝\]
和
\[\增量（x^l）=x^lp_0+2x^{l-1}p1+\cdots+2xp_{l-1}+p_l-2lx^l，\quad l>0.\]
可以检查以下图表
\开始{数组}{ccc}\bar\Lambda[x]&\stackrel{D_{\infty}}{\longrightarrow}&\bar\Lambda[x]\\downarrow{\varphi_{i，N}}&&\downarror{\varfi_{i
是可交换的，其中|$D_{i，N}$|是Dunkl–Heckman操作员(31)、和|$\varphi_{i，N}（x）=x_i$|,|$\varphi_{i，N}（p_l）=x_1^l+\cdots+x_N^l，\l\ge 0$|和以前一样。
让|$E:\bar\Lambda[x]\longrightarrow\bar\Lambda$|同上：|$E（x^lf）=p_lf，\f\in\bar\Lambda，\l\in\mathbb Z_{\ge 0}$|.定义操作符|$\mathcal{L}^{（r）}:\bar\Lambda\longrightarrow\bar\Lambda，\r\in\mathbb Z_+$|通过
\[\mathcal{L}^{（r）}={\rm Res}\，E\circ D_{\infty}^r，\]
(37)
哪里|${\rm Res}$|表示右侧的动作限制为|$\bar\Lambda$|.
操作员|$\mathcal L^{（2）}$|具有以下显式形式：
\[\mathcal L^{（2）}=\sum_{a，b>0}p_{a+b}\partial_{a}\ partial_{b} -k个\和{a，b>0}p_{a} p_b（磅）\partial_{a+b}+（1+k）\sum_{a>0}ap_a\partial _a-kp_0\sum_{a>0}p_{a}\partial/{a}，\]
(38)
哪里|$\部分_a=a\压裂{\部分}{\部分p_a}$|并且已知是无穷远处的（三角）CMS算子（参见[1,24,30]).

注意，依赖于|$p_0$|在三角情况下可以很容易地消除，因为|$\sum_{a>0}p_a\部分_a$|是总动量，对应于CMS算子在这种情况下的稳定性属性（参见[24]).

据称，运营商(37)通勤：
\[[\mathcal{L}^{（r）}，\mathcal{L}^{[s）}]=0，\]
(39)
因此是无穷大处的量子CMS积分。这源于赫克曼积分的交换性(32)、引理2.3和图的交换性
\开始{数组}{ccc}\bar\Lambda&\stackrel{\mathcal L^{
哪里|$\mathcal L^{（r）}_{N}$|CMS积分由(32)以及同态|$\varphi_{N}:\bar\Lambda\rightarrow\Lambda _N$|由定义|$\varphi_N（p_l）=x_1^l+\cdots+x_N^l，\l\ge 0$|.
现在考虑变形的CMS操作员[21]，在指数坐标中的形式为
\开始{align}H_{n，m}&=\sum_{i=1}^n\left（x_{i}\frac{\partial}{\particalx_{i}}\right）^2+k\sum_j=1}^m\left_{i} -x个_{j} ）^2}\\&\四元和{i\ltj}^{m}\frac{2（k^{-1}+1）y_iy_j}{（y_{i} -年_{j} ）^2}-\总和{i=1}^{n}\总和{j=1}^}m}\分形{2（k+1）x_iy_j}{（x_{i} -年_{j} ）^2}，\结束{对齐}
(40)
或者，以标准形式，
\开始{align}{\mathcal H}{n，m}&=\sum{i=1}^n\left（x{i}\frac{\partial}{\partitlex{i{}\right）^2+k\sum{j=1}^m\left（y{j}\frac{\particle}{\protialy{j{}}\rift）^2-k\sum_{1\lei\ltj}\frac{x{ineneneep+x{j}}}{x个_{i} -x个_{j} }\左（x{i}\frac{\partial}{\部分x{i{}}-x{j}\frac{\paratil}{\partitlex{j{}}\右）\\&\四元\和{1\lei\ltj\lem}\frac-{y{i}+y{j}}{y_{i} -年_{j} }\左（y{i}\frac{\partial}{\部分y{i{}}-y{j}\frac{\部分}{\局部y{j{}}\右）-\和{i=1}^n\和{j=1}^m\和{x{i}+y{jneneneep}{x_{i} -年_{j} }\左（x{i}\frac{\partial}{\部分x{i{}}-ky{j}\ frac{\部分}{\局部y{j{}}\右）。\结束{对齐}
(41)
我们使用第3节中的符号：let|$y_j=x_{n+j}，\j=1，\ldot，m$|和|$p（i）$|是奇偶函数，|$\varphi^{（i）}_{n，m}:\Lambda[x]\longrightarrow\mathbb C[x_1，\ldots，x_{n+m}]$|由定义(20)和|$\Lambda_{n，m}$|是中的子代数|$\mathbb C[x_1，\ldots，x_{n+m}]$|由变形幂和生成
\[p_l（x，k）=\sum_{i=1}^{n}x_i^l+\frac{1}{k}\sum_{i=n+1}^{n+m}x_i ^l.\]
可以检查以下等式在中是否有效|$\兰姆达[x]$|:
\[\varphi_{n，m}^{（i）}\circ D_{\infty}=k^{p（i）{\partial _i\circ\varphi_{n，m}^{]
(42)
在与
\[\Psi_0=\prod_{i\ltj}^{n+m}\左（\frac{x_ix_j}{（x_i-x_j）^2}\右）^{\frac{1}{2} k个^{1-p（i）-p（j）}}\]
这使我们在变形三角情况下得到了莫瑟矩阵的以下量子版本
\[L_{i}=k^{p（i）}\部分_i，\quad L_{1j}=\frac 12k^{1-p（j）}\frac{x_i+x_j}{x_i-x_j{，\enspace i\ne j.\]
(43)
还定义|$（n+m）\次（n+m）$|矩阵|百万美元$|通过
\[M_{ij}=\frac{2k^{1-p（j）}x_ix_j}{（x_i-x_j）^2}，enspace i\neqj，quad M_{ii}=-\sum_{j\neqi}^{n+M}
(44)
让|美元$|和|美元^*$|与结论4.2中的相同，并且|H美元$|由定义|$H_{i}=H_{n，m}$|,|$H_{ij}=0$|,|$i\neq j$|，使用|$L_{n，m}$|由定义(40). 我们可以检查一下，在理性情况下，我们有量子Lax关系
\[[L，H]=[L，M]，\]
得出以下一组积分。

定理5.1

 
操作员
\[L^{（r）}_{n，m}=e^*L^r e=\sum_{i，j=1}^{m+n}k^{-p（i）}（L^r）_{ij}\]
(45)
是变形CMS系统的交换量子积分(40).
为了证明交换性，我们应该考虑规范版本|美元\mathcal L$|矩阵的|L美元$|
\[\mathical L_｛ii｝=k^｛p（i）｝\partial _i-\frac 12\sum _{j\ne i｝k^｛1-p（j）｝\frac｛x_i+x_j｝｛x_i-x_j｝，\ quad\mathcal L_｛ij｝=\ frac 12k^｛1-p（j）｝\frac｛x_i+x_j｝｛x_i-x_j｝，\ enspace i\ne j\]
(46)
并定义运算符
\[\mathcal L^{（r）}_{n，m}=e^*\mathcall L^r e\]
(47)
具有|$\mathcal L^{（2）}_{n，m}$|是变形CMS系统的量子哈密顿量(41). 与有理情况类似，可以显示图表(24)是可交换的。自从运营商|$\mathcal L^{（r）}$|彼此通勤也是如此|$\mathcal L^{（r）}_{n，m}$|因此|$L^{（r）}_{n，m}$|.

6合理|十亿美元$|-类型案例

证明与类型非常相似|美元$|情况，所以我们只提供修改后的公式。

类型的理性CMS运算符|B_N美元$|有表单
\[H_N=\sum_{i=1}^N\frac{\partial^2}{\particalx^2_i}-\sum_{i\ltj}^N\ frac{2k（k+1）}{（x_i-x_j）^2}-\ sum_i\ltj}^N\fracc{2k（k+1
取决于两个参数|千美元$|和|$q$|.其标准版本|$\mathcal H_N=\delta H_N\delta ^{-1}$|具有
\[\delta=\prod_{i\lt j}^N（x_i-x_j）^k（x_i+x_j）^k\prod_{i}^Nx_i^q\]
是
\[\mathcal H_N=\sum_{i=1}^N\frac{\partial^2}{\partical x^2_i}-\sum_{i\ltj}^N\ frac{2k}{x_i-x_j}\left（\frac}{\protialx_i}-\frac｛\partial x_j{\right）-\sum{i\ltj}^N \frac[2k}{_i+x_jneneneep \left{\partial x_i}+\frac{\partic}{\parial x_j}\right）-\sum_{i=1}^N\ frac{2q}{x_i{\frac}\partial}{\部分x_i}.\]
(48)
CMS操作员(48)保留对称多项式的代数|$\Lambda_{N}=\mathbb C[x_{1}，\ldots，x_{N{]^{W_N}$|就集团而言|$W_N=S_N\times\mathbb Z_2^N$|由生成（非自由生成）|$p_j（x）=x_1^{2j}+\cdots+x_N^{2j}，\j\in\mathbb Z_{0}$|.小组|$W_N美元$|由反射生成
\[\sigma_{ij}^+：\，（x_i，x_j）\rightarrow（x_j，x_i），\quad\sigma{ijneneneep ^-：\
和
\[\tau_i:\，x_i\rightarrow-x_i，\quad i=1，\ldots，N\]
（保持其他坐标不变）。
本例中的Dunkl操作符具有以下形式
\[D_{i，N}=\frac{\partial}{\parial x_i}-k\sum_{j\ne i}\左（\frac}1}{x_i-x_j}{（1-\sigma_{ij}^{+}）}+\frac{1}{x_i+x_j{{（1-\sigma^{-}_{ij}）}\right）-\frac{p}{x{i}}（1-\tau_i），\]
（49）
哪里|$i=1,2，\ldot，N$|这些操作员通勤[9]并可以生成相应CMS系统的量子积分
\[\mathcal L^{（2r）}_{N}={\rm Res}\，（D_{1，N}^{2r}+\cdots+D^{2r}_｛N，N｝），\]
（50）
哪里|${\rm Res}$|是指对以下方面的限制|$\Lambda_{N}$|具有|$\数学L^{（2）}_{N}=\数学H_N$|由提供(48)（请参见[14]).
让|美元\bar\Lambda$|与之前相同并定义无穷维Dunkl算子|十亿美元$|-类型|$D_{\infty}:\bar\Lambda[x]\rightarrow\bar\Lambda[x]$|通过
\[D_{\infty}=\partial-2k\Delta-\frac{q}{x}（1-\tau）.\]
(51)
这里是推导|$\部分$|在里面|$\bar\Lambda[x]$|由公式定义
\[\partial（x）=1，\quad\partial
操作员|$\增量：\，\bar\Lambda[x]\rightarrow\bar \Lambda[x]$|由定义
\[\Delta（x^lf）=\ Delta（x^l）f，\quad\Delta（1）=0，\enspace f\in\bar\Lambda，\l\in\mathbb Z_{\ge 0}\]
具有
\开始{align}\增量（x^{2l}）&=x^{2l-1}p0+x个^{2l-3}p1+\cdots+x^3p_｛l-2｝+xp_{l-1}-lx^{2l-1}，\\增量（x^{2l-1}）&=x^{2l-2}p0+x个^{2l-4}p1+\cdots+x^2p_{l-2}+p_{l-1}-lx^{2l-2}，\quad l>0，\end{align}
和对合|美元\套$|由定义
\[\tau（x^l f）=（-x）^lf，\quad f\in\bar\Lambda.\]
让|$\varphi_{i，N}:\bar\Lambda[x]\longrightarrow\Lambda_{N}[x_i]$|是同态，使得
\[\varphi_{i，N}（x）=x_i，\quad\varphi_}i，N{（p_1^{2l}+\cdots+x_N^{2l}，\enspace l\in\mathbb Z_{ge0}.\]
可以看出下图
\开始{数组}{ccc}\bar\Lambda[x]&\stackrel{D_{\infty}}{\longrightarrow}&\bar\Lambda[x]\\downarrow{\varphi_{i，N}}&&\downarror{\varfi_{i
(52)
哪里|$D_{i，N}$|是Dunkl操作员(49)，是可交换的。
定义线性运算符|$E:\bar\Lambda[x]\longrightarrow\bar\Lambda$|根据公式
\[东（x^{2l}f)=p_{l} （f），\四E（x^{2l+1}f）=0，\四f\in\bar\Lambda，\l\in\mathbb Z_{\ge0}，\]
和操作员|$\mathcal{L}^{（r）}:\bar\Lambda\longrightarrow\bar\Lambda，\r\in\mathbb Z_+$|通过
\[\mathcal{L}^{（r）}={\rm Res}\，E\circ D_{\infty}^{2r}，\]
(53)
和以前一样|${\rm Res}$|是指对以下方面的限制|$\bar\Lambda$|.

声称这些算符给出了有理函数中无穷远处的量子CMS积分|十亿美元$|-案例。 

定理6.1
微分算子|$\mathcal{L}^{（r）}$|相互通勤：
\[[\mathcal{L}^{（r）}，\mathcal{L}^{
操作员|$\mathcal L^{（2）}$|具有以下显式形式：
\开始{align}\mathcal L^{（2）}&=8\sum_{a，b\geq1}p_{a+b-1}\partial_{a}\parial_{b} -4千\和_｛a，b \ geq 0｝p_{a} p_b（磅）部分{a+b+1}+4k\sum_{a\ge0}（a+1）p_a\partial_{a+1}\\&\quad+2\sum_}{a\ge 0}
(54)
具有|$\部分_a=a\部分/\部分p_a$|并且与的合理CMS运算符一致|十亿美元$|-在无穷大处键入。

显式形式(54)与一致[23，公式（32）]，并根据关系式
\开始{对齐}（E\circ\Delta\circ\部分）（p_a）&=2a（p_{a-1}p0+\cdots+p_0p_{a-1}-ap_{a-1}），\\左（E\circ\frac{1}{x}（1-\tau）\circ\partial\right）（p_a）&=4ap_{a-1{，\quare E\cick\partial ^2（p_a）=2a（2a-1）p_{a-1}，\\（E\circ\partic^2）（p_ap_b）&=2a（2 a-1）p_{a-1}磅+2b（2b-1）页_{b-1}pa+8abp{a+b-1}。\结束{对齐}
现在让我们把这个应用到变形的情况。类型的变形有理CMS算子|$B_{n，m}$|有表单[21]
\开始{align}H_{n，m}&=-\left（\frac{\partial^2}{{\particalx_{1}}^2}+\cdots+\frac}\partial ^2}}{{\ partialx_{n}}^2}\right）-k\left+\sum_{i\ltj}^{n}\左（frac{2k（k+1）}{（x_{i} -x个_{j} ）^2}+\压裂{2k（k+1）}{（x{i}+x{j}）^2{右）+\总和{i\ltj}^{m}\左（压裂{2（k^{-1}+1）}}{_{i} -年_{j} ）^2}+\压裂{2（k^{-1}+1）}{（y{i}+y{j}）^2{\右）\\&\四元+\和{i=1}^{n}\和{j=1}^}\左_{i} -年_{j} ）^2｝+\frac｛2（k+1）｝｛（x_｛i｝+y_｛j｝）^2｝\右）+\sum_｛i=1｝^n\frac｛q（q+1）｝｛x_ i｝^2｝+\sum_｛j=1｝^m\frac｛ks（s+1）｝｛y_｛j｝^2｝，\结束｛align｝
(55)
其中参数|$k，q，s$|满足关系
\[2q+1=k（2s+1）.\]
（56）

让|$x_{n+i}=y_i，\i=1，\ldot，m$|如前所述，并介绍多重性函数|$m（i）=q$|对于|$i=1，\ldot，n$|和|$m（i）=秒$|对于|$i=n+1，\ldot，n+m$|.

定义|$\varphi^{（i）}_{n，m}:\bar\Lambda[x]\longrightarrow\mathbb C[x_1，\ldots，x_{n+m}]$|通过|$\varphi^{（i）}_{n，m}（x）=x_i$|和
\[\varphi^{（i）}_{n，m}（p_1）=\sum_{i=1}^{n+m}k^{-p（i
(57)
对所有人来说|$l\in\mathbb Z_{\ge 0}$|和以前一样，让我们也|美元\套_i$|是的自同构|$\mathbb C[x_1，\ldots，x_{n+m}]$|更改的符号|$x_i$|.

提议6.2

 
我们有以下关系|$\bar\Lambda[x]$|:
\开始{align}\varphi_{n，m}^{（i）}\circ D_{\infty}&=k^{p（i）{\frac{\partial}{\parial x_i}\cic\varphi_{n，m}^{n，m-\ frac{k^{p[i）}-m（i frac{k^{1-p（j）}}{x_i-x_j}（\varphi_{n，m}^{（i）}-\varphi^{-\tauj\varphi^{（j）}{n，m}）。\结束{对齐}
(58)
重写(58)以矩阵形式表示为
\[\Phi_{n，m}\circ D_{infty}=\mathcal L\circ\Phi_{n，m}，\]
哪里|$\Phi_{n，m}=（\varphi^{（1）}_{n、m}，\ldots，\varphi ^{$|和|美元\mathcal L$|具有块形式
\[\mathcal L=\begin{pmatrix}\mathcall A&\mathcol B\\-\mathcar B&-\mathcal A\end{pmatricx}\]
具有以下功能|$（n+m）\次（n+m）$|矩阵|$\mathcal A公司$|和|$\mathcal B$|:
\[\mathcal A{ii}=k^{p（i）}\frac{\部分}{\部分x_i}-\ frac{k^{p（i）{m（i）{我}-sum_｛j\neq i｝\frac｛k^｛1-p（j）｝{x_i-x_j}-\和{j\neqi}\分数{k^{1-p（j）}}{x_i+x_j}
（59）
\[\mathcal B_{i}=\frac{k^{p（i）}m（i）{x_i}，\quad\mathcal B_{ij}=\frac{k_{1-p（j）}}{x_i+x_j}，\nspace i\neq j.\]
(60)
经过适当的共轭，我们得到了以下量子Moser矩阵|L美元$|对于变形的合理CMS系统|十亿美元$|-类型：
\[L=\开始{pmatrix}A&B\\-B&-A\end{pmatrix}\]
具有
\[A{ii}=k^{p（i）}\frac{\部分}{\部分x_i}，\quad A{ij}=\frac}k^{1-p（j）}}{x_i-x_j}，\ quad i\neqj，\]
(61)
\[B_{i}=\frac{k^{p（i）}m（i）{x_i}，\quad B_{ij}=\ frac{k^{1-p（j）}}{x_i+x_j}，\ quad i\neq j.\]
(62)
在未变形的情况下|$m＝0$|它简化为山本在年提出的量子Moser矩阵[33]作为Olshanetski和Perelomov在经典案例中发现的Lax矩阵的一个版本[19].

让|$e=（1，\ldot，1）^{\rm T}$|和|$e^*_i=e^*_{n+m+i}=k^{-p（i）}$|对于|$i=1，\ldot，（n+m）$|。类似于|美元$|-类型案例中，可以证明以下结果，它解释了[21].

定理6.3

 
操作员
\[L^{（L）}_{n，m}=e^*L^{2l}e\]
（63）
是有理函数中变形CMS系统的交换量子积分|$B_{n，m}$|箱子(55).

7三角函数|BC美元$|案例

三角函数|美元BC_N$|CMS操作员取决于三个参数|k，p，q美元$|并且在指数坐标中具有以下形式
\开始{对齐}H_{N}&=\sum_{i=1}^N（x_i\frac{\partial}{\particalx_{i}}）^2-\sum_{i\ltj}^{N}\left（\ frac{2k（k+1）x_ix_j}{（x_{i} -x个_{j} ）^2}+\压裂{2k（k+1）x_ix_j}{（x_{i} x个_{j} -1个)^2} \右）\\&\四元\\sum_{i=1}^n\左（\分数{p（p+2q+1）x_i}{（x_i-1）^2}+\分数{4q（q+1）}{
(64)
或者，经过量规转换并使用|$\部分_i=x_i\分数{\部分}{\部分x_{i}$|,
\开始{align}{\mathcal H}_N&=\sum_{i=1}^N\partial_{i}^2-k\sum_{1\lei\ltj\leN}\frac{x{i}+x{j}}{x_{i} -x个_{j} }（\部分_{我}-\部分{j}）-k\sum{1\lei\ltj\leN}\frac{x_{i} x个_{j} +1}{x_{i} x个_{j} -1个}（\部分_｛i｝+\部分_｛j｝）\\&&\ quad-\ sum _｛i＝1｝^N\ left（p\ frac｛x_｛i｝+1｝｛x_{i} -1个}+2q\frac{x^2_{i}+1}{x^2_{i} -1个}\右）\部分{i}。\结束{对齐}
(65)
操作员|${\mathcal H}_N$|保留代数|$\Lambda^W_N$|属于|$W_N$|-不变Laurent多项式，其中Weyl群的作用|$W_N=S_N\times\mathbb Z_2^N$|在|$\mathbb C[x_1，x_1^{-1}，\ldot，x_N，x_N^{-1{]$|由生成|$s_{ij}^{\pm}$|和|$t_i，\，i=1，\ldot，N$|根据…行事
\[s_{ij}^{pm}（x_i，x_j）=（x_j^{pm1}，x_i^{pm1}），四元t_i（x_i）=x_i|{-1}，四元i=1，十点，N
（其他坐标不变）。代数|$\Lambda^W_N$|由不变量生成
\[p_l=x_1^l+x_1^{-l}+\cdots+x_N^l+x_N^{-l{，\quad l\ in \mathbb Z_{>0}.\]
相应的Dunkl–Heckman操作符|$D_｛i，N｝$|作用于洛朗多项式|$\mathbb C[x_1，x_1^{-1}，\ldot，x_N，x_N^{-1{]$|有这个表格
\开始{align}D_{i，N}&=\partial_i-\frac{1}{2} k个\和{j\nei}^N\左（分数{x_i+x_j}{x_i-x_j{（1-s_{ij}^{+}）}+分数{x_ ix_j+1}{x_ix_j-1}{（1-秒^{-}_{ij}）}\右）\\&\四\分形{1}{2} 第页\裂缝{xi+1}{x_{i} -1个}（1-ti）-q\frac{xi^2+1}{xi^2-1}（1-ti）。\结束{对齐}
(66)
请注意|$D_{i，N}$|保留子代数|$\Lambda^W_N[x_i，x_i^{-1}]\subset\mathbb C[x_1，x_1^{-1neneneep，\ldots，x_N，x_N^{-1{]$|量子CMS积分可以由Heckman公式给出[14]
\[\matcal L^｛（2r）｝_｛N｝=｛\rm Res｝（D_｛1，N｝^｛2r｝+\cdots+D^{2r}_{N，N}），\]
哪里|${\rm Res}$|是指对以下方面的限制|$\Lambda^W_N$|可以检查一下|$\数学L^{（2）}_{N}={\数学H}_N$|是CMS操作员(65).
考虑代数|美元\bar\Lambda$|自由生成的|$p_i，\，i\in\mathbb Z_{\geq 0}$|和以前一样。定义Dunkl–Heckman操作员|BC美元$|-在无穷远处键入|$D_{\infty}:\bar\Lambda[x，x^{-1}]\rightarrow\bar \Lambda[x，x^{-1{]$|作为
\[D_{\infty}=\partial-\frac{1}{2} k个δ-\压裂{1}{2}压裂{x+1}{x-1}（1-t）-q\压裂{x^2+1}{x^2-1}（1-t）
(67)
其中推导|$\部分$|由定义|$\partial（x）=x，\partial p_l=l（x^l-x^｛-l｝），\，l\in\mathbb Z_｛\geq 0｝$|和同态|美元\bar\Lambda$|-模块|美元\ Delta$|和|$t（美元）$|由定义|$\增量\，（1）=0$|
\开始{align}\增量（x^l）&=（p_0-2l-1）x^l-2\sum_{j=1}^{l-1}x^｛l-2j｝-x^{-l}+2\和{j=1}^{l-1}pjx^{l-j}+p.l，\\增量（x^{-l}）&=-（p_0-2l-1）x^{-1}+2\和{j=1}^{l-1}x^{1-2j}+x^{l} -2个\和{j=1}^｛l-1｝p_jx^{-l+j}-p_{l}，\quad l>0，\\t（x）&=x^{-1}，\ quad t（p_l）=p_{lneneneep。\结束{对齐}
可以检查图表
\开始{数组}{ccc}\bar\Lambda[x，x^{-1}]&\stackrel{D_{infty}}{\longrightarrow}&\bar\Lambda[x，x^}]\\downarrow{\varphi_{i，N}}&&\downar罗W{\varphi_{i箭头}&\Lambda^W_{N}[x_i，x_i^{-1}]\end{array}
是可交换的，其中同态|$\varphi_{i，N}$|由定义|$\varphi_{i，N}（x）=x_i$|和
\[\varphi_{i，N}（p_l）=x_1^l+x_1^{-l}+\cdots+x_N^l+x_N^{-l}，\quad l\ge 0\]
（尤其是，|$p_0$|专门用于|$2N$|).
定义同态|$\bar\λ$|-模块|$E:\bar\Lambda[x，x^{-1}]\rightarrow\bar\Lambda$|通过
\[E（x^j）=p_{|j|}，\quad j\in\mathbb Z.]
CMS积分|BC美元$|-现在可以用公式定义无穷大的类型
\[\mathcal{L}^{（2r）}={\rm Res}\，E\circ D_{\infty}^{2r}，\]
(68)
哪里|${\rm Res}$|指限制|$\bar\Lambda$|。对于|$r=1$|我们有|BC美元$|无穷远处的算子
\开始{align}\mathcal L^{（2）}&=4\和{a，b\ge1}^{a-1}p_{a-2j}\右）\部分_a-p\和{a\ge2}\左（和{j=1}^｛2a-1｝p_{a-j}\右）\部分_a-2k\总和{a\ge2}\左（总和{j=1}^{a-1}p_{j} 第页_{a-j}\右）\部分_a，\结束{align}
(69)
像往常一样在哪里|$\partial_a=a\frac｛\partial｝｛\partial p_a｝$|我们使用了[23]
\[h=-kp0-\tfrac{1}{2} p-q值\]
并定义|$p_j:=p_{|j|}$|对所有人来说|$j\in\mathbb Z$|注意，与中公式的比较[23]这并不容易，因为那里的变量对应于中不变量的不同选择|$\Lambda^W_N：$|
\[p_l=\sum u_i^l，\quad u_i=\frac{1}{2}（x_i+x_i^{-1}-2).\]
现在简单考虑一下变形的|BC美元$|案例。相应的CMS操作员[21]在指数坐标中具有以下形式
\开始{align}H_{n，m}&=\sum_{i=1}^n\left（x_i\frac{\partial}{\partitlex_{i}}\right）^2+k\sum_j=1}^m\left_{i} -x个_{j} ）^2}+\压裂{8k（k+1）x_ix_j}{（x_{i} x个_{j} -1个)^2} \右）\\&\四元\\sum_{i\ltj}^{m}\左（分数{8（k^{-1}+1）y_iy_j}{（y_{i} -年_{j} ）^2}+\压裂{8（k^{-1}+1）y_iy_j}{（y_{i} y_j-1号)^2} \右）-\总和{i=1}^{n}\总和{j=1}^}m}\压裂{8（k+1）x_iy_j}{（x_{i} -年_{j} ）^2}\\&\四元\\sum_{i=1}^n\left（\frac{4p（p+2q+1）x_i}{y_j^2}{（y_j_2-1）^2}\右），\结束{对齐}
(70)
其中参数|$k、p、q、r、s$|满足关系
\[p=kr，\quad 2q+1=k（2s+1）。\]
(71)

如前所述定义|$x_{n+i}=y_i，\，i=1，\ldot，m$||$\部分_j=x_j\压裂{\部分}{\部分x_j}$|并介绍了多重函数|$\mu（i）=p，\，\nu（i）=q$|对于|$i=1，\ldots，n$|和|$\mu（i）=r，\，\nu（i）=s$|对于|$i=n+1，\ldot，n+m$|.

在这种情况下，量子Moser矩阵也具有块形式
\[L=\开始{pmatrix}A&B\\-B&-A\end{pmatrix}\]
具有以下功能|$（n+m）\次（n+m）$|矩阵|美元$|和|$B$|美元:
\[A{ii}=k^{p（i）}\部分_i，\四A{ij}=\分形{k^{1-p（j）}（x_i+x_j）}{2（x_i-x_j
(72)
\[B_{i}=\frac{k^{p（i）}\mu（i）（x_i+1）}{2（x_i-1）}+\frac}k^{p（i）{nu（i
(73)
变形CMS系统的交换量子积分(70)现在可以构造为
\[L^{（2l）}_{n，m}=e^*L^{2l}e，\]
(74)
和以前一样|$e=（1，\ldot，1）^{\rm T}$|和|$e^*_i=e^*_{n+m+i}=k^{-p（i）}$|对于|$i=1，\ldot，（n+m）$|.

可以检查规范变换后的这些积分是否与[21].

8结束语

我们已经证明了无穷远处的Dunkl算子如何导致量子Moser矩阵，以及与经典李超代数级数相关的变形CMS系统的可积性证明。对应的量子Moser矩阵的一个简单形式表明，对于与异常李超代数相关的变形CMS系统，可以猜测它[21]其可积性仍有待研究。（正如我们从Oleg Chalykh中学到的，至少在有理情况下，有一种相对简单的方法来证明所有变形CMS系统的可积性，包括例外CMS系统，使用有理Cherednik代数的理论[三].)

另一个悬而未决的问题是关于椭圆版本。椭圆Dunkl算子在[4]和用于构造椭圆CMS系统的积分[10]. 构造不像三角函数那样简单，并且涉及相应经典系统的积分。问题是我们论文的方法是否可以针对这种情况进行修改。

最后，理解我们在三角类型中无穷大量子CMS积分公式的精确关系是很有趣的|美元$|最近论文结果的案例[18]Nazarov和Sklyanin，他们引入的主要工具是周期量子Benjamin–Ono方程的量子Lax算符。（在本论文的第一个版本出现在ArXiv中之后，Evgeni Sklyanin告诉我们，他还与Maxim Nazarov一起提出了使用Dunkl算子技术构造无穷远CMS积分（三角型）的想法|美元$|案例）。）我们相信它们的积分（不依赖于|$p_0$|)只与稳定积分有关|$\mathcal美元{高}_{k} ^{（r）}$|来自我们最近的论文[28]，这是使用Polychronakos算子的无限维版本（而不是本文中使用的Dunkl–Heckman算子）构造的。之间的关系|$\mathcal美元{高}_{k} ^{（r）}$|和我们的量子CMS积分(37)非平凡（参见[28，第5节]）。还要注意三角函数|美元$|-类型case的特殊性在于，只有在这种情况下，依赖于参数|$p_0$|在无穷远处可以消除（参见[24]).

基金

这项工作得到了EPSRC的部分支持（授予EP/J00488X/1）。支付本文开放存取出版费用的资金由拉夫堡大学英国研究委员会（RCUK）Block Grant提供。

致谢

我们感谢O.A.Chalykh和M.V.Feigin的有益讨论，并感谢裁判的有益评论。A.N.S.感谢拉夫堡大学在2012-14秋季学期的盛情款待。

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作者注释

Igor Krichever沟通

©作者2015。牛津大学出版社出版。
这是一篇根据知识共享署名许可条款发布的开放存取文章(http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/)它允许在任何介质中不受限制地重用、分发和复制原始作品，前提是正确引用了原始作品。
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