<trans data-src="Solving polynomial systems via homotopy continuation and monodromy">利用同伦延拓和单值函数求解多项式系统

$例2.6中d=5度覆盖映射的纤维的边$e_{a}$和$e_}b}$诱导的两个部分对应。$

图。2

由边引起的两个部分对应|$e_{a}$|和|$e_{b}$|对于覆盖度图的纤维d日示例中=52.6.

图。三。

的图形花（4,2）战略和完整图形（5,1）.

在我们的算法中，我们记录并使用通信；然而，它们被视为第二类知识。特别是在第节3.2.4我们开发了由边势函数驱动的启发式算法，该算法寻求最大化新发现的解的数量，换句话说，以贪婪的方式扩展初级知识。

3.算法和策略

第节中列出的操作2.3在发现解决方案时给予很大的自由。然而，并非所有应用这些操作的策略都同样有效。我们区分静止的策略，其中图形在整个发现过程中是固定的（仅第节的基本操作12.3使用）和动态策略，其中可以添加顶点和边（操作2和3）。

3.1朴素的动态策略

要在我们的框架中可视化此策略，请跳到花图中的图形。三从顶点的种子溶液开始|$v_｛0｝$|并继续创建循环作为此图中的花瓣：例如，使用基本操作2和3创建|$v_{1}$|和两个边缘之间|$v_{0}$|和|$v_{1}$|，在中跟踪已知解决方案|$v_{0}$|沿着新花瓣寻找新的解决方案|$v_{0}$|然后“忘记”花瓣，在下一次迭代中创建一个全新的花瓣。

此策略填充光纤|$\pi^{-1}\左（F_{p_{0}}\右）$|，但有多快？假设由花瓣置换引起的置换|$\pi^{-1}\左（F_{p_{1}\右）$|均匀分布。那么对于第一个花瓣，找到新解的概率等于(d日− 1)/d日哪里|$d=\left|\pi^{-1}\left（F_{p_{1}}\right）\right|$|，这是很大的。但是，对于其他花瓣，在一条跟踪路径的末尾到达任何新的花瓣的概率会随着已知解集的增长而降低。

找到发现整个光纤的预期迭代次数（花瓣）相当于求解优惠券收集者问题。迭代次数为d⁄(d日)其中|$\ell（d）：={1\over 1}+{1\ over 2}+\cdots+{1\\over d}$|。的值ℓ(d日)可以看作函数的两个积分的上下和|$x\mapsto x^{-1}$|，通向边界|$\ln（d+1）\leq\ell（d）\leq \ln。同时跟踪花瓣上的所有已知点会带来更好的复杂性，因为不同的路径无法产生相同的解决方案。

我们注意到，现有的数值不可约分解在Bertini中的实现(贝茨等。, 2013)，PHC包(Verschelde，1999年)和数字代数几何用于Macaulay 2(莱金，2011年)使用单峰的是朴素动态策略的一个版本。

3.2静态图策略

事实证明，重用图的边是一个优势。在静态策略中，图是固定的，我们根据以下算法发现解决方案。

该算法可以通过多种方式进行专门化。我们可以

选择图形克,
指定停止标准停止,
选择一种策略来获取优势e（电子）==========================================================(j个,k个).

我们在第节中讨论第一选择3.2.1通过列出可以使用的几个图形布局。停车标准在第节中讨论3.2.2和节3.2.3，而选择边缘的策略在第节中讨论3.2.4.

备注3.2

我们注意到，如果停止标准从未满足，则算法跟踪的路径数3.1最多是d日|E类(克)|，其中d日是通用系统的解决方案数。

3.2.1两种静态图形布局

我们提出了两种用于静态策略的图形布局（图。三).

花朵（s，t）该图由中心节点|$v_{0}$|和秒附加顶点（花瓣数），每个顶点连接到|$v_｛0｝$|通过t吨边缘。
完整图形（s，t）图中有秒顶点。每对顶点通过以下方式连接t吨边缘。

3.2.2已知溶液计数时的停止标准

假设纤维的基数|$\pi^{-1}\左（F_{p}\右）$|对于的泛型值第页已知。那么，我们算法的一个自然停止准则是，当已知解集|$Q_{i}$|在任何节点我达到基数。特别是，对于具有固定单项式支持的一般稀疏系统，由于BKK界，我们可以依赖此停止准则(伯恩斯坦，1975年)可以通过混合体积计算。

3.2.3如果不知道溶液计数，则停止标准

对于静态策略，一个自然停止标准是饱和已知解沿所有边对应。在这种情况下，算法根本无法导出任何附加信息。考虑基于稳定。当在固定次数的迭代中没有发现新点时，算法终止。这避免了不必要的通信饱和。特别是，如果静态策略算法是Section的动态策略的一部分，那么这可能很有用3.3.

备注3.3

在某些情况下，可以使用痕迹试验(索梅塞等。,2002;莱金等。,2016). 当族中存在方程式时，这一点尤其有用|$F_{p}（x）=0$|它描述了参数空间中的一般超曲面，例如具有不确定系数的仿射线性方程。一般来说，可以将参数空间限制为通用线，从而将解的变化限制为曲线。现在，想想|$F_｛p｝（x）=0$|作为双齐次方程组第页和x个，可以使用多均匀跟踪测试(豪恩斯坦和罗德里格斯,2015;莱金等。,2016).

我们注意到，多同质跟踪测试的复杂性取决于解决方案变化的程度，这可能远远高于d日覆盖图，其中后者是本文主要问题的复杂性度量。例如，系统(7)对应于图中的反应网络。4有四个解决方案，但执行跟踪测试还需要另外一组11个点。请参见跟踪CRN.m2示例在(达夫等。).

3.2.4边缘选择策略

我们提出了两种选择边缘的方法e（电子）在算法中3.1默认为随机选择边和方向。一种更复杂的方法是根据选择的潜力选择边和方向，以提供新信息：参见示例中的讨论2.6.让|$e=v_｛i｝\overset｛（\gamma _｛1｝，\gamma _｛2｝）｝｛\overleftrightarrow｛\hphantom｛（\gamma _｛1｝，\gamma _｛2｝）｝｝｝v_｛j｝$|是从以下方向考虑的边缘|$v_{i}$|到|$v_{j}$|.

潜在下限等于使用最大起始点批跟踪选定同伦所保证发现的最小新点数|$S_{i}$|也就是说，它等于已知不匹配点的数量之差|$\左（|Q_{i}|-|C_{e}|\right）-\左（\left|Q_j}\right|-|C_{e{|\rift）=\left| Q_{i}\right |-\ left|Q_{j}\right|$|如果这个差值为正，否则为0。
电势E等于通过跟踪一个不匹配的点获得的新点的预期数量e（电子）这是比率|$d-|Q_{j}|\在d-|C_{e}上|$|所有未匹配点中未发现点的数量，如果|$\左|Q_{i}\右|-|C_{e}|>0$|否则为0。

请注意潜在E假设我们知道纤维的基数，而潜在下限不依赖于那条信息。

在我们的算法框架中，选择势有很大的自由度。上述两个势是自然的“贪婪”选择，易于描述和实现。从我们的实验中可以明显看出（第6.1.1)它们可能会以不同的顺序排列边，从而导致不同的性能。

3.3增量动态图策略

考虑一种动态策略，一旦上述“静态”标准之一终止Algorithm，该策略就相当于增加图形3.1用于当前图形。设计动态停止准则的一种简单方法，我们称之为动态稳定决定如何进行增强，并确定允许算法在不增加解数的情况下进行的增强步骤数。动态策略是从一个小图开始的，实现起来很简单克并在必要时进行补充。

我们强调，本小节和第节部分中描述的标准3.2.3是启发式的这样的设计有很大的自由度。在节中6.2我们成功地用一个静态稳定判据进行了实验，并给出了一些例子，其中的解数通常是未知的。

4.统计分析

图中的有向循环克起点和终点|$v_{1}$|给出基本群的元素|$\pi_{1}（B\set-D）$|，对应于单峰群的元素M（M）(克)单峰群|$M（\pi_{1}（B\set-D））$|。后者是|${\mathrm{S}}_{d}$|，其中|$d=\left|\pi^{-1}\left（F_{p_{1}}\right）\right|$|例如，如果|$G={\t完成图形}（2，j+1）$|然后j个边缘产生的循环|$e_{1}$|和|$e_{2}$|,|$e_{2}$|和|$e_{3}，\点，e_{j}$|和|$e_{j+1}$|足以生成M（M）(克). 最小数量j个生成所需的循环数M（M）(克)一般情况下是|$\beta_{1}（G）$|，第一个Betti数字克作为拓扑空间。

为了简化统计分析，我们假设选取一个随机装饰图克具有|$j=β{1}（G）$|诱导均匀独立分布排列|{\mathrm{S}}{d}$|中的$\sigma{1}、\ldots、\sigma{j}，其中|${\mathrm{S}}_{d}$|是作用在纤维上的对称群|$\pi^{-1}\左（F_{p_{1}}\右）$|。即使单峰群是完全对称群，在实践中也很难实现一致性：见第节5.1.

4.1传递作用的概率

假设解决方案的数量d日已知且停止(d日)表示相应的停止标准。我们的目标是分析通过算法生成完整解集的概率3.1或者，相当于

$${\t动态单值求解}（G，x_{1}，{\t停止（d）}，}增加）$$

最多在之后终止j个迭代，假设|$\beta_{1}（G）=j$|在j个第次迭代。这等于|$\langle\sigma_{1}、\ldots、\sigma_{j}范围$|过渡性行为，即。，|$\Pr\left[X_{d}\leqj\right]$|，其中|$X_{d}$|是随机变量

$$X_{d}=\displaystyle\inf\left\{i\in\mathbb{N}\mid\langle\sigma_{1}，\ldots，\sigma_{i}\rangle\textrm{是可传递的}\right\}\$$

什么时候？d日>1我们有|$\Pr[X_{d}=0]=0$|，同时|$\Pr[X_{d}=1]$|与d日-单峰群中的周期。当单值群是完全对称的时，我们可以计算并给出分布的渐近估计|$X_{d}$|以下定理是Dixon关于这种情况的结果的推广j个= 2. 我们在第节中给出的证据4.2遵循研究策略狄克逊（1969）.

定理4.1

对于j个≥ 2,|$\Pr\left[X_｛d｝\le j\right]=1-d ^｛1-j｝+R_｛j｝（d）$|其中错误项|$R_{j}$|满足|$\左|R_{j}（d）\右|=O\左（d^{-j}\右）$|.

备注4.2

作为推论，我们可以推断|$X_{d}$|是渐近有限的，并且|$\mathrm{E}\left[X_{d}\right]\到2$|作为|$d\to\infty$|表中的数值近似值1向大家展示|$\mathrm{E}\左[X_{d}\右]\leq 2.1033$|为所有人d日此外，第节中的证明4.2意味着|$\左|R_{j}（d）\右|<C\左（{d\over 2}\右）^{-j}$|使用常量C类不依赖于j个因此，|$\Pr\left[X_{d}>j\right]$|指数衰减j个.

在理想主义假设下，图中的新循环导致纤维的独立和均匀分布排列|$Q_{1}$|算法中完成所需的预期Betti数3.4最多为2.1033。如果我们假设加强通过最多添加固定数量的边，将Betti数增加一预期的跟踪路径数在中是线性的d日.

备注4.3

我们指出了这一点鲍鲍伊(1989)证明了Dixon的猜想，即|${\mathrm{S}}_{d}$|由两个随机排列生成的是|${\mathrm{S}}_{d}$|或|${\mathrm{A}}_{d}$|有概率的|$1-d^{-1}+O\左（d^{-2}\右）$|这表明其他亚组很少见。然而，很容易用既不是完全对称也不是交替的传递单值群来构造家庭。例如，以|${x{1}^{2}}-c_{1}={x{2}^{2]}-c_{2}=0$|具有不可约解的多样性，以及|$c_{1}$|和|$c_{2}$|.使用相同的解决方案跟踪两个解决方案|$x{1}$|坐标，作为|$c_{1}$|和|$c_{2}$|变化时，跟踪路径上的移动点将继续具有相等的投影|$x_{1}$|。单峰群为|${\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z{}_{2]$|.

我们重申，单频群的生成器是未知的先验的。计算它们的成本可能高得令人望而却步，而且我们的算法选取单峰群元素的概率分布未知，因为分析起来非常困难。

4.2狄克逊定理推广的证明

修正任意整数j个≥ 2. 我们希望证明定理4.1通过估算数量

$$t_{d}=\Pr\left[\langle\sigma_{1}，\sigma_{2}，\ ldots，\simma_{j}\rangle\textrm{是传递的}\right]\$$

哪里|$\sigma_{1}、\ldots、\sigma _{j}$|独立且均匀分布于|${\mathrm{S}}_{d}$|.假设我们划分集合{1，2，d日}以这样的方式|$k{i}$|尺寸等级我每1≤我≤d日。所有这样的分区方案都由集合索引

$$K_{d}={mathbb{N}}^{d}\left|\\sum\right中的\left\{vec{K}。i\，k{i}=d\right\}\$$

每个分区对应的分区数|k_{d}中的$\vec{k}\$|是|$｛d！｝/\big（\！\prod_｛i=1｝^｛d｝（i！\！）^｛k_{i｝｝\cdotk_{i｝！\！\大）$|对于每个|$\vec{k}\在k_{d}中$|由轨道给出的划分|$\langle\sigma_{1}、\ldots、\sigma_{j}范围$|是|$\vec｛k｝$|-当该组在与|$\vec{k}$|中的元组数|${S_{i}^{j}}$|坐标生成传递作用于的组|$\{1，\点，i\}$|是|$t_{i}\，\左（i！\！\右）^{j}$|因此，我们可以计算集合|$\下大括号{{\mathrm{S}}_{d}\times\cdots\times{\mathm{S}{d}}{j}$|作为

\在k{d}}\displaystyle\frac{d！}{\prod_{i=1}^{d}（i！\！）\cdot\displaystyle\prod_{i=1}^{d}\big（t_{i}\左（i！\！\右）^{j}\大）^{k{i}\\[-2pt]&=d！\cdot\displaystyle\sum_{\vec{k}\在k{d}\显示样式\prod\i=1}^{d}\displaytyle\frac{\left（t_{i}\，（i！\！）^{j-1}\ right）^{k{i}}{k{i}}{i}！}中。\结束{align*}

让|$\widehat{F}$|表示序列的生成函数|$F（d）=（d！\！）^{j-1}$|注意形式标识

$$\exp\left（\displaystyle\sum_｛i=0｝^｛\infty｝y_｛i｝x^｛i｝\right）=\displaystyle\sum_｛d=0｝^｛\infty｝x^｛d｝\，\sum_｛\vec｛k｝\在k_｛d｝｝\prod_｛i=1｝^｛d｝\frac｛y_｛i｝^｛k_｛i｝｝｝｝｝｛k_｛i｝！｝中$$

接下来是出租克(x个)将右手边表示为形式幂级数x个,|$f（x）=\总和y_{i}x^{i}$|并注意等效形式f′g（千克）=g′具有|$f（0）=y_{0}$|我们有

\开始{align*}\displaystyle\sum{d=1}^{\infty}d\cdot（d！\！）^{j-1}\，x^{d-1}&=\frac{d}{dx}\，\widehat{F}（x）\\&=\frac{d{d}\，\ exp\ left右）\\&=\左（显示样式\sum_{d=0}^{infty}（d，（i！\！）^{j-1}x^{i-1}\\&=\显示样式\sum_{d^{prime}=1}^{\infty}x^}d^{prime}-1}\，\left（\displaystyle\sum_1}^{d^\\prime}}i\cdot t_{i}\，\ big（i！\cdot\left）（d^{\prime}-i\right）！\大）^{j-1}\右）\！，\结束{align*}

其中第一个方程后面是幂级数的形式微分|$\widehat{F}$|，上述两个恒等式中的第二个，其值已正确替换为|$y_{i}$|第三，应用链式法则和|$\宽帽｛F｝$|第四种是通过指数替换重新排列术语|$d^{\prime}=i+d$|.在等式系数|$x^{d-1}$|对于|$d=1，\点$|我们获得

\开始{方程式}d=\displaystyle\sum{i=1}^{d}\binom{d}{i}^{1-j}\，i\，t{i}。\结束{方程式}

(4.1)

表1

数值近似值|$t_{d}$|-概率j个随机排列对大小纤维的传递作用d日对于j个= 2, 3, 4. 计算较大值后j个，的数值近似值|$\mathrm{E}\左[X_{d}\右]$|已提取

d日	j个= 2	j个= 3	j个= 4	\|$\mathrm{E}\左[X_{d}\右]$\|
1	1	1	1	0
2	0.75	0.875	0.9375	2
三	0.72222222	0.89814815	0.96450617	2.10000000
4	0.73958333	0.93012153	0.98262080	2.10329381
5	0.76833333	0.95334722	0.99115752	2.08926525
10	0.88180398	0.98954768	0.99898972	2.02976996
20	0.94674288	0.99747856	0.99987487	2.00591026
30	0.96536852	0.99888488	0.99996295	2.00245160

d日	j个= 2	j个= 3	j个= 4	\|$\mathrm{E}\左[X_{d}\右]$\|
1	1	1	1	0
2	0.75	0.875	0.9375	2
三	0.72222222	0.89814815	0.96450617	2.10000000
4	0.73958333	0.93012153	0.98262080	2.10329381
5	0.76833333	0.95334722	0.99115752	2.08926525
10	0.88180398	0.98954768	0.99898972	2.02976996
20	0.94674288	0.99747856	0.99987487	2.00591026
30	0.96536852	0.99888488	0.99996295	2.00245160

表1

数值近似值|$t_{d}$|-概率j个随机排列对大小纤维的传递作用d日对于j个= 2, 3, 4. 计算较大值后j个，的数值近似值|$\mathrm{E}\左[X_{d}\右]$|被提取

d日	j个= 2	j个= 3	j个= 4	\|$\mathrm{E}\左[X_{d}\右]$\|
1	1	1	1	0
2	0.75	0.875	0.9375	2
三	0.72222222	0.89814815	0.96450617	2.10000000
4	0.73958333	0.93012153	0.98262080	2.10329381
5	0.76833333	0.95334722	0.99115752	2.08926525
10	0.88180398	0.98954768	0.99898972	2.02976996
20	0.94674288	0.99747856	0.99987487	2.00591026
30	0.96536852	0.99888488	0.99996295	2.00245160

d日	j个= 2	j个= 3	j个= 4	\|$\mathrm{E}\左[X_{d}\右]$\|
1	1	1	1	0
2	0.75	0.875	0.9375	2
三	0.72222222	0.89814815	0.96450617	2.10000000
4	0.73958333	0.93012153	0.98262080	2.10329381
5	0.76833333	0.95334722	0.99115752	2.08926525
10	0.88180398	0.98954768	0.99898972	2.02976996
20	0.94674288	0.99747856	0.99987487	2.00591026
30	0.96536852	0.99888488	0.99996295	2.00245160

备注4.4

方程式(1)给出了概率的线性方程列表|$t_{1}，t_{2}，\点$|允许我们通过向后替换连续地确定这些值。在表中1我们列出了一些解决方案j个= 2, 3, 4.

完成定理证明4.1，正如Dixon的证明一样，我们引入了辅助量

\开始{方程式*}r{d}=d\，\左（1-t{d}\右）\\textrm{和}\\c{d}=显示样式\sum{i=1}^{d-1}\binom{d}{i}^{1-j}\，i。\结束{方程式*}

注意到|$\binom{d}{i}^{1-j}i+\binom{d}{d-i}^{1-j}（d-i）={d\over2}\左，我们有

\开始{align}{c{d}\在d}=\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\sum_{i=1}^{d-1}\binom{d}{i}^{1-j}&=d^{1-j}+\左[\binom}{d}}{2{1-j{+\frac}{1}{2}\显示样式\sum_i=3}^{d3}\binom{d}{d}+\右]\nonnumber \\&\leq d^{1-j}+\left[\binom{d}{2}^{1-j}+\frac{1}{2{（d-5）\binom}{3}^{1-j}\right]\！。\结束{对齐}

(4.2)

发件人j个≥2，则括号内的表达式(2)是|$O\左（d^{-j}\右）$|使用(1),|$t_{i}=1-{r{i}\在i}\leq1-{r{i}\在d}上$|以及|$c_{d}$|我们可以绑定|$r_{d}$|:

\开始{align*}r{d}&=d（1-t{d}）=-dt_{d}+d=-dt_d}+\显示样式\sum_{i=1}^{d}\binom{d}{i}^{1-j}\，i\cdot t_{i}\\&=\显示样式\sum_{i=1}^{d-1}\binom{d}\显示样式\sum_{i=1}^{d-1}\binom{d}{i}^{1-j}\，i\cdot\left（1-{r_{i}\over d}\right）\nonumber\\&=\sum_{i=1}^{d_1}\binom{d}\i}^{1-j}i-｛1\over d｝\displaystyle\sum_｛i=1｝^｛d-1｝r_｛i｝\，\binom｛d｝｛i｝^｛1-j｝=c｛d｝-｛1\over d｝\displaystyle\sum_｛i=1｝^｛d-1｝r_｛i｝\，\binom｛d｝｛i｝^｛1-j｝\leq c｛d｝。\结束{align*}

(3) (4)

绑定错误术语|$R_{j}（d）：=t_{d}-\左（1-d^{1-j}\右）$|，我们首先考虑其符号为正的情况。扩大|$t_｛d｝=1-｛r_｛d｝\超过d｝$|使用上面的（3）和|$i\，t_{i}=i-{r{i}$|,

\开始{align*}t{d}-\big（1-d^{1-j}\big）&=1-\sum{i=1}^{d-1}\binom{d}{i}^{1-j}{it{i}\over d}-1+d^{1j}=d^{1-j}-\sum{i=1}^{d-1}\binom{d}{i}^{1-j}{it{i}\over d}\\&=d^{1-j}-\sum_{i=1}^{d-1}\binom{d}{i}^{1-j}{i\over d}+\sum_{i=1}^{d1}\biom{d{i}^{1-j}{r{i}\over d}\\&=\下大括号{d^{1-j}-d^{1-j}\左（{1\over-d}+{d-1\over d}\右）}_{=0}\，-\，\sum_{i=2}^{d-2}\binom{d}{i}^{1-j{i\ over-d{\，+\，\sum_{i=1}^{d\binom{d\{i}，\end{align*}

我们可以专注于最后一个求和d日≥ 2,

\开始{align*}t{d}-\big（1-d^{1-j}\big）和\leqd^{1j}{r{d-1}\在d-1}+\sum_{i=2}^{d-2}\binom{d}{i}^{1-j}{r}\在d}\qquad\qquad（\text{note}r{1}=0）{i=2}^{d-2}\binom{d}{2}^{1-j}{c{i}\over d}\qquad\qquad（text{by}（4）），\sum_{i=2}^{d-2}{c_{i}\over i}\\&=O\big（d^{2-2j}\big）+O\bigh（d^}（2-2j）+（2-j）}\bigh）\\&=O \big。\qquad\qquad\\qquad_qquad（\text{since}j\geq2）\end{align*}

案例中|$R_{j}（d）\le 0$|可以类似地处理，使用|$t_{d}=1-{r{d}\超过d}$|,|$r_{d}\leqc_{d{$|以及我们对中括号内容的了解(2).

\开始{align*}-t{d}+big（1-d^{1-j}\big）&=-\left（1-{r{d}\over d}\right）+\big（1-d^{1j}\big）={r{d}\overd}-d^{1-j}\leq{c{d}\ over d{-d^{-j}d-5）\binom{d}{3}^{1-j}\right]=O\big（d^{-j}\big）。\结束{align*}

5.实施

我们执行该包MonodromySolver公司在麦考莱2(格雷森和斯蒂尔曼)使用包的功能数字代数几何(莱金，2011年). 下一节实验中使用的源代码和示例可在达夫等。

主要功能单值解算实现算法3.1和3.4，请参阅文档以了解详细信息和许多选项。然而，在我们的实验中，同伦路径的跟踪是使用Macaulay2内核中实现的本机例程执行的，数字代数几何提供了将这一核心任务外包给替代跟踪器（PHCpack或Bertini）的能力。主要辅助功能-创建种子对,SpareSystem系列,稀疏单峰解算和解算器系统族-是为了简化用户体验。最后两个是黑箱例程，它们不需要了解本文描述的框架。

与跟踪路径的成本相比，管理数据结构的开销应该可以忽略不计。然而，由于我们的实现将Macaulay2的解释语言用于其他任务，因此该开销可能很大（对于第节中的大型示例，该开销可能高达10%6). 然而，我们的大多数实验都集中在测量跟踪的路径数作为计算复杂性的代理。

备注5.1

本文主要讨论具有非空主导分量的线性参数系统。然而，该实现适用于我们的框架可以应用的其他情况。

例如，如果系统在参数上是线性的，但没有主导分量，那么仍然可能有一个唯一的“感兴趣的分量”，它可以直接生成种子对。例如，在发现变化程度的问题上就是这样|${\mathop{SO}}（n）$|，我们在表中使用7.要点x个仅限于|${\mathop{SO}}（n）$|，特殊的正交群，作为一个变种是不可约的。这导致解决方案种类中有一个独特的“感兴趣的组件”，即投影到的组件|$｛\mathop｛SO｝｝（n）$|，查看研究勃兰特等。(2017)了解详细信息。

在参数非线性系统的更一般情况下，仍然可以使用我们的软件。我们概述了需要在第4节中考虑的理论问题7.

5.1随机化

在整篇文章中，我们提到随机的，随机的我们做出的选择避免了各种非遗传位点。为了实现目的，我们做出了简单的选择。例如，图形的顶点均匀分布在基础空间的立方体中，但种子顶点除外：创建种子对挑选|$（p_{0}，x_{0{）在B\times{\mathbb{C}}^{n}中$|通过选择x个在立方体中一致，然后选择|$p_{0}$|在子空间的盒子中一致|$\左\{p\mid F_{p}（x）=0\右\}$|.

概率分布的选择B类转化为对称群上的一些（离散的）分布|${\mathrm{S}}_{d}$|然而，这简直太难分析了，实际上没有这方面的研究。我们在|${\mathrm{S}}_{d}$|为了进行第节中的理论分析4，并照亮为什么？我们的框架运行良好。在研究中，有一个有趣的、更为复杂的替代方案Galligo&Poteaux（2011年）和Galligo和Miclo（2012年）这取决于案件中的直觉n个= 1.

5.2溶液计数

通过混合体积计算的BKK界限在章节中的稀疏系统示例中用作解决方案计数6.1.1和6.1.2在后者中，我们通过涉及永久物的闭合公式计算混合体积，而前者依赖于几个软件包中实现的通用算法。我们当前的实施使用PHCpack(Verschelde，1999年)，其中包含了在Hom4PS-2中进一步开发的MixedVol的例程(李等。, 2008). 其他替代方案是pss5(Malajovich，2017年)和Gfanlib(Jensen，2016年). 虽然有些实现是随机的，但后者使用符号扰动来实现精确性。混合体积的计算为不我们算法中的一个瓶颈。与其他计算相比，该预处理阶段所花费的时间可以忽略不计。

5.3认证

读者应该意识到，我们使用的数字同伦延拓部分是由启发式驱动的。作为后处理步骤，我们可以证明（即正式证明）用我们的主方法计算的多项式系统的解集的完整性和正确性。在以下情况下，这是可能的

参数系统是方形的，
所有解都是正则的（系统的雅可比矩阵是可逆的），并且
溶液计数已知。

我们可以用斯梅尔的|$\阿尔法$|-理论(布鲁姆等。1998年，第8节），以证明平方系正则解的近似。在Macaulay 2软件包中数字认证，我们实现了|$\阿尔法$|-测试在找到近似解以证明我们的解是近似零在严格意义上。

的主要功能之一数字认证是证书解决方案，它确定给定解是否是给定多项式系统的近似零。它还生成了近似值到与其关联的精确解之间距离的上限。

请参见纸质示例/示例-NashCertificaty.m2在(达夫等。)，这是一个示例|$\阿尔法$|-测试第节所述问题的解决方案6.1.2在认证实施中，所有算术和线性代数运算都是在高斯有理数域上进行的，|${mathbb{Q}}[{mathbf{i}]/\big（{mathbf{i}}^{2}+1\big）$|为了使用这种证明方法，我们首先将系统的系数转换为高斯有理数，然后用数字进行证明。查看研究Hauenstein&Sottile（2012）对于单机软件包alpha认证以及详细的实施说明。

6.实验

在本节中，我们首先在第节中报告了我们的实现和各种示例的实验6.1和6.2.然后我们调查算法的完成率3.1在第节中6.3最后，我们与第节中的其他软件进行了比较6.4.

表2

循环7实验结果花策略

（#vertices-1，边缘多重性）	(3,2)	(4,2)	(5,2)	(3,3)	(4,3)
\|E类(克)\|	6	8	10	9	12
\|$\beta_{1}（G）$\|	三	4	5	6	8
\|E类(克)\|·924	5544	7392	9240	8316	11088
完成率	100%	100%	100%	100%	100%
随机边（Random Edge）	5119	6341	7544	6100	7067
潜在下限	5252	6738	8086	6242	7886
电势E	4551	5626	6355	4698	5674

（#vertices-1，边缘多重性）	(3,2)	(4,2)	（5.2）	(3,3)	(4,3)
\|E类(克)\|	6	8	10	9	12
\|$\beta_{1}（G）$\|	三	4	5	6	8
\|E类(克)\| ⋅ 924	5544	7392	9240	8316	11088
完成率	100%	100%	100%	100%	100%
随机边（Random Edge）	5119	6341	7544	6100	7067
潜在下限	5252	6738	8086	6242	7886
电势E	4551	5626	6355	4698	5674

表2

循环7实验结果花策略

（#vertices-1，边缘多重性）	(3,2)	(4,2)	(5,2)	(3,3)	(4,3)
\|E类(克)\|	6	8	10	9	12
\|$\beta_{1}（G）$\|	三	4	5	6	8
\|E类(克)\| ⋅ 924	5544	7392	9240	8316	11088
完成率	100%	100%	100%	100%	100%
随机边（Random Edge）	5119	6341	7544	6100	7067
潜在下限	5252	6738	8086	6242	7886
电势E	4551	5626	6355	4698	5674

（#vertices-1，边缘多重性）	（3.2）	(4,2)	(5,2)	(3,3)	(4,3)
\|E类(克)\|	6	8	10	9	12
\|$\β_｛1｝（G）$\|	三	4	5	6	8
\|E类(克)\| ⋅ 924	5544	7392	9240	8316	11088
完成率	100%	100%	100%	100%	100%
随机边（Random Edge）	5119	6341	7544	6100	7067
潜在下限	5252	6738	8086	6242	7886
电势E	4551	5626	6355	4698	5674

表三

循环7实验结果完成图形策略

（#顶点，边多重性）	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(3,2)	(4,1)
\|E类(克)\|	三	4	5	6	6
\|$\beta_{1}（G）$\|	2	三	4	4	三
\|E类(克)\| ⋅ 924	2772	3698	4620	5544	5544
完成率	65%	80%	90%	100%	100%
随机边	2728	3296	3947	4805	5165
潜在下限	2727	3394	3821	4688	5140
电势E	2692	2964	2957	3886	4380

（#顶点，边多重性）	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(3,2)	（4，1）
\|E类(克)\|	三	4	5	6	6
\|$\beta_{1}（G）$\|	2	三	4	4	三
\|E类(克)\| ⋅ 924	2772	3698	4620	5544	5544
完成率	65%	80%	90%	100%	100%
随机边（Random Edge）	2728	3296	3947	4805	5165
潜在下限	2727	3394	3821	4688	5140
电势E	2692	2964	2957	3886	4380

表三

循环7实验结果完成图形策略

（#顶点，边多重性）	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(3,2)	(4,1)
\|E类(克)\|	三	4	5	6	6
\|$\beta_{1}（G）$\|	2	三	4	4	三
\|E类(克)\| ⋅ 924	2772	3698	4620	5544	5544
完工率	65%	80%	90%	100%	100%
随机边（Random Edge）	2728	3296	3947	4805	5165
潜在下限	2727	3394	3821	4688	5140
电势E	2692	2964	2957	3886	4380

（#顶点，边多重性）	(2,3)	(2,4)	（2,5）	(3,2)	(4,1)
\|E类(克)\|	三	4	5	6	6
\|$\beta_{1}（G）$\|	2	三	4	4	三
\|E类(克)\|·924	2772	3698	4620	5544	5544
完成率	65%	80%	90%	100%	100%
随机边（Random Edge）	2728	3296	3947	4805	5165
潜在下限	2727	3394	3821	4688	5140
电势E	2692	2964	2957	3886	4380

6.1稀疏多项式系统

本小节中的示例族具有这样的特性：方程的支持是固定的，而系数可以自由变化，只要它们是通用的。我们运行静态图策略算法3.1在这些例子中。我们的时间不包括|$\阿尔法$|-试验，仅适用于第节6.1.2.

6.1.1循环根

循环n个-根多项式系统是

\开始{等式}\begin{cases}i=1,2,3,4，\ldots，n-1:\displaystyle\sum{j=0}^{n-1}~\prod\k=j}^{j+i-1}x{k~\textrm{mod}~n}=0\\x_{0}x_{1} x个_{2} \cdots x_{n-1}-1=0。\结束{cases}\结束{equation}

（6.1）

此系统通常用于对多项式系统解算器进行基准测试。我们将研究具有随机系数的修正系统，并在中寻求解决方案|$（{\mathbb{C}}\setminus\{0\}）^{n}$|因此，溶液计数可以计算为左侧牛顿多边形的混合体积，提供了第节中讨论的自然停止标准3.2.2对于环7，这个界限是924。

桌子2和三包含运行20次算法试验的实验数据平均值3.1循环7。报告的主要度量是跟踪的平均路径数，因为我们算法的工作单位是跟踪单个同伦路径。实验采用了10种不同的图形布局和三种边缘选择策略。

关于跟踪的路径数，我们发现保持较高的Betti数和较低的边缘数是一个优势。

备注6.1

计算预期成功率（>99%)使用备注4.4，我们得出结论，得到的排列不符合从|$S_{924}$|完成率取决于策略的选择（比较表2至表三). 然而，在理论上（假设均匀分布，如第4)在实践中（我们不知道分布），完成率确实收敛到100%随着贝蒂数的增长而迅速增长。

6.1.2纳什均衡

半混合多齐次系统是在博弈论中寻找所有完全混合纳什均衡（TMNE）时产生的。使用矩阵恒量对混合体积进行专门化，给出了TMNE问题引起的系统根计数的简明公式(Emiris和Vidunas，2014年). 根据以下研究，我们概述了此类系统是如何构建的Emiris&Vidunas（2014）。假设有N个玩家米每个选项。对于玩家我∈ {1, … ,N个}使用选项j个∈ {1, … ,米}我们有这个等式|$P_{j}^{（i）}=0$|，其中

\开始{align}\begin{aligned}P_{j}^{（i）}=\sum_{\子堆栈{k_{1}，\ldots，k_{i-1}P_{k{2}}^{（2）}\cdots P_{k-{i-1}}^}{（i-1）}P_{k{i+1}}^{。\结束{aligned}\end{align}

(6.2)

参数|$a^{（i）}_{k{1}，k{2}，\ldots，k{N}}$|球员的报酬率是多少我当玩家|$1，\ldot，i-1，i+1，\ldots，N$|正在使用选项|$k_{1}，\ldots，k_{i-1}分别是。未知因素在这里|$p^{（i）}_{k{j}}$|，表示玩家我将使用选项|$k_{j}\in\{1，\ldots，m\}$|每个参与者的概率都有一个限制我∈ {1, …,N个}，即条件

\开始{align}p{1}^{（i）}+p{2}^{（i）{+\cdots+p{m}^{i）}=1。\结束{对齐}

(6.3)

系统(4)包括N个⋅米中的方程式N个⋅米未知数。使用条件(5)将未知数减少到N个(米− 1). 最后，我们消除了|$P_｛j｝^｛（i）｝$|通过构造

\开始{对齐}P_{1}^{（i）}=P_{2}^{（i）{，~P_{1\^{。\结束{对齐}

(6.4)

最后一个系统是一个平方系统N个(米−1）方程式N个(米−1）未知。

对于我们的一个示例(纸张示例/示例-Nash.m2在(达夫等。))，我们选择了这种形式的通用系统N个=3名球员米=每个选项3个。结果是一个由六个未知项中的六个方程和81个参数以及10个解组成的系统。我们还使用此示例来证明这些解决方案可以使用数字认证（第节5.3).

6.2化学反应网络

一系列有趣的例子来自化学反应网络理论。根据质量作用动力学定律考虑的化学反应网络导致一个动力学多项式系统，其解代表给定反应网络的所有平衡(麦克莱恩等。, 2015;总量等。, 2016). 这些多项式系统不是一般稀疏的，我们无法轻松计算它们的根数。在我们的实验中，我们使用了稳定停止准则，在固定次数的迭代后终止算法，这些迭代不会产生新的点；默认值是10次无结果的迭代。

图4给出了一个小型化学反应网络的示例。

图。4

化学反应网络示例。

将质量作用动力学定律应用于上述反应网络，我们得到多项式系统(7)由相应的稳态方程和守恒方程组成。这里是|$k{i}$|s代表反应速率，|$x{i}$|s代表物种浓度|$c_{i}$|s是参数。

\开始{align}\begin{aligned}\dot{x{A}&=k{1}{x{B}^{2}}-k_{2} x个_{A} -k个_{3} x个_{A} x_{C} +千_{4} x_{D} +k个_{5} x个_{B} x个_{E} \\dot{x_{B}}&=2k_{1} x个_{A} -2千_{2} {x_{B}^{2}}+k_{4} x个_{D} -k个_{5} x个_{B} x个_{E} \\dot{x_{C}}&=-k_{3} x个_{A} x_{C} +k个_{4} x个_{D} +k个_{5} x个_{B} x_{E} \\dot{x_{D}}&=k_{3} x个_{A} x个_{C}（C）-（k_{4}+k_{6}）x_{D}\\dot{x_{E}}&=-k_{5} x个_{B} x个_{E} +k个_{6} x个_{D} \\0&=2x_{A}+x_{B} -x个_{C} +x个_{D} -c_{1} \\0&=-2x_{A} -x个_{B} +2x_{C}+x_{E} -c_{2}. \结束{aligned}\end{align}

(6.5)

通常，由化学反应网络产生的系统将被过度确定。在当前的实现中，需要要么使系统平方，要么使用支持在超定系统空间中跟踪同伦的同伦跟踪器。

表4

桂树-(n个−1）用于花策略

		（#vertices-1，边缘多重性）
n个	BKK绑定	(3,2)	(4,2)	(5,2)	(3,3)	(4,3)
		\|$\beta_{1}=3$\|	\|$\beta_{1}=4$\|	\|$\β_｛1｝=5$\|	\|$\beta_{1}=6$\|	\|$\beta_{1}=8$\|
5	12	96.4%	99.4%	99.6%	100%	99.8%
6	30	98.6%	100%	99.8%	100%	99.6%
7	54	97.6%	98.8%	99.4%	99.4%	98.4%
8	126	99.2%	99.8%	99.6%	99.8%	99.8%
9	240	98.8%	99.6%	98.4%	98.4%	98.6%
10	504	98.6%	98.8%	99.2%	99.4%	98.8%

		（#vertices-1，边缘多重性）
n个	BKK绑定	(3,2)	(4,2)	(5,2)	(3,3)	(4,3)
		\|$\β_｛1｝=3$\|	\|$\beta_{1}=4$\|	\|$\beta_{1}=5$\|	\|$\beta_{1}=6$\|	\|$\beta_{1}=8$\|
5	12	96.4%	99.4%	99.6%	100%	99.8%
6	30	98.6%	100%	99.8%	100%	99.6%
7	54	97.6%	98.8%	99.4%	99.4%	98.4%
8	126	99.2%	99.8%	99.6%	99.8%	99.8%
9	240	98.8%	99.6%	98.4%	98.4%	98.6%
10	504	98.6%	98.8%	99.2%	99.4%	98.8%

表4

桂树-(n个−1）用于花策略

		（#vertices-1，边缘多重性）
n个	BKK绑定	(3,2)	(4,2)	(5,2)	(3,3)	(4,3)
		\|$\beta_{1}=3$\|	\|$\beta_{1}=4$\|	\|$\beta_{1}=5$\|	\|$\beta_{1}=6$\|	\|$\beta_{1}=8$\|
5	12	96.4%	99.4%	99.6%	100%	99.8%
6	30	98.6%	100%	99.8%	100%	99.6%
7	54	97.6%	98.8%	99.4%	99.4%	98.4%
8	126	99.2%	99.8%	99.6%	99.8%	99.8%
9	240	98.8%	99.6%	98.4%	98.4%	98.6%
10	504	98.6%	98.8%	99.2%	99.4%	98.8%

		（#vertices-1，边缘多重性）
n个	BKK绑定	(3,2)	(4,2)	(5,2)	(3,3)	(4,3)
		\|$\beta_{1}=3$\|	\|$\beta_{1}=4$\|	\|$\beta_{1}=5$\|	\|$\beta_{1}=6$\|	\|$\β_｛1｝=8$\|
5	12	96.4%	99.4%	99.6%	100%	99.8%
6	30	98.6%	100%	99.8%	100%	99.6%
7	54	97.6%	98.8%	99.4%	99.4%	98.4%
8	126	99.2%	99.8%	99.6%	99.8%	99.8%
9	240	98.8%	99.6%	98.4%	98.4%	98.6%
10	504	98.6%	98.8%	99.2%	99.4%	98.8%

尽管我们可能会获得大型系统，但与稀疏情况相比，它们的根计数通常非常低。多项式系统(7)有四种解决方案。一个更大的例子是WNT信号通路来自系统生物学(总量等。, 2016)由19个多项式方程和9个解组成。使用Algorithm在不到一秒钟的时间内获得所有九个解3.1.

表5

桂-(n个−1）用于完成图形策略

		（#顶点，边多重性）
n个	BKK绑定	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(3,2)	(4,1)
		\|$\beta_{1}=2$\|	\|$\beta_{1}=3$\|	\|$\beta_{1}=4$\|	\|$\beta_{1}=4$\|	\|$\beta_{1}=3$\|
5	12	65.6%	88.2%	95%	99.2%	98%
6	30	77.4%	95.2%	99%	99.8%	99.6%
7	54	74.4%	96.2%	99.2%	99.6%	99.8%
8	126	81.8%	97%	99.2%	100%	99.8%
9	240	85.2%	97.6%	99.4%	99%	98.2%
10	504	89.2%	98.2%	99.2%	99.4%	99%

		（#顶点，边多重性）
n个	BKK绑定	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(3,2)	(4,1)
		\|$\beta_{1}=2$\|	\|$\beta_{1}=3$\|	\|$\beta_{1}=4$\|	\|$\β_｛1｝=4$\|	\|$\beta_{1}=3$\|
5	12	65.6%	88.2%	95%	99.2%	98%
6	30	77.4%	95.2%	99%	99.8%	99.6%
7	54	74.4%	96.2%	99.2%	99.6%	99.8%
8	126	81.8%	97%	99.2%	100%	99.8%
9	240	85.2%	97.6%	99.4%	99%	98.2%
10	504	89.2%	98.2%	99.2%	99.4%	99%

表5

桂树-(n个−1）用于完成图形策略

		（#顶点，边多重性）
n个	BKK绑定	(2,3)	（2，4）	(2,5)	(3,2)	(4,1)
		\|$\beta_{1}=2$\|	\|$\beta_{1}=3$\|	\|$\beta_{1}=4$\|	\|$\beta_{1}=4$\|	\|$\beta_{1}=3$\|
5	12	65.6%	88.2%	95%	99.2%	98%
6	30	77.4%	95.2%	99%	99.8%	99.6%
7	54	74.4%	96.2%	99.2%	99.6%	99.8%
8	126	81.8%	97%	99.2%	100%	99.8%
9	240	85.2%	97.6%	99.4%	99%	98.2%
10	504	89.2%	98.2%	99.2%	99.4%	99%

		（#顶点，边多重性）
n个	BKK绑定	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(3,2)	(4,1)
		\|$\beta_{1}=2$\|	\|$\beta_{1}=3$\|	\|$\beta_{1}=4$\|	\|$\beta_{1}=4$\|	\|$\β_｛1｝=3$\|
5	12	65.6%	88.2%	95%	99.2%	98%
6	30	77.4%	95.2%	99%	99.8%	99.6%
7	54	74.4%	96.2%	99.2%	99.6%	99.8%
8	126	81.8%	97%	99.2%	100%	99.8%
9	240	85.2%	97.6%	99.4%	99%	98.2%
10	504	89.2%	98.2%	99.2%	99.4%	99%

表6

假定排列均匀分布和全单值群的四舍五入期望成功概率

d日	\|$\β_｛1｝=2$\|	\|$\beta_{1}=3$\|	\|$\beta_{1}\geq 4$\|
12	90.5%	99.3%	100.0%
30	96.5%	99.9%	100.0%
54	98.1%	100.0%	100.0%
126	99.2%	100.0%	100.0%
240	99.6%	100.0%	100.0%
504	99.8%	100.0%	100.0%

表6

假定排列均匀分布和全单值群的四舍五入期望成功概率

d日	\|$\beta_{1}=2$\|	\|$\beta_{1}=3$\|	\|$\beta_{1}\geq 4$\|
12	90.5%	99.3%	100.0%
30	96.5%	99.9%	100.0%
54	98.1%	100.0%	100.0%
126	99.2%	100.0%	100.0%
240	99.6%	100.0%	100.0%
504	99.8%	100.0%	100.0%

表7

溶液计数小于BKK界限的示例（计时以秒为单位）

问题	wnt公司	\|${\mathop{SO}（4）$\|	\|${\mathop{SO}（5）$\|	\|${\mathop{SO}（6）$\|	\|${\mathop{SO}（7）$\|
计数	9	40	384	4768	111616
MonodromySolver公司	0.52	4	23	528	42791
贝尔蒂尼	42	81	10605	内存不足
PHC包	862	103	>一天

问题	wnt公司	\|$｛\mathop｛SO｝｝（4）$\|	\|${\mathop{SO}（5）$\|	\|${\mathop{SO}（6）$\|	\|${\mathop{SO}（7）$\|
计数	9	40	384	4768	111616
MonodromySolver公司	0.52	4	23	528	42791
贝尔蒂尼	42	81	10605	内存不足
PHC包	862	103	>一天

表7

溶液计数小于BKK界限的示例（计时以秒为单位）

问题	wnt公司	\|${\mathop{SO}（4）$\|	\|${\mathop{SO}（5）$\|	\|${\mathop{SO}（6）$\|	\|${\mathop{SO}（7）$\|
计数	9	40	384	4768	111616
MonodromySolver公司	0.52	4	23	528	42791
贝尔蒂尼	42	81	10605	内存不足
PHC包	862	103	>一天

问题	wnt公司	\|$｛\mathop｛SO｝｝（4）$\|	\|${\mathop{SO}（5）$\|	\|${\mathop{SO}（6）$\|	\|${\mathop{SO}（7）$\|
计数	9	40	384	4768	111616
MonodromySolver公司	0.52	4	23	528	42791
贝尔蒂尼	42	81	10605	内存不足
PHC包	862	103	>一天

6.3完成率

我们调查算法的完成率3.1Katsura家族参数化n个具有固定支撑和一般选择的系数。桌子4和5包含具有不同随机种子的500次跑步的成功百分比。在表中6我们使用备注显示计算出的预期值4.4.

对于|$\beta_{1}\geq 3$|观察到的成功率接近表中的预期值6。我们注意到花战略再次接近估计值。我们不希望实验中产生的数字与表中的数字相匹配1，因为为统计分析所做的假设非常理想化；然而，分析和实验都表明，随着解决方案数量的增加和第一个Betti数的增加，成功的概率迅速接近100%。

6.4时间安排和与其他求解器的比较

本节中出现的所有计时都是在一线程和上相同的机器。评论3.2和4.2表明我们应该预期算法中跟踪的路径数3.1和3.4在系统解的数量上是线性的（有一个小常数！）。在本节中，我们从两个方面强调了我们方法的实用性。

首先，单值方法极大地扩展了我们的计算能力，适用于解决方案计数明显小于对应于更一般族的计数的系统，例如，稀疏系统的BKK计数。这意味着，与我们的方法相比，现有的黑箱方法（其复杂性依赖于较大的计数）可能在计算上花费更多的时间。在表中7我们收集了最近文献中提到的几个具有挑战性的示例的时间，其中已知的解决方案数量较少，从而为我们的启发式停止标准提供了严格的测试用例。表中的第一个系统是第节中提到的wnt信号通路反应网络的系统6.2其他问题来自计算|$｛\mathop｛SO｝｝（n）$|，特殊正交群，作为变种(勃兰特等。, 2017).

表8

大型示例的软件计时（秒）

问题	周期-10	周期-11	中午-10点
BKK绑定	35940	184756	59029
完成图形(2,3)	610	7747	失败
	（107820条路径）	（540155条路径）	（59001个解决方案）
完成图形(2,4)	740	8450	935
	（129910条路径）	（737432条路径）	（236051条路径）
PHC包	538	4256	751
主页4PS2	62	410	120

问题	周期-10	周期-11	中午10点
BKK绑定	35940	184756	59029
完成图形(2,3)	610	7747	失败
	（107820条路径）	（540155条路径）	（59001个解决方案）
完成图形（2，4）	740	8450	935
	（129910条路径）	（737432条路径）	（236051条路径）
PHC包	538	4256	751
主页4PS2	62	410	120

表8

大型示例的软件计时（秒）

问题	周期-10	周期-11	中午10点
BKK绑定	35940	184756	59029
完整图形(2,3)	610	7747	失败
	（107820条路径）	（540155条路径）	（59001个解决方案）
完成图形（2，4）	740	8450	935
	（129910条路径）	（737432条路径）	（236051条路径）
PHC包	538	4256	751
主页4PS2	62	410	120

问题	周期-10	周期-11	中午10点
BKK绑定	35940	184756	59029
完成图形(2,3)	610	7747	失败
	（107820条路径）	（540155条路径）	（59001个解决方案）
完成图形（2，4）	740	8450	935
	（129910条路径）	（737432条路径）	（236051条路径）
PHC包	538	4256	751
主页4PS2	62	410	120

以下是关于设置的评论列表：

对于我们的实现，我们选择了带有|$\beta_{1}\leq 4$|以及随机边缘选择策略。停车标准为“稳定”，如第节所述3.2.3.
虽然PHCpack的黑箱解算器最终执行多面体同伦延拓，但Bertini默认依赖于一种称为再生（请参见贝茨等。, 2013). 在某些情况下，后者可能比前者更快，这一系列示例说明了这一点。

其次，当解数由BKK界给出时，我们的方法是多面体同伦解算器的可行替代方案，因为我们跟踪的路径数在解数上是线性的。表中列出了我们当前实现的几个大型基准测试问题和其他几个软件包的时间安排8在本节的其余部分，我们的目标是表明我们的运行时间与多面体同胚处于相同的范围内。

以下是关于设置的评论列表：

对于我们的实现，我们选择了两个小图形和默认（随机）边选择策略。
对于PHCpack，有一种启动混合体积计算的方法，可以选择创建具有相同支持度和随机系数的系统及其解决方案。这是我们正在使用的选项；blackbox计算需要更长的时间。
主页4PS2(李等。, 2008)不像这里提到的所有其他软件，它不是开源的。（我们对所有系统使用HOM4PS2股票示例，并将其称为黑箱多面体同伦解算器。）HOM4PS 2可以使用即时编译用于评估的直线程序，这大大加快了计算速度。（PHCpack没有使用这种技术；我们的软件也没有，但我们在Macaulay2上的初步实验表明，在我们目前报告的时间内，速度有可能提高10到20倍。）

备注6.2

对于大型示例，假设概率模型导致定理4.1和备注4.2，即使对于具有|$\beta_{1}=2$|.noon-10的运行，这是由努恩堡(1989)，表明|$\beta_{1}=2$|随后在|$\beta_{1}=3$|.

关于表中的示例8我们还运行了Bertini和数值代数几何的黑盒解算器(莱金，2011年)，它使用全度同伦。两人都能以与表格相似的时间完成中午至10点的工作，但所有其他问题都花费了超过一天的时间。这是意料之中的，因为10日中午的BKK界限只比Bézout界限稍微尖锐一些。

备注6.3

与朴素的动态策略相比（第节3.1)我们的框架只在一个方面稍有损失：内存消耗。对于以下问题d日朴素方法存储的解决方案多达（通常接近）2个d日点。我们的方法存储的点数最多（通常远少于）d日乘以顶点数。例如，最多4个d日表中所有管路中的点8.

在我们的框架中，被跟踪的路径的数量要少得多：例如，对于循环7，朴素策略平均跟踪大约7500条路径。甚至在看桌子之前2很明显，运行花战略与科室增量动态战略相结合3.3保证主导天真的策略。

7.概括

虽然我们提出了一个更通用的算法框架，但本文的并发目标是证明，当我们将一个相对简单的实现和分析应用于简单的问题（线性参数化族）。因此，以下主题超出了本文的范围，但似乎值得进一步研究：

MS方法的一个优点是它可以容忍底层同伦跟踪器的数值故障。事实上，我们已经实现了一个简单的抗故障机制，它成功地容忍了第节中大型测试示例在某些运行中出现的一些故障6.4本文统计分析的一个自然扩展是对算法在出现故障时的性能进行建模。
理想情况下，边缘电位等启发式应包含上述故障等信息。调整潜力以适应平行设置如下所述。
MS方法的并行化不像其他同伦延拓方法那样简单。应该解决何时可以实现接近线性的加速的问题。
考虑基础空间的广义设置B类是一个不可约簇，族由有理映射给出P（P）进入系统空间。要应用我们的通用框架，一个主要要求是找到一种有效的方法来参数化两个点之间的曲线P（P）可以想象，这种参数化取决于所考虑问题的性质。某些其他成分也可能因问题而异，即使在|$P={\mathbb{C}}^{m}$|初始种子的构建|$（p_{0}，x_{0{）$|由于系统的系数在参数中可能是非线性的，这使得情况变得复杂。尽管如此，这是MS框架的优势之一，因为提供了所有必需的“神谕”，程序变得有效。
在枚举几何的经典语言中，我们考虑的单值群与关联变量的Galois群同构（本质上是我们术语中的解变量）。对于一大类Schubert问题和其他有趣的关联变量，相关的Galois群证明是完全对称群(Leykin&Sottile，2009年). 对我们的动态策略进行适当修改是一种在推测案例中验证这一点的实用方法。
我们的论文证明了我们的方法相对于其他技术（如多面体同伦和再生）的优势。在我们的框架基础上，可以使用多面体同伦作为子例程来快速填充部分解集（快速丢弃任何条件较差的路径）。通过并行使用不同的技术，可以实现更多的优势。这些和其他混合方法有可能产生更快、更健壮的黑箱解算器。

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