摘要

标准单工|$\mathbb{R}^{n}$|也称为概率单纯形,是一组非负向量,其项之和为1。它经常出现在机器学习、统计、数据科学、运筹学等领域出现的优化问题中。我们将标准单纯形转换为单位球面,从而将相应的约束优化问题转换为简单光滑流形上的优化问题。我们证明了标准单纯形上极小化问题的Karush-Kuhn-Tucker点和严格鞍点都对应于变换问题的相应点,反之亦然。因此,解决一个问题等同于解决另一个问题。然后,我们利用流形结构提出了几种简单、高效和无投影的算法。等价性和所提出的算法可以推广到单位单纯形、加权概率单纯形或|$\ell_{1}$|-范数球体约束。新算法与现有算法之间的数值实验表明了新算法的优点。开放源代码可在https://github.com/DanielMckenzie/HadRGD.

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