总结

通过理想的空间自适应,预言机提供了关于如何最好地将空间变量估计器(无论是分段常数、分段多项式、可变节点样条还是可变带宽核)适应未知函数的信息。与传统的非自适应核线性估计相比,借助预言机进行估计具有显著的优势;然而,目前尚不清楚这种性能是否可以通过仅依赖数据的程序获得。我们描述了一种新的空间自适应估计原理:选择性小波重构。我们表明,当配备预言机来选择节点时,可变节点样条拟合和分段多项式拟合的功能并不比使用预言机进行选择性小波重构的功能强得多。我们开发了一种实用的空间自适应方法,即风险收缩,它通过经验小波系数的收缩来工作。RiskShrink模拟了预言机在选择性小波重建中的性能,也可以这样做。多元正态决策理论中的一个新不等式,我们称之为预言机不等式,它表明所获得的性能与理想性能的最大差异是大约2 log n的因子,其中n是样本大小。此外,没有任何估计器能提供比这更好的保证。在空间自适应过程类中,RiskShrink本质上是最优的。仅依赖于数据,它属于因子日志2n的性能分段多项式和可变节点样条方法配备了预言机。相反,当拒绝访问预言机并被迫仅依赖数据时,不知道如何或是否可以使分段多项式方法发挥如此良好的作用。

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