生物网络的Petri网建模

摘要

数学建模越来越多地用于深入了解复杂生物网络的功能。在这种情况下，Petri网（PN）最近在分子网络建模和分析的各种方法中成为一种很有前途的工具。PN带有一系列扩展，允许不同的抽象级别，从纯粹的定性模型到更复杂的定量模型。值得注意的是，每一个模型都保留了描述生物成分之间相互作用的基本图形。本文旨在介绍该方法的基础知识，并培养PN在计算系统生物学发展中的潜在作用。

简介

除了产生大量生物数据外，理解复杂的交互网络如何控制细胞行为是一个真正的挑战。为了应对这一挑战，我们需要采用正式方法来处理此类网络的建模。虽然对网络唯一拓扑的研究提供了有关所涉及生物成分的一些知识，但动态建模旨在了解系统的动态特性（参见[1]监管网络建模综述[2]用于模拟信令网络的计算技术的最新调查）。

人们可以区分两类主要的动力学模型：一方面，定量模型基本上基于常微分方程组（ODE）；另一方面，定性的模型可以通过离散形式或分段线性微分系统来定义。第一种模型旨在以详细的方式表示系统，产生定量结果。它们需要准确的动力学数据，而这往往是缺乏的。此外，由于模型的大小和精度，大多数结果都是通过数值积分方法获得的。因此，很难理解或证明所研究模型的一般性质。因此，定量方法得到了定性方法的有益补充，定性方法更适合于诱导复杂系统的动力学特性，尤其是在几乎没有数据可访问的情况下。

Petri网（PN）是以卡尔·亚当·佩特里的名字命名的，他在60年代初提出了一种适用于并发、异步、分布式系统建模和分析的图形和数学形式[3–6]. 通过各种扩展，PN允许定义定性和定量模型。在过去的40年里，人们在理论发展方面做了大量工作，PNs已经成功应用于广泛的应用领域。这些主要与人造系统（制造系统、通信网络、计算分布式系统等）的建模和分析有关。最近，PN模型出现在“自然”系统中，尤其是分子网络中。Reddy等人提出了将PN框架应用于生化反应系统的早期尝试[7]. 如中所强调的[8]PN是一种方便的数学形式，可以直观地表示生化网络。这主要是由于其基于图形的结构。此外，作为纯粹定性结构分析的补充，人们可以考虑定量信息，例如以（随机）反应速率、（连续）浓度水平等形式。大量相关出版物反映了PN模型在这一领域的日益兴趣。

分子网络包括代谢、信号传递和遗传网络。在这种网络中，分子组分之间的关系性质不同，这取决于分子过程（化学反应、络合物形成、结合过程、转录调控等）。它还取决于为建模选择的抽象级别。例如，考虑到基因调控，可以通过考虑从转录到翻译的不同过程，或者简单地考虑基因被激活来模拟基因的激活。

最近，一些建模框架被应用于生物网络的分析和模拟。其中，进程代数（尤其是π演算）可以与Petri网相关（参见例如[9]以及其中的参考，以及[10]对于π-演算项的PN翻译）。然而，众多建模方法之间的比较研究远远超出了本文的范围。这里，补充[11,12]的目标是为分子网络的PN建模提供网关。本文首先介绍PN基础知识和最相关的扩展（更多信息可以在村田的介绍性文章中找到[3]或在PN手册中[4–6]). 接下来，我们将介绍使用PN对代谢网络的直观表示，以及可以解决的生物学问题。除了定性分析之外，还可以使用原始形式主义的扩展来建模代谢网络。特别介绍了随机PN（SPN）和混合PN（HPN）。然后，讨论了信令和监管网络的情况。本文最后介绍了利用PNs进行生物网络建模和分析的资产、限制和前景。

PETRI NET基本款

PN是具有两种不同类型节点的有向双部分图：位置和转换。非正式地，位置表示系统的资源，而转换对应于可以更改资源状态的事件。加权弧（有向边）连接地点具有过渡描述了资源和事件之间的关系。一个地方连接到一个过渡（据说是输入转移的地点），如果转移的发生是由地点的状态决定的（并且随后改变该状态）。现在，一个过渡连接到一个地方(输出位置）如果事件的发生对资源的状态有一些影响。

在PN进化的任何时候，位置保持零或正数代币。系统的状态由令牌在各个位置的分配表示，称为标记PN的定义包括初始标记，它为每个位置分配多个令牌。过渡是启用如果其输入位置包含至少所需数量的标记（由分配给弧的权重定义）。这个点火启用的转换将导致消耗其输入位置的令牌，并在其输出位置产生大量令牌（该数字由退出转换的弧的权重确定）。这个“象征游戏”代表了系统的动态演化。图1通过一个简单的PN，说明了令牌游戏、代数表示以及通过标记图对行为的描述。有关PN的正式介绍，请参阅参考资料[3–6].

对于建模设施，PN可能包括延伸弧（测试弧和抑制弧）。在图1，一个试验电弧连接第页₁到t吨₁（这是一个双向弧，表示第页₁标记决定了t吨₁但不会被t吨₁). 测试弧有助于模拟生化网络中的当前情况（例如酶反应，参见。图2).抑制弧从一个地方到一个过渡，显著地增加了表现力，允许“测试到零”（如果地方是空的，则启用过渡，图2). 在存在测试弧或抑制弧的情况下，关联矩阵C不再反映网络的关联关系(图1B） ●●●●。在某些情况下，当需要时，例如为了分析目的，可以恢复标准PN：用一个位置和一个过渡的虚拟对替换测试弧，通过添加与原始位置相关的过渡正确连接的补充位置，从有界位置（标记有限）移除抑制弧。

标准PN模型是离散和非模板化的（时间是隐含的，标记图说明了可能的事件序列）。然后，可以使用代数方法（通过关联矩阵）、分析网络结构或研究整个标记图来检查定性属性。下文描述了一些典型的性质，以及它们在生物网络背景下的可能解释：

• 有界性确保无论初始标记和网络的演化如何，每个位置的标记数都是有界的，即有限的。对于代谢网络来说，这意味着没有任何产品可以积累；

• P-不变量是一组位置集，其中令牌的加权和独立于触发序列是恒定的(x个，整数向量定义P（P）-不变量，如果C类^吨.x个 = 0). 在代谢网络中，这些集合对应于守恒关系；

• T不变量是射击序列，再现了一个标记(年，整数向量定义吨-不变量，如果C类.年= 0). 在生物学方面，吨-不变量可以表示循环行为，并对应于基本模式代谢控制理论（即舒斯特定义的可行代谢途径等. [13]);

• 可达性标记的M（M）声称从最初的标记到标记存在一个演变过程（一系列射击）M（M）（即。M（M）在标记图中R（右）(M（M）₀)). 这一特性可能与生物网络有关，因为它确保存在一条将系统从初始状态引导到所需状态的轨迹；

• 活力确保始终可以最终启动任何转换。换句话说，活跃性保证了事件（例如反应）最终会发生。还可以考虑活性的限制性定义（例如，单个过渡的活性，甚至可能触发的保证数量，等等）。

PN形式主义的扩展已被定义为增加其表达能力（尤其是允许定量分析），并且已开发了一系列专用工具来支持不同的PN建模方法（参见表1用于选定的工具列表）。然而，形式主义越具表现力，分析就越困难，具有详细描述的模型通常通过仿真进行检查，以显示系统的特定轨迹。相反，如果可用，分析方法将提供属性的正式证明。除了代数解析和拓扑分析，模型检查有效地补充了精确分析的技术[14]. 使用时间逻辑，人们可以表达行为属性（例如给定状态的可达性或沿轨迹实现属性）。模型检查方法已用于查询或验证BIOCHAM（生化抽象机，生化网络的编程环境）中的生化网络[15])和GNA（遗传网络分析仪）中的遗传调控网络[16]). 模型检查也是在PN理论的背景下发展起来的(表1)并应大大方便大型网络的分析。

在续集中，简要描述了被证明对生物网络建模有用的扩展。

彩色Petri网（CPN）为令牌分配数据值（定义颜色集)和表达式附加到弧。它们在输入位置定义对令牌值的约束，以启用转换，并在输出位置定义触发生成的令牌值。使用CPN，数据类型的定义和操作增加了PN的建模潜力，从而允许描述复杂系统的简化模型[17,18]. 此外，CPN仍然传递形式化分析方法。CPN还可以包含定时转换。CPN工具是一种专用于分层CPN的软件（由具有定义良好接口的子网组成[19]). 层次建模便于指定复杂生物系统的模型[12].

可能需要考虑数据的不确定性，或描述外部噪声（由环境波动产生）或内部噪声（由于低分子浓度）。随机Petri网（SPN）提供了这样的随机方面：启用的转换以指数分布的时间延迟触发。已经证明，对于有界SPN，标记图与有限马尔可夫链同构（参见[20]以及其中的参考）。

混合Petri网（HPN）允许连续过程和离散过程共存。它们包括离散位置（用标记标记）和与实际变量相关的连续位置（例如浓度水平）。离散变换在确定的延迟后触发，而启用的连续变换以给定的速率连续触发。最后，HPN包括测试弧和抑制弧[21]. 为了进一步提高HPN的建模能力，混合函数Petri网（HFPN）被特意引入以模拟生物网络[22]. 还包括其他功能：连续过渡射速可以取决于输入位置的值，弧的权重可以定义为连接位置标记的函数。

PETRI网在生物网络建模中的应用

本节介绍PN理论的一些应用，以使用标准或更复杂的PN来模拟一系列分子过程。

生物化学网络

在[7]、Reddy等.已表明标准PN允许表示生化途径中的基本成分，PN模型可用于进行定性分析。代谢途径通常被视为酶反应的互联网络，其中一个反应的产物是后续反应的反应物（或催化酶）。图2说明了五种反应的PN建模；位置代表反应物、产物或酶，而跃迁代表反应，每一个都会改变其产物和反应物的数量。在任何时候，标记代表网络中每个物种的分子分布。弧权重对应于反应的化学计量系数。

最近，有研究表明，生化网络结构路径分析中出现的几个概念在PN理论中也有对应的概念[23]. 特别是，已经证明吨-不变量对应于基本模式。事实上，PN的拓扑结构与相应代谢网络的拓扑结构相匹配，人们可以在传统生化模型和PN之间得出广泛的关系[24]. 因此，代谢网络的化学计量学矩阵对应于PN关联矩阵。PN理论可以通过定性分析用于代谢网络的结构验证。例如，马铃薯块茎中的蔗糖分解代谢被认为是[25]. 作者证明，定性分析可以用于验证模型，并且吨-不变量与网络中的子路径组合有关。

使用CPN公司为了模拟酶反应链[26]. 与一个地方相关的颜色是一对，包括相关底物的名称和浓度。反应转变与动力学函数有关。在[27]，作者使用颜色区分同一物种的分子（根据它们产生和消费的途径），并对红细胞中的糖酵解和磷酸戊糖途径进行定性分析（Reddy提出的原始模型的改进版等.英寸[7]).

确定性模拟不考虑由于低浓度而产生的固有噪声。SPN（特殊目的网络）用于随机分子相互作用的建模和模拟，并简化建模过程[28,29]（这些模型基本上重现了Gillespie的算法[30]). 在[31]Shaw和合著者通过开发基于SPN的随机模拟来解决动力学参数估计问题。

功能PN主要由Valk定义为自我修改的PN（PN）[32]，允许位置和过渡之间的流动关系取决于标记。Hofestädt和Thelen建议将此扩展应用于生物化学网络的定量模型[33]. 沿着这条路线前进，松野等. [22]定义了HFPN，为生物化学途径的建模提供了一组丰富的特征。基因组对象网（GON）专用软件的开发无疑为HFPN在该领域的成功做出了贡献[34]. 最近的几篇论文提出了基于HFPN的模型，表明了这种方法对定量模拟的吸引力。特别是，在[35]、Doi等定义了p53转录活性的详细模型，其中的转换解释了p53、MDM2、p19ARF（核导入/导出、结合、转录、翻译、泛素化）之间相互作用的不同过程以及代表不同物质的位置（例如细胞核中的p53，细胞质中的复合p53–MDM2复合物等）。他们的模拟结果表明，复合物p53–MDM2–p19ARF在基因MDM2和BAX上的转录活性。

使用HFPN模型解决了参数估计的关键问题[36]. 它利用网络的拓扑结构将其系统地分解为可独立估计参数的子路径。为说明该方法，提供了Akt和MAPK通路的详细模型及其可能的串扰。

遗传网络

在对生物网络建模时，关键是要考虑相关的抽象级别，这取决于要解决的问题，也取决于可用的数据。在基因表达调控的情况下，通常足以表示一个特定的调控产物激活或抑制一个基因（或一组基因）以传递该产物在网络中的作用。这种调控相互作用在语义上与代谢反应不同。事实上，虽然在化学反应中反应物被消耗掉，但在调节过程中调节物的表达水平不会改变。图2表明化学反应自然地用PN表示，但调节相互作用不太容易建模（因为PN的基本目的是表示生产/消费效应）。

对此类监管网络进行定性建模的一种成功方法是符合逻辑的最初由Thomas和合作者开发的方法[37]. 在一个符合逻辑的调控图中，节点表示与离散表达水平相关的基因，弧表示基因之间的相互作用。每一个相互作用都与一个表达水平阈值相关，从这个阈值中，作为相互作用来源的调节器对目标基因产生影响。对于每一个基因，一个离散的逻辑函数表示当基因被提交给一个给定的交互组合时，该基因倾向于哪个质量水平。

可以推导出标准PN来自的模型布尔监管网络（基因为ON或OFF时）[38,39]. 多级模型的系统重写定义如下[40]. 最后一篇论文还提出了一个CPN公司表示逻辑模型，从而简化网络。这种转换为PN分析工具在逻辑监管模型中的应用开辟了道路。

补充定性分析工具，模型检查可用于检查动力学特性。由于CPN适用于模型检查技术（Maria工具，请参见表1)，彗星等. [41]开发逻辑监管图到CPN的转换，生成紧凑模型。这里的目标是为生物学家提供一个工具，系统地验证各种假设下模型的一致性（解释观察到的生物行为，如体内平衡、多稳态，甚至更具体的时间特性）。对于参数化模型[40]将允许检查大型逻辑调控图的动态属性。

在[42]，西蒙等.提出一种方法来定义调控生化途径的集成模型考虑调节水平的逻辑模型（PN表示）与代谢部分的经典PN模型相关联。用色氨酸（Trp）生物合成的定性模型说明了这种方法大肠杆菌考虑到两种调节反馈：最终产物直接抑制途径的第一种酶和Trp阻遏物复合物对Trp操纵子的转录抑制。

松野等. [43]已考虑HPN公司基因调控网络的建模。HPN提供了一种方便的方法来表示与离散开关耦合的蛋白质浓度动态。基因调控网络的详细建模需要表示几个阶段，包括DNA修饰、转录、翻译、转录后和翻译修饰。由于缺乏关于这些机制的数据和知识，通常很难设想这些机制的动力学模型，因此将其抽象为单个过程。HPN定量建模和基因调控代谢网络的模拟也通过对尿素循环的研究进行了说明[44]. 使用HFPN（例如[45,46]). 在[46]中的Delta-Notch相关边界形成果蝇属考虑到细胞间的相互作用，对大肠进行分析。

信令网络

与基因调控一样，信号转导包括对信号的反应（特定分子的存在或阈值水平），而不是产品转化。信号通路通常是复杂的，包括许多机制，如复杂形成、易位等[22]提出了Fas诱导凋亡的HFPN模型，Heiner等. [47]也考虑凋亡途径。使用标准PN，对该信号转导网络进行定性建模和验证。同样，Sackmann也对不同功能形式的蛋白质进行了建模等[48]最近将标准PN应用于信号通路。它们进一步表明，结构分析可以为模型验证和更好地理解网络提供一种手段（特别是通过确定网络的有意义分解）。以芽殖酵母的交配信息素反应途径为例进行了研究。

在[49]Gilbert和Heiner提出了定性PN和传统ODE建模之间的桥梁。使用Raf激酶抑制剂蛋白（RKIP）对细胞外信号调节激酶（ERK）信号通路的影响模型，他们表明标准PN模型是定义更详细定量模型的一个方便步骤。更准确地说，他们证明了离散PN模型的分析可以用于推导相关ODE模型所需的初始浓度集。

根据信号通路基本组件的标准PN模块的定义，Li和合著者提出了一种确定相关（确定性）过渡延迟的方法，以推导出定时PN模型[50]. 然后，定时PN的模拟和标记动画可以提供路径行为的直观视图。

A类（定时）CPN公司复杂信号转导系统（EFG诱导的信号通路）的模型是在[51]. 该CPN建模方法提供了有效的模拟，与微分方法一致。

使用连续时间马尔可夫链（CTMC），Calder等. [52]提出一种方法，允许根据与给定事件相关的概率对网络进行定量分析。为此，他们使用了随机时序逻辑和PRISM，即特定的模型检查器[参见。表1]. 他们已将其方法应用于分析RKIP抑制的ERK通路。有趣的是，SPN（特殊目的网络）与CTMC同构[20]，因此可以用于类似的方法。事实上，SPN模型符合模型检查技术，因为它们可以转换为PRISM的输入格式[53].

讨论

本简要概述强调了PN在分子网络建模、分析和模拟中的有效性。生物网络中越来越多地使用基于PN的模型，这可以通过其底层的图形表示、对并发分布式系统建模的适用性、其完善的数学理论以及专用工具的可用性来解释（参见。表1). 利用纯定性到复杂的HPN形式，已经开发了一系列生物应用。这些不同的建模方法导致了不同类型的分析，从结构分析到纯模拟，从定性结果到定量结果。我们已经看到，代谢反应的PN建模相对直观。基因相互作用（激活或抑制）或信号转导不太自然，这意味着调控相互作用而不是消费/生产。然而，扩展弧（抑制弧和测试弧）和CPN提供了这种相互作用的方便表示。对于HPN，它们支持广泛的分子机制的表示。

生物学家手头有大量的相互作用数据，但准确的浓度水平或动力学参数值往往很少。这推动了定性模型的发展，进一步允许进行正式分析，并构成了定量模型定义的第一步。引入了几个PN扩展来增加主要形式主义的表达能力（特别是包括时间、随机和连续方面）。作为这些细化特征的对应物，分析更加困难，通常只提供仿真结果。尽管如此，作为一个主要优势，形式主义为自上而下的渐进建模方法开辟了道路，从定性的结构表示到定量的详细描述。

PN并不代表空间属性。然而，分子运输或扩散可以用以下方式建模：位置表示给定物质在不同隔间中的存在，而跃迁表示该物质的位移[35]. 对于大量的隔间和扩散物质来说，模型的尺寸可能相当大。一种更方便的方法是使用CPN，其中标识符（颜色）与令牌相关联，并可用于传递此类空间信息[27]. 然而，由于运输机制在各种监管过程中至关重要，因此其PN表示法仍值得进一步发展。层次建模可能是解决这个问题的一种有价值的方法。分层建模也可以应用于大型网络，通常由相互连接的功能模块组成。为了允许模型组合，PN单元或模块可以定义为生物网络模型的构建块。按照同样的思路，额外的方法学工作将定义PN模型的系统集成，用于不同的抽象层次。特别是，生物过程发生在不同的时间尺度上，这个问题应该得到适当的解决。

最后，可以在其他建模形式和PN之间定义桥梁（如[40,49]). 在这方面，正如Shaw所建议的那样，标准XML格式有助于自动翻译等. [54]从SBML（系统生物学标记语言）映射到PNML（Petri网标记语言）（SBML网站：SBML.org；PNML网站www.informatik.hu-berlin.de/top/pnml). 标准格式的发展还导致了根据专用数据库中查询的数据自动定义和参数化模型。作为朝着这个方向迈出的第一步，在[55]，基于信令流程的本体。这种方法可以支持重用和扩展现有模型。

基金

法国研究部通过ANR项目JC05-53969提供财政支持。

致谢

我要感谢Naldi A、Thieffry D、Remy E和Heiner M进行了富有见地的讨论。

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