美国数学学会会刊

摘要：

设$G$是次$n$的置换群，$k$是带$k\len$的正整数。我们说$G$具有$k$-存在横向属性，或$k$-et美元，如果存在一个$k$-子集$a$（属于域$\Omega$），其在$G$下的轨道包含$\Omega$的所有$k$-partitions$\mathcal{P}$的横截。该属性是第一作者和第三作者研究的$k$-通用横截属性（或$k$-ut）的一个实质性弱化，该属性要求该条件适用于域$\Omega$的所有$k$-subset$a$。

本文的第一个任务是研究$k$-et性质并确定哪些群满足它。例如，已知对于$k<6$有几个$k$-传递群族，但对于$k\ge6$，唯一的族是交替群或对称群；这里我们证明了在$k$-et上下文中，阈值是$8$，即对于$8\lek\len/2$，具有$k$-et的唯一传递群是对称群和交替群；这是最好的可能，因为Mathieu群$M_{24}$（度24）有$7$-et。我们用$k$-et确定$4\lek\len/2$的所有群，直到$k=4,5$的一些未解决的情况，并用置换群语言描述$k=2,3$的属性。这些考虑基本上回答了上述关于$k$-ut的论文中提出的问题5；我们还略微改进了拥有$k$-ut属性的组的分类。

在那篇早期的论文中，结果被应用于半群，特别是半群$langleG，trangle$何时是正则的问题，其中$t$是秩$k$的映射（其中$k<n/2$）；这相当于$k$-ut属性。这里研究的问题是，当域中存在$k$-子集$a$时，对于图像为$a$的所有映射$t$，$langle G，t\rangle$都是正则的。事实证明，这要微妙得多；$k$-et属性（$A$作为见证集）是一个必要条件，$k$-ot和$（k-1）$-ut的组合就足够了，但事实介于两者之间。

已知所考虑的群具有$k$-et的必要条件，除一个零星群外，$k\le n/2$的正则性问题得到了解决。

本文以组合学、置换群、变换半群及其线性类比的若干问题作为结束。