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哈密顿李代数体

关于此标题

克里斯蒂安·布洛曼和艾伦·韦因斯坦

出版物：美国数学学会回忆录
出版年份：2024;第295卷，第1474号
ISBNs:978-1-4704-6909-2（印刷版）；978-1-4704-7774-5（在线）
内政部：https://doi.org/10.1090/memo/1474
电子发布日期：2024年3月19日
关键词：李代数体，辛流形，动量图，哈密顿作用，辛约化，等变上同调

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目录

章节

• 1.简介
• 2.前征兆流形上的锚定向量束
• 3.通过连接实现兼容性
• 4.预对称锚定李代数体的动量截面
• 5.哈密顿李代数体的零动量轨迹
• 6.示例
• 7.哈密顿李代数体的范畴
• 8.作用李群胚和代数体的约简
• 9.约化李代数体上的哈密顿结构
• 哈密顿李代数体的上同调解释
• 11.开放性问题、猜想、展望
• 12.相关工作

摘要

在之前与M.C.Fernandes合作的工作中，我们发现爱因斯坦演化方程具有李代数体对称性。本工作的动机是将这种对称性与方程的哈密顿结构相结合，以解释初值问题约束子集的共同性结构。本文将哈密顿结构的概念从李代数作用推广到预对称流形上的一般李代数体。这个结构在广义相对论问题上的应用仍在进行中。

在比较了向量束$a$上的锚映射$a\到TM$与基$M$上的前符号结构之间的许多可能的兼容性条件后，我们选择了其中最自然的条件，最好根据$a$中适当选择的连接来表述。我们定义了$a^*$的动量部分的概念，当$a$是李代数体时，我们指定了与李代数体括号兼容的条件。锚、李代数体括号、动量截面、连接和前符号结构上的相容条件是哈密顿李代数体的定义性质。对于具有平凡联系的作用李代数体，条件简化为哈密顿作用的条件。我们证明了哈密顿李代数体动量截面的净零轨迹是一个共向子流形。为了定义哈密顿李代数体的态射，我们将其结构表示为由李代数体形式和其基上的德拉姆形式生成的二次代数。给出了括号相容动量映射的Atiyah-Bott型刻划；在李代数体的等变上同调BRST模型的推广范围内，它等价于前符号形式的一个封闭的基本扩张。我们展示了如何通过将作用Lie群元$G\乘以M$通过不一定正规的$G$的子群$H$进行约简来构造群元，并且我们发现了哈密顿结构下降到这样一个约简的Lie代数体的条件。

我们考虑了许多例子，特别是发现辛流形上的切线李代数体对于某些连接是哈密顿量当且仅当辛结构具有无处消失的本原。Stratmann和Tang的最新结果表明，只要辛结构是精确的，情况就是如此。