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随机微分方程数值解的连续时间随机游动

关于此标题

纳瓦夫·布拉贝,罗格斯大学卡姆登分校数学科学系,新泽西州卡姆登市第五大街北311号,邮编:08102埃里克·范登·伊恩登,纽约大学库朗数学科学研究所,纽约州纽约市默瑟街251号,邮编:10012-1185

出版物:美国数学学会回忆录
出版年份:2018第256卷,第1228号
ISBNs:978-1-4704-3181-5(印刷版);978-1-4704-4919-3(在线)
内政部:https://doi.org/10.1090/memo/1228
电子发布日期:2018年10月10日
关键词:随机微分方程,非对称扩散,抛物型偏微分方程,单调算子,离散最大值原理,科尔莫戈洛夫方程,Fokker-Planck方程,不变测度,马尔可夫跳跃过程,随机李亚普诺夫函数,随机模拟算法,几何遍历性
MSC:初级65C30;次60J25、60J75

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目录

  • 1.简介
  • 2.算法
  • 3.示例和应用
  • 4.网格化状态空间分析
  • 5.无网格状态空间分析
  • 6.三对角壳体
  • 7.结论与展望

摘要

本文引入时间连续的数值格式来模拟数学金融、人口动力学、化学动力学、流行病学、生物物理和聚合物流体中出现的随机微分方程(SDE)。这些方案是通过对与SDE相关的Kolmogorov方程进行空间离散来获得的,使得所得的半离散方程生成可以使用蒙特卡罗方法精确实现的马尔可夫跳跃过程。在这种构造中,近似的跳跃大小可以在空间上一致有界,这通常保证了格式对于SDE的有限和长时间模拟都是数值稳定的。通过直接分析近似的无穷小生成元,我们证明了当应用于具有局部Lipschitz连续和弱耗散的漂移场的SDE时,近似具有尖锐的随机Lyapunov函数。我们使用这个随机李亚普诺夫函数来扩展近似的局部半鞅表示。这种扩展使得量化近似的计算成本成为可能。使用全局误差的随机表示,我们证明了近似在表示有限和无限时间期望值时是(弱)准确的,其精度阶与近似的无穷小生成器的精度阶相同。证明是在固定和可变空间步长的背景下进行的。理论和数值研究证实了这些说法,并证明了这些方案与基于时间离散化的标准方法相比具有一些优势。特别是,它们准确无误,在模拟具有边界(或受限域)的SDE时消除了非物理移动,在模拟刚性SDE时防止了爆炸轨迹的发生,并且在没有时间插值错误的情况下解决了首次退出问题。

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