Exponential decay of the number of excitations in the weakly interacting Bose gas

Mitrouskas, David; Pickl, Peter

doi:10.1063/5.0172199

我们认为N个具有耦合常数的平均场极限中的囚禁玻色子λ_N个= 1/(N个− 1). 这类系统的基态表现出玻色-爱因斯坦凝聚。我们证明了ℓ凝聚波函数外的粒子在ℓ.

一、简介及主要成果

我们认为N个哈密顿量描述的玻色子

{H（H）}_{N个} = \sum_{我 = 1}^{N个} (- Δ_{我} + {V（V）}^{文本} ({x个}_{我})) + \frac{1}{N个 - 1} \sum_{1 \leq 我 < j个 \leq N个} v（v） ({x个}_{我} - {x个}_{j个})

(1.1)

作用于N个-粒子希尔伯特空间

{H（H）}^{N个} = \otimes_{sym（对称）}^{N个} {L（左）}^{2} ({R（右）}^{三})

⁠我们将在以下假设下工作：

外部电势 ${V（V）}^{文本} : {R（右）}^{三} \to R（右）$ 是可测的，局部有界的，并且满足V（V）^文本(x个) →∞作为|x个| →∞也就是说，它起到了限制潜力的作用。
对电势 $v（v） : {R（右）}^{三} \to R（右）$ 是（i）具有非负傅立叶变换的逐点有界偶函数 $\hat{v（v）} (k个) \geq 0$ 或（ii）排斥库仑势v（v）(x个) =λ|x个|⁻¹具有λ>0。

在这些条件下，H（H）_N个本质上是自共轭的，并且具有唯一的基态，我们用Ψ表示_N个。众所周知，基态在极小值中表现出完全的玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）

φ \in {L（左）}^{2} ({R（右）}^{三})

Hartree能量泛函的u个↦N个⁻¹⟨u个^⊗N个,H（H）_N个u个^⊗N个⟩. 这意味着在限额内N个→∞，大多数粒子都占据相同的单粒子状态

φ \in {L（左）}^{2} ({R（右）}^{三})

⁠。为了使这一说法准确，让对= |φ⟩⟨φ|并考虑运营商家族

{P（P）}_{N个} (ℓ) : {H（H）}^{N个} \to {H（H）}^{N个}

具有ℓ∈ {0, …,N个}由提供

{P（P）}_{N个} (ℓ) = {({(1 - 对)}^{\otimes ℓ} \otimes 对^{\otimes N个 - ℓ})}_{sym（对称）} .

(1.2)

很容易验证

{P（P）}_{N个} (ℓ) {P（P）}_{N个} (k个) = δ_{ℓ k个} 和 1 = \sum_{ℓ = 0}^{N个} {P（P）}_{N个} (ℓ) .

(1.3)

操作员

{P（P）}_{N个} (ℓ)

项目到包含N个−ℓ凝聚波函数中的粒子φ和ℓ正交补码中的粒子

{φ}^{⊥} \subseteq {L（左）}^{2} ({R（右）}^{三})

⁠.数字

{P（P）}_{N个} (ℓ) : = ‖ {P（P）}_{N个} (ℓ) Ψ_{N个} ‖^{2}

因此是发现的概率ℓ基态粒子Ψ_N个不占用凝聚波函数的φ.具有最佳冷凝速率的完整BEC可公式化为P（P）_N个(0) = 1 +O（运行）(N个⁻¹)作为N个→∞我们参考参考文献。1,6,8,11、和22用于平均场限值和参考文献中的结果。2,三,5,9,12,13,15,18、和19对于BEC，在更奇异的缩放极限中。对于有限值N个，通常存在非消失概率

1 - {P（P）}_{N个} (0) = \sum_{ℓ = 1}^{N个} {P（P）}_{N个} (ℓ) > 0

发现凝结水外的颗粒。这项工作的目的是在P（P）_N个(ℓ)对于大型ℓ和N个。我们的主要结果是P（P）_N个(ℓ)指数衰减ℓ.

定理1.1。

在假设（A1）和（A2）下，存在一个常数 ɛ> 0这样，对于每一个

（f） : N个 \to N个

具有

（f） (n个) \overset{n个 \to \infty}{\to} \infty

\underset{N个 \to \infty}{林} {P（P）}_{N个} (（f） (N个)) 经验 (ε （f） (N个)) = 0 .

(1.4)

对于具有正型有界对势的环面上的齐次玻色气体，该定理已经在2017年的博士论文（参考文献。14，定理3.1）。在本注释中，我们给出了基本上相同的证明，尽管有些简化，并更正了两个小错误。对囚禁玻色气体和排斥库仑势的推广只需要很小的修改。如参考文献所示。14，该表述可以推广到激发的低能本征态H（H）_N个但为了简洁起见，我们只讨论基态。

参考文献。4，在类似假设下获得了相关结果。作者导出了形式激励次数的高阶矩界 $\sum_{ℓ = 1}^{N个} ℓ^{n个} {P（P）}_{N个} (ℓ) \leq C_{n个}$ 为所有人 $n个 \in N个$ 具有未指定的常量C_n个[用于v（v）他们证明了 $C_{n个} \leq {(C (n个 + 1))}^{{(n个 + 6)}^{2}}$ 对一些人来说C> 0]. 定理1.1直接意味着C_n个≤C^n个n个! 对一些人来说C> 0. 参考文献。4，利用高阶矩界获得了基态能量的渐近级数H（H）_N个逆幂(N个− 1)⁻¹.我们的边界C_n个因此，可能与确定该渐近级数的某些恢复性质（如Borel可和性）有关，参见参考文献。4（备注3.5）。

最近，Nam和Rademacher¹⁷通过延长P（P）_N个(ℓ)稀释玻色气体。他们考虑单位圆环上具有对势的均匀玻色气体v（v）(x个) =N个^三βv（v）(N个^βx个),β∈[0,1]，对于非负紧支撑v（v）∈L（左）^三([0, 1]). 这尤其包括与实际最相关的格罗斯-皮塔耶夫斯基政权β= 1. 他们的结果表明，对于每个低能本征函数 $ψ_{N个} \in {H（H）}^{N个}$ ⁠, $⟨ ψ_{N个}, {e（电子）}^{κ N个} ψ_{N个} ⟩ = O（运行） (1)$ 作为N个→∞对一些人来说κ>0，其中 $N个 = \sum_{我 = 1}^{N个} (1 - 对_{我})$ 是计算冷凝液外部粒子数的运算符。自 $⟨ ψ_{N个}, {e（电子）}^{κ N个} ψ_{N个} ⟩ = \sum_{ℓ = 1}^{N个} {P（P）}_{N个} (ℓ) 经验 (κ ℓ)$ ⁠，这证明了(1.4)用于稀释玻色气体。形式的较高矩界 $⟨ ψ_{N个}, {N个}^{n个} ψ_{N个} ⟩ \leq C_{n个}$ ⁠, $n个 \in N个$ ⁠，已在参考文献。2.

最后，让我们提到与以下观测值略有不同的指数界限 $N个$ 最近也在大偏差的背景下进行了研究^7、20、21[另见参考。17（备注1.3）]。

定理证明1.1的关键思想是表明P（P）_N个(ℓ)满足形式不等式P（P）_N个(ℓ+ 2) +P（P）_N个(ℓ− 2) − 2P（P）_N个(ℓ) ≥σP_N个(ℓ)对一些人来说σ> 0. 为了得到这样一个界，我们取基态本征值方程的标量乘积 ${P（P）}_{N个} (ℓ) Ψ_{N个}$ 利用双体电位H（H）_N个减去平均场贡献后，有效地作为离散二阶导数ℓ为了说明这个想法的简单性，我们在第。II B类.

二、。证明

本说明的其余部分组织如下。在第。二、A，我们引入Fock空间激发形式，^10,11这对我们的分析很方便。在第。二、A，我们对证明进行了启发式讨论。II C类，我们陈述了主要的技术引理，并用这个引理证明了我们的主要结果。单位：秒。II D类和II E类，我们提供了技术引理的证明。

A.激发哈密顿量

我们将Hartree能量定义为e（电子）_H（H）:=N个⁻¹ inf公司_u个⟨u个^⊗N个,H（H）_N个u个^⊗N个⟩，下一层被接管L（左）²-归一化的

u个 \in {H（H）}^{1} ({R（右）}^{三})

⁠对应的唯一正极小值表示为φ有关极小值存在性、唯一性和正性的证明，请参见参考文献。4（引理2.2）。给定Hartree最小值φ，我们引入了酉激励映射

{U型}_{N个} (φ) : {H（H）}^{N个} \to {F类}_{⊥}^{\leq N个} : = \oplus_{ℓ = 0}^{N个} \otimes_{sym（对称）}^{ℓ} {φ}^{⊥}

作为

{U型}_{N个} (φ) Φ_{N个} = ⨁_{ℓ = 0}^{N个} {q个}^{\otimes ℓ} (\frac{一 {(φ)}^{\otimes N个 - ℓ}}{\sqrt{(N个 - ℓ)!}} Φ_{N个}), Φ_{N个} \in {H（H）}^{N个}

(2.1)

哪里q个= 1 − |φ⟩⟨φ|和一(φ)是通常的玻色湮没算符。

为了修复一些符号和约定，我们调用 ${F类}_{⊥} : = \oplus_{ℓ = 0}^{\infty} \otimes_{sym（对称）}^{ℓ} {φ}^{⊥}$ 全激励Fock空间和 ${F类}_{⊥}^{\leq N个}$ 它的截断版本。我们将用以下公式表示这两个空间上的玻色子产生和湮灭算符一*(（f）)和一(（f）)的（f）∈ {φ}^⊥。还可以方便地使用通过定义的逐点创建和annihiliation操作符 $一 (（f）) = \int d日 x个 \bar{（f） (x个)} 一_{x个}$ ⁠请注意，这些满足 $[一_{x个}, 一_{年}^{*}] = δ (x个 - 年)$ 和[一_x个,一_年] = 0. 上的数字运算符 ${F类}_{⊥}$ 缩写为 $N个 = \int d日 x个一_{x个}^{*} 一_{x个}$ ⁠.

接下来，我们定义激发哈密顿量

H（H）

作为作用于截断激励Fock空间的算子

{F类}_{⊥}^{\leq N个}

通过

\begin{align} H（H） & ≔ {U型}_{N个} (φ) ({H（H）}_{N个} - N个 {e（电子）}_{H（H）}) {U型}_{N个} {(φ)}^{*} \\ = {K（K）}_{0} + \frac{1}{N个 - 1} ({K（K）}_{1} 一 (N个) + ({K（K）}_{2} b (N个) + 高压断路器。) + ({K（K）}_{三} c（c） (N个) + 高压断路器。) + {K（K）}_{4}) \end{align}

(2.2)

具有N个-相关函数

一 (ℓ) ≔ N个 - ℓ, b (ℓ) ≔ \sqrt{(N个 - ℓ) (N个 - ℓ - 1)}, c（c） (ℓ) ≔ \sqrt{N个 - ℓ}

(2.3)

和N个-独立操作员

{K（K）}_{0} : = d日 Γ (q个 小时 q个)

具有

小时 : {L（左）}^{2} ({R（右）}^{三}) \to {L（左）}^{2} ({R（右）}^{三})

由提供

小时 = - Δ + {V（V）}^{文本} + v（v） * φ^{2} - ⟨ φ, (- Δ + {V（V）}^{文本} + v（v） * φ^{2}) φ ⟩

(2.4)

和

{K（K）}_{1} ≔ \int d日 {x个}_{1} d日 {x个}_{2} {K（K）}_{1} ({x个}_{1}, {x个}_{2}) 一_{{x个}_{1}}^{*} 一_{{x个}_{2}}

(2.5)

{K（K）}_{2} ≔ \frac{1}{2} \int d日 {x个}_{1} d日 {x个}_{2} {K（K）}_{2} ({x个}_{1}, {x个}_{2}) 一_{{x个}_{1}}^{*} 一_{{x个}_{2}}^{*}

(2.6)

{K（K）}_{三} ≔ \int d日 {x个}_{1} d日 {x个}_{2} d日 {x个}_{三} {K（K）}_{三} ({x个}_{1}, {x个}_{2}, {x个}_{三}) 一_{{x个}_{1}}^{*} 一_{{x个}_{2}}^{*} 一_{{x个}_{三}}

(2.7)

{K（K）}_{4} ≔ \frac{1}{2} \int d日 {x个}_{1} d日 {x个}_{2} d日 {x个}_{三} d日 {x个}_{4} {K（K）}_{4} ({x个}_{1}, {x个}_{2}, {x个}_{三}, {x个}_{4}) 一_{{x个}_{1}}^{*} 一_{{x个}_{2}}^{*} 一_{{x个}_{三}} 一_{{x个}_{4}} .

(2.8)

与K（K）(x个,年) ≔φ(年)v（v）(x个−年)φ(x个)和

W公司 (x个, 年) : = v（v） (x个 - 年) - v（v） * φ^{2} (x个) - v（v） * φ^{2} (年) + ⟨ φ, v（v） * φ^{2} φ ⟩,

(2.9)

不同的内核由以下公式给出

{K（K）}_{1} ({x个}_{1}, {x个}_{2}) ≔ \int d日 年_{1} d日 年_{2} q个 ({x个}_{1}, 年_{1}) K（K） (年_{1}, 年_{2}) q个 (年_{2}, {x个}_{2}),

(2.10)

{K（K）}_{2} ({x个}_{1}, {x个}_{2}) ≔ \int d日 年_{1} d日 年_{2} q个 ({x个}_{1}, 年_{1}) q个 ({x个}_{2}, 年_{2}) K（K） (年_{1}, 年_{2}),

(2.11)

{K（K）}_{三} ({x个}_{1}, {x个}_{2}, {x个}_{三}) ≔ \int d日 年_{1} d日 年_{2} q个 ({x个}_{1}, 年_{1}) q个 ({x个}_{2}, 年_{2}) W公司 (年_{1}, 年_{2}) φ (年_{1}) q个 (年_{2}, {x个}_{三}),

(2.12)

{K（K）}_{4} ({x个}_{1}, {x个}_{2}, {x个}_{三}, {x个}_{4}) ≔ \int d日 年_{1} d日 年_{2} q个 ({x个}_{1}, 年_{1}) q个 ({x个}_{2}, 年_{2}) W公司 (年_{1}, 年_{2}) q个 (年_{1}, {x个}_{三}) q个 (年_{2}, {x个}_{4}),

(2.13)

哪里q个(x个,年)是q个=1−|φ⟩⟨φ|. 为了推导，我们参考参考文献。4和11。在继续之前，让我们注意一个重要事实，即操作员qhq（质量）具有小时定义于光谱间隙大于零，即，qhq（质量）≥τ对于某些数字τ> 0. 这很容易从hφ= 0,φ>0和qφ= 0. 因此，我们

{K（K）}_{0} \geq τ N个

作为上的不等式

{F类}_{⊥}

⁠.

表示方式 $Ψ_{N个} \in {H（H）}^{N个}$ 唯一的归一化基态H（H）_N个具有基态能量E类_N个=infσ(H（H）_N个)，我们设置χ≔U型_N个(φ)Ψ_N个.通过的统一性U型_N个(φ)，满足特征值方程 $H（H） χ = ({E类}_{N个} - N个 {e（电子）}_{H（H）}) χ$ ⁠.在以下方面 $χ = {(χ^{(ℓ)})}_{ℓ = 0}^{N个}$ 具有 $χ^{(ℓ)} \in \otimes_{sym（对称）}^{ℓ} {φ}^{⊥}$ ⁠，发现的概率ℓ凝聚波函数外的激发φ由提供P（P）_N个(ℓ) = ‖χ^(ℓ)‖².

B.证据的想法

为了说明证明定理1.1的思想，我们证明了二次Bogoliubov近似的基态本征函数的论点

H（H）

⁠也就是说，我们考虑特征值方程

{H（H）}_{0} ϕ = {E类}_{0} ϕ

在

{F类}_{⊥}

⁠，其中

{H（H）}_{0} = {K（K）}_{0} + {K（K）}_{1} + {K（K）}_{2} + {K（K）}_{2}^{†}

(2.14)

和E类₀<0是的最低可能特征值

{H（H）}_{0}

⁠.基态的存在性和唯一性

ϕ \in {F类}_{⊥}

其次是的酉对角化

{H（H）}_{0}

⁠.^11、16类似于χ，中的粒子数ϕ对应于处于状态的粒子数

{U型}_{N个} {(φ)}^{*} 1 (N个 \leq N个) ϕ \in {H（H）}^{N个}

不在凝聚波函数中。在下文中，我们展示了‖ϕ^(ℓ)‖²≤C 经验（−ɛℓ)对于某些常数C,ɛ>0和所有ℓ≥0，从而证明了Bogoliubov基态的定理1.1的类似陈述。在本演示中，我们假设v（v）以‖为点边界v（v）‖_∞足够小且

\hat{v（v）} \geq 0

⁠.

我们从特征值方程两侧的标量积开始ϕ^(ℓ).使用E类₀≤0和

{K（K）}_{0} \geq τ N个

具有τ>0，这意味着

τ ℓ ‖ ϕ^{(ℓ)} ‖^{2} \leq - ⟨ϕ^{(ℓ)} {K（K）}_{2} ϕ^{(ℓ - 2)}⟩ - ⟨ϕ^{(ℓ)} {K（K）}_{2}^{†} ϕ^{(ℓ + 2)}⟩ - ⟨ϕ^{(ℓ)} {K（K）}_{1} ϕ^{(ℓ)}⟩ .

(2.15)

自

{K（K）}_{1} \geq 0

（以下为

\hat{v（v）} \geq 0

⁠)，我们可以申请

4 | ⟨ ϕ^{(ℓ)}, {K（K）}_{2} ϕ^{(ℓ - 2)} ⟩ | \leq ⟨ ϕ^{(ℓ)}, {K（K）}_{1} ϕ^{(ℓ)} ⟩ + ⟨ ϕ^{(ℓ - 2)}, {K（K）}_{1} ϕ^{(ℓ - 2)} ⟩ + v（v） (0) ‖ ϕ^{(ℓ - 2)} ‖^{2}

和类似的界限

{K（K）}_{2}^{†}

（有关详细信息，请参见引理2.3）。这导致

(4 τ - \frac{v（v） (0)}{ℓ}) ℓ ‖ ϕ^{(ℓ)} ‖^{2} \leq ⟨ϕ^{(ℓ + 2)} {K（K）}_{1} ϕ^{(ℓ + 2)}⟩ + ⟨ϕ^{(ℓ - 2)} {K（K）}_{1} ϕ^{(ℓ - 2)}⟩ + v（v） (0) ‖ ϕ^{(ℓ - 2)} ‖^{2} - 2 ⟨ϕ^{(ℓ)} {K（K）}_{1} ϕ^{(ℓ)}⟩

(2.16)

接下来，我们使用

{K（K）}_{1} \geq 0

估计最后一个术语并引入缩写（f）(ℓ) ≔ℓ‖ϕ^(ℓ)‖²由于通过简短的计算（参见引理2.2），我们发现

| ⟨ ϕ^{(ℓ)}, {K（K）}_{1} ϕ^{(ℓ)} ⟩ | \leq C ‖ v（v） ‖_{\infty} （f） (ℓ)

⁠，我们可以将右侧的前两项绑定，这样

(4 τ - \frac{v（v） (0)}{ℓ}) （f） (ℓ) \leq C ‖ v（v） ‖_{\infty} (（f） (ℓ + 2) + （f） (ℓ - 2)) .

(2.17)

将两边分开C‖v（v）‖_∞，左侧的前因子严格大于2 if‖v（v）‖_∞选择足够小的。请注意，我们只对‖感兴趣v（v）‖_∞>0，因为没有交互，（f）(ℓ)全部=0ℓ还应注意光谱间隙τ>运算符的0qhq（质量）在‖中是统一的v（v）‖_∞→ 0.因此，我们得出

σ （f） (ℓ) \leq （f） (ℓ + 2) + （f） (ℓ - 2)

(2.18)

对一些人来说σ>2和所有ℓ≥ 2. 考虑到（f）(ℓ)分别用于ℓ偶数/奇数，差分不等式表明（f）(ℓ)从下方以(σ− 2)（f）(ℓ). 一方面，这表明（f）(ℓ)是凸的，因此最多有一个最小值（f）(ℓ₀). 另一方面，不平等意味着（f）(ℓ)≤C(σ− 2)^−ℓ+2个(（f）(1) +（f）（2））对于1≤ℓ≤ℓ₀和

（f） (ℓ) \geq {(σ - 2)}^{ℓ - ℓ_{0}} （f） (ℓ_{0})

对于ℓ≥ℓ₀.通过标准化ϕ即。，

\sum_{ℓ = 0}^{\infty} ‖ ϕ^{(ℓ)} ‖^{2} = 1

⁠，自σ>2，这意味着（f）(ℓ)没有最小值。因此，（f）(ℓ) ≤ (σ− 2)^−ℓ+2个(（f）(1) +（f）（2））用于ℓ≥1，如所述。

在第。II C类，我们将上述论点扩展到基态χ=U型_N个(φ)Ψ_N个激发哈密顿量 $H（H）$ 并消除“‖”的假设v（v）‖_∞很小。这需要进行一些技术修改：最重要的是，在(2.16)我们不会以 $- {K（K）}_{1} \leq 0$ ⁠相反，我们将两边相加ℓ−L（左）, …,ℓ+L（左）对于一些较大但固定的整数L（左）在右侧，许多术语被取消，而左侧有效地增加了一个与L（左）这将有助于我们消除对‖的小假设v（v）‖_∞库仑情况需要另一个近似论点，该论点将在第。II E类.考虑完整哈密顿量的障碍 $H（H）$ 与相比 ${H（H）}_{0}$ 是否存在 ${K（K）}_{三}$ 和 ${K（K）}_{4}$ （对于库仑势， ${K（K）}_{4}$ 不相关，因为它是非负的）。为了将这些算子视为扰动，我们将差分不等式的推导限制为数值ℓ≤δN（牛顿）对于一些小的δ。这很有帮助，因为 ${K（K）}_{三}$ 和 ${K（K）}_{4}$ 有两个以上的产生和湮灭算符以及(N个− 1)^−1/2.建立了指数衰减至ℓ=δN，它将作为特征值方程的简单结果‖χ^(ℓ)‖以exp（−）为界ɛ牛)对所有人来说δN（牛顿）≤ℓ≤N个还有一些ɛ>0。

C.差分不等式和定理1.1的证明

以下引理是定理1.1证明的主要成分。它提供了差分不等式的推广(2.18)至接地状态 $χ \in {F类}_{⊥}^{\leq N个}$ 属于 $H（H）$ ⁠.

引理2.1。

假设（A1）和（A2） 存在常量 L（左）≥ 1, σ> 2和 κ∈ (0, 1)这样离散函数

{F类}_{L（左）} (ℓ) ≔ \sum_{k个 = ℓ - L（左）}^{ℓ + L（左）} k个 ‖ χ^{(k个)} ‖^{2}

满足

σ {F类}_{L（左）} (ℓ) \leq {F类}_{L（左）} (ℓ + L（左）) + {F类}_{L（左）} (ℓ - L（左）)

(2.19)

为所有人 L（左）≤ℓ≤κN 和 N个大的 够了。

在我们开始证明引理之前，我们推导出其结果以获得定理1.1的证明。

定理1.1的证明。

我们申请对于ℓ=L（左）, 2L（左）, 3L（左）, …,nL（无）具有n个≤κN/L（左）换句话说，我们使用函数的第二离散导数G公司(ℓ) ≔F类_L（左）(ℓL（左）)从下方以(σ− 2)G公司(ℓ),

(σ - 2) G公司 (ℓ) \leq G公司 (ℓ + 1) + G公司 (ℓ - 1) - 2 G公司 (ℓ)

(2.20)

为所有人ℓ∈ {1, …,κ′N个}带有κ'=κ/L（左）。这意味着G公司是凸的，因此在某个值上达到唯一的最小值ℓ₀不平等进一步意味着G公司(ℓ)指数衰减ℓ≤ℓ₀并呈指数增长ℓ≥ℓ₀,

G公司 (ℓ) \leq \frac{G公司 (1)}{{(σ - 2)}^{ℓ - 1}} \forall 1 \leq ℓ \leq ℓ_{0},

(2.21)

G公司 (k个) \geq {(σ - 2)}^{k个 - ℓ} G公司 (ℓ) \forall ℓ_{0} \leq ℓ \leq k个 \leq κ^{'} N个,

(2.22)

第二种情况仅在以下情况下才相关ℓ₀<κ′N个.使用第二个界，我们得到了G公司(ℓ)的ℓ₀≤ℓ≤κ′N个/2：事实上，选择ℓ=κ′N个/2,k个=κ′N个从那以后G公司≤N个通过标准化χ，等式。暗示G公司(κ′N个/2) ≤N个(σ− 2)^−κ′^N个/2因此G公司(ℓ) ≤N个(σ− 2)^−κ′^N个/2对于ℓ₀≤ℓ≤κ′N个/2.

综上所述，我们得出结论：G公司(ℓ) ≤C 经验（−ɛ′ℓ)对于某些常数C,ɛ′>0且全部1≤ℓ≤κ′N个/2.回顾

G公司 (ℓ) = \sum_{k个 = (ℓ - 1) L（左）}^{(ℓ + 1) L（左）} ℓ ‖ χ^{(ℓ)} ‖^{2}

⁠，我们获得

啜饮 \{‖ χ^{(k个)} ‖^{2} : (ℓ - 1) L（左） \leq k个 \leq (ℓ + 1) L（左）\} \leq C 经验 (- ε^{'} ℓ)

(2.23)

为所有人ℓ≤κ′N个/2，表示‖χ^(ℓ)‖ ≤C 经验（−ɛℓ)对所有人来说ℓ≤κ′N个/2个和一些ɛ>0。

还有待证明κ′N个/2 ≤ℓ≤N个。为此，我们写χ=χ^≤+χ^>具有

χ^{\leq} ≔ 1 (N个 \leq N个 κ^{'} / 2) χ

⁠然后，我们使用特征值方程

H（H） χ = ({E类}_{N个} - N个 {e（电子）}_{H（H）}) χ

与一起

H（H） \geq {E类}_{N个} - N个 {e（电子）}_{H（H）}

事实上，只有

{K（K）}_{2}

和

{K（K）}_{三}

耦合基态的两个不同部分，

0 = ⟨χ, H（H） χ⟩ - ({E类}_{N个} - N个 {e（电子）}_{H（H）}) \geq ⟨χ^{>}, H（H） χ^{>}⟩ - ({E类}_{N个} - N个 {e（电子）}_{H（H）}) ‖ χ^{>} ‖^{2} + 2 重新 ⟨χ^{>}, {K（K）}_{2} b (N个) χ^{\leq}⟩ + 2 重新 ⟨χ^{>}, {K（K）}_{三} c（c） (N个) χ^{\leq}⟩ .

(2.24)

最后两项受

\begin{align} |⟨χ^{>}, {K（K）}_{2} b (N个) χ^{\leq}⟩| & + |⟨χ^{>}, {K（K）}_{三} c（c） (N个) χ^{\leq}⟩| \\ \leq C N个 (‖ χ^{(N个 κ^{'} / 2 - 1)} ‖ + ‖ χ^{(N个 κ^{'} / 2)} ‖) \leq 经验 (- c（c） N个) \end{align}

(2.25)

对一些人来说c（c）>0且足够大N个，其中我们在第一步中使用了引理2.3、2.4和2.6以及‖的指数衰减χ^(ℓ)用于ℓ≤κ′N个/第二步中为2。因此，

⟨χ^{>}, H（H） χ^{>}⟩ - ({E类}_{N个} - N个 {e（电子）}_{H（H）}) ‖ χ^{>} ‖^{2} \leq 经验 (- c（c） N个) .

(2.26)

由于每个规范化状态ϕ带着能量

⟨ ϕ, H（H） ϕ ⟩ \leq {E类}_{N个} - N个 {e（电子）}_{H（H）} + o个 (N个)

作为N个→∞附件BEC（参考。8，定理3.1），状态能量χ^>/‖χ^>‖不能靠近E类_N个−氖_H（H），特别是不是指数接近。因此，意味着‖χ^>‖ ≤C 经验（−ɛ牛)对一些人来说C,ɛ>0和N个足够大。

总之，我们已经证明存在常量C,ɛ>0这样‖χ^(ℓ)‖ ≤C 经验（−ɛℓ)对所有人来说ℓ∈ {1, …,N个}而且都很大N个.这意味着定理1.1.■

D.差分不等式的证明

让我们回顾一下关于对电势的假设（A2）v（v）：我们认为（i）v（v）偶数、逐点有界且具有非负傅里叶变换或（ii）v（v）(x个) =λ|x个|⁻¹具有λ> 0. 为了更好的可读性，我们首先证明了情形（i）中的引理2.1。在第。II E类，我们解释了证据是如何适应案件（ii）的。请注意，在这两种情况下，我们都有‖v（v）² $*$ φ²‖_∞<∞，其中φ是归一化的正Hartree极小值。对于库仑势，这是根据哈代不等式和 $φ \in {H（H）}^{1} ({R（右）}^{三})$ ⁠.

在我们开始证明引理2.1之前，我们陈述并证明了激发哈密顿量中出现的算子的一些初步估计。引理2.2和2.4的陈述在这两种情况下都成立，而引理2.3和2.5只在情况（i）中成立。

引理2.2。

根据假设（A2），我们拥有所有

ξ \in {F类}_{⊥}

那个

|⟨ξ^{(ℓ)}, {K（K）}_{1} ξ^{(ℓ)}⟩| \leq ‖ {v（v）}^{2} * φ^{2} ‖_{\infty}^{1 / 2} ℓ ‖ ξ^{(ℓ)} ‖^{2} .

(2.27)

证明。

我们应用两次Cauchy–Schwarz来查找

\begin{align} |⟨ξ^{(ℓ)}, {K（K）}_{1} ξ^{(ℓ)}⟩| & = |\int d日 x个 d日 年 φ (x个) v（v） (x个 - 年) φ (年) ⟨ξ^{(ℓ)}, 一_{x个}^{*} 一_{年} ξ^{(ℓ)}⟩| \\ \leq \int d日 x个 φ (x个) {({v（v）}^{2} * φ^{2} (x个))}^{1 / 2} ‖ 一_{x个} ξ^{(ℓ)} ‖ ‖ {N个}^{1 / 2} ξ^{(ℓ)} ‖ \\ \leq ‖ {v（v）}^{2} * φ^{2} ‖_{\infty}^{1 / 2} ‖ φ ‖_{2} ‖ {N个}^{1 / 2} ξ^{(ℓ)} ‖^{2} . \end{align}

(2.28)

■

引理2.3。

对于逐点有界 v（v） 具有

\hat{v（v）} \geq 0

，我们有

4 |⟨ξ^{(ℓ)}, {K（K）}_{2} ξ^{(ℓ - 2)}⟩| \leq ⟨ξ^{(ℓ)}, {K（K）}_{1} ξ^{(ℓ)}⟩ + ⟨ξ^{(ℓ - 2)}, {K（K）}_{1} ξ^{(ℓ - 2)}⟩ + v（v） (0) ‖ ξ^{(ℓ - 2)} ‖^{2}

（2.29）

4 |⟨ξ^{(ℓ)}, {K（K）}_{2}^{†} ξ^{(ℓ + 2)}⟩| \leq ⟨ξ^{(ℓ)}, {K（K）}_{1} ξ^{(ℓ)}⟩ + ⟨ξ^{(ℓ + 2)}, {K（K）}_{1} ξ^{(ℓ + 2)}⟩ + v（v） (0) ‖ ξ^{(ℓ)} ‖^{2}

(2.30)

为所有人

ξ \in {F类}_{⊥}

⁠.

证明。

我们估计

\begin{align} |⟨ξ^{(ℓ)}, {K（K）}_{2} ξ^{(ℓ - 2)}⟩| = \frac{1}{2} |\int d日 x个 d日 年 ⟨ξ^{(ℓ)}, K（K） (x个, 年) 一_{x个}^{*} 一_{年}^{*} ξ^{(ℓ - 2)}⟩| \\ = \frac{1}{2} |\int d日 k个 \hat{v（v）} (k个) ⟨\int d日 x个 φ (x个) {e（电子）}^{ikx公司} 一_{x个} ξ^{(ℓ)}, \int d日 年 φ (年) {e（电子）}^{宜家（iky）} 一_{年}^{*} ξ^{(ℓ - 2)}⟩| \\ \leq \frac{1}{4} \int d日 k个 \hat{v（v）} (k个) ({‖\int d日 x个 φ (x个) {e（电子）}^{ikx公司} 一_{x个} ξ^{(ℓ)}‖}^{2} + {‖\int d日 年 φ (年) {e（电子）}^{宜家（iky）} 一_{年}^{*} ξ^{(ℓ - 2)}‖}^{2}) \end{align}

(2.31)

并注意到

\int d日 k个 \hat{v（v）} (k个) {‖\int d日 x个 φ (x个) {e（电子）}^{ikx公司} 一_{x个} ξ^{(ℓ)}‖}^{2} = ⟨ξ^{(ℓ)}, {K（K）}_{1} ξ^{(ℓ)}⟩

(2.32)

虽然

\begin{align} \int d日 k个 \hat{v（v）} (k个) {‖\int d日 x个 φ (x个) {e（电子）}^{ikx公司} 一_{x个}^{*} ξ^{(ℓ - 2)}‖}^{2} = \int d日 x个 d日 年 K（K） (x个, 年) ⟨ξ^{(ℓ - 2)}, 一_{x个} 一_{年}^{*} ξ^{(ℓ - 2)}⟩ \\ = v（v） (0) \int d日 x个 φ {(x个)}^{2} ‖ ξ^{(ℓ - 2)} ‖^{2} + ⟨ξ^{(ℓ - 2)}, {K（K）}_{1} ξ^{(ℓ - 2)}⟩, \end{align}

(2.33)

我们使用的位置

一_{x个} 一_{年}^{*} = δ (x个 - 年) + 一_{年}^{*} 一_{x个}

和K（K）(x个,年) =K（K）(年,x个).

引理的第二个界来自ℓ↦ℓ+2和 ${({K（K）}_{2}^{†})}^{†} = {K（K）}_{2}$ ⁠.■

引理2.4。

假设（A2）中有一个常数 C> 0所以所有人 ℓ≤δN（牛顿）, δ∈ (0, 1)，我们有

|⟨ξ^{(ℓ)}, {K（K）}_{三} ξ^{(ℓ - 1)}⟩| \leq {(δ N个)}^{1 / 2} (C ℓ ‖ ξ^{(ℓ)} ‖^{2} + (ℓ - 1) ‖ ξ^{(ℓ - 1)} ‖^{2})

(2.34)

|⟨ξ^{(ℓ)}, {K（K）}_{三}^{†} ξ^{(ℓ + 1)}⟩| \leq {(δ N个)}^{1 / 2} (C ℓ ‖ ξ^{(ℓ)} ‖^{2} + (ℓ + 1) ‖ ξ^{(ℓ + 1)} ‖^{2})

(2.35)

对于每个

ξ \in {F类}_{⊥}

⁠.

证明。

使用W公司²*φ²‖_∞≤C科西-施瓦兹再次表示

\begin{align} |⟨ξ^{(ℓ)}, {K（K）}_{三} ξ^{(ℓ - 1)}⟩| & = |\int d日 {x个}_{2} W公司 ({x个}_{1}, {x个}_{2}) φ ({x个}_{1}) ⟨ξ^{(ℓ)}, 一_{{x个}_{1}}^{*} 一_{{x个}_{2}}^{*} 一_{{x个}_{2}} ξ^{(ℓ - 1)}⟩| \\ \leq C \int d日 {x个}_{2} {({W公司}^{2} * φ^{2} (x个))}^{1 / 2} ‖ 一_{{x个}_{2}} {N个}^{1 / 2} ξ^{(ℓ)} ‖ ‖ 一_{{x个}_{2}} ξ^{(ℓ - 1)} ‖ \\ \leq C ℓ^{三 / 2} ‖ ξ^{(ℓ - 1)} ‖ ‖ ξ^{(ℓ)} ‖ \end{align}

(2.36)

类似地，对于涉及

{K（K）}_{三}^{†}

⁠.■

引理2.5。

对于‖v（v）‖_∞≤C，我们有 ℓ≤δN（牛顿）, δ∈ (0, 1),

|⟨ξ^{(ℓ)}, {K（K）}_{4} ξ^{(ℓ)}⟩| \leq C δ N个 ℓ ‖ ξ^{(ℓ)} ‖^{2}

(2.37)

对于每个

ξ \in {F类}_{⊥}

⁠.

证明很简单，因此省略了。

引理2.1的证明。

我们将分两步来证明这个引理。

步骤1。我们取状态的标量积χ^(ℓ)在特征值方程的两边 $H（H） χ = ({E类}_{N个} - N个 {e（电子）}_{H（H）}) χ$ ⁠.使用E类_N个−氖_H（H）≤ 0, $N个 χ^{(ℓ)} = ℓ χ^{(ℓ)}$ 并将两边乘以N个−1，我们得到

\begin{align} 0 \geq & (N个 - 1) ⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{0} χ^{(ℓ)}⟩ + 一 (ℓ) ⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{1} χ^{(ℓ)}⟩ \\ + b (ℓ - 2) ⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{2} χ^{(ℓ - 2)}⟩ + b (ℓ) ⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{2}^{†} χ^{(ℓ + 2)}⟩ \\ + c（c） (ℓ - 1) ⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{三} χ^{(ℓ - 1)}⟩ + c（c） (ℓ) ⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{三}^{†} χ^{(ℓ + 1)}⟩ + ⟨χ^{(ℓ)} {K（K）}_{4} χ^{(ℓ)}⟩ \end{align}

（2.38）

和调用

{K（K）}_{0} \geq τ N个

⁠，我们发现

\begin{align} (N个 - 1) τ ℓ ‖ χ^{(ℓ)} ‖^{2} + 一 (ℓ) ⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{1} χ^{(ℓ)}⟩ \\ \leq - b (ℓ - 2) ⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{2} χ^{(ℓ - 2)}⟩ - b (ℓ) ⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{2}^{†} χ^{(ℓ + 2)}⟩ \\ - c（c） (ℓ - 1) ⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{三} χ^{(ℓ - 1)}⟩ - c（c） (ℓ) ⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{三}^{†} χ^{(ℓ + 1)}⟩ \\ - ⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{4} χ^{(ℓ)}⟩ . \end{align}

(2.39)

为了便于阅读，让我们缩写一下（f）(ℓ) ≔ℓ‖χ^(ℓ)‖²,

克 (ℓ) ≔ ⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{1} χ^{(ℓ)}⟩

和

{R（右）}_{2} (ℓ) : = - b (ℓ - 2) ⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{2} χ^{(ℓ - 2)}⟩ - b (ℓ) ⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{2}^{†} χ^{(ℓ + 2)}⟩

(2.40)

{R（右）}_{三} (ℓ) ≔ - c（c） (ℓ - 1) ⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{三} χ^{(ℓ - 1)}⟩ - c（c） (ℓ) ⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{三}^{†} χ^{(ℓ + 1)}⟩

(2.41)

{R（右）}_{4} (ℓ) ≔ - ⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{4} χ^{(ℓ)}⟩ .

(2.42)

这样的不平等读取

(N个 - 1) τ （f） (ℓ) + 一 (ℓ) 克 (ℓ) \leq {R（右）}_{2} (ℓ) + {R（右）}_{三} (ℓ) + {R（右）}_{4} (ℓ) .

(2.43)

由于是非负的，我们可以应用引理2.6来估计

| {R（右）}_{2} (ℓ) | \leq \frac{1}{4} (b (ℓ - 2) 克 (ℓ) + b (ℓ - 2) 克 (ℓ - 2) + b (ℓ) 克 (ℓ) + b (ℓ) 克 (ℓ + 2)) + C N个 ℓ^{- 1} （f） (ℓ) + C ‖ χ^{(ℓ - 2)} ‖^{2}

(2.44)

我们在哪里用的

b (ℓ - 2), b (ℓ) \leq N个

和v（v）(0) ≤C。请注意，对于ℓ− 2 ≥δ^−1/2对一些人来说δ∈（0，1），我们可以用‖约束最后一项χ^(ℓ−2）‖²≤δ^1/2（f）(ℓ− 2). 如果我们进一步限制ℓ到ℓ≤δN（牛顿），根据引理2.4

| {R（右）}_{三} (ℓ) | \leq \sqrt{N个} (|⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{三} χ^{(ℓ - 1)}⟩| + |⟨χ^{(ℓ)}, {K（K）}_{三} χ^{(ℓ + 1)}⟩|) \leq C N个 δ^{1 / 2} （f） (ℓ) + N个 δ^{1 / 2} （f） (ℓ - 1) + N个 δ^{1 / 2} （f） (ℓ + 1)

（2.45）

我们使用的位置

c（c） (ℓ - 1) \leq c（c） (ℓ) \leq \sqrt{N个}

⁠此外，根据引理2.5|R（右）₄(ℓ)| ≤CNδf(ℓ). 因此，我们得出

\begin{align} 4 (N个 - 1) (τ - C ℓ^{- 1} - C δ^{1 / 2}) （f） (ℓ) \leq b (ℓ - 2) 克 (ℓ) + b (ℓ - 2) 克 (ℓ - 2) - 2 一 (ℓ) 克 (ℓ) \\ + b (ℓ) 克 (ℓ) + b (ℓ) 克 (ℓ + 2) - 2 一 (ℓ) 克 (ℓ) \\ + C N个 δ^{1 / 2} (（f） (ℓ + 1) + （f） (ℓ - 1) + （f） (ℓ - 2)) . \end{align}

(2.46)

我们现在选择ℓ≥c（c）足够大并且δ足够小，使得左侧从下方以2为界Nτf(ℓ). 此外，我们将右侧的前两行写为

b (ℓ - 2) 克 (ℓ - 2) - b (ℓ) 克 (ℓ) + b (ℓ) 克 (ℓ + 2) - b (ℓ - 2) 克 (ℓ) + 2 (b (ℓ) - 一 (ℓ)) 克 (ℓ) + 2 (b (ℓ - 2) - 一 (ℓ)) 克 (ℓ)

(2.47)

并使用它

b (ℓ) - 一 (ℓ) \leq 0, b (ℓ - 2) - 一 (ℓ) \leq C, 克 (ℓ) \leq C （f） (ℓ),

(2.48)

其中最后一个界来自引理2.2。因此，我们得到了不等式

\begin{align} N个 τ （f） (ℓ) & \leq b (ℓ - 2) 克 (ℓ - 2) - b (ℓ) 克 (ℓ) + b (ℓ) 克 (ℓ + 2) - b (ℓ - 2) 克 (ℓ) \\ + C N个 δ^{1 / 2} (（f） (ℓ + 1) + （f） (ℓ - 1) + （f） (ℓ - 2)) . \end{align}

(2.49)

现在，我们把两边加起来{L（左）−ℓ, …,L（左）+ℓ}. 在左侧，这表示

N个 τ {F类}_{L（左）} (ℓ) ≔ N个 τ \sum_{k个 = ℓ - L（左）}^{ℓ + L（左）} k个 ‖ χ^{(k个)} ‖^{2},

(2.50)

而右边的术语是以

\sum_{k个 = ℓ - L（左）}^{ℓ + L（左）} (b (k个 - 2) 克 (k个 - 2) - b (k个) 克 (k个)) \leq b (ℓ - L（左） - 2) 克 (ℓ - L（左） - 2) \leq C N个 （f） (ℓ - L（左） - 2)

(2.51)

和

\sum_{k个 = ℓ - L（左）}^{L（左） + ℓ} (b (k个) 克 (k个 + 2) - b (k个 - 2) 克 (k个)) \leq b (ℓ + L（左）) 克 (ℓ + L（左） + 2) \leq C N个 （f） (ℓ + L（左） + 2)

(2.52)

和

\begin{align} \sum_{k个 = ℓ - L（左）}^{ℓ + L（左）} N个 δ^{1 / 2} (（f） (ℓ + 1) + （f） (ℓ - 1) + （f） (ℓ - 2)) \\ \leq 三 N个 δ^{1 / 2} {F类}_{L（左）} (ℓ) + N个 (（f） (ℓ - L（左） - 1) + （f） (ℓ + L（左） + 1) + （f） (ℓ - L（左） - 2)), \end{align}

(2.53)

我们使用的位置δ^1/2≤ 1/2.

把所有的东西放在一起，我们得出结论：存在一个常数0<μ≤C(τ−Cδ^1/2)对于所有允许值ℓ，也就是说，2+δ^−1/2≤ℓ≤δN（牛顿）足够小的δ而且都很大N个，我们有

μ {F类}_{L（左）} (ℓ) \leq （f） (ℓ + L（左） + 2) + （f） (ℓ + L（左） + 1) + （f） (ℓ - L（左） - 1) + （f） (ℓ - L（左） - 2) .

(2.54)

第2步。我们通过估计

\begin{align} {F类}_{L（左）} (ℓ + L（左）) + {F类}_{L（左）} (ℓ - L（左）) & \geq \sum_{k个 = ℓ + L（左） + 1}^{ℓ + 2 L（左）} （f） (k个) + \sum_{k个 = ℓ - 2 L（左）}^{ℓ - L（左） - 1} （f） (k个) \\ \geq μ ({F类}_{L（左）} (ℓ) + {F类}_{L（左） + 2} (ℓ) + {F类}_{L（左） + 4} (ℓ) + \dots + {F类}_{2 L（左） - 2} (ℓ)) \end{align}

(2.55)

其中我们使用了F类_L（左）(ℓ)在第一步中应用不等式具有L（左）→L（左）+j个第二步就是，

（f） (ℓ + L（左） + j个 + 2) + （f） (ℓ + L（左） + j个 + 1) + （f） (ℓ - L（左） - j个 - 2) + （f） (ℓ - L（左） - j个 - 1) \geq μ {F类}_{L（左） + j个} (ℓ)

(2.56)

对于j个= 0, …,L（左）− 2.

最后，我们调用F类_{L（左）+j个}(ℓ) ≥F类_L（左）(ℓ)得到期望的不等式

{F类}_{L（左）} (ℓ + L（左）) + {F类}_{L（左）} (ℓ - L（左）) \geq \frac{μ}{2} (L（左） - 三) {F类}_{L（左）} (ℓ) ≕ σ {F类}_{L（左）} (ℓ) .

(2.57)

通过选择L（左）足够大了，我们有σ>2，完成引理2.1的证明。■

E.排斥库仑势的扩展

我们简要解释了引理证明2.1是如何在第。II D类需要进行调整以覆盖库仑势v（v）(x个) =λ|x个|⁻¹具有λ> 0. 自‖起v（v）² $*$ φ²‖_∞<∞，引理2.2和2.4仍然适用。另一方面，引理2.5是不需要的，因为我们可以使用 ${K（K）}_{4} \geq 0$ 在里面（2.38）（请注意，我们没有假设v（v）在有界情况下）。唯一的障碍来自引理2.3的使用，它需要v（v）(0) <∞对于排斥库仑势，我们用以下语句替换引理2.3。

引理2.6。

让 v（v）(x个) =λ|x个|⁻¹ 具有 λ> 0.有一个常数 C> 0这样，对于每一个 ɛ> 0存在一个常数 ν(ɛ) > 0，因此

4 |⟨ξ^{(ℓ)}, {K（K）}_{2} ξ^{(ℓ - 2)}⟩| \leq 克 (ℓ) + 克 (ℓ - 2) + ν (ε) ‖ ξ^{(ℓ - 2)} ‖^{2} + ε (（f） (ℓ - 2) + （f） (ℓ))

(2.58)

为所有人

ξ \in {F类}_{⊥}

，其中

克 (ℓ) = ⟨ ξ^{(ℓ)}, {K（K）}_{1} ξ^{(ℓ)} ⟩

和 （f）(ℓ) =ℓ‖ξ^(ℓ)‖².

为 $| ⟨ ξ^{(ℓ)}, {K（K）}_{2}^{†} ξ^{(ℓ + 2)} ⟩ |$ 通过以下方式获得ℓ↦ℓ+2和 ${({K（K）}_{2}^{†})}^{†} = {K（K）}_{2}$ ⁠.调用引理2.6以绑定|R（右）₂(ℓ)|英寸（2.44），关键是我们可以选择ɛ小到我们想要的大小（但总是固定w.r.t。N个)，说吧ɛ≤δ^1/2这是以一个大因素为代价的ν(ɛ)，可以通过限制以下值进行补偿ℓ到ℓ≥ 2 +δ^−1/2ν(ɛ). 这样，我们可以将第三项绑定在(2.58)通过 $ν (ε) ‖ ξ^{(ℓ - 2)} ‖^{2} = \frac{ν (ε)}{ℓ - 2} （f） (ℓ - 2) \leq δ^{1 / 2} （f） (ℓ - 2)$ ⁠因此ɛ-中的从属项(2.58)以…为界δ^1/2(2（f）(ℓ− 2) +（f）(ℓ))有了这一点，证明的其余步骤完全类似于有界情况。

引理2.6的证明。

我们写作

v（v） = {v（v）}_{κ} + {v（v）}_{κ}^{⊥}

具有v（v）_κ(x个) =v（v）(x个)（1−经验（−|x个|/κ)),κ>0，并观察到v（v）_κ(0) =λκ⁻¹和

\hat{{v（v）}_{κ}} \geq 0

⁠傅里叶变换的非负性来自于Yukawa势的傅里叶转换x个↦v（v）(x个)经验（−|x个|/κ)小于库仑势的傅里叶变换。此外，我们还有

‖ {({v（v）}_{κ}^{⊥})}^{2} * φ^{2} ‖_{\infty} \to 0

作为κ→ 0，这是

{（f）}_{κ} (x个) ≔ {({v（v）}_{κ}^{⊥})}^{2} * φ^{2} (x个)

严格单调递减为κ→ 0，即。，（f）_κ(x个)负极（f）_η(x个) =λ∫第y天|x个−年|⁻²(e（电子）^{−2|x个−年|/κ}−e（电子）^{−2|x个−年|/η})φ(年)²>0代表全部

x个 \in {R（右）}^{三}

和κ>η，其中我们使用了积极的φ与第。二、A，我们介绍K（K）_κ(x个,年) =φ(x个)v（v）_κ(x个−年)φ(年)以及

{K（K）}_{2, κ}

和

{K（K）}_{1, κ}

⁠.对于涉及的部分v（v）_κ，我们可以按照引理2.3的证明进行，它给出了

4 |⟨ξ^{(ℓ)}, {K（K）}_{2, κ} ξ^{(ℓ - 2)}⟩| \leq ⟨ξ^{(ℓ)}, {K（K）}_{1, κ} ξ^{(ℓ)}⟩ + ⟨ξ^{(ℓ - 2)}, {K（K）}_{1, κ} ξ^{(ℓ - 2)}⟩ + λ κ^{- 1} ‖ ξ^{(ℓ - 2)} ‖^{2} .

（2.59）

将Lemnma 2.2应用于

{v（v）}_{κ}^{⊥} = v（v） - {v（v）}_{κ}

和使用

‖ {({v（v）}_{κ}^{⊥})}^{2} * φ^{2} ‖_{\infty} \to 0

作为κ→ 0，我们还有

|⟨ξ^{(ℓ)}, ({K（K）}_{1, κ} - {K（K）}_{1}) ξ^{(ℓ)}⟩| \leq ‖ {({v（v）}_{κ}^{⊥})}^{2} * φ^{2} ‖_{\infty}^{1 / 2} ℓ ‖ ξ^{(ℓ)} ‖^{2} \leq δ (κ) ℓ ‖ ξ^{(ℓ)} ‖^{2}

(2.60)

对于某些序列δ(κ)→0作为κ→ 为了估计余项，我们应用两次Cauchy–Schwarz（类似于引理证明2.2）来获得

\begin{align} |⟨ξ^{(ℓ)}, ({K（K）}_{2} - {K（K）}_{2, κ}) ξ^{(ℓ - 2)}⟩| = |\int d日 x个 d日 年 φ (x个) {v（v）}_{κ}^{⊥} (x个 - 年) φ (年) ⟨χ^{(ℓ)}, 一_{x个}^{*} 一_{年}^{*} χ^{(ℓ - 2)}⟩| \\ \leq C ‖ {({v（v）}_{κ}^{⊥})}^{2} * φ^{2} ‖_{\infty}^{1 / 2} ℓ ‖ ξ^{(ℓ)} ‖ ‖ ξ^{(ℓ - 2)} ‖ \leq δ (κ) ℓ ‖ ξ^{(ℓ)} ‖ ‖ ξ^{(ℓ - 2)} ‖ . \end{align}

(2.61)

这意味着引理的陈述。■

致谢

我们感谢Lea Boßmann、Phan Thánh Nam和Simone Rademacher的有益评论。P.P.承认由德国联邦研究基金会（DFG，德国研究基金会）资助，批准号SFB/TRR 352“多体量子系统及其集体现象的数学”

作者声明

利益冲突

作者没有冲突需要披露。

作者贡献

大卫·米特鲁斯卡斯：概念化（相等）。彼得·皮克尔：概念化（相等）。

数据可用性

数据共享不适用于本文，因为本研究没有创建或分析新数据。

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弱相互作用玻色气体激发数的指数衰减

一、简介及主要成果

二、。证明

A.激发哈密顿量

B.证据的想法

C.差分不等式和定理1.1的证明

D.差分不等式的证明

E.排斥库仑势的扩展

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弱相互作用玻色气体激发数的指数衰减

一、简介及主要成果

二、。证明

A.激发哈密顿量

B.证据的想法

C.差分不等式和定理1.1的证明

D.差分不等式的证明

E.排斥库仑势的扩展

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