关于随机或W对称Ito方程的积分

可以考虑时间重成像32–34; 但这并不会从根本上改变情况，也不会在公式中产生一些复杂性。我们顺便注意到，在考虑W对称性时，时间的重缩放可能是相关的，这会产生噪声项的重缩放。

事实上，人们可能会争辩说，如果在变量变化的情况下不保持对称性，那么谈论对称性是没有意义的。所以这个问题对于伊藤随机方程对称性的存在是至关重要的。

伊藤-斯特拉托诺维奇通信实际上提出了一些微妙的观点；对于这些，读者可以参考11.

通过考虑斯特拉托诺维奇与给定Ito 1相关的方程。人们应该再次记住，伊藤方程和斯特拉托诺维奇方程之间的对应关系涉及一些微妙之处11这也是为什么我们更喜欢处理伊藤方程本身的原因之一。我们还记得，伊藤方程和相关的斯特拉托诺维奇方程的（确定方程，因此）对称性之间的对应关系已被证明是完全通用的标准对称性35该证明不适用于W对称性（当时文献中尚未介绍）；有关这方面的讨论，请参阅第。七、.

这一点并不明显，因为向量场在链式规则下变换，方程在伊藤规则下变换；但这是可以证明的35和36或者，考虑到SDE的Stratonovich代表性，这一点变得显而易见；但我们应该证明Ito方程和Stratonovich方程的对称性是一致的。

事实上，(5.7)定义Ψ直至积分常数，即任意函数w个和t吨; 我们认为这是零。

从现在起(x个,t吨)和w个变量在X（X）.分裂W对称已经在22; 查看那里的一些属性。关于（分裂）W-对称性在适当Ito方程积分中的使用的讨论也在附录B到40.

可以想象，存在不同的SDE积分方式，与确定性方程的积分方式相同（想想Arnold-Liouville方法与Lax方法）。从这个意义上说，可以希望在尺度变换下不变的（广义）伊藤方程可以比一般方程更有效地处理，例如使用重整化群技术来查看平衡分布（参见。43)或路径积分法（参见示例。44).

上述公式通过取一(t吨) =b条(t吨) = 1; 这种简化的设置不会改变相关事实。

不能排除它们可以通过不同的机制用于方程积分，另请参阅备注9的脚注。我不知道这方面有什么结果。

我们顺便注意到，这通常也是证明矫直（或“流箱”）定理的初步步骤37.

我们没有使用符号σ◦数据仓库因为现在我们处理的是实数，而不是随机微分方程。

这是一句微不足道的话，但为了避免任何可能的混淆，可能值得一提的是，每当我们改变变量时，Ito LaplacianΔ都是使用新变量方程的噪声系数定义的。