Classification of degenerate non-homogeneous Hamiltonian operators

Dell’Atti, Marta; Vergallo, Pierandrea

doi:10.1063/5.0135134

我们研究由一阶Dubrovin–Novikov算子和超局部算子组成的非齐次Hamilton算子。这类算符的研究是与一类哈密顿标量方程相关联的逆方程组的基础。通常，所涉及的运算符在一阶项中是退化的。为此，给出了二分量和三分量系统中退化超前系数算子的完全分类。

I.简介

偏微分方程的哈密顿形式是研究非线性系统的主要工具之一，^1,2遵循著名的有限维发展理论。如参考文献所示。三和4哈密顿算符将守恒量与系统的对称性联系起来，将前者映射到后者，然后对解的结构进行更深入的研究。这种形式主义代表了几何学和数学物理之间强大的理论和实践联系。^5–7Dubrovin和Novikov引入了微分几何泊松括号，将其作为传统哈密顿力学中有限维辛结构的自然延伸，并在非线性偏微分方程的几个例子中出现。这些结构的特征与（伪）黎曼几何和代数几何有关，特别是对于1+1维（或自变量）系统x个,t吨).

更一般地说，几何方法是广泛用于寻找系统解的成熟工具，例如Tsarev引入的广义速度图方法，⁸对严格双曲线系统有效。哈密顿公式也被用来讨论可积性。特别是，找到两个相容的哈密顿结构与无限多个交换对称性和守恒定律的存在密切相关，正如Magri所证明的那样。⁹在流体动力学类型系统的背景下，描述可积性的方法是基于对所谓的流体动力学约简方法中几何元素的分析，该方法是为2+1维系统开发的^10,11然后扩展到具有无穷多个分量的1+1维系统。¹²

首先，我们回顾有关哈密顿形式主义的一些基本概念。⁵让我们考虑一个由n个字段变量，

{u个}^{我} = {u个}^{我} (t吨, x个), 我 = 1, \dots, n个,

(1)

取决于自变量t吨,x个，并让

{u个}_{σ}^{我}

表示x个-的导数uσ次。哈密顿算符是线性算符一个^ij公司=一^ijσD类_σ这样，函数的相关括号如果,克,

{如果, 克} = \int \frac{δ 如果}{δ {u个}^{我}} {一个}^{我 j个} \frac{δ 克}{δ {u个}^{j个}} d日 x个,

(2)

是泊松括号，即它是双线性和偏对称的，并且满足雅可比恒等式，

\begin{aligned} {如果, 克} = - {克, 如果}, \\ {如果, {克, 小时}} + {克, {小时, 如果}} + {小时, {如果, 克}} = 0 . \end{aligned}

进化系统

{u个}_{t吨}^{我} = {F类}^{我} (x个, u个, {u个}_{σ}),

(3)

具有

u个 = {{u个}^{我}}_{我 = 1}^{n个}

⁠，如果它允许以下表示，则为哈密顿量：

{u个}_{t吨}^{我} = {F类}^{我} (x个, u个, {u个}_{σ}) = {一个}^{我 j个} \frac{δ H（H）}{δ {u个}^{j个}},

(4)

哪里δ是变分导数；H（H）是哈密顿函数H（H）=¨h（小时）(u个)dx公司用哈密顿密度表示小时; 和一个是哈密顿算符。

杜布罗文和诺维科夫^6,13提出了一类哈密顿算符，它们在求导顺序上是齐次的，也称为齐次哈密顿算符。他们证明了¹³形式的一阶齐次算子

克^{我 j个} ⏴_{x个} + Γ_{k个}^{我 j个} {u个}_{x个}^{k个}

(5)

带det 克≠0是哈密顿量当且仅当

\begin{aligned} 克_{我 j个} & = {(克^{我 j个})}^{- 1}, \\ Γ_{k个}^{我 j个} & = - 克^{我 秒} Γ_{秒 k个}^{j个}, \end{aligned}

(6)

即。，克^ij公司是单位度量，系数

Γ_{j个 k个}^{我}

是公制张量的Christoffel符号克这种类型的算子自然出现在一阶偏微分方程的齐次拟线性系统中，也称为流体动力型系统,

{u个}_{t吨}^{我} = {v（v）}_{j个}^{我} (u个) {u个}_{x个}^{j个}, 我 = 1, \dots, n个,

(7)

哪里

v（v） (u个) = {({v（v）}_{j个}^{我})}_{1 \leq 我, j个 \leq n个}

是取决于字段变量的系数矩阵。的确，如果()是带有Dubrovin–Novikov算子的哈密顿量()，可以表示为

{u个}_{t吨}^{我} = {v（v）}_{j个}^{我} (u个) {u个}_{x个}^{j个} = {一个}^{我 j个} \frac{⏴ 小时}{⏴ {u个}^{j个}} = (克^{我 j个} ⏴_{x个} + Γ_{k个}^{我 j个} {u个}_{x个}^{k个}) \frac{⏴ 小时}{⏴ {u个}^{j个}} = (\nabla^{我} \nabla_{j个} 小时) {u个}_{x个}^{j个},

(8)

哪里小时=小时(u个)是流体动力哈密顿密度和_我是协变导数。

在高阶齐次算子的情况下米，Dubrovin–Novikov算子概括为

{一个}^{我 j个} = 克^{我 j个} {D类}_{x个}^{米} + {b条}_{k个}^{我 j个} {u个}_{x个}^{k个} {D类}_{x个}^{米 - 1} + ({C类}_{k个}^{我 j个} {u个}_{x个 x个}^{k个} + {C类}_{k个 我}^{我 j个} {u个}_{x个}^{k个} {u个}_{x个}^{我}) {D类}_{x个}^{米 - 2} + \dots + ({d日}_{k个}^{我 j个} {u个}_{n个 x个}^{k个} + \dots + {d日}_{{k个}_{1} \dots {k个}_{米}}^{我 j个} {u个}_{x个}^{{k个}_{1}} \dots {u个}_{x个}^{{k个}_{米}}),

(9)

其中系数

{b条}_{k个}^{我 j个}, {C类}_{k个}^{我 j个}, \dots

取决于字段变量。Dubrovin和Novikov也提出了均匀结构的扩展，⁶引入非均质的哈密顿算符是两个或多个齐次算符的和。Korteweg–de Vries方程是这方面的一个主要例子，

{u个}_{t吨} = 6 u个 {u个}_{x个} + {u个}_{xxx},

(10)

它通过算符具有哈密顿结构

一个 = ⏴_{x个}^{三} + 2 u个 ⏴_{x个} + {u个}_{x个},

(11)

由三阶算子之和给出

⏴_{x个}^{三}

和一阶算子2u∈_x个+u个_x个.

根据Dubrovin和Novikov使用的符号，如果一个算子是由两个齐次算子的和给出的k个和米分别通过求和表示非齐次算子的阶k个+米.

让我们考虑最简单的情况k个=1和米对于所谓的非齐次流体动力学型算子1 + 0. 它们自然出现在一阶偏微分方程的非齐次拟线性系统中。让C类^ij公司=一个^ij公司+ω^ij公司，其中一个^ij公司为1级同质ω^ij公司是0阶辛结构。人们可以很容易地概括()到这种类型的系统，

{u个}_{t吨}^{我} = (克^{我 j个} ⏴_{x个} + Γ_{k个}^{我 j个} {u个}_{x个}^{k个} + ω^{我 j个}) \frac{⏴ 小时}{⏴ {u个}^{j个}} = (\nabla^{我} \nabla_{j个} 小时) {u个}_{x个}^{j个} + {\tilde{\nabla}}^{我} 小时,

(12)

哪里

{\tilde{\nabla}}^{我} = ω^{我 秒} \nabla_{秒}

和+_秒是标准渐变。

三波方程给出了具有这种结构的非齐次拟线性系统的一个显著例子，⁵^,

\{\begin{cases} {u个}_{t吨}^{1} = - {c（c）}_{1} {u个}_{x个}^{1} - 2 ({c（c）}_{2} - {c（c）}_{三}) {u个}^{2} {u个}^{三}, \\ {u个}_{t吨}^{2} = - {c（c）}_{2} {u个}_{x个}^{2} - 2 ({c（c）}_{1} - {c（c）}_{三}) {u个}^{1} {u个}^{三}, \\ {u个}_{t吨}^{三} = - {c（c）}_{三} {u个}_{x个}^{三} - 2 ({c（c）}_{2} - {c（c）}_{1}) {u个}^{1} {u个}^{2}, \end{cases}

(13)

它是带算符的哈密顿量

{C类}^{我 j个} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) ⏴_{x个} + (\begin{matrix} 0 & - 2 {u个}^{三} & 2 {u个}^{2} \\ 2 {u个}^{三} & 0 & 2 {u个}^{1} \\ - 2 {u个}^{2} & - 2 {u个}^{1} & 0 \end{matrix}) .

(14)

最后，遵循Tsarev介绍的方法，¹⁴我们将看到非齐次流体动力学算子是如何出现在一类由演化哈密顿方程反演得到的系统中的（参见定理IV.1）。通常，这种方程的反演会导致主导系数的退化克^ij公司在一阶算子中。这是研究退化1+0结构的强烈动机。

在本文中，我们给出了形式为二分量和三分量系统的哈密顿算子的完整分类

{C类}^{我 j个} = 克^{我 j个} ⏴_{x个} + {b条}_{k个}^{我 j个} {u个}_{x个}^{k个} + ω^{我 j个},

（15）

重点讨论主导系数退化的情况（即其秩低于系统的分量数），以及1+1维系统中一些相关的显著例子，这些例子显示了这一特征。Mokhov不仅在参考文献中指出了对这类算子进行更深入研究的重要性。5他在研究二波相互作用系统的实际约化过程中发现了这种类型的哈密顿结构，也是由杜布罗文和诺维肯本人发现的。⁶

在第。二在非退化或退化假设下，我们引入了流体力学型非齐次算子成为哈密顿算子的条件。我们建立了此类算子与一阶偏微分方程非齐次系统之间的联系，引入了相应的逆系统及其相关的哈密顿结构。在第。三，我们给出了具有两个和三个分量的系统的1+0型退化算子的完全分类，直到由场变量定义的流形的微分同胚。在第。四、，我们提供了几个哈密顿结构符合上述分类的示例，特别强调了逆哈密顿系统。

二、。非均匀流体动力学算子

在本节中，我们将回顾参考文献。6并在参考文献中进行了进一步研究。15和16.

引入流体动力型非齐次算子作为齐次哈密顿算子的自然推广(),

{C类}^{我 j个} = 克^{我 j个} ⏴_{x个} + {b条}_{k个}^{我 j个} {u个}_{x个}^{k个} + ω^{我 j个},

(16)

哪里

克^{我 j个}, {b条}_{k个}^{我 j个}

⁠、和ω^ij公司取决于字段变量u个然后，将水动力类型的潜在非齐次局部泊松结构定义为

{{u个}^{我} (x个), {u个}^{j个} (年)} = 克^{我 j个} (u个 (x个)) δ_{x个} (x个 - 年) + {b条}_{k个}^{我 j个} (u个 (x个)) {u个}_{x个}^{k个} δ (x个 - 年) + ω^{我 j个} (u个 (x个)) δ (x个 - 年) .

(17)

注意，类型1+0的运算符由两个同构运算符组成

{一个}^{我 j个} = 克^{我 j个} ⏴_{x个} + {b条}_{k个}^{我 j个} {u个}_{x个}^{k个}

订单1和ω^ij公司订单0。的条件C类^ij公司通过其齐次部分中每个部分都是哈密顿量的约束条件（分别是定理II.2和II.1）以及二者之间的一个附加兼容性条件（定理II.3），给出了哈密顿数。

我们记得零阶运算符，也称为超局部算子，是哈密顿量，如果满足以下条件。

定理II.1

（参考。5)。操作员ω^ij公司(u个)是哈密顿量，当且仅当它形成有限维泊松结构时，即满足以下条件：

ω^{我 j个} (u个) = - ω^{j个 我} (u个),

(18)

ω^{我 秒} \frac{⏴ ω^{j个 k个}}{⏴ {u个}^{秒}} + ω^{j个 秒} \frac{⏴ ω^{k个 我}}{⏴ {u个}^{秒}} + ω^{k个 秒} \frac{⏴ ω^{我 j个}}{⏴ {u个}^{秒}} = 0 .

(19)

我们注意到，在非退化情况下，即det ω^ij公司≠0，条件(18)和(19)分别是这两种形式的斜对称性和闭合性ω.

对于一阶算子，以下结果成立。

定理II.2

（参考。5)。操作员一个^ij公司哈密顿量是当且仅当

克^{我 j个} = 克^{j个 我},

(20)

\frac{⏴ 克^{我 j个}}{⏴ {u个}^{k个}} = {b条}_{k个}^{我 j个} + {b条}_{k个}^{j个 我},

(21)

克^{我 秒} {b条}_{秒}^{j个 k个} - 克^{j个 秒} {b条}_{秒}^{我 k个} = 0,

(22)

克^{我 秒} (\frac{⏴ {b条}_{秒}^{j个 第页}}{⏴ {u个}^{k个}} - \frac{⏴ {b条}_{k个}^{j个 第页}}{⏴ {u个}^{秒}}) + {b条}_{秒}^{我 j个} {b条}_{k个}^{秒 第页} - {b条}_{秒}^{我 第页} {b条}_{k个}^{秒 j个} = 0,

(23)

克^{我 秒} \frac{⏴ {b条}_{q个}^{j个 第页}}{⏴ {u个}^{秒}} - {b条}_{秒}^{我 j个} {b条}_{q个}^{秒 第页} - {b条}_{秒}^{我 第页} {b条}_{q个}^{j个 秒} = 克^{j个 秒} \frac{⏴ {b条}_{q个}^{我 第页}}{⏴ {u个}^{秒}} - {b条}_{秒}^{j个 我} {b条}_{q个}^{秒 第页} - {b条}_{q个}^{我 秒} {b条}_{秒}^{j个 第页},

(24)

和

\sum_{(q个, k个)} \{\frac{⏴}{⏴ {u个}^{q个}} (克^{我 秒} (\frac{⏴ {b条}_{秒}^{j个 第页}}{⏴ {u个}^{k个}} - \frac{⏴ {b条}_{k个}^{j个 第页}}{⏴ {u个}^{秒}}) + {b条}_{秒}^{我 j个} {b条}_{k个}^{秒 第页} - {b条}_{秒}^{我 第页} {b条}_{k个}^{秒 j个}) + \sum_{(我, j个, k个)} ({b条}_{q个}^{秒 我} (\frac{⏴ {b条}_{k个}^{j个 第页}}{⏴ {u个}^{秒}} - \frac{⏴ {b条}_{秒}^{j个 第页}}{⏴ {u个}^{k个}}))\} = 0,

(25)

总金额超过(q个,k个)和(我,j个,k个)关于指数的循环排列。

让我们注意到，这里没有关于度量的非简并性的假设。水动力型非齐次算子成为哈密顿算子的条件在以下定理中给出。

定理II.3

（参考文献。5和15)。操作员()哈密顿量是当且仅当

克^{我 j个} ⏴_{x个} + {b条}_{k个}^{我 j个} {u个}_{x个}^{k个}

是哈密顿量，ω^ij公司是哈密顿的并且满足相容性条件，

Φ^{我 j个 k个} = Φ^{k个 我 j个},

(26)

\frac{⏴ Φ^{我 j个 k个}}{⏴ {u个}^{第页}} = \sum_{(我, j个, k个)} {b条}_{第页}^{秒 我} \frac{⏴ ω^{j个 k个}}{⏴ {u个}^{秒}} + (\frac{⏴ {b条}_{第页}^{我 j个}}{⏴ {u个}^{秒}} - \frac{⏴ {b条}_{秒}^{我 j个}}{⏴ {u个}^{第页}}) ω^{秒 k个},

(27)

其中Φ^ijk公司是（3，0）张量，

Φ^{我 j个 k个} = 克^{我 秒} \frac{⏴ ω^{j个 k个}}{⏴ {u个}^{秒}} - {b条}_{秒}^{我 j个} ω^{秒 k个} - {b条}_{秒}^{我 k个} ω^{j个 秒} .

(28)

III、分为两部分和三部分的系统分类

萨沃尔迪¹⁷给出了二分量和三分量系统退化一阶齐次算子的一个完整分类。从这些结果出发，在本节中，我们提供了一种新的1+0型退化算子的完全分类。要获得ω^ij公司通过定理II.3，它足以解决条件(26)和(27)具有固定张量克^ij公司和 ${b条}_{k个}^{我 j个}$ ⁠，导致PDE系统过于确定。此外，我们需要超局部算子ω^ij公司成为哈密顿量(18)和(19)通过定理II.1。在附录，我们报告计算的详细信息。

以下计算是在Maple、Reduce和Mathematica中实现的计算机代数方法的支持下进行的。符号计算在可积系统和哈密顿结构中的应用本身就是一个正在进行的研究课题。^4,18

A.系统n个=2个组件

让我们考虑带有字段变量的两个组件的系统u个,v（v）一般来说，给定n个，流体动力系统的分量数，在退化情况下，算符克^ij公司可以按等级分类 $等级 (克^{我 j个}) = 米 < n个$ ⁠。在下面，我们明确了组件的数量n个对于操作员 ${C类}_{n个, k个}^{我 j个}$ ⁠，而索引k个用于区分不同的运算符。

对于n个=2，等级(克^ij公司)位于{0，1}中。案例等级的唯一解决方案(克^ij公司)=0是平凡的；然后，该算子降为辛形式(克^ij公司)=1，我们可以构造两个不同的运算符，

{C类}_{2, 1}^{我 j个} = (\begin{matrix} ⏴_{x个} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 如果 (v（v）) \\ - 如果 (v（v）) & 0 \end{matrix}),

(29)

{C类}_{2, 2}^{我 j个} = (\begin{matrix} ⏴_{x个} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & - \frac{{v（v）}_{x个}}{u个} \\ \frac{{v（v）}_{x个}}{u个} & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & \frac{如果 (v（v）)}{u个} \\ - \frac{如果 (v（v）)}{u个} & 0 \end{matrix}),

(30)

哪里如果(v（v）)是仅取决于变量的任意函数v（v）.

定理III.1。

两个分量中的每一个1+0型简并算子都可以映射到超局部哈密顿算子上，也可以映射到介于 ${C类}_{2, 1}^{我 j个}$ 和 ${C类}_{2, 2}^{我 j个}$ ⁠.

证明。

考虑定理II.3，我们计算满足(26)和(27)对于Savoldi在两个分量中引入的分类的每个退化算子。□

B.系统n个=3个组件

让我们考虑具有三个组件的系统的情况u个,v（v）,w个，其中退化度量具有 $等级 (克^{我 j个})$ 在{0,1,2}中。我们用表示如果,克,小时,我任意函数，指定对变量的显式依赖c（c）任意常数。

$等级 (克^{我 j个}) = 0$ ⁠:
${C类}_{三, 1}^{我 j个} = (\begin{matrix} 0 & {w个}_{x个} & 0 \\ - {w个}_{x个} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 如果 (u个, v（v）, w个) & 0 \\ - 如果 (u个, v（v）, w个) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .$
(31)
$等级 (克^{我 j个}) = 1$ ⁠:
${C类}_{三, 2}^{我 j个} = (\begin{matrix} ⏴_{x个} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 如果 (v（v）, w个) & 克 (v（v）, w个) \\ - 如果 (v（v）, w个) & 0 & 小时 (v（v）, w个) \\ - 克 (v（v）, w个) & - 小时 (v（v）, w个) & 0 \end{matrix}) .$
(32)
这里是函数如果(v（v）,w个)用函数表示小时(v（v）,w个)和克(v（v）,w个)作为
$如果 (v（v）, w个) = 小时 (v（v）, w个) (我 (w个) + \int_{1}^{v（v）} \frac{克 (秒, w个) ⏴_{w个} 小时 (秒, w个) - 小时 (秒, w个) ⏴_{w个} 克 (秒, w个)}{小时 {(秒, w个)}^{2}} d日秒),$
(33)
${C类}_{三, 三}^{我 j个} = (\begin{matrix} ⏴_{x个} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & {w个}_{x个} & 0 \\ - {w个}_{x个} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 如果 (v（v）, w个) & 0 \\ - 如果 (v（v）, w个) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}),$
(34)
${C类}_{三, 4}^{我 j个} = (\begin{matrix} ⏴_{x个} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 0 & - \frac{{w个}_{x个}}{u个} \\ 0 & 0 & 0 \\ \frac{{w个}_{x个}}{u个} & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 0 & \frac{如果 (v（v）, w个)}{u个} \\ 0 & 0 & 0 \\ - \frac{如果 (v（v）, w个)}{u个} & 0 & 0 \end{matrix}),$
(35)
${C类}_{三, 5}^{我 j个} = (\begin{matrix} ⏴_{x个} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & - \frac{{v（v）}_{x个}}{u个} & - \frac{{w个}_{x个}}{u个} \\ \frac{{v（v）}_{x个}}{u个} & 0 & 0 \\ \frac{{w个}_{x个}}{u个} & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & \frac{如果 (v（v）, w个)}{u个} & \frac{克 (v（v）, w个)}{u个} \\ - \frac{如果 (v（v）, w个)}{u个} & 0 & \frac{小时 (v（v）, w个)}{u个} \\ - \frac{克 (v（v）, w个)}{u个} & - \frac{小时 (v（v）, w个)}{u个} & 0 \end{matrix}),$
(36)
具有如果(v（v）,w个)在中给出(33).
$等级 (克^{我 j个}) = 2$ ⁠:
${C类}_{三, 6}^{我 j个} = (\begin{matrix} ⏴_{x个} & 0 & 0 \\ 0 & ⏴_{x个} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 如果 (w个) & 克 (w个) \\ - 如果 (w个) & 0 & c（c）克 (w个) \\ - 克 (w个) & - c（c）克 (w个) & 0 \end{matrix}),$
(37)
${C类}_{三, 7}^{我 j个} = (\begin{matrix} ⏴_{x个} & 0 & 0 \\ 0 & ⏴_{x个} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{{w个}_{x个}}{v（v）} \\ 0 & \frac{{w个}_{x个}}{v（v）} & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 0 & c（c）如果 (w个) \\ 0 & 0 & \frac{(1 - c（c） u个) 如果 (w个)}{v（v）} \\ - c（c）如果 (w个) & - \frac{(1 - c（c） u个) 如果 (w个)}{v（v）} & 0 \end{matrix}),$
(38)
$\begin{align} {C类}_{三, 8}^{我 j个} = (\begin{matrix} ⏴_{x个} & 0 & 0 \\ 0 & ⏴_{x个} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 0 & - \frac{w个 {w个}_{x个}}{u个 w个 - v（v）} \\ 0 & 0 & \frac{{w个}_{x个}}{u个 w个 - v（v）} \\ \frac{w个 {w个}_{x个}}{u个 w个 - v（v）} & - \frac{{w个}_{x个}}{u个 w个 - v（v）} & 0 \end{matrix}) \\ + (1 + {w个}^{2}) 如果 (w个) (\begin{matrix} 0 & \frac{1}{(1 + {w个}^{2})} & \frac{(w个 - c（c） v（v） \sqrt{1 + {w个}^{2}})}{u个 w个 - v（v）} \\ - \frac{1}{(1 + {w个}^{2})} & 0 & - \frac{(1 - c（c） u个 \sqrt{1 + {w个}^{2}})}{u个 w个 - v（v）} \\ - \frac{(w个 - c（c） v（v） \sqrt{1 + {w个}^{2}})}{u个 w个 - v（v）} & \frac{(1 - c（c） u个 \sqrt{1 + {w个}^{2}})}{u个 w个 - v（v）} & 0 \end{matrix}), \end{align}$
(39)
${C类}_{三, 9}^{我 j个} = (\begin{matrix} 0 & ⏴_{x个} & 0 \\ ⏴_{x个} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 如果 (w个) & c（c）克 (w个) \\ - 如果 (w个) & 0 & 克 (w个) \\ - c（c）克 (w个) & - 克 (w个) & 0 \end{matrix}),$
(40)
${C类}_{三, 10}^{我 j个} = (\begin{matrix} 0 & ⏴_{x个} & 0 \\ ⏴_{x个} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 0 & - \frac{{w个}_{x个}}{v（v）} \\ 0 & 0 & 0 \\ \frac{{w个}_{x个}}{v（v）} & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 如果 (w个) & \frac{小时 (w个) - u个克 (w个)}{v（v）} \\ - 如果 (w个) & 0 & 克 (w个) \\ - \frac{小时 (w个) - u个克 (w个)}{v（v）} & - 克 (w个) & 0 \end{matrix}),$
(41)
附加条件
$小时 (w个) 克^{'} (w个) - 克 (w个) (如果 (w个) + {小时}^{'} (w个)) = 0,$
(42)
${C类}_{三, 11}^{我 j个} = (\begin{matrix} 0 & ⏴_{x个} & 0 \\ ⏴_{x个} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 0 & \frac{{w个}_{x个}}{u个 w个 - v（v）} \\ 0 & 0 & - \frac{w个 {w个}_{x个}}{u个 w个 - v（v）} \\ - \frac{{w个}_{x个}}{u个 w个 - v（v）} & \frac{w个 {w个}_{x个}}{u个 w个 - v（v）} & 0 \end{matrix}) + 如果 (w个) (\begin{matrix} 0 & \frac{c（c）}{\sqrt{w个}} & \frac{(u个 w个 - 2 c（c） \sqrt{w个})}{u个 w个 - v（v）} \\ - \frac{c（c）}{\sqrt{w个}} & 0 & - \frac{w个 (v（v） - 2 c（c） \sqrt{w个})}{u个 w个 - v（v）} \\ - \frac{(u个 w个 - 2 c（c） \sqrt{w个})}{u个 w个 - v（v）} & w个 \frac{w个 (v（v） - 2 c（c） \sqrt{w个})}{u个 w个 - v（v）} & 0 \end{matrix}) .$
(43)

备注III.1。

条件(42)可以针对以下任意函数显式求解如果,克、和小时.

定理III.2。

三个分量中的1+0型退化算子既可以映射到满足闭包关系的超局部算子上，也可以映射到其中的一个算子上 ${C类}_{三, k个}^{我 j个}$ 具有k个= 1, …, 11.

证明。

通过对算子为哈密顿量的条件的强加，我们得到了Savoldi提出的退化一阶算子分类在三分量中的推广。¹⁷请参阅附录了解更多详细信息。□

备注III.2。

在所提出的分类中，为了通用性和对应用的可能相关性，我们考虑了三个任意函数。然而，我们强调变量的改变可以简化运算符的形式。要做到这一点，应该寻找那些使1阶运算符保持不变的变量变化，然后将它们应用于0阶运算符。

四、应用程序

在本节中，我们给出了两个和三个分量中具有1+0级退化哈密顿结构的非齐次拟线性系统的一些例子。

示例IV.1

（两波相互作用系统）。莫霍夫⁵研究了由两个场变量的流体力学方程组表示的两波相互作用系统的实约化u个=u个(x个,t吨)和v（v）=v（v）(x个,t吨),

\{\begin{cases} {u个}_{t吨} = 一 u个 v（v）, \\ {v（v）}_{t吨} = 一 {v（v）}_{x个} + {u个}^{2}, \end{cases}

(44)

具有一成为一个常量。该系统接受哈密顿公式，并带有运算符

{C类}^{我 j个} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & ⏴_{x个} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & - u个 \\ u个 & 0 \end{matrix}),

（45）

和哈密顿泛函

H（H） = \frac{1}{2} \int (一 {v（v）}^{2} - {u个}^{2}) d日 x个 .

(46)

1+0运算符()是退化的，因为1阶项的秩小于系统的分量数。此外，通过应用交换u个↔v（v），很明显，Mokhov发现的运算符是类型

{C类}_{2, 1}^{我 j个}

英寸().

示例IV.2

（Sinh–Gordon方程）让我们考虑Sinh–Gordon方程，

φ_{τ ξ} = 新几内亚 φ .

(47)

应用变量更改φ=2 日志u个，我们有

{(2 \frac{{u个}_{τ}}{u个})}_{ξ} = \frac{1}{2} ({u个}^{2} - \frac{1}{{u个}^{2}}) .

(48)

简介v（v）=2u个_τ/u个考虑光锥坐标τ=t吨,ξ=t吨−x个,

\{\begin{cases} {u个}_{t吨} = \frac{1}{2} u个 v（v）, \\ {v（v）}_{t吨} = {v（v）}_{x个} + \frac{1}{2} ({u个}^{2} - \frac{1}{{u个}^{2}}), \end{cases}

(49)

我们证明了该系统是具有非齐次形状流体动力算子的哈密顿系统()通过变量交换u个↔v（v）和功能如果(u个) =u个/2,

{C类}^{我 j个} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & ⏴_{x个} \end{matrix}) + \frac{1}{2} (\begin{matrix} 0 & u个 \\ - u个 & 0 \end{matrix}) .

(50)

相应的哈密顿密度为

小时 (u个, v（v）) = \frac{1}{2} ({v（v）}^{2} - {u个}^{2} + \frac{1}{{u个}^{2}}) .

(51)

A.逆哈密顿系统

在本节中，我们展示了1+0型退化算子与具有局部哈密顿结构的标量方程之间的联系。

让我们简单回顾一下哈密顿方程的动量u个_t吨=一个^ij公司δH/δu^j个是定义x个-翻译，

{u个}_{x个}^{我} = {一个}^{我 j个} \frac{δ P（P）}{δ {u个}^{j个}}, 具有 P（P） = \int 第页 (u个, {u个}_{σ}) d日 x个,

对于我= 1, …,n个.查雷夫¹⁴证明了在自变量的反演下x个和t吨，系统保留了哈密顿性质。众所周知，动量是哈密顿系统中的守恒量；因此，存在q个(u个,u个_σ)这样的话第页_t吨=q个_x个。然后，人们可以选择H（H）′ =∫q个(u个,u个_σ)日期作为逆系统的哈密顿函数。

流体力学类型的非齐次算子与具有地方的哈密顿结构。事实上，通过引入新的变量集，

{u个}^{1} = u个, {u个}^{2} = {u个}_{x个}, {u个}^{三} = {u个}_{x个 x个}, \dots,

(52)

在某些情况下，可以写出一个等价的非齐次拟线性系统，它可以被视为相对于自变量的演化x个，获取倒置系统.

备注IV.1。

让我们观察到，每一个可逆的秩序系统k个有表单

{u个}_{t吨} = {F类}_{1} (u个, {u个}_{x个}, \dots, {u个}_{(k个 - 1) x个}) + {F类}_{2} (u个, {u个}_{x个}, \dots, {u个}_{(k个 - 1) x个}) {u个}_{k个 x个},

(53)

哪里F类₁,F类₂是任意函数。请注意，这是Korteweg–de Vries（KdV）和非线性现象中的许多其他示例的情况。实际上，考虑到低阶导数作为参数，我们需要系统在u个_千倍为了在u个_t吨一旦倒置。

下面的结果提供了非均匀流体动力算子和逆系统之间的明确联系。

提议IV.1。

让我们考虑一下进化方程u个_t吨=F类(u个,u个_σ)具有局部哈密顿结构和动量密度第页第节。四、A取决于u个只有。那么，如果变量集中的倒置系统(52)承认局部哈密顿结构，这是根据流体力学类型的非齐次算子给出的。

证明。

我们观察到以下情况：

{q个}_{x个} = {第页}_{t吨} = {第页}_{u个} (u个) {u个}_{t吨} = {第页}_{u个} (u个) F类 (u个, {u个}_{σ}), σ \leq k个,

(54)

哪里第页_t吨正常

\leq k个

⁠，至多等于方程的阶数，因此q个_x个因此，q个(u个,u个_σ)最多是正常的k个− 1. 这意味着哈密顿量H（H）′ =∑q(u个¹, …,u个^k个−1)日期对于新变量中的倒置系统，为流体力学类型。参考文献。14和19证明了在因变量改变和t吨和x个然后，倒置系统是一阶拟线性的，并且已经是哈密顿量。操作员B类^ij公司在里面

{u个}_{x个}^{我} = {B类}^{我 j个} \frac{δ {H（H）}^{'}}{δ {u个}^{j个}},

（55）

如果是局部的，则必须是1+0型，即流体力学类型的非齐次算子。□

命题IV.1证明了对此类算子进行更深入的研究是正确的，KdV提供了一个主要的例子，如下：我们强调，前面的定理并不保证算子一般来说是非退化的。

示例IV.3

（KdV方程-I）让我们考虑KdV方程，

{u个}_{t吨} = 6 u个 {u个}_{x个} + {u个}_{xxx},

(56)

这就是众所周知的哈密顿量。通过对方程的反演，我们得到了关于x个分为三个部分u个¹(x个,t吨),u个²(x个,t吨)、和u个^三(x个,t吨)定义为u个=u个¹,u个_x个=u个²,u个_xx个=u个^三，得出以下非均质水动力系统：

\{\begin{cases} {u个}_{x个}^{1} = {u个}^{2}, \\ {u个}_{x个}^{2} = {u个}^{三}, \\ {u个}_{x个}^{三} = {u个}_{t吨}^{1} + 6 {u个}^{1} {u个}^{2} . \end{cases}

(57)

该系统为哈密顿系统，具有以下非齐次流体动力学类型算符：¹⁴

{C类}^{我 j个} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ⏴_{t吨} + (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 6 {u个}^{1} \\ 0 & - 6 {u个}^{1} & 0 \end{matrix}),

(58)

具有领先系数克^ij公司正在退化。很容易看出，应用变量的变化u个¹=w个，我们再次获得运算符()，其中

\begin{matrix} 克 (v（v）, w个) = 0, & 如果 (v（v）, w个) = 小时 (v（v）, w个) 我 (w个), \\ 我 (w个) = 6 w个, & 小时 (v（v）, w个) = - 1 . \end{matrix}

示例IV.4

（KdV方程-II）莫霍夫²⁰发现变量的转换（也称为局部二次单模变换),

\begin{aligned} {u个}^{1} & = \frac{{w个}^{1} - {w个}^{三}}{\sqrt{2}}, {u个}^{2} = {w个}^{2}, \\ {u个}^{三} & = \frac{{w个}^{1} + {w个}^{三}}{\sqrt{2}} + {({w个}^{1} - {w个}^{三})}^{2}, \end{aligned}

(59)

KdV方程如下所示

\{\begin{cases} {w个}_{x个}^{1} = - \frac{1}{2} {({w个}^{1} - {w个}^{三})}_{t吨} + {w个}^{2} ({w个}^{1} - {w个}^{三}) + \frac{1}{\sqrt{2}} {w个}^{2}, \\ {w个}_{x个}^{2} = {({w个}^{1} - {w个}^{三})}^{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} ({w个}^{1} + {w个}^{三}), \\ {w个}_{x个}^{三} = - \frac{1}{2} {({w个}^{1} - {w个}^{三})}_{t吨} + {w个}^{2} ({w个}^{1} - {w个}^{三}) - \frac{1}{\sqrt{2}} {w个}^{2} . \end{cases}

(60)

在这种局部变化之后，KdV是一个双哈密顿系统，涉及两个流体动力型非齐次算子1+0，其中一个是算子

{C类}^{我 j个} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) ⏴_{t吨} + (\begin{matrix} 0 & {w个}^{1} - {w个}^{三} + \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ {w个}^{三} - {w个}^{1} - \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & {w个}^{三} - {w个}^{1} + \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & {w个}^{1} - {w个}^{三} - \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{matrix}),

（61）

这是退化的，因为等级(克^ij公司) = 1. 用新变量表示的哈密顿量为

H（H） = \int ({({w个}^{1})}^{2} - {({w个}^{2})}^{2} - {({w个}^{三})}^{2}) d日 x个 .

(62)

为了证明所得到的算子确实是上面分类的算子之一，我们考虑了变量的一个新变化，

{w个}^{1} = \frac{{\bar{u个}}^{1} - {\bar{u个}}^{三}}{\sqrt{2}}, {w个}^{2} = {\bar{u个}}^{2}, {w个}^{三} = \frac{{\bar{u个}}^{三} - {\bar{u个}}^{1}}{\sqrt{2}} .

(63)

退化的一阶算子用超前系数表示

\bar{克} = d日 {\bar{u个}}^{1} \otimes d日 {\bar{u个}}^{1}

和偏对称双向量，

\bar{ω} = - \sqrt{2} {\bar{u个}}^{三} (d日 {\bar{u个}}^{1} \land d日 {\bar{u个}}^{2} - d日 {\bar{u个}}^{2} \land d日 {\bar{u个}}^{三}) .

操作员()类型为

{C类}_{2, 2}^{我 j个}

中显示的三种成分()。特别地，

\begin{matrix} 克 (v（v）, w个) = 0, & 如果 (v（v）, w个) = 我 (w个) 小时 (v（v）, w个), \\ 我 (w个) = - 1, & 小时 (v（v）, w个) = \sqrt{2} w个 . \end{matrix}

示例IV.5

（广义KdV方程）.让我们考虑广义KdV方程，

{u个}_{t吨} + 三 (n个 + 1) {u个}^{n个} {u个}_{x个} + {u个}_{xxx} = 0,

(64)

哪里n个是一个正整数。众所周知()算符是哈密顿量⏴_x个对于任何n个.案例n个=2对应于修正的KdV方程（mKdV）；它是可积的，并且具有第二个哈密顿结构，带有算符

⏴_{x个}^{三} + 6 ⏴_{x个} u个 ⏴_{x个}^{- 1} u个 ⏴_{x个}

⁠与mKdV相关的哈密顿量为

{H（H）}_{1} = \int (\frac{三}{4} {u个}^{4} + \frac{1}{2} {u个}_{x个}^{2}) d日 x个,

(65)

{H（H）}_{2} = \int \frac{1}{2} {u个}^{2} d日 x个 .

(66)

在()，我们引入变量u个¹=u个,u个²=u个_x个,u个^三=u个_xx个因此方程读作一阶偏微分方程的拟线性系统，

\{\begin{cases} {u个}_{x个}^{1} = {u个}^{2}, \\ {u个}_{x个}^{2} = {u个}^{三}, \\ {u个}_{x个}^{三} = - {u个}_{t吨}^{1} - 三 (n个 + 1) {({u个}^{1})}^{n个} {u个}^{2} . \end{cases}

(67)

标量方程转化为系统后，哈密顿结构仍然守恒，即()具有带算子的哈密顿结构

{C类}^{我 j个} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ⏴_{t吨} + (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & - 三 (n个 + 1) {({u个}^{1})}^{n个 - 1} \\ 0 & 三 (n个 + 1) {({u个}^{1})}^{n个 - 1} & 0 \end{matrix})

(68)

和哈密顿泛函

H（H） = \int (三 {({u个}^{1})}^{n个 + 1} - {u个}^{1} {u个}^{三} + \frac{{({u个}^{2})}^{2}}{2}) d日 x个 .

(69)

操作员()是

{C类}_{三, 2}^{我 j个}

英寸()与交易所u个¹↔u个^三和

\begin{matrix} 克 ({u个}^{1}, {u个}^{2}) = 0, & 如果 ({u个}^{1}, {u个}^{2}) = 小时 ({u个}^{1}, {u个}^{2}) 我 ({u个}^{1}), \\ 我 ({u个}^{1}) = 三 (n个 + 1) {({u个}^{1})}^{n个 - 1}, & 小时 ({u个}^{1}, {u个}^{2}) = - 1 . \end{matrix}

备注IV.2。

让我们观察一下n个>2，广义KdV方程是不可积的，即使它是如前一示例中所证明的哈密顿量。我们强调，这个特征比可积性更一般。

最后，我们给出了两个违反局域性假设的例子，无论是根据动量还是根据为逆哈密顿结构定义的算子。

示例IV.6。

我们考虑线性化的KdV方程，

{u个}_{t吨} = {u个}_{xxx},

(70)

其中，倒置系统很容易用新变量表示

\{\begin{cases} {u个}_{x个}^{1} = {u个}^{2}, \\ {u个}_{x个}^{2} = {u个}^{三}, \\ {u个}_{x个}^{三} = {u个}_{t吨}^{1} . \end{cases}

(71)

五、结论

一阶偏微分方程非齐次拟线性系统的研究是可积系统和哈密顿偏微分方程的一个正在进行的研究课题。据作者所知，与齐次系统不同，目前尚不知道讨论这类系统可积性的一般准则。⁸本文是研究非齐次系统可积性的第一步，重点是哈密顿性质。与这些类型相关的可能的双哈密顿结构的研究将是未来论文的主题。有序非齐次算子k个+米在非线性现象中起着重要作用，对它们的研究代表了另一个有趣的话题。^16,22–25即使在最简单的情况下k个=1和米=0，我们展示了算符是哈密顿量的条件是如何导致特定形式的，这是完全可解的。高阶算子需要更广泛的研究，尤其是对于退化情况。

作为未来的展望，作者不仅强调有必要进一步研究非齐次拟线性系统的可积性以及参考文献意义上系统与算子之间的相容条件。26以及它们的相关几何结构，遵循齐次情况的指导，在齐次情况下，算子和系统都与射影代数几何相联系^27–30微分黎曼几何。最后，Dubrovin在参考文献。31，使本文描述的分类方法也适用于离散算子。

致谢

作者感谢C.Benassi、F.Coppini、E.V.Ferapontov、A.Moro、M.Pavlov和R.Vitolo激发的讨论和有趣的评论。P.V.还感谢国家数学研究所（the Istituto Nazionale di Alta Matematica）、2017年PRIN“连续介质力学中的多尺度现象：奇异极限、非平衡和跃迁”、2017YBKNCE项目以及非线性物理中的数学方法（MMNLP）研究项目的GNFM的资助由国家科学委员会（INFN）发布。医学博士感谢剑桥大学艾萨克·牛顿数学科学研究所（Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences，Cambridge）在开展本论文研究的项目“色散流体动力学：数学、模拟和实验，以及非线性波应用”（HDY2）期间提供的支持和热情款待。这项工作得到了EPSRC的支持，批准号为EP/R014604/1。

作者声明

利益冲突

作者没有冲突需要披露。

作者贡献

玛尔塔·德尔阿蒂：概念化（相等）；调查（同等）；写作——原稿（同等）；写作–审查和编辑（同等）。皮埃尔安德烈亚·维加洛：概念化（相等）；调查（同等）；写作——原稿（同等）；写作–审查和编辑（同等）。

数据可用性

数据共享不适用于本文，因为本研究没有创建或分析新数据。

附录：定理III.1和定理III.2中算子的推导

我们给出了计算Sec的分类所遵循的程序的细节。三计算是在计算机代数系统（Maple、Reduce和Mathematica）的支持下进行的，最后由手工进行检查。

为了简单起见，我们描述了在三个组件中获得的第一个非平凡运算符，在文本中标识为C类_3,2.我们首先考虑Savoldi分类中三分量系统的1阶退化算子，¹⁷

克^{我 j个} = (\begin{matrix} ⏴_{x个} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), {b条}_{k个}^{我 j个} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \forall k个 \in {1, 2, 三} .

（A1）

我们给操作符添加了一个order 0操作符，

(\begin{matrix} ⏴_{x个} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} ω^{11} & ω^{12} & ω^{13} \\ ω^{21} & ω^{22} & ω^{23} \\ ω^{31} & ω^{32} & ω^{33} \end{matrix}) .

（A2）

存在ω超局部的尾巴及其元素ω^ij公司函数最多取决于系统的三个变量u个,v（v）,w个.

操作员()如果其部分是哈密顿量，并且满足定理II.3中建立的相容条件，则整体上是哈密尔顿量。特别是超局部项ω如果满足定理II.1，则为哈密顿量。我们减少了()通过使用偏斜对称性，

(\begin{matrix} ⏴_{x个} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & ω^{12} & ω^{13} \\ - ω^{12} & 0 & ω^{23} \\ - ω^{13} & - ω^{23} & 0 \end{matrix}),

（A3）

所以未知函数是

ω^{12} (u个, v（v）, w个), ω^{13} (u个, v（v）, w个), ω^{23} (u个, v（v）, w个) .

（A4）

为了实现定理II.3中表示的约束，我们计算张量Φ^ijk公司用于案例(),

Φ^{我 j个 k个} = 克^{我 秒} \frac{⏴ ω^{j个 k个}}{⏴ {u个}^{秒}} - {b条}_{秒}^{我 j个} ω^{秒 k个} - {b条}_{秒}^{我 k个} ω^{j个 秒} = 克^{我 秒} \frac{⏴ ω^{j个 k个}}{⏴ {u个}^{秒}},

（A5）

其中总和超过秒是通过重复索引实现的。对于三个组件，秒=1,2,3，我们使用符号表示变量u个¹=u个,u个²=v（v）、和u个^三=w个。中唯一的非零元素克是克¹¹= 1; 因此，约束()关于张量Φ的非零元^ijk公司采用Φ的形式^{1jk（千分之一）}= Φ^千焦，使用

Φ^{1 j个 k个} = (\begin{matrix} 0 & \frac{⏴ ω^{12}}{⏴ u个} & \frac{⏴ ω^{13}}{⏴ u个} \\ - \frac{⏴ ω^{12}}{⏴ u个} & 0 & \frac{⏴ ω^{23}}{⏴ u个} \\ - \frac{⏴ ω^{13}}{⏴ u个} & - \frac{⏴ ω^{23}}{⏴ u个} & 0 \end{matrix}),

（A6）

Φ^{千焦} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ \frac{⏴ ω^{12}}{⏴ u个} & 0 & 0 \\ \frac{⏴ ω^{13}}{⏴ u个} & 0 & 0 \end{matrix}) .

（A7）

字段变量的约束是

\frac{⏴ ω^{我 j个} (u个, v（v）, w个)}{⏴ u个} = 0 \Rightarrow ω^{我 j个} (u个, v（v）, w个) = ω^{我 j个} (v（v）, w个),

（A8）

即，它们不依赖于变量u个。我们引入了符号

\{\begin{cases} ω^{12} (v（v）, w个) = 如果 (v（v）, w个), \\ ω^{13} (v（v）, w个) = 克 (v（v）, w个), \\ ω^{23} (v（v）, w个) = 小时 (v（v）, w个) . \end{cases}

（A9）

约束()收益率

\frac{⏴^{2} ω^{我 j个}}{⏴ {u个}^{2}} = 0, \frac{⏴^{2} ω^{我 j个}}{⏴ u个 ⏴ v（v）} = 0, \frac{⏴^{2} ω^{我 j个}}{⏴ u个 ⏴ w个} = 0,

（A10）

在给定的条件下，不会对函数的形式产生任何进一步的限制()。最后，关闭要求()是

ω^{12} \frac{⏴ ω^{23}}{⏴ v（v）} - ω^{23} \frac{⏴ ω^{12}}{⏴ v（v）} + ω^{13} \frac{⏴ ω^{23}}{⏴ w个} - ω^{23} \frac{⏴ ω^{13}}{⏴ w个} = 0 .

（A11）

带符号()，这变成

\begin{aligned} 如果 (v（v）, w个) \frac{⏴ 小时 (v（v）, w个)}{⏴ v（v）} - 小时 (v（v）, w个) \frac{⏴ 如果 (v（v）, w个)}{⏴ v（v）} + 克 (v（v）, w个) \frac{⏴ 小时 (v（v）, w个)}{⏴ w个} - 小时 (v（v）, w个) \frac{⏴ 克 (v（v）, w个)}{⏴ w个} = 0 . \end{aligned}

（A12）

我们求解关于字段的最后一个约束如果(v（v）,w个)。观察到这一点

\frac{⏴}{⏴ v（v）} (\frac{如果}{小时}) = \frac{1}{小时} \frac{⏴ 如果}{⏴ v（v）} - \frac{如果}{{小时}^{2}} \frac{⏴ 小时}{⏴ v（v）},

（A13）

我们得到了如果(v（v）,w个)在中给出()。然后操作员

{C类}_{三, 2}^{我 j个} = (\begin{matrix} ⏴_{x个} & 如果 (v（v）, w个) & 克 (v（v）, w个) \\ - 如果 (v（v）, w个) & 0 & 小时 (v（v）, w个) \\ - 克 (v（v）, w个) & - 小时 (v（v）, w个) & 0 \end{matrix}) .

我们注意到，对于固定秩的克^ij公司，生成的条件在很大程度上取决于

{b条}_{k个}^{我 j个}

⁠例如，对于操作员

{C类}_{三, 三}^{我 j个}

⁠，我们有相同的操作员克^ij公司如中所示()，但不同

{b条}_{k个}^{我 j个}

⁠,

{b条}_{1}^{我 j个} = {b条}_{2}^{我 j个} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), {b条}_{三}^{我 j个} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

（A14）

我们寻找相应的操作员ω考虑了偏对称性；因此，我们有三个字段变量ω¹²,ω¹³,ω²³第一个条件是通过比较张量施加的

Φ^{1 j个 k个} = (\begin{matrix} 0 & - ω^{13} + \frac{⏴ ω^{12}}{⏴ u个} & \frac{⏴ ω^{13}}{⏴ u个} \\ ω^{13} - \frac{⏴ ω^{12}}{⏴ u个} & 0 & \frac{⏴ ω^{23}}{⏴ u个} \\ - \frac{⏴ ω^{13}}{⏴ u个} & - \frac{⏴ ω^{23}}{⏴ u个} & 0 \end{matrix}),

（A15）

Φ^{k1j} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ - ω^{13} + \frac{⏴ ω^{12}}{⏴ u个} & ω^{23} & 0 \\ \frac{⏴ ω^{13}}{⏴ u个} & 0 & 0 \end{matrix}) .

（A16）

在这个阶段，我们已经可以减少空闲函数的数量，因为ω²³= 0. 通过求解剩下的方程，我们发现了场的相关性ω¹²,ω¹³关于变量u个,v（v）,w个,

\begin{aligned} ω^{12} (u个, v（v）, w个) & = 如果 (v（v）, w个) + u个 克 (v（v）, w个), \\ ω^{13} (u个, v（v）, w个) & = 克 (v（v）, w个) . \end{aligned}

（A17）

关系的约束()进一步减少自由函数的数量；特别地，克(v（v）,w个) = 0. 相应的运算符是

{C类}_{三, 三}^{我 j个} = (\begin{matrix} ⏴_{x个} & {w个}_{x个} + 如果 (v（v）, w个) & 0 \\ - {w个}_{x个} - 如果 (v（v）, w个) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

对所有可能的操作员都执行了相同的程序克^ij公司和

{b条}_{k个}^{我 j个}

⁠，得到上述分类。

参考文献

1

美国。

诺维科夫

,

S.V.公司。

马纳科夫

,

L.P.公司。

皮塔夫斯基

、和

V.E.公司。

扎哈罗夫

,

孤子理论：逆散射方法

，《当代数学专著》(

施普林格

,

1984

).

谷歌学者

2

学士。

杜布罗温

,

国际货币基金组织。

克里切弗

、和

第页。

诺维科夫

,

动力系统IV：辛几何及其应用

，《数学科学百科全书》第4卷(

施普林格

,

2001

)，第页。

173

.

谷歌学者

三。

第页。

科尔斯滕

,

一、。

克拉西尔什切克

、和

A。

韦博维茨基

,

《几何杂志》。物理学。

50

,

273

(

2004

).

https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2003.09.010

谷歌学者

交叉参考

4

I.S.公司。

克拉西尔什切克

,

上午。

韦博韦茨基

、和

无线电频率。

维托罗

,

偏微分方程可积结构的符号计算

符号计算中的文本和专著(

施普林格

,

2018

)，ISBN:978-3-319-71654-1，参见http://gdeq.org/Symbolic_Book下载书中讨论的程序文件。

谷歌学者

5

O.I.公司。

莫霍夫

,

俄罗斯数学。Surv公司。

53

,

515

(

1998

).

https://doi.org/10.1070/rm1998v053n03abeh000019

谷歌学者

交叉参考

6

学士。

杜布罗温

和

第页。

诺维科夫

杜克。阿卡德。诺克SSSR279(2), 294–297 (1984) [

苏联。数学。多克。

30

,

651

–654 (

1984

)].

谷歌学者

7

印度。

多尔夫曼

和

O.I.公司。

莫霍夫

,

数学杂志。物理学。

32

,

3288

(

1991

).

https://doi.org/10.1063/1.529491

谷歌学者

交叉参考

8

第页。

沙皇

,

数学。苏联伊兹维西娅

37

,

397

(

1991

).

https://doi.org/10.1070/im1991v037n02abeh002069

谷歌学者

交叉参考

9

F、。

马格里

,

数学杂志。物理学。

19

,

1156

(

1978

).

https://doi.org/10.1063/1.523777

谷歌学者

交叉参考

10

电动汽车。

费拉蓬托夫

和

K.R.公司。

库斯努丁诺娃

,

Commun公司。数学。物理学。

248

,

187

–

206

(

2004

).

https://doi.org/10.1007/s00220-004-1079-6

谷歌学者

交叉参考

11

电动汽车。

费拉蓬托夫

,

A。

摩洛

、和

五、五。

索科洛夫

,

Commun公司。数学。物理学。

285

,

31

(

2008

).

https://doi.org/10.1007/s00220-008-0522-5

谷歌学者

交叉参考

12

电动汽车。

费拉蓬托夫

和

D。

马歇尔

,

数学。安。

339

,

61

(

2007

).

https://doi.org/10.1007/s00208-007-0106-2

谷歌学者

交叉参考

13

学士。

杜布罗温

和

第页。

诺维科夫

杜克。阿卡德。诺克SSSR270, 781–785 (1983) [

苏联。数学。多克。

27

,

665

–669 (

1983

)].

谷歌学者

14

第页。

察廖夫

,

数学。学术笔记。科学。苏联

46

,

569

(

1989

).

https://doi.org/10.1007/bf01159109

谷歌学者

交叉参考

15

O.I.公司。

莫霍夫

和

电动汽车。

费拉蓬托夫

,

功能。分析。申请。

28

,

123

(

1994

).

https://doi.org/10.1007/bf01076502

谷歌学者

交叉参考

16

A。

科尼亚耶夫

,

Russ.J.数学。物理学。

29

, 518–541 (2022).

https://doi.org/10.1134/S1061920822040100

17

A。

萨沃尔迪

,

《几何杂志》。物理学。

104

,

246

(

2016

).

https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2016.03.002

谷歌学者

交叉参考

18

无线电频率。

维托罗

,

计算。物理学。Commun公司。

244

,

228

(

2019

).

https://doi.org/10.1016/j.cpc.2019.05.012

谷歌学者

交叉参考

19

第页。

科尔斯滕

,

I.S.公司。

克拉西尔什切克

,

上午。

韦博维茨基

、和

无线电频率。

维托罗

，英寸

微分方程——几何、对称性和可积性：2008年阿贝尔研讨会

，编辑人

B。

克鲁格利科夫

,

五、。

利查金

、和

E.公司。

斯特劳默

(

施普林格

,

2009

)，第108卷，第。

187

.

谷歌学者

交叉参考

20

O.I.公司。

莫霍夫

, “

高能物理理论

,”

乌斯普。马特·纳克

53

（3），85–192（1998）[俄罗斯数学研究。53(3), 515–622 (1998)].

https://doi.org/10.1070/RM1998v053n03ABEH000019

21

米。

佩德罗尼

,

五、。

萨卡卡

、和

J。

祖贝利

,

西奥。数学。物理学。

133

,

1585

(

2002

).

https://doi.org/10.1023/a:1021111213874

谷歌学者

交叉参考

22

第页。

洛伦佐尼

,

A。

萨沃尔迪

、和

无线电频率。

维托罗

,

《物理学杂志》。A：数学。西奥。

51

,

045202

(

2017

).

https://doi.org/10.1088/1751-8121/aa994d

谷歌学者

交叉参考

23

G.公司。

法尔奎

,

《物理学杂志》。A：数学。消息。

39

,

327

(

2005

).

https://doi.org/10.1088/0305-4470/39/2/004

谷歌学者

交叉参考

24

A。

詹内利

,

N。

芒加纳罗

、和

A。

里佐

,

Commun公司。非线性科学。数字。模拟。

118

,

107010

(

2022

).

https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2022.107010

谷歌学者

交叉参考

25

N。

芒加纳罗

和

A。

里佐

,

数学

10

,

935

(

2022

).

https://doi.org/10.3390/math10060935

谷歌学者

交叉参考

26

第页。

韦加洛

和

无线电频率。

维托罗

,

不同。地理。申请。

75

,

101713

(

2021

).

https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2020.1013

谷歌学者

交叉参考

27

S.I.公司。

阿加福诺夫

和

电动汽车。

费拉蓬托夫

,

伊兹维西娅：数学。

60

,

1097

(

1996

).

https://doi.org/10.1070/im1996v060n06abeh000093

谷歌学者

交叉参考

28

电动汽车。

费拉蓬托夫

,

百万美元。

巴甫洛夫

、和

无线电频率。

维托罗

,

《几何杂志》。物理学。

85

,

16

(

2014

).

https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2014.05.027

谷歌学者

交叉参考

29

电动汽车。

费拉蓬托夫

,

百万美元。

巴甫洛夫

、和

无线电频率。

维托罗

,

莱特。数学。物理学。

108

,

1525

(

2018

).

https://doi.org/10.1007/s11005-018-1054-3

谷歌学者

交叉参考

30

第页。

韦加洛

和

无线电频率。

维托罗

,arXiv公司：2203.04237(

2022

).

31

学士。

杜布罗温

,

功能。分析。申请。

23

,

131

(

1989

).

https://doi.org/10.1007/bf0107878783

谷歌学者

交叉参考

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退化非齐次哈密顿算子的分类

I.简介

二、。非均匀流体动力学算子

III、分为两部分和三部分的系统分类

A.系统n个=2个组件

B.系统n个=3个组件

四、应用程序

A.逆哈密顿系统

五、结论

致谢

作者声明

利益冲突

作者贡献

数据可用性

附录：定理III.1和定理III.2中算子的推导

参考文献

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退化非齐次哈密顿算子的分类

I.简介

二、。非均匀流体动力学算子

III、 分为两部分和三部分的系统分类

A.系统n个=2个组件

B.系统n个=3个组件

四、 应用程序

A.逆哈密顿系统

五、结论

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III、分为两部分和三部分的系统分类

四、应用程序