本文提出了一种估计时变Hurst指数的方法，以准确识别多重分形布朗运动（MFBM）。该贡献为如何处理MFBM测量数据以解决回归和分类问题提供了一个处方。理论研究得到了计算机模拟和真实世界示例的补充。这些证明了本文提出的方法优于同类最佳算法。

话题
异常扩散, 人工智能, 人工神经网络, 信号处理, 计算机模拟, 分数阶微积分, 自相关, 高斯过程, 统计分析, 布朗运动

时变分数动力学是在生物、技术、金融等各种性质的系统中测量的信号中识别出来的。用于描述这种现象的模型之一是多重分数布朗运动（MFBM），它被认为是经典分数布朗运动的推广。MFBM的特点是具有与时间相关的Hurst指数[H（H）(t吨)]与FBM相比，其中H（H）是常量。在本文中，一种基于人工智能的方法专门用于估计时变H（H）(t吨)从实验数据进行了介绍。该算法使用深度卷积神经网络（CNN），具有编码器-解码器结构、自方差函数（ACVF）和所考虑过程的欧氏距离矩阵。我们演示了如何在有噪声且只有有限数量的测量信息可用于估计时应用该程序。不同时间变化的仿真研究H（H）(t吨)结果表明，与目前被认为是同类最佳的Coeurjolly方法相比，该算法能够提高Hurst系数的估计精度。我们提出了一种判别程序，可用于对具有常数和时变分数动力学的情况下的轨迹进行分类，特别是对实验数据的上下文标记非常重要。水凝胶系统中记录的信号的实验研究补充了模拟研究。尽管已针对MFBM演示了所提出的方法，但所设计和验证的方法具有普遍意义，可应用于任何性质的系统，其中时间变化的分数动力学控制时间演化。

测量信号中确定的复杂性反映了观测系统有效的复杂相互关系（结构和功能）。1,2这种性质并不取决于系统的规模和性质；也就是说，人们可以观察到宏观世界背景下感知到的地质、气象、金融、生物和工程物体的复杂行为，例如参考文献。3–8然而，当我们描述微观到纳米世界时，例如等离子体过程、基因组学和材料科学，复杂的模式也是可见的。9月11日分数微积分是用于对这类系统和过程建模的数学方法之一，但在测量科学和工程中的应用受益于描述控制复杂性的规则和属性的简单有效的程序。具有Hurst指数的分数布朗运动H（H）是一个随机过程，可能需要长期的时间相关性12–15并广泛应用于多个学科。16,17它已在实验上建立，并在理论上进行了定义，以描述复杂的相互关系和系统动力学。18,19通常，常数的估计H（H）在给定的尺度上或在多尺度视图内执行，以显示和标记系统状态，例如健康与哮喘。4,20然而，实际系统往往随着时间的推移而演变，使得赫斯特指数在整个时间序列中不是恒定的。例如，在活体细胞中的蛋白质运动等多种系统中观察到了状态随时间变化的持久或反持久过程，21,22细胞质中的纳米颗粒，23,24以及锂离子电池的退化。25已经表明，该指数H（H）可以随时间变化，因此，更高级的描述H（H）(t吨)]应该应用。这种过程的一个例子是FBM和多重分形布朗运动（MFBM）的推广，26–29作为一个理论模型，它适用于描述任何性质和不同尺度的真实世界系统。放松MFBM模型中的平稳性约束的数学结果在于能够控制输出的局部不规则性，这对物理系统是有效的。因此，MFBM过程为大量连续和非平稳的自然信号提供了有用的描述，显示了被观测系统中编码的物理复杂性，进而拓宽了其应用领域。人们可以想象价格、山石、冰川退化等侵蚀现象所引发的逐点不规则。30–34其中一些成分无法直接测量，需要从实验数据中重建；例如，无线通信网络中小区配置和性能之间的关系的投影除其他外，需要假设时变的环境变化，这些变化描述了在给定地理位置运行的技术系统的输出。35此外，信号处理中的一个挑战是可靠地估计H（H）(t吨)当系统被噪声环境破坏时，使用有限数量的先验的信息。本文针对具有时变分数动力学的经典模型，为MFBM提供了解决这一挑战的方法。与FBM相反，MFBM假定了与时间相关的Hurst指数。在文献中，人们可以找到各种估计含时Hurst指数的算法。31、36–41

我们开发了一种基于人工智能（AI）的方法，并通过数值模拟和实际系统进行了验证：将聚苯乙烯纳米珠放置在琼脂糖水凝胶中的微型实验中记录的信号。所提出的技术利用了具有编码器-解码器架构的深度卷积神经网络（CNNs）。42–44给出的结果，即时变方法H（H）(t吨)对理论和实际情况进行的估计、定性和定量观察可以转化为任何性质和规模的实际系统/过程，其中分数动力学可以用时变赫斯特指数来解释。

人工智能和机器学习（ML）技术在信号处理中的应用引起了研究人员和工程师的极大兴趣45,46因为这种方法对探索复杂问题是有效的；尽管如此，AI/ML领域的开放挑战还是以一个简短的先验的可用的知识。47在本文中，人工神经网络（ANN）显示了额外的优势；例如，当训练后，对于给定的输入数据，在ANN中实现了一步结论，这对于实时应用具有重要意义，因为自适应过程的迭代方案可能无效；这是时间相关过程（例如MFBM）的参数估计的情况。另一方面，对于训练期间使用的数据量，ANN的期望相对较高。这引发了人工神经网络、测量程序和信号处理领域的基础和应用研究，重点是开发有效的方法和工具，以可靠表征具有有限数量损坏数据的复杂系统和信号。48,49本文中确定的问题和为解决该问题而开发的处方在一系列研究过程（MFBM）和工具（ANN应用于有限输入数据的分数动力学建模）中都有贡献。最近的信号处理文献表明，这一研究领域非常有前景，在分数动力学系统领域也是如此。50–53 

本文介绍的另一个贡献是一个判别程序，可用于将轨迹分为两类：经典分数动力学系统（具有常数Hurst指数的情况）和时间相关分数动力学（具有时间相关Hurst指数值的情况）。如文中所述，短历史噪声数据的智能标记方法为信号处理开辟了新的机会，例如，朝向时间序列数据注释的实时算法，其中FBM和MFBM组件的声明存在可以指示具有各种系统操作模式的时隙。该方法能够进一步实际应用该贡献，例如，自动监测生理系统（远程医疗），识别气象数据中的正常和关键事件，以及在物联网的工业应用中（工业4.0）。

本文其余部分的结构如下：。二，我们回顾了FBM和MFBM的最重要属性。三介绍了估计算法，描述了该模型的结构、训练方法和随机数据集的构建。接下来，在第。四、，我们对不同Hurst指数函数的MFBM时变输出检验了所提技术的有效性。将基于神经网络的技术的效率与参考文献中提出的方法的结果进行了比较。39在本节中，我们还提出了一个分步程序，用于区分具有常数和时间相关分数动力学的情况，其特征是赫斯特指数。在第。五，我们对实验数据进行了分析。章节不及物动词对论文进行了总结。

分数布朗运动可以看作是经典布朗运动的推广。14,15固定资产管理{X（X）H（H）(t吨),t吨≥0}赫斯特指数（也称为赫斯特指数）H（H）∈(0,1)是一个零米高斯过程，满足以下朗之万方程：12,54

d日X（X）H（H）(t吨)d日t吨=D类ηH（H）(t吨).
(1)

在上面的方程式中，{ηH（H）(t吨),t吨≥0}是离散分数高斯噪声（FGN），它是一个零米高斯过程，具有以下自方差函数（ACVF）：

E类[ηH（H）(0)ηH（H）(t吨)]=D类((t吨+1)2H（H）+(t吨−1)2H（H）−2t吨2H（H）),t吨≥0
(2)

参数D类>0就是所谓的扩散系数。值得强调的是，FGN是一个平稳的过程。这个过程也可以用分数积分来定义27,37,55使用Riemann–Liouville分数导数，56这是Dzherbashian–Nersesian分数算子的特例。57 

FBM的ACVF由下式给出

E类[X（X）H（H）(t吨)X（X）H（H）(秒)]=D类(t吨2H（H）+秒2H（H）−|t吨−秒|2H（H）),t吨,秒≥0
(3)

对于H（H）>1/2⁠，FGN是一个正相关的过程，并表现出长程依赖性（长记忆或持久性）。12在这种情况下，FBM被视为超扩散过程。对于H（H）<1/2⁠FGN是一个负相关过程，并且表现出短期依赖性（中度依赖或反持久性）。在这种情况下，FBM是一个亚扩散过程。对于H（H）=1/2⁠，FBM简化为标准布朗运动（BM）{X（X）12(t吨),t吨≥0}⁠.

多重分形布朗运动{X（X）H（H）(t吨)(t吨),t吨>0}是上述经典FBM的扩展之一。MFBM是一个零米高斯过程，具有以下ACVFt吨,秒≥0⁠:26,58

E类[X（X）H（H）(t吨)(t吨)X（X）H（H）(秒)(秒)]=D类(H（H）(t吨),H（H）(秒))(t吨H（H）(t吨)+H（H）(秒)+秒H（H）(t吨)+H（H）(秒)−|t吨−秒|H（H）(t吨)+H（H）(秒)),
(4)

哪里D类(⋅,⋅)是由给定的函数

D类(x个,年)=σ2Γ(2x个+1)Γ(2年+1)罪⁡(πx个)罪⁡(π年)2Γ(x个+年+1)罪⁡(πx个+年2).
(5)

在上述方程式中，σ>0是一个常量，Γ(⋅)是Gamma函数，并且H（H）(⋅):[0,∞)→[一,b条]⊂(0,1)是一个Hölder函数。

与经典FBM类似，函数H（H）(⋅)也称为赫斯特指数。有关MFBM的有趣属性，请参见参考。37.

在本文中，我们考虑以下赫斯特指数H（H）(⋅)为定义t吨∈[0,T型](⁠T型>0是一个时间范围）

  • 案例1——恒定赫斯特指数：
    H（H）(t吨)≡H（H）;
    (6)
  • 案例2——线性赫斯特指数：
    H（H）(t吨)=一1t吨+一2;
    (7)
  • 案例3逻辑赫斯特指数：
    H（H）(t吨)=b条1+b条21+经验⁡{−b条三(t吨T型−b条4)};
    (8)
  • 案例4——周期赫斯特指数：
    H（H）(t吨)=c（c）1罪⁡(c（c）2t吨T型)+c（c）三.
    (9)

如前所述，情况1对应于经典的FBM。情况2对应于从亚扩散状态稳定切换到超扩散状态的过程（反之亦然）。在案例3中，我们遇到了类似的情况；然而，这种变化发生得更快，可以用来模拟运动模式中的快速过渡。59，60案例3中考虑的赫斯特指数近似于政权转换赫斯特指数。更准确地说b条1=H（H）1,b条2=H（H）1−H（H）2,b条4=T型~∈(0,T型)⁠，我们有

H（H）(t吨)=H（H）1+H（H）2−H（H）11+经验⁡{−b条三(t吨T型−T型~)}≈b条三≫0{H（H）1,t吨<T型~;H（H）2,t吨≥T型~.
(10)

具体来说，相应的过程近似于一个在某个时间切换的过程T型~来自具有Hurst指数的FBMH（H）=H（H）1给FBMH（H）=H（H）2⁠。特殊情况是H（H）1<0.5<H（H）2⁠这是一个过程多次出现的情况t吨<T型~表现出亚扩散行为，而对于t吨>T型~⁠，这是一个超扩散的。案例4对应的情况是政权的变化是渐进和重复的。

赫斯特指数的估计H（H）(t吨)对于基于单个轨迹的MFBM来说是一个复杂的问题。这句话背后的主要理由是我们想估计{H（H）(t吨)}t吨=1T型长度向量T型给定一个长度的样本轨迹T型 {X（X）H（H）(t吨)(t吨)}t吨=1T型⁠因此，要估计给定时间的Hurst指数值t吨⁠，一个人可以完全依赖于一个考虑过的轨迹t吨及其周围环境。根据过程的局部遍历程度，我们可以使用较小或较大的窗口大小来估计H（H）(t吨)⁠.关于有限金额先验的输入数据中编码的过程属性信息和用于分析的窗口大小选择规则不明确，本文采用基于卷积深度神经网络的深度学习方法解决了这一问题。

为了丰富流程的输入信息，M（M）=4在预处理阶段，对原始信号应用了不同的距离测量，即：，

  • {日志⁡(1+|x个我−x个j个|)}我j个⁠,

  • {日志⁡(1+(x个我−x个j个)2)}我j个⁠,

  • {日志⁡(1+|x个我x个j个|)}我j个⁠,

  • {日志⁡(1+(x个我x个j个)2)}我j个⁠,

哪里我,j个∈{1,2,…,T型}⁠.

距离（a）和（b）类似于欧几里德距离，而最后两个指标类似于协方差。由于MFBM可以通过协方差矩阵来定义（像任何高斯过程一样），因此经验协方差矩阵可以用于表征给定信号。使用欧几里德距离的动机来自ACVF(4)解释，即较高H（H）(t吨)⁠，过程的方差越高，因此增加观测值之间距离的概率。函数表示的距离日志⁡(1+|x个|)用于为接近零的值赋予更重要的意义，而距离基于日志⁡(1+x个2)用于强调更遥远和快速的变化。这个日志⁡(⋅)函数用于实现对异常值的恢复能力和估计器的稳定性。

深度学习模型由两部分组成：编码器和解码器。44转换是从三维(⁠T型×T型×M（M）⁠)输入到一维向量(⁠T型×1=T型⁠)对应于值(H（H）(1),H（H）(2),…,H（H）(T型))⁠编码器和解码器都基于Inception-ResNet，61整个网络类似于U-Net。44应用于模型的结构示意图如所示图1每个模块的详细信息见附录B.

图1。
图1。实验中设计并应用了神经网络编解码结构的体系结构。
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实验中设计并应用了神经网络编解码结构的体系结构。

图1。
图1。实验中设计并应用了神经网络编解码结构的体系结构。
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实验中设计并应用了神经网络编解码结构的体系结构。

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Inception-ResNet的选择是对编码器和解码器的启发，是由Inception网络的特性驱动的。62具体来说，将两者结合起来(⁠三×三⁠)和更宽(⁠7×1和1×7⁠)过滤器可以捕获各种依赖项。此外该体系结构实现了利用ResNet引入的剩余连接，63这使得能够构建使用反向传播技术训练的深度更大的NN64并在训练过程中提高收敛性。

在本文中，估计问题包括张量的映射(⁠T型×T型×M（M）⁠)在向量上(⁠T型×1=T型⁠). 因此，网络(图1)也受到了U-Net架构的启发。44然而，在经典实现中，张量的顺序不变。为此，对体系结构进行了修改，使编码器适用于三维张量，解码器适用于二维张量。为了从每列中提取最重要（主要）的特征，对输入数据应用了一种约简方法，其中最大值超过T型斧头被拿走了。重要的是，如果取平均值，然后使用与整个信号相关的信息。这与估计的局部性相矛盾。使用随机生成的输出对网络进行训练。在这种情况下，每次向NN输入提供轨迹的唯一实现。该批次由两个样品组成；因此，输入张量具有以下形状：2×T型×T型×M（M）（如前所述M（M）=4⁠). 这个T型值（对应于轨迹的采样数）从中随机选择T型∈{256,384,512}⁠如果没有以其他方式指定，则评估基于最大值T型=512⁠.对于单个信号H（H）(t吨)从方程式中给出的函数中选择一个。(6)–(9)此外，将随机赫斯特指数添加到学习集中，以重建该参数可能的随机变化，这在分析实验数据时尤为重要（见第。五). 我们包括以下情况H（H）(t吨)是一个随机过程。这里考虑了三个过程，即反射布朗运动（RBM）、反射奥恩斯坦-乌伦贝克（ROU）过程和平滑电报过程（ST）。相应的定义见附录A，并且在实验期间应用的这些过程的参数化在中指定表一.

表一。

应用于的参数化H（H）(t吨)函数用于以下计算机实验案例。

案例参数采样方法
情况1—等式。(6) H（H）∼U型(0.01,0.99) 
情况2——等式。(7) H（H）0∼U型(0.01,0.99)⁠,H（H）1∼最大值(最小值(H（H）0+N个(0,0.25),0.99),0.01)⁠,一1=H（H）1−H（H）0T型⁠,一2 = H（H）0 
案例3——等式。(8) H（H）0∼U型(0.01,0.99)⁠,H（H）1∼最大值(最小值(H（H）0+N个(0,0.25),0.99),0.01) 
 b条1 = H（H）0,b条2 = H（H）1 − H（H）0,b条三=U型(10,250)⁠,b条4=U型(0.1,0.9) 
案例4——等式。(9) H（H）¯∼U型(0.02,0.98)⁠,c（c）1∼U型(0.01,最小值(0.99−H（H）¯,H（H）¯))⁠,c（c）2=U型(1,200)⁠,c（c）三=H（H）¯ 
成果管理制-附录A 1 H（H）0∼U型(0.1,0.9)⁠,σ∼U型(0.01,0.99) 
ROU公司-附录A 2 H（H）0∼U型(0.1,0.9)⁠,σ∼U型(0.01,0.99)⁠,λ∼U型(0.1,100) 
ST公司-附录A 3 H（H）0∼U型(0.01,0.99)⁠,H（H）1∼U型(0.01,0.99)⁠,γ∼U型(0.1,10)⁠,β∼U型(0.1,100) 
案例参数取样方法
情况1-等式。(6) H（H）∼U型(0.01,0.99) 
情况2——等式。(7) H（H）0∼U型(0.01,0.99)⁠,H（H）1∼最大值(最小值(H（H）0+N个(0,0.25),0.99),0.01)⁠,一1=H（H）1−H（H）0T型⁠,一2 = H（H）0 
案例3——等式。(8) H（H）0∼U型(0.01,0.99)⁠,H（H）1∼最大值(最小值(H（H）0+N个(0,0.25),0.99),0.01) 
 b条1 = H（H）0,b条2 = H（H）1 − H（H）0,b条三=U型(10,250)⁠,b条4=U型(0.1,0.9) 
案例4——等式。(9) H（H）¯∼U型(0.02,0.98)⁠,c（c）1∼U型(0.01,最小值(0.99−H（H）¯,H（H）¯))⁠,c（c）2=U型(1,200)⁠,c（c）三=H（H）¯ 
成果管理制-附录A 1 H（H）0∼U型(0.1,0.9)⁠,σ∼U型(0.01,0.99) 
ROU公司-附录A 2 H（H）0∼U型(0.1,0.9)⁠,σ∼U型(0.01,0.99)⁠,λ∼U型(0.1,100) 
ST公司-附录A 3 H（H）0∼U型(0.01,0.99)⁠,H（H）1∼U型(0.01,0.99)⁠,γ∼U型(0.1,10)⁠,β∼U型(0.1,100) 
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每个函数都有使用中定义的随机变量在训练集中随机选择的参数表一然后基于轨迹，M（M）使用以下公式计算距离矩阵并进行缩放：

X（X）⋅⋅k个按比例缩放=X（X）⋅⋅k个1T型2∑我=1T型∑j个=1T型X（X）我j个k个2,k个∈{1,…,D类}.
(11)

此外，标准化应用于输入数据：

μk个=1N个T型2∑n个=1N个∑我=1T型∑j个=1T型X（X）n个我j个k个按比例缩放,
(12)
σk个=1N个T型2∑n个=1N个∑我=1T型∑j个=1T型(X（X）n个我j个k个按比例缩放)2−μk个2,
(13)
X（X）⋅⋅k个规范=X（X）⋅⋅k个按比例缩放−μk个σk个,k个∈{1,…,D类}.
(14)

参数μk个和σk个在培训前使用N个=1024随机生成的样本。

由于值仅取决于自身，因此应用了缩放。此操作可以控制输入的范围，而不管扩散或H（H）(t吨)⁠在研究中，第一个尺度被用来等同于每个距离矩阵的尺度图13（a）]确保输入的零均值和单位方差；这种归一化加速并稳定了优化算法的收敛。

培训时间被设定为40个周期，每个周期包含4048个批次。采用了几种方法来监控和调整学习过程。首先，使用学习速率调度器，其中包含预热阶段。实现了以下用于学习率分析的递归函数：

我第页(纪元)={10−6,纪元=0;6⋅我第页(纪元−1),纪元∈{1,2,三};0.975⋅我第页(纪元−1),纪元≥4
(15)

除此之外，高原地区的学习率下降（在停滞了三个时期后，下降了0.3倍），并提前停止65（7个周期后）增加了条件，以减少围绕最优值的跳跃，并在没有观察到进一步改进时停止计算。无论何时需要降低学习率或停止培训，双方都会利用验证错误做出明智的选择。Adam优化器用于在训练期间使模型与数据相匹配（虽然硬件限制导致的批大小很小，但我们增加了参数β1=0.99⁠).66–71在优化过程中，均方误差（MSE）函数被用作损失函数。

在本节中，我们介绍了第。三并提出一种视觉测试，以区分实际数据是否对应于具有常数或时间相关Hurst指数的MFBM。

使用500长度模拟信号T型=512对于第1节中讨论的情况1-4。二使用基于高斯过程Cholesky分解的算法模拟了时变MFBM输出。72、73为了进行验证，我们使用MFBM和中提供的参数表二估计结果见图2对于浅红线，我们给出了95%的置信区间（根据获得的估计赫斯特指数计算），而对于深红线，我们给出了H（H）^(t吨)⁠。蓝线对应于赫斯特指数的理论值。

图2。
图2。每个考虑情况的H^（t）分位数线覆盖在真实H（t）上。深红色线表示中间值，较浅的线表示95%的置信区间。我们对长度为T=512的轨迹进行了500次蒙特卡罗模拟。
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分位数行H（H）^(t吨)对于覆盖在true上的每个考虑案例H（H）(t吨)⁠。深红色线表示中间值，较浅的线表示95%的置信区间。我们使用500长度轨迹的蒙特卡罗模拟T型=512⁠.

图2。
图2。每个考虑情况的H^（t）分位数线覆盖在真实H（t）上。深红色线表示中间值，较浅的线表示95%的置信区间。我们对长度为T=512的轨迹进行了500次蒙特卡罗模拟。
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分位数行H（H）^(t吨)对于覆盖在true上的每个考虑案例H（H）(t吨)⁠。深红色线表示中间值，较浅的线表示95%的置信区间。我们使用500长度轨迹的蒙特卡罗模拟T型=512⁠.

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表二。

用于每种考虑情况的参数值H（H）(t吨)在计算机验证中的功能。

案例参数
1（a）H（H） = 0.2 
1（b）H（H） = 0.8 
2 一1=0.8−0.21000,一2=0.2 
3（a）b条1 = 0.2之间，b条2 = 0.6,b条三 = 15中，b条4 = 0.5 
3（b）b条1 = 0.2之间，b条2 = 0.6,b条三 = 250,b条4 = 0.5 
4 c（c）1 = 0.3,c（c）2 = 10,c（c）三 = 0.5 
案例参数
1（a）H（H） = 0.2 
1（b）H（H） = 0.8 
2 一1=0.8−0.21000,一2=0.2 
3（a）b条1 = 0.2,b条2 = 0.6,b条三 = 15,b条4 = 0.5 
3（b）b条1 = 0.2,b条2 = 0.6,b条三 = 250,b条4 = 0.5 
4 c（c）1 = 0.3,c（c）2 = 10,c（c）三 = 0.5 
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可以观察到，所提出的算法估计H（H）(t吨)正确（小时间和大时间的置信区间更宽）。两个例子——常数函数[情况1（a）和1（b）]——都得到了准确的估计。置信区间较窄，估计函数与理论函数非常接近。对于线性函数（情况2），可以观察到边界处的不确定性显著增加。这种行为符合直觉，因为很少有证据表明这个函数在边界之外仍然是线性的。通过解释置信区间，该模型倾向于边界处的恒定解。在下面的例子中，可以观察到挥发性越大H（H）(t吨)⁠，估计值越不稳定H（H）^(t吨)⁠这可以通过比较两个示例来观察——案例3（a）和案例3（b）。使用更平滑的H（H）(t吨)[情况3（a）]H（H）^(t吨)与案例3（b）相比，它们也更平滑，变量更少，在案例3（c）中可以观察到估计值的突然跳跃和扭曲。在这种情况下H（H）(t吨)是周期性的（由案例4表示），估计量低估了解并倾向于接近常数，即平均值。

我们将使用所提算法获得的结果与参考文献中提出的MFBM Hurst指数估计经典方法的技术进行了比较。39该方法基于卷积轨迹（使用特定的小波滤波器）与滤波器膨胀率之间的线性关系。在这种关系中，斜率与H（H）(t吨)在给定的时间t吨⁠，并且可以使用基本转换进行提取。然而，这不是所有人都能做到的t吨∈{0,…,T型}因为膨胀放大的滤波器（小波）长度限制了开始次数t吨可以对其进行评估。我们使用两种长度的信号进行了比较：T型=256和T型=2560⁠，参考文献。39[针对每个H（H）(t吨)功能]。可以观察（参见图3和中的摘要统计信息表III)那是为了T型=256⁠，该估计算法的性能优于经典方法。首先，建议的方法允许估计H（H）(t吨)对于时间点的所有值t吨∈{1,2,…,T型}⁠这一点至关重要，尤其是对于小轨道而言，因为在这样的限制下，我们可能会因为不存在估计值而丢失轨道中很大一部分的信息。参考文献中提出的算法。39（使用建议的最佳参数）无法估计{H（H）(t吨)}t吨=1T型⁠，有效地产生矢量{H（H）^(t吨)}t吨=40T型⁠.

图3。
图3。使用介绍的算法和参考文献中提出的技术获得的结果的比较。39.绘制H^（t）的分位线是为了描述参考文献中考虑的情况下的估计量的特征。39.中间线表示估计值的中位数，而周围线表示95%的置信区间。
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使用介绍的算法和参考文献中提出的技术获得的结果的比较。39.的分位数行H（H）^(t吨)用于描述参考文献中所考虑案例的估计员特征。39中线表示估计值的中位数，而周围的线表示95%的置信区间。

图3。
图3。使用介绍的算法和参考文献中提出的技术获得的结果的比较。39.画出H^（t）的分位数线，以描述参考文献中考虑的情况的估值器特征。39.中间线表示估计值的中位数，而周围线表示95%的置信区间。
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使用介绍的算法和参考文献中提出的技术获得的结果的比较。39.的分位数行H（H）^(t吨)用于描述参考文献中所考虑案例的估计器特征。39中线表示估计值的中位数，而周围的线表示95%的置信区间。

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表III。

中提供的测试方法和案例的错误摘要度量图3.我们将建议的方法指定为方法A，将方法B指定为Coeurjolly方法。

案例T型方法MAE公司RMSE公司
线性案例256 A类0.0566 0.0732 
  B类0.0971 0.1237 
 2560 A类0.0380 0.0485 
  B类0.0560 0.0710 
后勤案例256 A类0.06290.0800 
  B0.1052 0.1293 
 2560个A类0.0340 0.0443 
  B类0.0549 0.0691 
案例T型方法MAE公司RMSE公司
线性案例256 A类0.0566 0.0732 
  B类0.0971 0.1237 
 2560 A类0.0380 0.0485 
  B类0.0560 0.0710 
后勤案例256 A类0.0629 0.0800 
  B类0.1052 0.1293 
 2560 A类0.0340 0.0443 
  B类0.0549 0.0691 
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比较研究表明，参考文献中给出的估计量的方差。39高于引入估计量的方差。对于参考文献。39，即，对于T型=2560⁠，所考虑的方法与引入的算法一致，该算法具有略低的方差。然而，它在边界上存在偏见问题。这主要是由于模型没有按照如此长的轨迹进行训练，并且它已经学习了一个估计量H（H）^(t吨)对于其中∀t吨<0H（H）(t吨)=H（H）(0)∧H（H）′(t吨)=0和∀t吨>T型H（H）(t吨)=H（H）(T型)∧H（H）′(t吨)=0⁠尽管如此，一般来说，建议的估计器表征了较低的误差（参见表III带有汇总统计）；因此，可以得出结论，本文提出的算法总体上更有效，特别是对于较短的轨迹。

值得强调的是，与参考文献中描述的算法相比，本文提出的算法更优越。39因为它不需要找到最优超参数。该模型配备了最佳过滤器，并以最佳窗口大小聚合信息，而在参考文献。39需要指定合适的小波，并具有最佳聚集窗口，其中的选择对估计有巨大影响。选择过宽的窗口可以降低估计量的方差；然而，它会增加对恒定解决方案的偏差。窗口过窄时，估计器可以捕捉过程特征的快速变化；然而，由于方差增加，它可能是随机的，这可能导致错误的结论。这很难，尤其是因为，如参考文献。39，对于线性和logistic的情况，最优超参数是不同的H（H）(t吨)⁠。这意味着需要知道什么类型的H（H）(t吨)函数在估计算法开始之前，该过程由其控制。使用神经网络，我们选择最佳解决方案，而无需猜测最佳参数和知道函数类型H（H）(t吨)已考虑。这是因为我们用几种类型的函数训练模型，而且卷积神经网络的特点是它们共享滤波器的权重。这保证了即使函数严格地不属于模型所训练的函数族，该方法也能很好地执行。因此，建议的解决方案不仅对来自训练集的函数性能更好（参见示例函数的比较，参数化在表二，如所示图4补充了表四)也适用于任何分段定义的函数。此外，由于我们可以用分段线性函数逼近任何函数，因此，该方法具有通用性和通用性。我们在中所示的示例中进行了演示图5其中使用了类似的模拟方法，如图3但有一个轨道长度T型=512和更复杂的H（H）(t吨)函数-分段常数和正弦函数。可以观察到，本文提出的方法确实捕捉到了H（H）(t吨)即使这样的功能不在训练功能集中，只包含其组件。此外，通过与参考文献1中提出的算法的比较。39，新方法允许人们发现更复杂的H（H）(t吨)⁠，而另一个平滑了这个区域，导致时间周期性行为无法导出。这种性能差异在表五，其中Coeurjolly方法的误差度量39几乎是它的三倍大。

图4。
图4。使用引入的算法和参考文献39中提出的技术获得的结果的比较。画出H^（t）的分位数线，以描述误差度量总结在表IV中的情况下的估值器特征。中间线描述估值器的中位数，而周围线对应95%的置信区间。为了计算这些，我们对长度为T=512的轨迹进行了500次蒙特卡罗模拟。
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使用引入的算法和参考文献中提出的技术获得的结果的比较。39.的分位数行H（H）^(t吨)用于描述误差度量总结为表四中线表示估计值的中位数，而周围的线表示95%的置信区间。为了计算这些，我们用长度为的轨迹进行了500次蒙特卡罗模拟T型=512⁠.

图4。
图4。使用引入的算法和参考文献39中提出的技术获得的结果的比较。画出H^（t）的分位数线，以描述误差度量总结在表IV中的情况下的估值器特征。中间线描述估值器的中位数，而周围线对应95%的置信区间。为了计算这些，我们对长度为T=512的轨迹进行了500次蒙特卡罗模拟。
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使用引入的算法和参考文献中提出的技术获得的结果的比较。39.的分位数行H（H）^(t吨)用于描述误差度量总结为表四中线表示估计值的中位数，而周围的线表示95%的置信区间。为了计算这些，我们用长度为的轨迹进行了500次蒙特卡罗模拟T型=512⁠.

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图5：。
图5：。使用介绍的算法和参考文献中提出的技术获得的结果的比较。39.当H（t）是分段常数和正弦函数时，绘制H^（t）的分位数线来描述估值器的特性。中间线表示估计值的中位数，而周围线表示95%的置信区间。T=512的情况。
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使用介绍的算法和参考文献中提出的技术获得的结果的比较。39.的分位数行H（H）^(t吨)被绘制来描述当H（H）(t吨)是一个分段常数正弦函数。中间的线描绘了估计量的中位数，而周围的线对应于95%的置信区间。带有的案例T型=512⁠.

图5。
图5：。使用介绍的算法和参考文献中提出的技术获得的结果的比较。39.当H（t）是分段常数和正弦函数时，绘制H^（t）的分位数线来描述估值器的特性。中间线表示估计值的中位数，而周围线表示95%的置信区间。T=512的情况。
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使用介绍的算法和参考文献中提出的技术获得的结果的比较。39.的分位数行H（H）^(t吨)在下列情况下绘制以描述估计器的特征H（H）(t吨)是一个分段常数正弦函数。中间线表示估计值的中位数，而周围线表示95%的置信区间。带有的案例T型=512⁠.

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表IV。

第节中案例的错误摘要指标。二中定义了参数表二.

案例方法MAE公司RMSE公司
1（a）建议的方法0.0277 0.0350 
 科尔乔利方法0.0460 0.0578 
1（b）建议的方法0.0331 0.0420 
 科尔乔利方法0.0681 0.0855 
2 建议的方法0.0429 0.0551 
 柯乔利方法0.0621 0.0793
3（a）建议的方法0.0465美元0.0594 
 科尔乔利方法0.0684 0.0872 
3（b）建议的方法0.0436 0.0576 
 科尔乔利方法0.2679 0.4248 
4 建议的方法0.0693 0.0889 
 科尔乔利方法0.1231 0.1475 
案例方法MAE公司RMSE公司
1（a）建议的方法0.0277 0.0350 
 科尔乔利方法0.0460 0.0578 
1（b）建议的方法0.0331 0.0420 
 科尔乔利方法0.0681 0.0855 
2个建议的方法0.0429美元0.0551 
 科尔乔利方法0.06210.0793 
3（a）建议的方法0.0465 0.0594 
 科尔乔利方法0.0684 0.0872 
3（b）建议的方法0.0436 0.0576 
 科尔乔利方法0.2679 0.4248 
4 建议的方法0.0693 0.0889 
 科尔乔利方法0.1231 0.1475 
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表五。

错误摘要指标，例如来自图5.

方法MAE公司RMSE公司
建议的方法0.0584 0.0771 
科尔乔利方法0.1492 0.1860 
方法MAE公司RMSE公司
建议的方法0.05840.0771 
柯乔利方法0.1492 0.1860 
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如上述分析所示，即使分析数据对应于具有恒定赫斯特指数（即FBM）的MFBMH（H）(t吨)不是常量。此外，它围绕赫斯特指数的真实值变化，这是因为H（H）^(t吨)从数据来看，它只是一个估计量，从数学角度来看，它是一个随机变量。因此，有必要区分非恒定H（H）^(t吨)对应于MFBM，Hurst指数为时变确定性函数，FBM[H（H）(t吨)为常数]。因此，在这一部分中，我们提出了一种简单的视觉测试，可用于区分上述情况。判别算法进行如下：

  • 对于长度的真实信号T型⁠，估计赫斯特指数H（H）^0(t吨)⁠,t吨=1,2,…,T型使用提出的估计算法；

  • 计算获得值的平均值H（H）^0(t吨)沿着t吨⁠。该值表示为H（H）t吨电子秒t吨⁠;

  • 模拟M（M）具有Hurst指数的FBM时不变输出H（H）t吨电子秒t吨长度的T型⁠;

  • 对于每个模拟信号，使用建议的估计算法估计Hurst指数。因此，我们获得M（M）的值H（H）^(t吨)⁠;

  • 对于每个t吨=1,2,…,T型⁠，计算水平上的经验分位数α/2和1−α/2并在水平上构造Hurst指数的经验置信区间1−α⁠。对于给定的t吨⁠，我们将其表示为[问α/2(t吨),问1−α/2(t吨)]⁠;

  • 对于每个t吨=1,2,…,T型检查是否H（H）^0(t吨)落入构造的置信区间。如果是最小值100(1−α)%的t吨值得满意的是H（H）^0(t吨)∈[问α/2(t吨),问1−α/2(t吨)]⁠，则我们可以怀疑该信号对应于FBM。否则，我们不能假设Hurst指数为常数，并假设该信号对应于随时间变化的MFBMH（H）(t吨)⁠.

恒定赫斯特指数和时变赫斯特指数之间的区别可以根据曲线图（目视检查）进行，其中我们演示了函数H（H）^0(t吨)以及构建的经验置信区间[问α/2(t吨),问1−α/2(t吨)]沿着t吨=1,2,…,T型或基于估计的赫斯特指数落入构建的置信区间的时间点百分比。

为了证明所提出的判别算法的有效性，首先，我们分析了MFBM的时变输出，其线性Hurst指数对应于案例2，参见等式。(7)，以及模拟研究中使用的相同参数（列于表二). 这里，我们考虑长度信号T型=512⁠。对于模拟信号，我们执行上述步骤，并在图6（a），我们显示了估计的Hurst指数和构造的置信区间（和中值）α=0.05⁠。我们假设M（M）=1000作为FBM时不变输出的数量，用于构造置信区间和中值。可以看出，估计的赫斯特指数在大多数情况下都不属于构造的置信区间t吨值(⁠81%⁠)以及常数的假设H（H）(t吨)被拒绝。

图6。
图6。用于验证估计值是否对应于常量情况的可视化测试。置信区间对应于H^（t）的平均值。数字顶部的百分比表示H^（t）超出CI的百分比。案例t=512。
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用于验证估计值是否对应于常量情况的可视化测试。置信区间对应于H（H）^(t吨)⁠。数字顶部的百分比表示H（H）^(t吨)不属于CI.CaseT型=512⁠.

图6。
图6。用于验证估计值是否对应于常量情况的可视化测试。置信区间对应于H^（t）的平均值。数字顶部的百分比表示H^（t）超出CI的百分比。案例t=512。
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用于验证估计是否对应于恒定情况的视觉测试。置信区间对应于H（H）^(t吨)⁠。数字顶部的百分比表示H（H）^(t吨)不属于CI.CaseT型=512⁠.

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作为第二个示例，我们分析了赫斯特指数等于平均值的FBM时不变输出H（H）(t吨)用于上述线性情况，其值等于H（H）=0.5⁠.英寸图6（b），我们演示了上述视觉测试α=0.05和M（M）=1000⁠这一结果表明，常数赫斯特指数的假设是不可否认的。估计的时间点百分比H（H）0(t吨)落入构造的置信区间等于100%⁠在这张图中，我们还可以观察到，从蒙特卡罗模拟中获得的中值与常数不是很接近H（H）(t吨)≡H（H）=0.5从中模拟了该过程。原因是从估计值序列中获得的时间平均值{H（H）^(t吨)}导致值仅接近中间值。这种行为与遍历理论和以下限制严格相关林T型→∞1T型∑t吨=1T型H（H）^(t吨)不收敛于H（H）快到林M（M）→∞1M（M）∑我=1M（M）H（H）^我(t吨)∼E类H（H）^(t吨)由于{H（H）^(t吨)}所有的估计{H（H）^(t吨)}t吨=1T型使用公共轨迹，而{H（H）^我(t吨)}我=1M（M）使用进行评估M（M）独立的轨迹。

为了评估该算法在实验数据上的性能，我们分析了直径为50 nm的聚苯乙烯珠在琼脂糖水凝胶中的轨迹。实验系统已经过描述。16将琼脂糖粉末溶解在磷酸盐缓冲盐水中，制成1.5%的琼脂糖凝胶。聚苯乙烯珠首先加热到60°将0.5%吐温20中的C加入琼脂糖溶液中，使其保持在相同的温度并混合15分钟。然后，将其转移到一个热的盖玻片中，在那里缓慢冷却，直到达到室温。这些珠子是在倒置显微镜下用40×目标为71帧/秒。在LABVIEW中使用基于交叉相关的算法对单个珠子进行跟踪。74共分析了40条轨迹，每个轨迹包含512个数据点。

此前已确定，微球在琼脂糖水凝胶中的运动显示均方位移、功率谱密度、，16和经验异常测量75与FBM的假设一致。然而，赫斯特指数在时间上是常数的假设从未得到严格的检验。因此，MFBM测试算法为验证或拒绝FBM提供了一个很好的工具。

代表性轨迹如所示图7为了演示第。四、A可以应用于实际数据，我们演示了H（H）(t吨)以及在Hurst指数等于H（H）^(t吨)(图8)，类似于判别算法中描述的内容。在上面的面板中，我们演示了以下轨迹的结果图7，其中估计的Hurst指数落入最小值的构造置信区间100(1−α)%时间点（参见图顶部的信息），而在底部面板中，我们显示了与我们情况相反的选定轨迹的结果。在第二种情况下，FBM的假设不可接受，我们假设MFBM具有时变Hurst指数。此外，在图8，我们还演示了估计的赫斯特指数沿时间点的中位数。在分析中，我们认为α=0.05和M（M）=1000⁠通常，使用引入的判别算法无法拒绝FBM假设的轨迹数等于29⁠，而对于11轨迹，FBM的恒定假设H（H）被拒绝。

图7。
图7。实验数据的样本轨迹。（a） 我们无法拒绝显著性水平为α=0.05的FBM假设的三条典型轨迹。（b） 我们拒绝FBM假设的三条典型轨迹，显著性水平为α=0.05。
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实验数据的样本轨迹。（a） 我们无法在显著性水平上拒绝FBM假设的三条典型轨迹α=0.05⁠（b）我们拒绝具有显著性水平的FBM假设的三条典型轨迹α=0.05⁠.

图7。
图7。实验数据的样本轨迹。（a） 我们无法拒绝显著性水平为α=0.05的FBM假设的三条典型轨迹。（b） 我们拒绝FBM假设的三条典型轨迹，显著性水平为α=0.05。
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实验数据的样本轨迹。（a） 我们无法在显著性水平上拒绝FBM假设的三条典型轨迹α=0.05⁠（b）我们拒绝具有显著性水平的FBM假设的三条典型轨迹α=0.05⁠.

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图8。
图8。用于验证给定轨迹是否对应于FBM[常数H（t）]的视觉测试。置信区间由FBM时不变输出构成，Hurst指数等于H^（t），t=1,2，…，t的平均值。在顶部，我们给出了H^0（t）占置信区间的百分比。在上部面板中发现的轨迹的百分比低于集合α=0.05（不能拒绝FBM假设），在底部面板中，我们展示了拒绝FBM假设的示例轨迹（百分比高于α=0.05）。（a） 无法拒绝FBM假设的第一条示例性轨迹。（b） 无法拒绝FBM假设的第二个示例轨迹。（c） 不能拒绝FBM假设的第三示例性轨迹。（d） 我们拒绝FBM假设的第一个示例性轨迹。
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用于验证给定轨迹是否对应FBM[常数H（H）(t吨)]. 置信区间由FBM时不变输出构成，Hurst指数等于H（H）^(t吨)⁠,t吨=1,2,…,T型⁠在顶部，我们显示了H（H）^0(t吨)超出置信区间。上面板中的轨迹百分比低于设定值α=0.05（不能拒绝FBM的假设），在底部面板中，我们演示了拒绝FBM假设的示例性轨迹（百分比高于α=0.05⁠). （a） 无法拒绝FBM假设的第一条示例性轨迹。（b） 无法拒绝FBM假设的第二个示例轨迹。（c） 不能拒绝FBM假设的第三个示例轨迹。（d） 我们拒绝FBM假设的第一个示例性轨迹。

图8。
图8。用于验证给定轨迹是否对应FBM[常数H（t）]的目视测试。置信区间由FBM时不变输出构成，Hurst指数等于H^（t），t=1,2，…，t的平均值。在顶部，我们给出了H^0（t）占置信区间的百分比。在上部面板中发现的轨迹百分比低于设定的α=0.05（FBM假设不能被拒绝），在底部面板中，我们展示了拒绝FBM假设的示例轨迹（百分比高于α=0.05）。（a） 无法拒绝FBM假设的第一条示例性轨迹。（b） 无法拒绝FBM假设的第二个示例轨迹。（c） 不能拒绝FBM假设的第三个示例轨迹。（d） 我们拒绝FBM假设的第一个示例性轨迹。
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用于验证给定轨迹是否对应FBM[常数H（H）(t吨)]. 置信区间由FBM时不变输出构成，Hurst指数等于H（H）^(t吨)⁠,t吨=1,2,…,T型⁠在顶部，我们显示了H（H）^0(t吨)超出置信区间。上面板中的轨迹百分比低于设定值α=0.05（不能拒绝FBM的假设），在底部面板中，我们演示了拒绝FBM假设的示例性轨迹（百分比高于α=0.05⁠). （a） 无法拒绝FBM假设的第一条示例性轨迹。（b） 无法拒绝FBM假设的第二个示例轨迹。（c） 不能拒绝FBM假设的第三示例性轨迹。（d） 我们拒绝FBM假设的第一个示例性轨迹。

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在图9，对于中所示的轨迹图7，我们展示H（H）^(t吨)置信区间使用1000MFBM随时间变化的输出与估计的Hurst指数。可以清楚地看到，用相应模型模拟的信号（见置信限）充分反映了估计的赫斯特指数的行为，例如快速变化和在上面板中演示的情况下的时变赫斯特指数图9根据判别算法，上部面板中显示的情况与FBM相对应。事实上，估计的Hurst指数以及从模拟信号获得的置信区间相对于底部面板中显示出的情况表现出较小的波动性。此外，应该强调的是H（H）0(t吨)（与分析的轨迹相对应）属于压缩的置信区间。从上述分析中，我们可以得出结论，所测试的MFBM模型适用于所检查的轨迹。

图9：。
图9：。估计的Hurst指数H（t）及其置信区间是通过用H^（t）模拟MFBM的1000条轨迹而构造的。（a） 第一个示例性轨迹-恒定赫斯特指数。（b） 第二个示例性轨迹-恒定赫斯特指数。（c） 第三个示例性轨迹-恒定赫斯特指数。（d） 第一个示例性轨迹-时变赫斯特指数。（e） 第二个示例轨迹-时变赫斯特指数。（f） 第三个示例轨迹-时变赫斯特指数。
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估计的赫斯特指数H（H）(t吨)通过模拟构造置信区间1000MFBM的轨迹H（H）^(t吨)⁠.（a）第一个示例性轨迹-恒定赫斯特指数。（b） 第二个示例性轨迹-恒定赫斯特指数。（c） 第三个示例性轨迹-恒定赫斯特指数。（d） 第一个示例性轨迹-时变赫斯特指数。（e） 第二个示例轨迹-时变赫斯特指数。（f） 第三个示例轨迹-时变赫斯特指数。

图9：。
图9：。估计的Hurst指数H（t）及其置信区间是通过用H^（t）模拟MFBM的1000条轨迹而构造的。（a） 第一个示例性轨迹-恒定赫斯特指数。（b） 第二个示例性轨迹-恒定赫斯特指数。（c） 第三个示例性轨迹-恒定赫斯特指数。（d） 第一个示例性轨迹-时变赫斯特指数。（e） 第二个示例轨迹-时变赫斯特指数。（f） 第三个示例轨迹-时变赫斯特指数。
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估计的赫斯特指数H（H）(t吨)通过模拟构造置信区间1000MFBM的轨迹H（H）^(t吨)⁠.（a）第一个示例性轨迹-恒定赫斯特指数。（b） 第二示例性轨迹常数Hurst指数。（c） 第三个示例性轨迹-恒定赫斯特指数。（d） 第一个示例性轨迹-时变赫斯特指数。（e） 第二示例性轨迹时变赫斯特指数。（f） 第三个示例轨迹-时变赫斯特指数。

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当前结果在73%的分析轨迹中验证了FBM模型。然而，在剩下的27%中，经典FBM被拒绝。赫斯特指数的平均值表明，正如之前的分析所预期的那样，这些轨迹属于亚扩散型。与恒定赫斯特指数的偏差通常是在轨道变得超扩散的特定时期观察到的(⁠H（H）>0.5⁠)或表现出更显著的亚扩散行为。在前一种情况下，一种似乎合理的解释是，微小的瞬态水流会导致珠子发生定向运动，从而使运动在这些短时间内呈现超扩散。另一方面，赫斯特指数降低的情况可能是由于水凝胶中的缺陷导致材料的异质性。特别是，当一个粒子穿过介质中密度较大的区域时，它会经历更多的负增量自相关，并且它会以较小的FBM短暂出现H（H）⁠.

虽然发现大多数轨迹都是FBM类型，验证了先前的假设，但使用算法识别单个轨迹中的MFBM，可以沿着两条不同的数据分析线提供非常有用的信息。首先，该方法可用于区分与简单FBM不对应的轨迹H（H）⁠此外，对常数偏差的评估H（H）为描述和理解这些异常事件提供了工具。其次，假设具有均匀物理性质的粘弹性材料应产生具有常数的轨迹H（H）⁠MFBM的检测可用于评估材料本身的性能和质量。事实上，这是微观流变学实验的主要目标之一，在该实验中，分析嵌入颗粒的运动，以便在微观尺度上测量介质的力学特性。76 

本文中提供的贡献可以列举为几个重点：

  • 针对有限的输入信息和MFBM[时变的]示例模型，讨论并解决了复杂分数动力学的识别和表征问题H（H）(t吨)系数，适用于分数系统动力学的时间机制]。

  • 基于AI的方案设计用于常数和时间相关H（H）(t吨)估计和用于测量信号的顺序二进制注释。

  • 这个M（M）A类E类和R（右）M（M）S公司E类线性、分段和正弦变化的计算实验期间测量的估计误差H（H）(t吨)⁠，分别不超过6%和8%，为参考方法的一半。

  • 本文中定性和定量概述的方法论处方可以映射到任何性质的复杂系统，其中观测到的输出表现出时间分数动力学。

  • 所设计的基于人工智能的算法可以启发并有助于其他在噪声存在下以短时间序列运行的实时信号处理方案。这项工作为各种服务的发展铺平了道路，包括远程医疗、IIoT/工业4.0、智能城市等。

A.W.的工作得到了国家科学中心（Opus Grant No.2020/37/B/HS4/00120）“使用新型统计、概率和机器学习工具识别和验证市场风险模型”的支持。D.K.承认国家科学基金会（National Science Foundation）在第2102832号拨款下的支持。

作者没有冲突需要披露。

Dawid Szarek：概念化（平等）；形式分析（相等）；调查（同等）；方法（同等）；软件（领导）；验证（同等）；可视化（lead）；写作——原稿（同等）；写作–审查和编辑（同等）。伊雷内乌斯·贾布·昂斯基（Ireneusz Jabłonski）：概念化（平等）；形式分析（相等）；调查（同等）；方法（同等）；项目管理（领导）；监督（领导）；写作——原稿（同等）；写作–审查和编辑（同等）。迭戈·克拉普夫：概念化（平等）；形式分析（相等）；调查（同等）；资源（相等）；监督（同等）；写作——原稿（同等）；写作–审查和编辑（同等）。阿格涅斯卡·维奥曼斯卡：概念化（平等）；形式分析（相等）；调查（同等）；方法（同等）；项目管理（领导）；监督（领导）；写作——原稿（同等）；写作——复习和编辑（同等）。

根据合理要求，可从相应作者处获得支持本研究结果的数据。

1.反射布朗运动

布朗运动{H（H）B类M（M）(t吨),t吨≥0}是由以下朗之万方程定义的随机过程：77 

d日H（H）B类M（M）(t吨)d日t吨=2σ2η1/2(t吨),
（A1）

哪里{η1/2(t吨),t吨≥0}是高斯白噪声过程（即具有零均值和常方差的不相关随机变量的过程，其中，我们假设它等于1⁠)和σ>0⁠BM的ACVF由下式给出

E类[H（H）B类M（M）(t吨)H（H）B类M（M）(秒)]=2σ2最小值{t吨,秒}.
（A2）

反射布朗运动是保持布朗运动在给定域内的一种方法。在我们的示例中，域由(0,1)间隔，当进程超过该间隔时，在任何给定的时间执行反射。一般情况下，它可以是任何给定的域。

我们使用的流程H（H）(t吨)这与定义不同（A1）这是起点吗H（H）B类M（M）(0)=H（H）0⁠.

2.反射Ornstein–Uhlenbeck过程

经典的Ornstein–Uhlenbeck过程{H（H）O（运行）U型(t吨),t吨≥0}是以下形式的朗之万方程的稳态解：78 

d日H（H）O（运行）U型(t吨)d日t吨=λ(μ−H（H）O（运行）U型(t吨))+ση1/2(t吨),
（A3）

哪里{η1/2(t吨),t吨≥0}是高斯白噪声μ∈R（右）⁠,λ>0和σ>0是流程的参数。另一方面，OU过程可以通过所谓的Lamperti变换从布朗运动中获得。79 

什么时候？H（H）O（运行）U型(0)是常量，并且μ=0⁠，所考虑过程的ACVF由下式给出

E类[H（H）O（运行）U型(t吨)H（H）O（运行）U型(秒)]=σ2λ电子−λ|t吨−秒|.
（A4）

反射Ornstein–Uhlenbeck过程的定义类似于(1). 具体来说，在每个给定的时间t吨⁠，当轨迹超过给定阈值时，它被反射。

轨迹模拟的参数化是μ=H（H）0和H（H）O（运行）U型(0)=H（H）0⁠.

3.电报流程顺畅

电报过程（非对称）{H（H）T型(t吨),t吨≥0}定义如下：80 

H（H）T型(t吨)=小时0(−1)N个(t吨)+小时1,
（A5）

哪里{N个(t吨),t吨≥0}是齐次泊松过程81以强度γ>0和小时0,小时1正实数是这样的吗小时0<小时1<1−小时0⁠非对称电报过程是一个两阶段的过程，取值H（H）0=小时1−小时0和H（H）1=小时1+小时0具有概率电子−γt吨新几内亚⁡(γt吨)和电子−γt吨科什⁡(γt吨)⁠分别是。平滑（滤波）非对称电报过程{H（H）S公司T型(t吨),t吨≥0}通过以下形式的随机微分方程定义：80 

d日H（H）S公司T型(t吨)d日t吨=−βH（H）S公司T型(t吨)+βH（H）T型(t吨),
（A6）

哪里β>0是过滤器的参数{H（H）T型(t吨),t吨≥0}是等式中定义的非对称电报过程。（A5）.

中所示架构的构建块图1如下图所示：

图10。
图10。A型区块。（A）Inception-ResNet-A。（b）Incept-ResNet-Reducation-A。
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A型区块。（A）Inception-ResNet-A。（b）Incept-ResNet-Reducation-A。

图10。
图10。A型区块。（A）Inception-ResNet-A。（b）Incept-ResNet-Reducation-A。
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A型区块。（A）Inception-ResNet-A。（b）Incept-ResNet-Reducation-A。

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图11：。
图11。B型区块。（a）Inception-ResNet-B。（B）Incept-ResNet-Reducation-B。
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B型区块。（a）Inception-ResNet-B。（B）Incept-ResNet-Reducation-B。

图11：。
图11。B型区块。（a）Inception-ResNet-B。（B）Incept-ResNet-Reducation-B。
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B型区块。（a）Inception-ResNet-B。（B）Incept-ResNet-Reducation-B。

关闭模态
图12：。
图12：。C型区块（a）Inception-ResNet-C。（b）Transpose Incepton-ResNet-C。
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C型区块（a）Inception-ResNet-C。（b）Transpose Incepton-ResNet-C。

图12：。
图12：。C型区块（a）Inception-ResNet-C。（b）Transpose Incepton-ResNet-C。
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C型区块（a）Inception-ResNet-C。（b）Transpose Incepton-ResNet-C。

关闭模态
图13。
图13。阀杆块和Max-Reduce块。（a） 阀杆。（b） 转座茎。（c） 最大减少量。
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阀杆块和Max-Reduce块。（a） 阀杆。（b） 转座茎。（c） 最大减少量。

图13。
图13。阀杆块和Max-Reduce块。（a） 阀杆。（b） 转座茎。（c） 最大值减少。
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阀杆块和Max-Reduce块。（a） 阀杆。（b） 转座茎。（c） 最大减少量。

关闭模态
1
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F、。
 
弗洛林多
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T。
 
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D.A。
 
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答：E。
 
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问：。
 
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利用小波系数估计隐多重分形布朗运动的逐点Hölder指数
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含时Hurst指数的快速无偏估计
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陈
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基于编解码结构的路面裂缝自动检测
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©2022作者。根据AIP Publishing的独家许可发布。
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