重新审视三个旋涡的动力学

Synge以三个涡旋形成的三角形的边长为主要变量，研究了三个涡街的动力学。发现边的长度在整个运动过程中保持不变的临界状态是等边三角形或共线构型。结果表明，等边构型是稳定的还是不稳定的，取决于强度乘积的总和K（K）分别大于或小于零。在这种情况下K（K）=0时，找到了一个收缩和扩张相似三角形的单参数解族。本文证明了在这种特殊情况下，收缩相似解族总是不稳定的，而扩张相似解族是稳定的。然后研究一般情况下共线构型的临界状态，其中K（K）大于或小于0。结果表明，根据旋涡的强度，有六个或四个临界状态。当有六个共线临界状态时，如果等边三角形构型稳定（不稳定），其中三个始终稳定，一个不稳定，而其余两个不稳定（稳定）。当只有四个共线临界态时，它们都是稳定的，而等边三角形构型总是不稳定的。由于有两种等边三角形结构，即三个旋涡的顺时针和逆时针排列，因此无论是否存在，所有临界状态的指数之和都等于+2K（K）大于或小于0。导出了三线性坐标系下的积分不变量。当所有临界点和积分不变量都已知时，得到了轨迹的全局行为。