The origin of holomorphic states in Landau levels from non-commutative geometry and a new formula for their overlaps on the torus

Haldane, F. D. M.

doi:10.1063/1.5046122

表征二维Landau能级中状态的全纯函数是诸如Laughlin态等关键发展的核心。历史上，它们的起源被归因于处于“最低朗道能级”的状态的“薛定谔波函数”的一个特殊性质任何朗道能级是海森堡描述导向中心非交换几何的一般数学性质。当应用拟周期边界条件对环面上的系统进行紧化时，得到了全纯态之间以离散和而非积分形式重叠的新公式。新公式出乎先前“最低朗道能级薛定谔波函数”解释的意料。

I.简介

众所周知，在均匀磁场中，非相对论性电荷-e（电子）在平面二维欧几里德平面上运动并在“对称规范”中处理的电子具有最低的朗道能级状态，其中薛定谔波函数具有简单的形式

ψ (第页) \equiv ψ (x, 年) \propto （f） (z（z）) {e（电子）}^{- \frac{1}{4} {z（z）}^{*} z（z） / ℓ^{2}}, z（z） (x, 年) = x + 我 年,

(1)

其中2πℓ²是一个量子Φ穿过的二维平面的面积₀=小时/e（电子）磁通量通过的次数和位置（f）(z（z）)是一个全纯函数（这源于一个方向约定，使得Landau的轨道为负或顺时针方向）。全纯函数在物理理论中的这种引人注目的外观是许多重要理论发展的核心，例如“共形块”多粒子模型波函数，例如Laughlin态。¹

尽管人们普遍认为，这些全纯结构是特定于“最低朗道能级波函数”的，但这里将表明，它们对任何朗道能级都是通用的，而是源自朗道轨道“导向中心”的非交换几何的数学结构。当这一新观点应用于通过准周期边界条件在圆环上压缩的Landau能级时，出现了两个态之间重叠的一个关键新公式，并在此提出，由此，“波函数”解释中最初期望的连续积分被离散和所取代。这里提出的新公式显然以前没有报道过，这一事实可能证明了误导“公认智慧”的力量，会导致忽略或误解问题的重要方面。

传统的“薛定谔波函数”解释ψ(第页) = ⟨第页Ψ⟩自然会得出以下公式

⟨ ψ_{1} | ψ_{2} ⟩ = \int \frac{d日 x \land d日 年}{2 π ℓ^{2}} {（f）}_{1} {(z（z）)}^{*} {（f）}_{2} (z（z）) {e（电子）}^{- \frac{1}{2} {z（z）}^{*} z（z） / ℓ^{2}} .

(2)

（通过这种标准化，（f）(z（z）)=1对应于高斯相干态。）然而，对(1)就“薛定谔波函数”而言，虽然启发式方便，但并没有提供其基本含义。

通过动能的量子化投影到朗道能级后，带电粒子的剩余自由度是“引导中心”R（右）其朗道轨道的平均值第页平均轨道周期。其分量服从非交换几何的海森堡代数，

[{R（右）}^{x}, {R（右）}^{年}] = - 我 ℓ^{2} .

(3)

（减号源自方向约定（f）(z（z）)全纯的而不是反全纯的。）引导中心坐标分量所遵循的测不准原理消除了量子力学的薛定谔公式和海森堡公式之间等价所需的局部性，使投影空间中的薛定锷描述无效，并且仅使（规范不变量）海森堡对其动力学的描述是可能的。全纯结构实际上只是非交换几何的一般结果(三),不相关的任何特定的Landau水平结构和全纯函数（f）(z（z）)其特征是海森堡状态，而不是薛定谔波函数。

此外，复杂的结构z（z）(x,年)迄今为止，人们一直认为x+是的在“最低Landaulevel”解释中，它继承了非相对论性粒子动力学的旋转不变性（在欧几里德度量下），实际上是海森堡代数基本表示的一个未指定且可任意选择的参数，

一^{†} = \frac{e（电子） \cdot R（右）}{\sqrt 2 ℓ}, 一 = \frac{{e（电子）}^{*} \cdot R（右）}{\sqrt 2 ℓ}, [一, 一^{†}] = 1,

(4)

哪里e（电子）是一个服从的复向量

{e（电子）}_{x}^{*} {e（电子）}_{年} - {e（电子）}_{年}^{*} {e（电子）}_{x} = 2 我 .

(5)

然后

z（z） (x, 年) = e（电子） \cdot 第页 .

(6)

出于技术原因（为了避免拓扑强制边缘状态的复杂性并保持同质性），可以在一组平移下施加（准）周期边界条件 ${L（左）} \equiv L（左）$ 它定义了一个以面积为单位的格子A类= 2πN_Φℓ²通量通过其中N个_ΦΦ₀通行证，其中N个_Φ是一个正整数。这有效地将欧几里德平面压缩为圆环，并导致具有周期性的“波函数”，

| ψ (第页 + L（左）) |^{2} = | ψ (第页) |^{2} .

(7)

自然概括(2)是

⟨ ψ_{1} | ψ_{2} ⟩ = \int_{□} \frac{d日 x \land d日 年}{2 π ℓ^{2}} {（f）}_{1} {(z（z）)}^{*} {（f）}_{2} (z（z）) {e（电子）}^{- \frac{1}{2} {z（z）}^{*} z（z） / ℓ^{2}},

(8)

其中积分现在位于晶格的单位格上 $L（左）$ ⁠.

从传统的薛定谔观点来看，这里提出的核心新数学结果是“意想不到的”，即(8)可以替换为有限和

⟨ ψ_{1} | ψ_{2} ⟩ = \frac{1}{{N个}_{Φ}} {\sum_{z（z）}}^{'} {（f）}_{1} {(z（z）)}^{*} {（f）}_{2} (z（z）) {e（电子）}^{- \frac{1}{2} {z（z）}^{*} z（z） / ℓ^{2}},

(9)

其中素数和在一组 ${({N个}_{Φ})}^{2}$ 值{z（z）} = {e（电子）·x}，其中集合{x}是这样选择的 ${N个}_{Φ} x \in L（左）$ 和 $x - x^{'} \notin L（左）$ 对于x≠x′. （这使得x不同模L（左）.）注意

\frac{1}{{N个}_{Φ}} {\sum_{z（z）}}^{'} 1 = \int_{□} \frac{d日 x \land d日 年}{2 π ℓ^{2}} 1 = {N个}_{Φ} .

(10)

表达式(9)对任何一组选择都有效 ${({N个}_{Φ})}^{2}$ 的值x在上述意义上是不同的。特别是，如果(L（左）₁,L（左）₂)是晶格的基础，所以 $L（左）$ = ${米 {L（左）}_{1} + n个 {L（左）}_{2}, 米, n个 \in Z轴}$ ⁠，可能的选择{x}是单位单元中的均匀网格，

{x} = \{\frac{(米 {L（左）}_{1} + n个 {L（左）}_{2})}{{N个}_{Φ}}, 米, n个 = 1, \dots {N个}_{Φ}\} .

(11)

然而，表达式(9)是“模不变量”[与基的选择无关(L（左）₁,L（左）₂)]. 结果可能被视为底层非交换几何的结果。

二、。国家在岚岛层面的代表

当电子在平移不变的二维（2D）表面上移动时，通过表面的磁通量密度均匀，可能会发生朗道量子化，从而使其动能量子化。单粒子谱由宏观简并的朗道能级组成。如果表面是平的，每个量子Φ在每个朗道能级中都有一个独立的态₀通过平面的磁通量。在均匀磁场的存在下B类，动力动量的分量第页= −iℏ∇−e（电子）A类(第页)服从海森堡代数

[{第页}_{x}, {第页}_{年}] = 我 ℏ^{2} / ℓ^{2} .

(12)

平面的方向由通量横向的方向确定： $B类 \cdot \hat{n个}$ = Φ₀/2πℓ²，其中 $\hat{n个}$ 是曲面的定向单位法线。

半经典地，这导致动量的能量守恒运动第页沿等速动能轮廓ε(第页)在动量空间中，如果这些轮廓闭合，则会导致周期性（顺时针）运动和Bohr-Sommerfeld-Landau量化。假设ε(第页)是离散的，因此

ε (第页) | ψ_{n个, α} (⟩ = {E类}_{n个} | ψ_{n个, α} (⟩, ⟨ ψ_{n个 α} | ψ_{n个 α^{'}} ⟩ = δ_{α, α^{'}}, ⟨ ψ_{n个 α} | 第页 | ψ_{n个 α^{'}} ⟩ = {第页}_{n个} δ_{α, α^{'}},

(13)

其中简并酰标签α计算通过平面的每个通量量子的每个朗道能级的一个独立态，即朗道能级没有额外的简并E类_n个.

操作员ε(第页)被很好地定义为第页假设双变量函数ε(第页'）第页，共页通勤真实零部件第页′ = (⁠ ${第页}_{x}^{'}$ ⁠, ${第页}_{年}^{'}$ ⁠)（当B=0时）具有绝对收敛的幂展开式 ${({第页}_{x}^{'})}^{米} {({第页}_{年}^{'})}^{n个}$ ⁠为了构造量子算符，这些算符被米运算符的实例第页_x和n个的实例第页_年: ${({第页}_{x}^{'})}^{米} {({第页}_{年}^{'})}^{n个} \mapsto {{第页}_{x}, \dots, {第页}_{x}, {第页}_{年}, \dots, {第页}_{年}}_{米 + n个}$ ⁠，其中对称乘积为n个运算符的定义是为了{O（运行）,O（运行）, …,O（运行）}_n个≡O（运行）^n个在实践中，如果ε(第页)由有限次二元多项式给出。至少从半经典的角度（一般来说，这是一个似是而非的猜想）ε(第页)在能量的任何开放区间中都是离散的（即可以包含朗道能级）{第页′;ε(第页′) =E类}是紧凑的（并且在该集合为空的任何打开间隔中都为空）。

导致朗道能级宏观简并的剩余自由度是指导中心R（右）轨道，其中电子坐标在朗道能级中分解n个作为

第页 = R（右） + \hat{n个} \times (第页 - {第页}_{n个}) ℓ^{2} / ℏ .

(14)

导引中心的分量与动量的分量相互作用，其分量服从海森堡代数(三)它具有与海森堡代数相反的手性(12)动量的分量。

要形成跨越简并Landau能级的Hilbert子空间的状态正交基，首先选择由复数向量定义的复数结构e（电子）满足(5). 使用(4)定义以原点为中心的归一化制导中心相干态，其形状由e（电子）,

({e（电子）}^{*} \cdot R（右）) | 0; e（电子） (⟩ = 0, ⟨ 0; e（电子） | 0; e（电子） ⟩ = 1 .

(15)

然后通过以下公式定义正交基

| 米; e（电子） (⟩ = \frac{1}{\sqrt 米!} {(\frac{e（电子） \cdot R（右）}{\sqrt 2 ℓ})}^{米} | 0, e（电子） (⟩, 米 = 0,1,2, \dots .

(16)

现在考虑一下州

| （f）; e（电子） (⟩ = （f） (e（电子） \cdot R（右）) | 0; e（电子） (⟩, （f） (z（z）) = \sum_{米 = 0}^{\infty} {（f）}^{(米)} {z（z）}^{米},

(17)

级数是绝对收敛的，所以（f）(z（z）)是全形的。然后

⟨) {（f）}_{1}; e（电子） | {（f）}_{2}; e（电子） (⟩ = \sum_{米 = 0}^{\infty} 米! {(2 ℓ^{2})}^{米} {（f）}_{1}^{(米) *} {（f）}_{2}^{(米)} = \int_{0}^{\infty} \frac{d日 x \land d日 年}{2 π ℓ^{2}} {（f）}_{1} {(z（z）)}^{*} {（f）}_{2} (z（z）) {e（电子）}^{- \frac{1}{2} {z（z）}^{*} z（z） / ℓ^{2}} .

(18)

因此，结构(2)这通常被认为是一个特定的“最低朗道水平”的财产任何泛型Landau能级，揭示了它在非交换几何中的基本起源(三)指导中心。此外，复杂的结构z（z）(x,年) =e（电子）·第页显示为一个自由参数，带有一个相关的幺模（行列式1）度量克_ab公司= $\frac{1}{2} ({e（电子）}_{一}^{*} {e（电子）}_{b条} + {e（电子）}_{b条}^{*} {e（电子）}_{一})$ 这与欧几里德度量无关δ_ab公司它仅仅定义了笛卡尔坐标系。

请注意相同的状态可以有两种不同的全纯表示，

| ψ (⟩ = | （f）; e（电子） (⟩ = | {（f）}^{'}; {e（电子）}^{'} (⟩ .

(19)

如果状态保持不变e（电子）全纯函数一般都会改变，所以（f）(z（z）)除非结构复杂，否则没有任何意义e（电子）还指定了。

三、准周期边界条件

作用于Landau能级中简并态流形内的酉引导中心平移算子是

t吨 (d日) = 经验 (- 我 ({d日}^{x} {R（右）}^{年} - {d日}^{年} {R（右）}^{x}) / ℓ^{2}), d日 \in R_{2},

(20)

用行动

t吨 (d日) R（右） = (R（右） + d日) t吨 (d日) .

(21)

请注意

t吨 ({d日}_{1}) t吨 ({d日}_{2}) = 经验 (\frac{1}{2} 我 φ ({d日}_{1}, {d日}_{2})) t吨 ({d日}_{1} + {d日}_{2}), φ ({d日}_{1}, {d日}_{2}) = ({d日}_{1}^{x} {d日}_{2}^{年} - {d日}_{1}^{年} {d日}_{2}^{x}) / ℓ^{2} .

(22)

选择复杂结构时e（电子）·R（右）=√2ℓ一^†,

t吨 (d日) = 经验 ((d日 一 - {d日}^{*} 一^{†}) / \sqrt 2 ℓ), d日 = e（电子） \cdot d日 .

(23)

这可以有效地按正常顺序排列为

t吨 (d日) = {e（电子）}^{- \frac{1}{4} {d日}^{*} d日 / ℓ^{2}} {e（电子）}^{- {d日}^{*} (一^{†} / \sqrt 2 ℓ)} {e（电子）}^{d日 (一 / \sqrt 2 ℓ)} .

(24)

然后

t吨 (d日) | （f）, e（电子） (⟩ = | {（f）}_{d日}, e（电子） (⟩, {（f）}_{d日} (z（z）) = {e（电子）}^{- {d日}^{*} (z（z） + \frac{1}{2} d日) / 2 ℓ^{2}} （f） (z（z） + d日) .

(25)

这套 ${t吨 (L（左）), L（左） \in L（左）}$ 是一个可以同时对角化的相互交换集：对于所有L（左）在里面 $L（左）$ ⁠,

t吨 (L（左）) | ψ_{α} (K（K）) (⟩ = ξ {(L（左）)}^{{N个}_{Φ}} {e（电子）}^{我 K（K） \cdot L（左）} | ψ_{α} (K（K）) (⟩, α = 1, \dots, {N个}_{Φ},

(26)

哪里ξ(L（左）)是奇偶校验属于L（左）:ξ(L（左）)=1，如果 $\frac{1}{2} L（左） \in L（左）$ 否则为-1。一旦布洛赫向量K（K）确定了（准）周期边界条件的选择，有N个_Φ希尔伯特子空间中的独立态。一套 ${({N个}_{Φ})}^{2}$ 转换运算符t吨(L（左）/N个_Φ),L（左）/N个_Φ∈ {x}是一个与拟周期边界条件相容的完整线性无关的单体算子集。

人们可以专注于案件K（K）=0，获得一般情况

| ψ_{α} (K（K）) (⟩ = {e（电子）}^{我 K（K） \cdot R（右）} | ψ_{α} (0) (⟩ .

(27)

自⟨ψ_α(K（K）)∣ψ_α′(K（K）)⟩ = $⟨ ψ_{α} (0) | ψ_{α^{'}} () 0 ⟩$ ⁠，只需建立(9)在K（K）=0子空间，使结果具有充分的通用性。

设∧={e（电子）·L（左）}是晶格的映射 $L（左）$ 到复杂平面，使用复杂结构e（电子）. TheK（K）=0全息准周期边界条件为

（f） (z（z） + L（左）) = ξ {(L（左）)}^{{N个}_{Φ}} {e（电子）}^{\frac{1}{2} {L（左）}^{*} (z（z） + \frac{1}{2} L（左）) / ℓ^{2}} （f） (z（z）) .

(28)

为了解决这个问题，可以引入²“修改的sigma函数” $\tilde{σ} (z（z）; Λ)$ ⁠，与Weierstrass sigma函数相关σ(z（z）; ∧）由

\tilde{σ} (z（z）; Λ) = {e（电子）}^{- \frac{1}{2} γ_{2} (Λ) {z（z）}^{2}} σ (z（z）; Λ) .

(29)

γ₂（∧）是由下式给出的晶格不变量

η_{我} \equiv ζ (ω_{我}; Λ) = γ_{2} (Λ) ω_{我} + \frac{π ω_{我}^{*}}{A类 (Λ)},

(30)

哪里ζ(z（z）; ∧）是Weierstrass zeta函数，A类（∧）是单位单元的面积，并且ω_我是晶格的任何原始半周期。修改后的sigma函数（如Weierstrass函数）是奇数和全纯的，在z（z）∈∧，并且依赖于格∧而不依赖于基的选择（即具有“模不变性”）。离开对∧隐式的依赖，它具有准周期性

\tilde{σ} (z（z） + L（左）) = ξ (L（左）) {e（电子）}^{(π {L（左）}^{*} / A类) (z（z） + \frac{1}{2} L（左）)} \tilde{σ} (z（z）) .

(31)

（可以说，²修改后的函数是Weierstrass应该已定义。）

的一般解决方案(28)是

（f） (z（z）) \propto {e（电子）}^{\frac{1}{2} {L（左）}_{0}^{*} z（z） / {N个}_{Φ} ℓ^{2}} \prod_{j个 = 1}^{{N个}_{Φ}} \tilde{σ} (z（z） - {w个}_{j个}; Λ), \sum_{j个 = 1}^{{N个}_{Φ}} {w个}_{j个} = {L（左）}_{0} .

(32)

的价值L（左）₀∈∧英寸(32)可以方便地进行选择，并且可以通过定期重新定义零点进行更改，

{w个}_{我} \mapsto {w个}_{我} + {L（左）}_{我}, {L（左）}_{0} \mapsto {L（左）}_{0} + \sum_{我} {L（左）}_{我},

(33)

它只修改（未指定的）规范化常量。“波函数”

ψ (第页) = （f） (z（z）) {e（电子）}^{- \frac{1}{4} {z（z）}_{我}^{*} z（z） / ℓ^{2}} = （f） (z（z）) {({e（电子）}^{- \frac{1}{2} π {z（z）}^{*} z（z） / A类})}^{{N个}_{Φ}}

(34)

拥有财产(7)那个|ψ(第页+L（左）)|²= |ψ(第页)|².

现在有必要定义K（K）=0希尔伯特子空间。让(L（左）₁,L（左）₂)是晶格的基础

{L（左）}_{1}^{*} {L（左）}_{2} - {L（左）}_{2}^{*} {L（左）}_{1} = 2 我 秒 A类, 秒 = \pm 1,

(35)

哪里秒是方向的基础。然后是基{ψ_k个(L（左）₁,L（左）₂)⟩,k个= 1, …,N个_Φ}由定义

t吨 (\frac{{L（左）}_{1}}{{N个}_{Φ}}) | ψ_{0} ({L（左）}_{1}) (⟩ = - | ψ_{0} ({L（左）}_{1}) (⟩, | ψ_{k个} ({L（左）}_{1}, {L（左）}_{2}) (⟩ = {(- 1)}^{k个} t吨 (\frac{k个 {L（左）}_{2}}{{N个}_{Φ}}) | ψ_{0} ({L（左）}_{1}) (⟩ .

(36)

然后是ψ_k个⟩ ≡ ∣ψ_k个(L（左）₁,L（左）₂)⟩ = $| ψ_{k个 + {N个}_{Φ}} (⟩$ ⁠、和

⟨ ψ_{k个} | ψ_{{k个}^{'}} ⟩ = 0, 国防部 (k个 - {k个}^{'}, {N个}_{Φ}) \neq 0 .

(37)

全纯形式（f）₀,e（电子）⟩ = ∣ψ₀⟩由

{（f）}_{0} (z（z）) = C ({L（左）}_{1}, Λ) \prod_{j个 = 1}^{{N个}_{Φ}} \tilde{σ} (z（z） - {w个}_{j个}), {w个}_{j个} = (\frac{1}{2} ({N个}_{Φ} + 1) - j个) ({L（左）}_{1} / {N个}_{Φ}),

(38)

哪里C(L（左）₁，∧）是归一化常数。它也可以表示为

{（f）}_{0} (z（z）) \propto 经验 (\frac{1}{4} \frac{{L（左）}_{1}^{*}}{{L（左）}_{1}} \frac{{z（z）}^{2}}{ℓ^{2}}) χ_{0} (z（z）), χ_{0} (z（z）) = 𝜗_{*} (u个 (z（z）) | τ), u个 (z（z）) = \frac{{N个}_{Φ} π z（z）}{{L（左）}_{1}}, τ = \frac{秒 {N个}_{Φ} {L（左）}_{2}}{{L（左）}_{1}},

(39)

在哪里N个_ϕ奇数，ϑ_*(u个∣τ)是雅可比θ函数ϑ₁(u个∣τ)（经典定义在{mπ+nπτ})和是ϑ₂(u个∣τ)即使如此N个_Φ.

由于正交基集成员归一化的绝对值是一个任意的选择，只要它平等地应用于基中的所有状态，结果(9)如果可以证明它再现了正交性，则将建立(37). 完整的基集（具有一个通用但未确定的归一化）具有全纯表示

{（f）}_{k个} (z（z）) = 经验 (\frac{1}{4} \frac{{L（左）}_{1}^{*}}{{L（左）}_{1}} \frac{{z（z）}^{2}}{ℓ^{2}}) χ_{k个} (z（z）),

(40)

χ_{k个} (z（z）) = {(- 1)}^{k个} 经验 (2 我 μ_{k个} (u个 (z（z）) + \frac{1}{2} μ_{k个} π τ)) 𝜗_{*} (u个 (z（z）) + μ_{k个} π τ | τ), μ_{k个} = 秒 k个 / {N个}_{Φ} .

(41)

这正确地具有属性

{（f）}_{k个 + {N个}_{Φ}} (z（z）) = {（f）}_{k个} (z（z）) .

(42)

值得注意的是，“波函数”ψ_k个(第页;L（左）₁,L（左）₂) = ${（f）}_{k个} (z（z）) 经验 - \frac{1}{4} {z（z）}^{*} z（z） / ℓ^{2}$ 具有属性

ψ_{k个} (第页 + \frac{{L（左）}_{1}}{{N个}_{Φ}}) = - {\tilde{ω}}^{k个} {e（电子）}^{\frac{1}{2} π ({L（左）}_{1}^{*} z（z） - {L（左）}_{1} {z（z）}^{*}) / A类} ψ_{k个} (第页), \tilde{ω} \equiv {e（电子）}^{2 π 我 秒 / {N个}_{Φ}},

(43)

ψ_{k个} (第页 + \frac{{L（左）}_{2}}{{N个}_{Φ}}) = - {e（电子）}^{\frac{1}{2} π ({L（左）}_{2}^{*} z（z） - {L（左）}_{2} {z（z）}^{*}) / A类} ψ_{k个 + 1} (第页) .

(44)

请注意，这些特性与复杂结构的选择无关e（电子），以及作为函数的全纯表示的结构z（z）这些基态的所有选择都是相同的（直到一个归一化常数）e（电子）.

现在必须在晶格上进行评估

z（z） \in {{z（z）}_{米 n个}}, {z（z）}_{米 n个} = (米 {L（左）}_{1} + n个 {L（左）}_{2}) / {N个}_{Φ}, u个 ({z（z）}_{米 n个}) = 米 π + n个 π τ / {N个}_{Φ} .

(45)

首先要注意的是(44)表明规范化是一致的（独立于k个),

\frac{1}{{N个}_{Φ}} {\sum_{x}}^{'} | Ψ_{k个} (x) |^{2} = \frac{1}{{N个}_{Φ}} {\sum_{x}}^{'} | Ψ_{0} (x) |^{2} .

(46)

格子总和(9)因为重叠是

⟨ ψ_{k个} | ψ_{{k个}^{'}} ⟩ = \frac{1}{{N个}_{Φ}} \sum_{米 = 1}^{{N个}_{Φ}} \sum_{n个 = 1}^{{N个}_{Φ}} F类 ({z（z）}_{米 n个}, {z（z）}_{米 n个}^{*}) χ_{k个} {({z（z）}_{米 n个})}^{*} χ_{{k个}^{'}} ({z（z）}_{米 n个}),

(47)

\begin{align} F类 (z（z）, {z（z）}^{*}) & = 经验 (\frac{1}{4} \frac{{L（左）}_{1}^{*}}{{L（左）}_{1}} \frac{{z（z）}^{2}}{ℓ^{2}}) 经验 (\frac{1}{4} \frac{{L（左）}_{1}}{{L（左）}_{1}^{*}} \frac{{z（z）}^{* 2}}{ℓ^{2}}) 经验 (- \frac{1}{2} \frac{{z（z）}^{*} z（z）}{ℓ^{2}}) = 经验 (\frac{1}{4} \frac{{({L（左）}_{1}^{*} z（z） - {L（左）}_{1} {z（z）}^{*})}^{2}}{{L（左）}_{1}^{*} {L（左）}_{我} ℓ^{2}}), \\ F类 ({z（z）}_{米 n个}, {z（z）}_{米 n个}^{*}) & \equiv E类 (n个) = 经验 (- π | τ - τ^{*} | {(n个 / 4 π {N个}_{Φ})}^{2}), \end{align}

(48)

所以

⟨ ψ_{k个} | ψ_{{k个}^{'}} ⟩ = \sum_{n个 = 1}^{{N个}_{Φ}} E类 (n个) (\frac{1}{{N个}_{Φ}} \sum_{米 = 1}^{{N个}_{Φ}} χ_{k个} {({z（z）}_{米 n个})}^{*} χ_{{k个}^{'}} ({z（z）}_{米 n个})) .

(49)

然后χ_k个(z（z）_锰)因式分解为

χ_{k个} ({z（z）}_{米 n个}) = {(- 1)}^{米} {\tilde{ω}}^{k个 米} {G公司}_{k个} (n个) {G公司}_{k个} (n个) = {(- 1)}^{k个} 经验 (2 我 μ_{k个} (n个 + \frac{1}{2} 秒 k个) π τ / {N个}_{Φ}) 𝜗_{*} ((n个 + 秒 k个) π τ / {N个}_{Φ} | τ) .

(50)

因子分解米-相关性立即提供所需的正交性

⟨ ψ_{k个} | ψ_{{k个}^{'}} ⟩ = δ_{k个, {k个}^{'}} \frac{1}{{N个}_{Φ}} {\sum_{z（z）}}^{'} | {（f）}_{0} (z（z）) |^{2} {e（电子）}^{- \frac{1}{2} {z（z）}^{*} z（z） / ℓ_{2}},

(51)

哪里

δ_{k个, {k个}^{'}} \equiv \frac{1}{{N个}_{Φ}} \sum_{米 = 1}^{{N个}_{Φ}} {\tilde{ω}}^{米 (k个 - {k个}^{'})},

(52)

和关系(9)已建立。

IV、讨论

状态ψ₀(L（左）₁)⟩被定义为 $t吨 () {L（左）}_{1} / {N个}_{Φ} (⟩$ ⁠，不考虑任何复杂结构或度量，这就是为什么其全纯表示的零点结构独立于复杂结构的选择e（电子）。仅归一化常数C(L（左）₁，∧）（f）₀(z（z）)将随着e（电子）改变，由其零模式描述的物理状态保持不变。

另一个具有这种性质的独特状态是N个=N个_Φ完全充满朗道能级的费米子：K（K）=0边界条件，这是

{F类}_{0} ({z（z）}_{1}, \dots, {z（z）}_{N个}) \propto \tilde{σ} (Z轴) \prod_{我 < j个} \tilde{σ} ({z（z）}_{我} - {z（z）}_{j个}), Z轴 = \sum_{我} {z（z）}_{.}

(53)

由于此状态是唯一的，因此它不能取决于e（电子），而不是通过其规范化。

其他模型状态，如ν= 1/米劳克林州¹随着复杂结构的变化而变化。这些州具有N个_Φ=百万牛顿,米>1是属于与度量相关的正“赝势”哈密顿量核的最大密度态。^三让{q个}是的倒格子 $L（左）$ ⁠，exp所在的集合我q个·L（左）=1代表所有 $L（左） \in L（左）$ ⁠。也让克^ab公司是幺模欧氏签名度量的逆克_ab公司.然后

H（H） (克) = \sum_{米^{'} < 米} {V（V）}_{米^{'}} \sum_{我 < j个} {P（P）}_{米^{'}}^{克} ({R（右）}_{我} - {R（右）}_{j个}), {V（V）}_{米^{'}} > 0 .

(54)

{P（P）}_{米}^{克} ({R（右）}_{1} - {R（右）}_{2}) = \frac{1}{{N个}_{ϕ}} \sum_{q个} 2 {L（左）}_{米} (u个 (q个)) {e（电子）}^{- \frac{1}{2} u个 (q个)} {e（电子）}^{我 q个 \cdot ({R（右）}_{1} - {R（右）}_{2})}, u个 (q个) = 克^{一 b条} {q个}_{一} {q个}_{b条} ℓ^{2},

(55)

哪里L（左）_米(u个)是拉盖尔多项式。Laughlin态具有全纯表示

F类 ({z（z）}_{1}, \dots, {z（z）}_{N个}) = {F类}_{厘米} (Z轴) \prod_{我 < j个} \tilde{σ} {({z（z）}_{我} - {z（z）}_{j个})}^{米},

(56)

{F类}_{厘米} (Z轴) \propto \prod_{j个 = 1}^{米} \tilde{σ} (Z轴 - {W公司}_{j个}), \sum_{j个} {W公司}_{j个} = 0 .

(57)

自由参数{W公司_j个}参数化米-折叠态的拓扑简并性。另一个参数是复杂结构e（电子）在这种情况下，全纯态仅在H（H）(克)如果

\frac{1}{2} ({e（电子）}_{一}^{*} {e（电子）}_{b条} + {e（电子）}_{b条}^{*} {e（电子）}_{一}) = 克_{一 b条} .

(58)

Laughlin状态是一系列状态，通过一个度量连续参数化克_ab公司它表征了围绕每个粒子的关联孔（或“通量附着”）的形状。这与填充的Landaulevel状态形成了鲜明对比，它是一个不相关的Slater行列式，与e（电子）.

一个长期存在的技术问题是如何在部分填充的Landau能级（例如Laughlin态）中对模型多能态的粒子-空穴共轭进行转换。求和公式(9)简化了这一点，至少在将其简化为离散数学中的有限算法的意义上是这样的。一套N个_Φ填充Landau层中的粒子坐标可以拆分为N个_Φ= $N个 + \tilde{N个}$ ⁠，其中反酉粒子孔变换映射N个-粒子状态到 $Ñ$ -粒子状态。如果F类(z（z）₁, …,z（z）_N个)是一种反对称多粒子全纯态，其（非正规化）粒子-空穴共轭态为

\tilde{F类} ({\tilde{z（z）}}_{1}, \dots, {\tilde{z（z）}}_{Ñ}) \propto \frac{1}{{({N个}_{Φ})}^{N个}} {\sum_{{z（z）}_{1}}}^{'} \dots {\sum_{{z（z）}_{N个}}}^{'} F类 {({z（z）}_{我}, \dots {z（z）}_{N个})}^{*} {F类}_{0} ({z（z）}_{1}, \dots, {z（z）}_{N个}, {\tilde{z（z）}}_{1}, \dots, {\tilde{z（z）}}_{Ñ}) .

(59)

这是Ref。4.虽然它涉及的金额很大 ${({N个}_{Φ})}^{2 N个}$ 与Ref。4实际上从未实施过。

重叠格和的第二个可能更实际的应用是，它表明完整信息以模块不变的方式包含在 ${({N个}_{Φ})}^{2 N个}$ 晶格构型F类(z（z）₁, …,z（z）_N个). 这允许对全纯模型“波函数”进行Metropolis Monte Carlo处理，该处理可以在离散网格上进行，修改后的sigma函数已在该网格上制表。这可能导致此类计算的大幅加速，并且已经进行了初步试验。⁵

最后，公式的存在性(9)这是出乎意料的，至少对这位作者来说是如此，他最初是通过猜测得出的，随后是数值验证，最后是严格的推导。事实上，它以前显然没有被发现，这证明了“最低Landaulevel波函数”对Landaulell物理学中全纯结构起源的解释具有误导性，而不是这里提出的更基本的“量子几何”解释。

致谢

这项工作得到了能源部BES拨款DE-SC0002140的支持。

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2017

).

2018

作者

非交换几何中Landau能级全纯态的起源及其在环面上重叠的新公式

I.简介

二、。国家在岚岛层面的代表

三、准周期边界条件

IV、讨论

致谢

参考文献

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