Cycle flows and multistability in oscillatory networks

Manik, Debsankha; Timme, Marc; Witthaut, Dirk

doi:10.1063/1.4994177

我们在Kuramoto动力学和摆动方程动力学下研究了相位振荡器网络锁相状态的多稳态——这是研究交流电网粗尺度动力学的一个流行模型。我们首先建立了这种系统中几何受抑状态的存在，其中尽管存在稳态流动模式，但由于几何约束，相位的动态变量中不存在不动点。然后，我们描述了系统的稳定不动点，每个边缘的相位差不超过 $π / 2$ 就循环流量而言，沿每个简单循环的恒定流量与相位角或流量相对。循环流形式允许我们计算环形网络中不动点数量的严格上下界。我们表明，长的基本周期、强的边缘权重和自然频率的空间均匀分布（对于Kuramoto模型）或功率注入（对于电网振荡器模型）导致此类网络具有更多的固定点。我们将其中一些边界推广到任意平面拓扑，并在大容量和大循环长度的极限下导出缩放关系，通过数值计算，我们表明这是相当准确的。最后，我们提出了一种计算平面网络所有锁相状态（稳定和不稳定）的算法。

物理、生物或工程中许多网络系统的功能依赖于其组成部分的协调或同步动力学。例如，在电网中，所有发电机必须在同一频率它们的相位需要锁定，以确保稳定的功率流。在这里，我们分析了这种锁相行为的存在和多种状态。我们将重点放在边缘流和循环流上，而不是节点相上，得出了关于此类状态的存在性和数量的严格结果。通常，多个锁相状态共存于网络中，其边缘能够承载高流量、长基本周期以及自然频率或功率注入的均匀空间分布。利用图论中的概念，我们导出了平面嵌入式网络中此类状态数的标度关系。我们还提供了一种算法来系统地计算所有锁相状态，包括稳定和不稳定状态。

I.从KURAMOTO振荡器到电网

耦合振子模型在科学和技术中普遍存在，描述微观到宏观尺度上各种系统的集体动力学。对耦合振荡器的研究可以追溯到克里斯蒂安·惠更斯（Christian Huygens），他注意到两个时钟在耦合时是同步的。¹Kuramoto介绍了一个最重要的数学模型^2,3并成功应用于描述耦合约瑟夫森结的集体动力学，⁴神经元网络，⁵化学振荡器，⁶以及各种其他同步现象。^7–10

那个模型^三描述了N个耦合极限环振荡器。相位的运动方程 $θ_{j个} ， j个 \in {1 ， \dots ， N个}$ 由提供

\frac{d日}{d日 t吨} θ_{j个} = ω_{j个} + \sum_{ℓ = 1}^{N个} {K（K）}_{j个 ， ℓ} 罪 (θ_{ℓ} 负极 θ_{j个}) .

(1)

假设耦合矩阵是对称的， ${K（K）}_{j个， ℓ} = {K（K）}_{ℓ ， j个}$ ⁠、和ω_j个是振荡器的固有频率。在本文中，我们考虑的系统 ${K（K）}_{j个， ℓ} \geq 0$ ⁠也就是说，这些单位相互吸引而不排斥。

二阶振子的类似模型描述了动物群的集体现象^11,12或人群¹³以及电网的粗尺度动力学。^14–20

例如，对于电网j个描述同步电机、发电机或电动机，其状态完全由相位描述θ_j个和相速度 ${\dot{θ}}_{j个}$ 相对于网格的参考频率，通常旋转50 Hz或60 赫兹。机器的加速度（减速度）与机械功率之和成正比P（P）_j个机器产生（消耗）的能量，包括阻尼和与电网交换的电力。详细的运动方程如下所示

{M（M）}_{j个} \frac{{d日}^{2}}{d日 {t吨}^{2}} θ_{j个} + 天_{j个} \frac{d日}{d日 t吨} θ_{j个} = {P（P）}_{j个} + \sum_{ℓ = 1} {K（K）}_{j个 ， ℓ} 罪 (θ_{ℓ} 负极 θ_{j个}) ，

(2)

哪里M（M）_j个是惯性项天_j个阻尼常数。耦合常数 ${K（K）}_{j个， ℓ} = {单位}^{2} B_{j个， ℓ}$ 由电压决定单位假定为常数的网格和导纳 $B_{j个， ℓ}$ 输电线路连接节点j个和节点 $ℓ$ ⁠.节点的电力实功率流 $ℓ$ 到节点j个是

{F类}_{j个 ， ℓ} = {K（K）}_{j个 ， ℓ} 罪 (θ_{ℓ} 负极 θ_{j个}) = {K（K）}_{j个 ， ℓ} {S公司}_{j个 ， ℓ} .

(3)

将系统的交互拓扑描述为加权图是有用的G公司(V（V），E类)，其顶点集V（V）与振荡器集和边集相同E类由所有振荡器间耦合对的集合给出，即具有 ${K（K）}_{ℓ ， j个} > 0$ ⁠.我们使用术语网络²¹（而不是术语图）用于具有给定固有频率的整个系统ω_j个或权力P（P）_j个.

在这里，我们区分了振荡器网络中的两种同步类型。传统上，部分同步的出现引起了物理学界的极大兴趣。^2,3,7,8在他的开创性工作中，Kuramoto研究了一组全局耦合的振荡器， ${K（K）}_{j个， ℓ} = K（K） / N个$ ⁠，以及从单峰对称分布中随机绘制的固有频率 $克 (ω)$ ⁠.如果耦合常数K（K）超过临界值K（K）_c（c），一小部分振荡器开始同步，因为它们以相同的角速度旋转，尽管它们的固有频率不同。在这种状态下部分频率锁定在Kuramoto振荡器文献中通常被称为“部分同步”⁸部分振荡器的相位是有序的，但它们不是严格锁相的，因此两个同步振荡器的相位差 $(θ_{j个} 负极 θ_{ℓ})$ 通常很小，但不是恒定的。

在本文中，我们分析了全局锁相状态，其中所有振荡器同步，相位差 $(θ_{j个} 负极 θ_{ℓ})$ 对所有对来说都是常数 $(j个， ℓ)$ ⁠这些状态对电网尤其重要，因为它们描述了电网的常规同步运行。^14–18如果这种状态因局部停电或事故而丧失，电网将分裂成异步岛，无法再交换电能。²²例如，2006年11月4日，德国北部一条输电线停运后，欧洲电网分裂为三个异步区域。因此，西南欧的供应不足，约为10 GW和大约1000万户家庭断电。²³

在不失一般性的情况下，我们认为 $\sum_{j个} ω_{j个} = 0$ 或 $\sum_{j个} {P（P）}_{j个} = 0$ ⁠分别通过调用到共同旋转参照系的转换。全局锁相状态是固定点系统的。对于Kuramoto模型和电网模型，这些状态由超越方程的解给出

{P（P）}_{j个} + \sum_{ℓ = 1}^{N个} {K（K）}_{j个 ， ℓ} 罪 (θ_{ℓ} 负极 θ_{j个}) = 0 对于 全部的 j个 \in {1 ， \dots ， N个} ，

(4)

更换P（P）_j个通过ω_j个用于Kuramoto模型。在下文中，我们分析了耦合矩阵给出的网络拓扑的影响 ${K（K）}_{j个， ℓ}$ 关于不动点的存在性。以下所有结果适用于两种模型；然而，我们的直觉很大程度上依赖于对 ${F类}_{j个， ℓ} = {K（K）}_{j个， ℓ} 罪 (θ_{ℓ} 负极 θ_{j个})$ 作为受电网模型启发的流程。结果可以推广到任意耦合函数（f）而不是正弦（参见，例如，参考。24和25). 在下文中，为了清晰起见，我们主要将自己限制在通用正弦耦合。

我们注意到二阶电网模型(2)显然描述了与一阶Kuramoto模型不同的系统(1)然而，这两者之间有着深层次的联系。在电网背景下，在过阻尼极限下，恢复了一阶Kuramoto模型。参考文献详细讨论了耦合约瑟夫森结背景下一阶和二阶模型的关系。26和27参考文献中审查了一阶和二阶模型中的部分同步。28.

二、。不动点的性质和分支

Kuramoto系统和电网振荡器模型共享同一组固定点(4)已经表明，这两个系统之间的相似性更深，即这些不动点的线性稳定性性质是相同的。^29,30在本节中，我们简要回顾了关于不动点稳定性的一些基本结果。

我们分析了某个不动点的动态稳定性 $θ^{*} = (θ_{1}^{*} ， \dots ， θ_{N个}^{*})$ 通过定义势函数

V（V） (θ_{1} ， θ_{2} ， \dots ， θ_{N个}) = 负极 \sum_{j个} {P（P）}_{j个} θ_{j个} 负极 \frac{1}{2} \sum_{我 ， j个} {K（K）}_{我 j个} 科斯 (θ_{我} 负极 θ_{j个}) .

(5)

不动点对应于该势的局部极值，其中 $\frac{⏴ V（V）}{⏴ θ_{j个}} = 0 对于全部的 j个$ ⁠.固定点 $θ^{*}$ 如果Hesse矩阵是渐近稳定的H（H）势函数的

H（H） (θ^{*}) = (\begin{matrix} \sum_{ℓ} {K（K）}_{1 ， ℓ}^{红色} & 负极 {K（K）}_{1 ， 2}^{红色} & \cdot \\ 负极 {K（K）}_{2 ， 1}^{红色} & \sum_{我} {K（K）}_{2 ， ℓ}^{红色} & \cdot \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix})

(6)

剩余容量

{K（K）}_{j个 ， ℓ}^{红色} = {K（K）}_{j个 ， ℓ} 科斯 (θ_{j个}^{*} 负极 θ_{ℓ}^{*})

(7)

只有正特征值。值得注意的是H（H）有一个特征向量 ${v（v）}_{1} = (1 ， 1 ， \dots ， 1)$ 具有特征值 $μ_{1} = 0$ 因为任何固定点 $θ^{*}$ 在加法常数之前是任意的c（c）。由于这样的全局相移不会影响相位的锁定，我们可以在下文中放弃它，集中讨论横向到解空间的稳定性 ${θ^{*} + c（c） (1 ， 1 ， \dots ， 1) | c（c） \in ℝ}$ ⁠.

引理1.让H的特征值排序为 $μ_{1} = 0$ 和 $μ_{2} \leq \cdot \leq μ_{N个}$ 。如果对于给定的网络拓扑和给定的不动点，

μ_{k个} > 0 ， 对于 全部的 k个 \in {2 ， 三 ， \dots ， N个} ，

(8)

则该不动点对于Kuramoto系统和电网模型系统都是横向渐近稳定的。如果其中一个 $μ_{k个} < 0$ 则动力系统是线性不稳定的（该引理及其证明已在参考文献。29 ).

利用分岔理论的一些结果，参考文献。29当一个特征值变为零时，一个稳定的不动点只能通过逆鞍节点分岔丢失， $μ_{2} = 0$ ⁠此时，线性稳定性分析不足以预测不动点的稳定性，但预计该不动点是不稳定的。³¹

当网络中所有边缘的相位差足够小时，可以获得对固定点丢失的更多见解：

推论1。考虑一个连接的网络。它对于一个固定点来说是足够的（但不是必要的） $θ^{*}$ 横向渐近稳定；如果条件

科斯 (θ_{我}^{*} 负极 θ_{j个}^{*}) > 0

(9)

保持网络中的所有边（i，j），则称网络处于“正常操作”状态

证明为此，我们首先定义一个元图，如下所示。

定义1 （图元）.给定一个图G（V，E）和一组流F_紫外线穿过每条边e（u，v），其元图 $\tilde{G公司}$ 是具有顶点集V和边集的无向图 $E类'$ 定义如下。对于所有边缘 $e（电子） (u个， v（v）) \in E类$ ，带重量 ${K（K）}_{u个 v（v）} ， \exists$ ，边缘 $e（电子） (u个， v（v）) \in E类'$ 带重量 ${K（K）}_{u个 v（v）}^{红色} = \sqrt{{K（K）}_{u个 v（v）}^{2} 负极 {F类}_{u个 v（v）}^{2}}$ ，根据(7).

然后，矩阵H（H）定义见(6)被视为元图的拉普拉斯矩阵 $\tilde{G公司}$ ⁠具有正边权的连通无向图的拉普拉斯算子的特征值总是非负的²¹这样我们就得到了结果。◻

我们注意到，稳定性的充分条件已在参考文献。32使用Gershgorin圆定理。

在正常操作期间，Hesse矩阵的特征值H（H），定义见(6)，仅当 $\tilde{G公司}$ 断开连接到两个（或更多）组件。只有当 ${K（K）}_{j个， ℓ}^{红色} = 0$ 对于连接两个特定部分的所有传输线（表示为G公司₁和G公司₂)这意味着这些线路已完全饱和

罪 (θ_{j个}^{*} 负极 θ_{ℓ}^{*}) = \pm 1 \Rightarrow | {F类}_{j个 ， ℓ} | = {K（K）}_{j个 ， ℓ} 对于 全部的 (j个 ， ℓ) \in E类 ， j个 \in {G公司}_{1} ， ℓ \in {G公司}_{2} .

(10)

失稳的另一种情况是一条或多条输电线脱离正常运行。然后，边权重实际上变为负值，这样就不可能再对分岔进行简单的图形理论解释。^29,58

三、循环流动和几何摩擦

A.流量守恒和动力学条件

划分定义方程是有益的(4)把一个固定点分成两部分。首先，每个不动点必须满足一个动态条件，即网络中每个节点处的流量守恒

{P（P）}_{j个} + \sum_{ℓ = 1}^{N个} {K（K）}_{j个 ， ℓ} {S公司}_{j个 ， ℓ} = 0 对于 全部的 j个 \in {1 ， \dots ， N个} ，

（11a）

| {S公司}_{j个 ， ℓ} | \leq 1 对于 全部的 边缘 (j个 ， ℓ) .

（11 b）

在这里， $\sum_{ℓ} {K（K）}_{j个， ℓ} {S公司}_{j个， ℓ}$ 是从相邻节点到节点的所有流的总和j个，同时P（P）_j个是源项或汇项。这种情况的第二部分反映了这样一个事实，即每条链路的传输容量是有限制的，因此流量的大小 $| {F类}_{j个， ℓ} |$ 不能超过容量 ${K（K）}_{j个， ℓ}$ ⁠.动态条件(11)适用于所有流量网络，也包括直流网络（即基尔霍夫规则）和生物网络模型。^33,34

为了更好地理解可能的解决方案，我们稍微改写了动态条件(11)特别是，我们将所有我网络中的边 $e（电子） \in {1 ， \dots ，我}$ ⁠。当流被引导时，我们必须跟踪由边连接的顶点的顺序e（电子）也就是说，每个e（电子）对应于定向链接 $(j个， ℓ)$ 如下所示。排序是任意的，但必须保持固定。然后，我们写 ${S公司}_{e（电子）} = {S公司}_{j个， ℓ}$ 和 ${F类}_{e（电子）} = {F类}_{j个， ℓ}$ 对于链路上的流量e（电子） $\hat{=} (j个， ℓ)$ ⁠此外，我们定义了未加权边缘关联矩阵 $我 \in ℝ^{N个 \times 我}$ （参考。21)通过

我_{j个 ， e（电子）} = {\begin{array}{l} + 1 & 如果 节点 j个 是 这个 头 属于 边缘 e（电子） \hat{=} (j个 ， ℓ) ， \\ 负极 1 & 如果 节点 j个 是 这个 尾 属于 边缘 e（电子） \hat{=} (j个 ， ℓ) ， \\ 0 & 否则 ， \end{array}

(12)

和加权边缘关联矩阵 $\tilde{K（K）} \in ℝ^{N个 \times 我}$ 使用组件 ${\tilde{K（K）}}_{j个 e（电子）} = {K（K）}_{e（电子）} 我_{j个 e（电子）}$ ⁠.

动态条件(11)然后读取

{P（P）}_{j个} + \sum_{e（电子） = 1}^{我} 我_{j个 ， e（电子）} {F类}_{e（电子）} = 0 对于 全部的 j个 = 1 ， \dots ， N个 ，

（13a）

| {F类}_{e（电子）} | \leq {K（K）}_{e（电子）} 对于 全部的 e（电子） = 1 ， \dots ， 我

（13亿）

就流量或

{P（P）}_{j个} + \sum_{e（电子） = 1}^{我} {\tilde{K（K）}}_{j个 ， e（电子）} {S公司}_{e（电子）} = 0 对于 全部的 j个 = 1 ， \dots ， N个 ，

（14a）

| {S公司}_{e（电子）} | \leq 1 对于 全部的 e（电子） = 1 ， \dots ， 我

（14b）

就正弦因子而言。在这里， $F类 = {({F类}_{1} ， \dots ， {F类}_{我})}^{T型}$ 和 $S公司 = {({S公司}_{1} ， \dots ， {S公司}_{我})}^{T型}$ 向量在 $ℝ^{我}$ ⁠.矩阵 $\tilde{K（K）}$ 有N个行，但其排名仅为 $(N个负极 1)$ ⁠。这是因为所有行的总和为零 $\sum_{j个} {\tilde{K（K）}}_{j个， e（电子）} = 0$ 因为每条边都有一个头部和一个尾部。因此，方程的线性集的解。（14a）跨越的仿射子空间 $ℝ^{我}$ 其尺寸为 $(我负极 N个 + 1)$ ⁠这一陈述稍后将在引理2中得到严格证明。在许多重要应用中，我远大于节点数N个，这样我们就有了一个高维子流形 $B$ 属于 $ℝ^{我}$ 每个 $S公司 \in B$ 作为解决方案(14)因此是一个不动点的候选者(1)和(2)然而，如果容量为 ${K（K）}_{j个， ℓ}$ 太小了。事实上，条件（14b）在中定义了一个有界凸多面体 $ℝ^{我}$ ⁠.完整动力学条件的求解(14)由这个多面体和 $(我负极 N个 + 1)$ 维仿射子空间。

我们可以通过建立系统（14a）的齐次解就是循环流量不影响流量守恒。由于网络中的基本周期数为 $(我负极 N个 + 1)$ ⁠，解空间的维数也由下式给出 $(我负极 N个 + 1)$ ⁠这些结果的推导如下。

定义2 （简单循环）.给定一个无向图G（V，E），一条闭路 $c（c） = ({v（v）}_{1} ， {v（v）}_{2} ， \dots ， {v（v）}_{我} ， {v（v）}_{1})$ 其中除了v没有顶点₁发生两次称为简单循环（参考。36，第21页）.

定义3 （循环基础）.给定一个具有L条边和N个顶点的连通图G（V，E） $C类$ 在二元场上形成向量空间 $G公司 F类 (2) = {0 ， 1}$ ，集合对称差是加法运算符。这个向量空间有维数 $我负极 N个 + 1$ .A基础B_C类这个向量空间的 循环基准 图G的.

定义4 （循环的符号特征向量）.对无向图G的每条边任意指定一个方向，从而得到有向图，称为方向 ${G公司}^{σ}$ ⁠.³⁶ 给定一个具有L条边和N个顶点的图G以及一个这样的方向，该集存在一个内射映射 $C类$ G到的所有简单循环 $ℝ^{我}$ 如下:

\begin{matrix} C类 & \to ℝ^{我} ， \\ c（c） & \mapsto {z（z）}^{c（c）} ， \\ {z（z）}_{e（电子）}^{c（c）} & = {\begin{array}{l} 0 ， & 我 （f） e（电子） 我 秒 n个 o（o） t吨 我 n个 c（c） ， \\ 1 ， & 我 （f） e（电子） = ({v（v）}_{我} ， {v（v）}_{我 + 1}) 一 n个 d日 {v（v）}_{我 + 1} 我 秒 t吨 小时 e（电子） 头 o（o） （f） e（电子） ， \\ 负极 1 ， & 我 （f） e（电子） = ({v（v）}_{我} ， {v（v）}_{我 + 1}) 一 n个 d日 {v（v）}_{我 + 1} 我 秒 t吨 小时 e（电子） 尾 o（o） （f） e（电子） . \end{array} \end{matrix}

${z（z）}^{c（c）}$ 称为每个循环的有符号特征向量。

现在，我们证明了系统的任何不动点都可以由循环流量沿着属于基础图的循环基的每个循环，以及(13).

定义5 （循环流量）.给定一个简单的循环 $c（c） = ({v（v）}_{1} ， {v（v）}_{2} ， \dots ， {v（v）}_{我} ， {v（v）}_{1})$ 属于无向图G（V，E）的流 $F类$ 称为循环流，如果

{F类}_{j个 ， k个} = {\begin{matrix} {（f）}_{c（c）} & 如果 (j个 ， k个) \in {({v（v）}_{1} ， {v（v）}_{2}) ， ({v（v）}_{2} ， {v（v）}_{三}) ， \dots ， ({v（v）}_{我 负极 1} ， {v（v）}_{我}) ， ({v（v）}_{我} ， {v（v）}_{1})} ， \\ 0 & 否则 ， \end{matrix}

(15)

即，它是一个沿循环的恒定非零流。

引理2.让 ${S公司}_{G公司}$ 是满足正常操作准则的网络G的所有不动点集(9)然后，存在一个一对一的函数 ${（f）}_{c（c）} : {S公司}_{G公司} \mapsto {R（右）}^{我负极 N个 + 1}$ 将每个固定点映射到循环流矢量.

证明.让 $θ^{(0)}$ 是一个（任意选择的）固定点。让 $θ$ 成为另一个。然后，我们构造映射（f）_c（c）通过证明这两个不动点的流量差仅为循环流量沿着每个循环。

让 ${F类}^{(0)} = ({F类}_{{e（电子）}_{1}}^{(0)} ， {F类}_{{e（电子）}_{2}}^{(0)} ， \dots ， {F类}_{{e（电子）}_{我}}^{(0)})$ 和 $F类 = (F类 {e（电子）}_{1} ， F类 {e（电子）}_{2} ， \dots ， F类 {e（电子）}_{我})$ 是固定点的流量 $θ^{(0)}$ 和 $θ$ ⁠分别是。然后，

F类 负极 {F类}^{(0)} = \sum_{c（c） \in B_{C类}} {（f）}_{c（c）} {z（z）}^{c（c）} ，

(16)

由于图论的结果，有向图的流空间 ${G公司}^{σ}$ 由其循环（参考文献。37第311页）。因为根据定义B_C类构成循环空间的基础，系数（f）_c（c）保证是独一无二的。证明到此结束。◻

我们注意到，固定点和循环流之间的这种映射以前在参考文献中以略微不同的方式呈现。18（补充材料）和38.

B.绕组编号和几何条件

除了动态条件外，存在不动点还有一个几何条件：如果流动，则存在一个不动点 ${F类}_{j个， ℓ} = {K（K）}_{j个， ℓ} {S公司}_{j个， ℓ}$ 满足动态条件(14) 如果

对于 全部的 边缘 (ℓ ， j个) : \exists (θ_{1} ， \dots ， θ_{N个}) 这样的 那个 {S公司}_{j个 ， ℓ} = 罪 (θ_{ℓ} 负极 θ_{j个}) .

(17)

我们现在以一种更有启发性的方式重新表述这一条件。为此，我们假设已经获得了动态条件的解(14)然后，我们可以尝试连续分配阶段θ_j个到每个节点j个在网络中。从节点开始j个₀具有任意相位 $θ_{{j个}_{0}}$ ⁠，我们分配所有相邻节点的相位j个₁这样的话 $罪 (θ_{{j个}_{1}} 负极 θ_{{j个}_{0}}) = {S公司}_{{j个}_{0} ， {j个}_{1}}$ ⁠然后，我们以这种方式通过整个网络来分配任意节点的相位j个_n个，

θ_{{j个}_{n个}} = θ_{{j个}_{0}} + \sum_{秒 = 0}^{n个 负极 1} Δ_{{j个}_{秒} ， {j个}_{秒 + 1}} ，

（18）

哪里 $({j个}_{0} ， {j个}_{1} ， \dots ， {j个}_{n个})$ 是任意的路径从j个₀到j个_n个我们使用了方程的解

{S公司}_{j个 ， ℓ} = 罪 (Δ_{j个 ， ℓ})

(19)

每个边缘 $(j个， ℓ)$ ⁠.

通常，给定的节点j个_n个可以从以下位置联系j个₀通过多种不同的途径。定义满足几何条件的唯一相位集(17)，我们必须确保。（18）无论从哪条路径出发，都会产生唯一的相位j个₀到j个_n个这相当于每个简单循环（定义2中定义）在网络中的总和必须是 $2 π$ ⁠.

\sum_{(j个 ， ℓ) \in 周期 c（c）} Δ_{j个 ， ℓ} = 2 米 π ， 对于 一些 米 \in ℤ ，

(20)

哪里 $Δ_{j个， ℓ}$ 是等式的解。(19)此外，如果(20)由定义3中定义的网络循环基中的循环满足：然后，它将自动满足网络的所有简单循环，因为简单循环形成向量空间。

然而，有两种截然不同的解决方案

Δ_{j个 ， ℓ}^{+} = 电弧正弦 ({S公司}_{j个 ， ℓ}) ，

（21年）

Δ_{j个 ， ℓ}^{负极} = π 负极 电弧正弦 ({S公司}_{j个 ， ℓ})

（21亿）

等式的。(19)满足要求的 $Δ_{j个，我}^{\pm} \in [负极 π ， π)$ ⁠。为了同时考虑这两者，我们定义了边集的划分

E类 = {E类}_{+} \cup {E类}_{负极} ，

(22)

{E类}_{+} = {(j个 ， ℓ) \in E类 | Δ_{j个 ， ℓ} = Δ_{j个 ， ℓ}^{+}} ，

(23)

{E类}_{负极} = {(j个 ， ℓ) \in E类 | Δ_{j个 ， ℓ} = Δ_{j个 ， ℓ}^{负极}} .

(24)

或者，我们可以根据节点相位将这两组定义为

{E类}_{+} = {(我 ， j个) \in E类 | 科斯 (θ_{我} 负极 θ_{j个}) > 0} ，

(25)

{E类}_{负极} = {(我 ， j个) \in E类 | 科斯 (θ_{我} 负极 θ_{j个}) \leq 0} .

(26)

我们注意到所有边都实现了加号的不动点(⁠ ${E类}_{负极} = {}$ ⁠)根据推论1保证是线性稳定的。我们称之为正常运行.

为了操作几何条件，我们现在定义绕组编号(27)遵循Ochab和Gora使用的术语³⁸和威利等。³⁹

定义6 （绕组矢量）.考虑具有流的连接网络 $F类$ .对于每个基本循环c，关于分区的绕组数 $E类 = {E类}_{+} + {E类}_{负极}$ 定义为

ϖ_{c（c）} = \frac{1}{2 π} \sum_{e（电子） \in E类} {z（z）}_{e（电子）}^{c（c）} Δ_{e（电子）} ({F类}_{e（电子）})

(27)

具有

Δ_{e（电子）} ({F类}_{e（电子）}) = {\begin{matrix} 电弧正弦 ({F类}_{e（电子）} / {K（K）}_{e（电子）}) & 对于 & e（电子） \in {E类}_{+} \\ π 负极 电弧正弦 ({F类}_{e（电子）} / {K（K）}_{e（电子）}) & e（电子） \in {E类}_{负极} . \end{matrix}

(28)

绕组矢量定义为

ϖ = {(ϖ_{1} ， \dots ， ϖ_{我 负极 N个 + 1})}^{T型} .

(29)

利用缠绕数，我们可以重新定义不动点存在的条件，并根据边流的节点相位建立不动点描述之间的对应关系。

定理7.考虑具有功率注入的连接网络 $P（P） \in ℝ^{N个}$ 和耦合矩阵 $K（K） \in ℝ^{N个 \times N个}$ 那么，以下两个语句是等价的:

$θ^{*}$ 是一个不动点，即等式。(4).
$F类 \in ℝ^{我}$ 满足动态条件(13)和 $ϖ \in ℤ^{我负极 N个 + 1}$ 对于某些分区 $E类 = {E类}_{+} + {E类}_{负极}$ ⁠.

证明.我们分两部分证明了该定理。

(1) $\Rightarrow$ （2）：如果 $θ^{*}$ 是一个固定点，那么流 $F类$ 满足动力学条件(13)由提供(3)是

{F类}_{j个 ， k个} = {K（K）}_{j个 ， k个} 罪 (θ_{k个} 负极 θ_{j个}) .

(30)

让我们将边集划分为E类⁺和E类^–通过

e（电子） = (j个 ， k个) \in {\begin{matrix} {E类}^{+} & 如果 科斯 (θ_{k个} 负极 θ_{j个}) > 0 \\ {E类}^{负极} & 如果 科斯 (θ_{k个} 负极 θ_{j个}) \leq 0 \end{matrix}

(31)

我们注意到

电弧正弦 (罪 (x个)) = {\begin{matrix} 负极 x个 + (2 米_{x个} + 1) π & 如果 科斯 (x个) \leq 0 \\ x个 + 2 米_{x个} π & 如果 科斯 (x个) > 0 ， 对于 一些 米_{x个} \in ℤ . \end{matrix}

(32)

将这个恒等式与Δ的定义结合起来_{e（电子）}在里面(28)以及我们选择的集合分区(31)中的个结果

\begin{matrix} 对于 全部的 (j个 ， k个) \in {E类}^{+} ， Δ_{j个 ， k个} = 电弧正弦 ({F类}_{j个 k个} / {K（K）}_{j个 k个}) ， \\ = 电弧正弦 (罪 (θ_{k个} 负极 θ_{j个})) ， \\ = 2 米_{j个 k个} π + (θ_{k个} 负极 θ_{j个}) ， \end{matrix}

(33)

\begin{matrix} 对于 全部的 (j个 ， k个) \in {E类}^{负极} ， Δ_{j个 ， k个} = π 负极 电弧正弦 ({F类}_{j个 k个} / {K（K）}_{j个 k个}) ， \\ = π 负极 电弧正弦 (罪 (θ_{k个} 负极 θ_{j个})) ， \\ = 负极 2 米_{j个 k个} π + (θ_{k个} 负极 θ_{j个}) . \end{matrix}

(34)

组合(33)和(34)，我们获得 $Δ_{j个 k个} = 2 米_{j个 k个} π + (θ_{k个} 负极 θ_{j个}) ，米_{j个 k个} \in ℤ$ （选择 + 签署 $2 米_{j个 k个} π$ 不失通用性）。

那么，对于任何简单的循环 $c（c） = ({v（v）}_{1} ， {v（v）}_{2} ， \dots ， {v（v）}_{我} ， {v（v）}_{1})$ 按周期计算B_C类，绕组编号为

ϖ_{c（c）} = \frac{1}{2 π} \sum_{e（电子） \in E类} {z（z）}_{e（电子）}^{c（c）} Δ_{e（电子）} ({F类}_{e（电子）}) ，

(35)

= (米_{12} + 米_{23} ， \dots ， 米_{我 1}) \in ℤ ，

(36)

从而完成了第一部分的证明。

(2) $\Rightarrow$ （1）：给定一组满足动态条件的流(13)并且具有整数绕组数，固定点 $θ^{*}$ 可以按照等式构造。(17)和（18）.

证据到此结束。◻

C.几何挫折

前面的推理表明，我们可以面对以下情况：给定一个以频率为特征的振荡器网络P（P）_j个和容量矩阵 ${K（K）}_{j个， ℓ}$ ⁠，我们可以找到一个动力学条件的解，使得流在网络的所有节点上都是守恒的。然而，由于这些解与几何条件不相容，因此不存在不动点。在这种情况下，我们说锁相被禁止是因为几何挫折。我们在给出一些例子说明这一现象的重要性之前，将其总结为一个正式定义。

定义8.如果动态条件的解决方案，则称振荡器网络在几何上受挫(11)存在，但所有解决方案都与几何条件不兼容(20)这样就不存在固定点。

这个定义建立在数学物理中引入的几何挫折的广义概念之上。⁴⁰在这种情况下，具有多个状态变量的系统 $({x个}_{1} ， {x个}_{2} ， \dots ， {x个}_{n个})$ 如果对于这些变量之间的某些成对关联，不存在同时满足所有这些关联的稳态，则称为几何受挫。

四、示例和应用

在本节中，我们将讨论几何方面对于具有不同拓扑结构的振荡器网络不动点的重要性。特别地，我们分析了不动点的数目，并表明几何挫折可以抑制锁相，这可能导致反直觉现象。

A.树木不会受挫

根据定义，树不包含任何循环，因此几何条件(20)不适用。因此，计算由等式定义的电网振荡器模型和Kuramoto模型的不动点。(4)关于树的归结为动态条件的解(11)，这是一组线性方程。此外，我们可以找到关于稳定和不稳定不动点数量的一个强结果——见推论2。

B.循环中的多种解决方案

我们现在考虑只有三个节点和三个强度相等的链路的循环网络的最简单的非平凡拓扑K（K）。不动点存在的动力学条件为

K（K） (\begin{matrix} 0 & 1 & 负极 1 \\ 负极 1 & 0 & 1 \\ 1 & 负极 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} {S公司}_{1 ， 2} \\ {S公司}_{2 ， 三} \\ {S公司}_{三 ， 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} {P（P）}_{三} \\ {P（P）}_{1} \\ {P（P）}_{2} \end{matrix})

（37）

和 $| {S公司}_{j个， ℓ} | \leq 1$ ⁠特别是，对于P（P）_j个=0，任何解决方案都是循环流 $({S公司}_{1 ， 2} ， {S公司}_{2 ，三} ， {S公司}_{三， 1}) = S公司 \times (1 ， 1 ， 1)$ ⁠.

考虑到根据（21）因为为了满足几何条件(20)，整个周期的相位差之和必须相等 $2 米 π$ 对于某个整数 $米 \in ℤ$ ⁠，我们看到所有不动点都必须满足

Δ_{12}^{\pm} + Δ_{23}^{\pm} + Δ_{31}^{\pm} = 2 米 π .

(38)

取两者的所有组合 $Δ^{+}$ 或 $Δ^{负极}$ 和相应的可能值米，我们看到有三个交点对应于三个不动点。这些固定点如图所示。1这表明稳态通常不是唯一的，即使对于最简单的循环网络也是如此。在目前的情况下，只有一个解是动态稳定的，但在较大的循环中通常不是这样的，我们将在下面展示。

图1。

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具有3个节点的最简单循环网络中几何挫折和多稳定性的图解P（P）_j个=0和三个强度相等的连杆K（K）。子图显示了(38)通过选择获得 + 或−表示 $Δ_{12} ， Δ_{23}$ ⁠、和 $Δ_{31}$ ⁠.黑线表示动力学条件的解空间（37）， ${S公司}_{1 ， 2} = {S公司}_{2 ，三} = {S公司}_{三， 1} = S公司$ ⁠.（a）分行 $(+ + +)$ 具有米=0.（b）分行 $(负极负极 +)$ 具有米=1.分支机构 $(+ 负极负极)$ 和 $(负极 + 负极)$ 屈服解 $S公司 = (0 ， 0 ， 0)$ 以类似的方式。（c）分支机构 $(负极负极负极)$ 具有米=1（上部）和米=2（下部）。分支机构 $(+ + 负极) ， (+ 负极 +)$ ⁠、和 $(负极 + +)$ 不要产生溶液。

C.挫折导致离散

现在，我们将上述示例扩展到具有任意数量相同功率节点的单个循环 ${P（P）}_{j个} \equiv 0$ ⁠所有链接都具有同等强度K（K）同上。为了方便记法，我们将节点标记为 $1 ， 2 ， \dots ， N个$ 沿循环并用标识节点1N个 + 1和0N个为了有一个非平凡的闭合循环，我们需要 $N个 \geq 三$ ⁠。不动点的动态条件由下式给出

{F类}_{j个 + 1 ， j个} = {F类}_{j个 ， j个 负极 1} \equiv F类 对于 全部的 j个 = 1 ， \dots ， N个 ，

(39)

| F类 | \leq K（K） .

(40)

我们强调，动态条件具有连续的解决方案，即F类间隔中的值 $[负极 K（K）， K（K）]$ 是允许的。

沿边缘的相位差 $(j个 + 1 ， j个)$ 由等式给出。（21），留下两个可能的解决方案 $Δ_{j个， ℓ}^{+}$ 和 $Δ_{j个， ℓ}^{负极}$ ⁠。为至少一条边选择减号 $(ℓ + 1 ， ℓ)$ 产量 ${\tilde{K（K）}}_{ℓ + 1 ， ℓ}^{红色} = 负极 \sqrt{{K（K）}^{2} 负极 {F类}^{2}} < 0$ ⁠在这种情况下，可以证明黑塞矩阵H（H）不是正半定的，所以不动点一定是不稳定的。将我们自己限制在动态稳定状态，我们发现相位差都是相等的，并且由

θ_{j个 + 1} 负极 θ_{j个} = 电弧正弦 (F类 / K（K）) .

(41)

几何条件现在产生

N个 电弧正弦 (F类 / K（K）) = 0 (国防部 2 π) ，

(42)

只能得到肯定的满足离散的的值F类因此，几何条件导致了参考文献中先前报告的相位差的“量化”。37和39

θ_{j个 + 1} 负极 θ_{j个} = \frac{n个}{N个} 2 π ， 具有 n个 \in {负极 ⌊ \frac{N个 负极 1}{4} ⌋ ， 负极 ⌊ \frac{N个 负极 1}{4} ⌋ + 1 ， \dots ， + ⌊ \frac{N个 负极 1}{4} ⌋} ，

(43)

哪里 $⌊ \cdot ⌋$ 表示楼层功能。我们注意到 $(θ_{j个 + 1} 负极 θ_{j个}) = \pm π / 2$ 具有雅可比特征值 $μ_{k个} = 0$ 为所有人 $k个 \in {1 ， \dots ， N个}$ ⁠在这种情况下，线性稳定性分析无法确定动态稳定性特性（参见Khazin und Shnol的研究³¹详细信息）。对于两个耦合振子，很容易看出不动点是非线性不稳定的。总之，我们发现 $2 \times ⌊ (N个负极 1) / 4 ⌋ + 1$ 不同的稳定定态。

这个例子很简单，但说明了三个重要的一般结果。首先，可以有倍数循环网络中的稳定不动点，如参考文献。38和41–43这一事实已在电力工程参考文献中进行了讨论。44，但关于多重稳定性存在条件和不动点数量的严格结果很少见，可能是因为该领域的大多数作者都集中于Kron约化后出现的全连通网络。^17,41第二，振荡器模型(2)允许在一个周期内有持续电流的稳定固定点。有趣的是，这些状态是锁相的，但未排序相位在这个意义上，相序参数⁷

第页 {e（电子）}^{我 ψ} : = \frac{1}{N个} \sum_{j个} {e（电子）}^{我 θ_{j个}}

(44)

完全消失K（K） > 第三，几何条件导致离散性尽管动态条件允许循环流量的连续值，但相位差的变化。

D.布雷斯悖论

在这里，我们介绍了一个特别的例子，它最清楚地说明了几何挫折的悖论效应。我们考虑图中所示的振荡器网络。2（a）包括N个=4个节点放置在循环网络上，其中节点1和3具有功率注入−P（P）节点2和4具有功率注入P（P）特别是，我们分析了如果上边缘（1，2）的容量从K（K）到 $K（K）' = K（K） + κ$ ⁠.

图2。

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几何挫折引发了布雷斯悖论。（a）正在考虑的网络拓扑。（b）平均相速度 ${\dot{θ}}_{\infty}$ 定义于(49)对于不同的值K（K）和κ.对于固定点， ${\dot{θ}}_{\infty} = 0$ ⁠白线表示临界耦合K（K）_c（c）.当本地传输容量κ增加.

此网络的动态条件读取

0 = {P（P）}_{j个} + ({K（K）}_{j个 + 1 ， j个} {S公司}_{j个 + 1 ， j个} 负极 {K（K）}_{j个 ， j个 负极 1} {S公司}_{j个 ， j个 负极 1}) ，

(45)

和 $| {S公司}_{j个 + 1 ， j个} | \leq 1$ ⁠，标识节点j个=5个，带j个=1.为了便于记法，我们定义了向量

S公司 = ({S公司}_{4 ， 1} ， {S公司}_{1 ， 2} ， {S公司}_{2 ， 三} ， {S公司}_{三 ， 4}) .

(46)

方程线性系统的解。(45)跨越实数参数化的一维仿射空间ϵ，

S公司 = \frac{P（P）}{K（K）} ({S公司}_{一} 负极 ϵ {S公司}_{b条}) .

（47）

矢量 ${S公司}_{一} = (负极 1 ， 0 ，负极 K（K） / K（K）' ， 0)$ 是线性系统的非齐次解(45)，和向量 ${S公司}_{b条} = (1 ， 1 ， K（K） / K（K）' ， 1)$ 是与循环流相对应的齐次解。评估条件 $| {S公司}_{j个 + 1 ， j个} | \leq 1$ 给出了不动点存在的必要条件

2 K（K） \geq P（P） .

(48)

对于κ=0，这个条件也足以证明稳定不动点的存在。如果上链路的容量增加， $κ > 0$ ⁠，几何挫折抑制相位锁定。动力学条件的解总是存在于 $2 K（K） \geq P（P）$ ⁠，但这可能与几何条件不兼容。我们在图中的稳定性图中对此进行了说明。2（b）。稳定不动点仅存在于白线上方的参数区域中。如图所示。2（b），最小值K（K）需要保持稳定运行临界联轴器K_c（c），当κ增加。

为了进一步表征振荡器网络的长期行为，我们定义了 ${\dot{θ}}_{\infty}$ 作为大时间极限内所有节点的平均相速度

{\dot{θ}}_{\infty} = \underset{T型 \to \infty}{林} \frac{1}{τ} {¦Β}_{T型}^{T型 + τ} \frac{1}{N个} \sum_{j个 = 1}^{N个} | {\dot{θ}}_{j个} (t吨) | d日 t吨 .

(49)

因此， ${\dot{θ}}_{\infty}$ 必须为零，才能实现稳定运行。正如预期，我们发现 ${\dot{θ}}_{\infty} = 0$ 在白线上方的稳定参数区域 $K（K） > {K（K）}_{c（c）}$ 和 ${\dot{θ}}_{\infty} > 0$ 在白线以下的不稳定参数区域 $K（K） < {K（K）}_{c（c）}$ ⁠非常了不起， ${\dot{θ}}_{\infty}$ 是较小值的最大值κ当然， $K（K） < {K（K）}_{c（c）} (κ)$ ⁠.

这导致了一个矛盾的结果，即本地传输容量的增加会降低网络支持锁相固定点的能力。这种行为也可以被视为布雷斯悖论的一个例子^45,46这是首次预测的交通网络。⁴⁷

值得注意的是，循环的存在是振荡器网络中这种矛盾行为的必要条件。参考文献中研究了Braess悖论的一个基本例子。30，从一个没有循环的链网络开始，因此没有表现出挫败感和Braess行为。然后，添加一条线，创建一个单独的循环，并建立必要的条件，在这些条件下，循环的闭合会导致Braess悖论。

V.多重稳定性和不动点数量

前面的例子表明，循环网络中可能存在大量稳定不动点。在下文中，我们根据网络结构推导了稳定不动点数的存在条件和界。我们首先深入分析了任意网络的动态条件，这是存在稳定不动点的必要前提。然后，我们转向几何条件，导出不动点数量的边界。这些参数在很大程度上取决于网络结构，因此在我们转向更复杂的拓扑之前，我们将从树和简单的循环开始。

A.动态条件

我们首先分析动态条件(13)承认有解决方案。该问题归结为多源多链路最大流问题，可以用多种不同的算法求解。^48,49

所以，让 $G公司 = (V（V）， E类)$ 是一个连通图N个节点和我边缘。每个边缘分配一个容量，由 ${K（K）}_{1} ， \dots ， {K（K）}_{我}$ ⁠，每个节点都有一个输入或输出，由 ${P（P）}_{1} ， \dots ， {P（P）}_{N个}$ ⁠。我们定义了一个扩展图 $G公司' = (V（V）' ， E类')$ ⁠，如图所示。三，通过添加两个顶点秒和t吨到顶点集，

V（V）' = V（V） \cup {秒 ， t吨} ，

(50)

和添加定向链接连接秒(t吨)到所有具有正（负）功率注入的节点

E类 = E类 \cup {(秒 \to j个) | j个 \in V（V） ， {P（P）}_{j个} \geq 0} \cup {(j个 \to t吨) | j个 \in V（V） ， {P（P）}_{j个} < 0} .

(51)

新增链接的容量是无限的。然后，我们找到了定理：

定理9.动态条件的解决方案(13)当且仅当最大s-t流的值 ${F类}_{秒 t吨}$ 在网络中 $G公司'$ 大于或等于累计输入功率

{F类}_{秒 t吨} \geq \sum_{j个 \in V（V） ， {P（P）}_{j个} \geq 0} {P（P）}_{j个} .

(52)

或者，可以通过将图划分为多个部分来找到解决方案存在的充分条件：(V（V）₁，V（V）₂)是的任意分区V（V）和 $E类 ({V（V）}_{1} ， {V（V）}_{2})$ 由该分区引起的割集（见图。4). 然后，我们定义

{\bar{P（P）}}_{1} = \sum_{{v（v）}_{j个} \in {V（V）}_{1}} {P（P）}_{{v（v）}_{j个}} ， {\bar{P（P）}}_{2} = \sum_{{v（v）}_{j个} \in {V（V）}_{2}} {P（P）}_{{v（v）}_{j个}} ， {\bar{K（K）}}_{12} = \sum_{e（电子） \in E类 ({V（V）}_{1} ， {V（V）}_{2})} {K（K）}_{e（电子）} .

(53)

我们注意到，我们假设 $\sum_{j个} {P（P）}_{j个} = 0$ ⁠在不失一般性的情况下 ${\bar{P（P）}}_{1} + {\bar{P（P）}}_{2} = 0$ ⁠.

图3。

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定理9的说明。原始网络G公司（较小的节点和实体边）允许动态条件的解当且仅当扩展图 $G公司'$ 有一个超级来源秒（蓝色大节点）和一个超级水槽t吨（大红色节点）允许s-t流大于所有正输入功率之和G公司.

图4。

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定理10的说明。对于图的节点集的每个分区V（V）₁（灰色阴影）和V（V）₂，诱导割集（红色边缘）的容量必须不小于输入功率的绝对值V（V）₁或V（V）₂.

定理10.如果所有分区（V₁，V₂)我们有

| {\bar{P（P）}}_{1} | = | {\bar{P（P）}}_{2} | \leq {\bar{K（K）}}_{12} ，

(54)

那么存在一个动态条件的解决方案(13).

证明其目的是证明以下内容：

(⁠ $∄$ 动态条件的求解（13年a）和（13亿）.

$\Leftrightarrow$ 所有解决方案（13年a）违反（13亿）).

$\Rightarrow \exists$ 隔板(V（V）₁，V（V）₂)带有 $| {\bar{P（P）}}_{1} | \geq {\bar{K（K）}}_{12}$ ⁠.

将参数颠倒就得到了定理。还有待证明的是“ $\Rightarrow$ “是真的。

让 $F类$ 是…的解决方案（13年a）.根据我们的假设，超载边集

{E类}_{ov型} = {e（电子） \in E类 | | {F类}_{e（电子）} | > {K（K）}_{e（电子）}}

(55)

不是空的。现在，考虑一个过载的边缘 ${e（电子）}_{0} = (u个， v（v）) \in {E类}_{ov型}$ ⁠.我们假设流来自u个到v（v）即。， ${F类}_{v（v）， u个} > {K（K）}_{v（v）， u个} > 0$ ⁠.我们定义了加权有向网络 $\tilde{G公司} (V（V）， \tilde{E类})$ 具有 $\tilde{E类} = E类 \ {e（电子）}_{0}$ 和耦合常数

{W公司}_{j个 ， 我} = 最大值 {0 ， {K（K）}_{j个 ， 我} 负极 {F类}_{j个 ， 我}} .

(56)

我们确定最大流型 $Δ {F类}_{e（电子）} ， e（电子） \in \tilde{E类}$ 具有值 $Δ {F类}_{最大值}$ 从u个到v（v）在网络中 $\tilde{G公司}$ ⁠根据最大流最小割定理，有一个划分(V（V）₁，V（V）₂)带有 $u个 \in {V（V）}_{1}$ 和 $v（v） \in {V（V）}_{2}$ 和关联的割集 $\tilde{E类} ({V（V）}_{1} ， {V（V）}_{2})$ 这样的话

Δ {F类}_{e（电子）} = {W公司}_{e（电子）} 对于 全部的 e（电子） \in \tilde{E类} ({V（V）}_{1} ， {V（V）}_{2}) .

(57)

现在，考虑一下流动模式 $F类'$ 由定义

{F类}_{e（电子）}^{'} = {F类}_{e（电子）} + Δ {F类}_{e（电子）} e（电子） \in \tilde{E类} ，

(58)

{F类}_{{e（电子）}_{0}}^{'} = {F类}_{{e（电子）}_{0}} 负极 Δ {F类}_{最大值} .

(59)

这是一种新的条件解决方案（13年a）基本上，我们已经从边缘改变了最大可能流量的路线 ${e（电子）}_{0} = (u个， v（v）)$ 到备选路径u个到v（v）此外，我们定义了边集 $E类 ({V（V）}_{1} ， {V（V）}_{2}) = {e（电子）}_{0} \cup \tilde{E类} ({V（V）}_{1} ， {V（V）}_{2})$ ⁠，它是原始图形的一部分G公司.

我们现在必须区分两种情况：

情况1：最大流量值 $Δ {F类}_{最大值} < {F类}_{{e（电子）}_{0}} 负极 {K（K）}_{{e（电子）}_{0}}$ ⁠然后，边缘e（电子）₀仍然超载，即 ${F类}_{e（电子） 0}^{'} > {K（K）}_{{e（电子）}_{0}}$ ⁠.总结方程式。（13年a）在中的节点上V（V）₁和V（V）₂产量
${\bar{P（P）}}_{1} = 负极 {\bar{P（P）}}_{2} = \sum_{e（电子） \in E类 ({V（V）}_{1} ， {V（V）}_{2})} {F类}_{e（电子）}^{'} .$
(60)
然而，我们知道 ${F类}_{{e（电子）}_{0}}^{'} > {K（K）}_{{e（电子）}_{0}}$ 和 ${F类}_{e（电子）}^{'} = {K（K）}_{e（电子）}$ 对于所有其他 $e（电子） \in E类 ({V（V）}_{1} ， {V（V）}_{2})$ 这样的话
$\sum_{e（电子） \in E类 ({V（V）}_{1} ， {V（V）}_{2})} {F类}_{e（电子）}^{'} > {\bar{K（K）}}_{12}$
(61)
和声明” $\Rightarrow$ ”。
情况2：最大流量值 $Δ {F类}_{最大值} \geq {F类}_{{e（电子）}_{0}} 负极 {K（K）}_{{e（电子）}_{0}}$ ⁠.e（电子）₀相对于流动模式不再过载 $F类'$ ⁠.仍然过载的边缘集
${E类}_{ov型}^{'} = {e（电子） \in E类 | | F类'_{e（电子）} | > {K（K）}_{e（电子）}}$
(62)
不再包含e（电子）₀即。， $E类'_{ov型} \in {E类}_{ov型} ∖ {e（电子）}_{0}$ ⁠。但是，此集合不能为空，因为我们假设没有（13年a）令人满意的（13亿）。然后，我们可以通过选择边来重新启动该过程 ${e（电子）}_{1} \in E类'_{ov型}$ 并找到其相邻矢量之间的最大流量。最后，我们必须得出案例1，其中的陈述“ $\Rightarrow$ ”。◻

这两个定理有一个直接的能量解释。在定理10中，我们假设电网被分解为两部分，并计算这两部分的累积功率V（V）₁和V（V）₂。只有当可以将累积功率从一个部件传输到另一个部件时，才能存在稳态。此条件必须适用于网络的所有分区。定理9基本上是从图论的最大流最小割定理的意义上对这项任务的重新表述。我们把所有的源都聚集在一个超级源中，把所有的汇都聚集在超级库中。只有在从超级源到超级库存在有效流的情况下，才能存在稳定状态。

B.树状网络

在第。四、我们认为，多稳定性是由于循环流动的可能性而产生的。在树中，没有循环，因此没有多稳定性，我们得到了以下结果。

推论2 在树状网络中，要么没有固定点，要么有 $2^{N个负极 1}$ 其中一个不动点是稳定的 $2^{N个负极 1} 负极 1$ 不稳定。

不动点的存在与否可以完全根据动力学条件来决定(11)分别使用定理9。

证明。根据定义，树具有 $我 = N个负极 1$ 边，使线性系统的解空间（14a）具有维度 $我负极 N个 + 1 = 0$ ⁠也就是说，对于流来说，要么没有，要么只有一个唯一的解决方案 ${F类}_{j个， ℓ}$ ⁠在第一种情况下，不存在固定点。在后一种情况下，公式给出的每条边的相位差有两个可能值。（21）因此 $2^{我} = 2^{N个负极 1}$ 固定点。选择 +-登录公式。（21）得到一个稳定的不动点，如推论1所示。

还有待证明所有其他不动点都是不稳定的。所以，考虑一个有一条边的不动点，其中相位差的余弦小于零。网络是一棵树，因此它被分解为两部分，这两部分只通过这条边连接。我们将节点标记为 $1 ， \dots ， ℓ$ 一部分，由 $ℓ + 1 ， \dots ， N个$ 在另一部分。然后，Hesse矩阵H（H）（参见第。二)有表单

H（H） = (\begin{matrix} {H（H）}_{1} & 0 \\ 0 & {H（H）}_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} ⋱ \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {K（K）}_{ℓ ， ℓ + 1}^{红色} & 负极 {K（K）}_{ℓ ， ℓ + 1}^{红色} & 0 \\ 0 & 负极 {K（K）}_{ℓ ， ℓ + 1}^{红色} & {K（K）}_{ℓ ， ℓ + 1}^{红色} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ ⋱ \end{matrix}) ，

(63)

哪里 ${K（K）}_{ℓ ， ℓ + 1}^{红色} < 0$ 和H（H）₁和H（H）₂定义如等式。(6)对于网络的两个部分。现在定义向量

v（v） = {(\underset{ℓ 次}{\underset{︸}{1 ， \dots ， 1}} ， \underset{(N个 负极 ℓ) 次}{\underset{︸}{0 ， \dots ， 0}})}^{T型} .

(64)

由于矩阵的结构H（H）₁，我们有 ${H（H）}_{1} {(1 ， \dots ， 1)}^{T型} = 0$ 这样的话

{v（v）}^{T型} H（H） v（v） = {K（K）}_{ℓ ， ℓ + 1}^{红色} < 0

（65）

因此，黑塞矩阵H（H）不是正半定的，即它至少有一个负特征值，并且不动点是不稳定的（参见引理1）。◻

我们注意到这也可以看作是参考文献中泰勒引理的结果。41，表明对于稳定不动点，不可能对图进行划分，从而使诱导割集中所有边的相位差的余弦之和小于零。

C.循环流量和绕组矢量

在下文中，我们想将定理具体化(7)，它根据流和绕组数来表征不动点，以导出网络中不动点数的严格界。限制我们正常操作(⁠ ${E类}_{负极} = {}$ ⁠)并使用分解(16)绕组编号的定义(27)读取

ϖ_{c（c）} = \frac{1}{2 π} \sum_{e（电子） = 1}^{我} {z（z）}_{e（电子）}^{c（c）} 电弧正弦 (\frac{{F类}_{e（电子）}}{{K（K）}_{e（电子）}}) = \frac{1}{2 π} \sum_{e（电子） = 1}^{我} {z（z）}_{e（电子）}^{c（c）} 电弧正弦 (\frac{{F类}_{e（电子）}^{(0)} + \sum_{c（c）' \in B_{C类}} {（f）}_{c（c）'} {z（z）}_{e（电子）}^{c（c）'}}{{K（K）}_{e（电子）}}) ，

(66)

使用等式。(16)绕组编号的概念在唯一时特别有用。如果我们能找到 $ϖ_{c（c）}$ ⁠，然后我们可以简单地计算解决方案的数量 $ϖ \in ℤ^{我负极 N个 + 1}$ 以获得不动点的数量。在下面的引理中，严格地证明了平面图的唯一性。

如果一个图可以在平面上绘制而没有任何边交叉，则称之为平面图。这样的图形称为平面图或图的平面嵌入，围绕一个没有任何边的区域的任何循环称为图的面。³⁵为了简单起见，我们采用了这样的约定：对于平面图，循环基B_C类由以下面构建而成。值得注意的是，许多电网和其他供电网络实际上是平面的。不禁止跨越电力线先验的但很少见。

引理3.对于平面网络，让 $θ$ 和 $θ'$ 是满足“正常操作”标准的两个不动点(9).如果 $ϖ (θ) = ϖ (θ')$ 则两个不动点相同，即相位差仅为一个加法常数

θ = θ' + c（c） {(1 ， 1 ， \dots ， 1)}^{T型} .

(67)

换句话说，平面网络中没有两个不同的不动点可以具有相同的绕组矢量。

证明.选择作为循环基础B_C类平面嵌入的面。这两个固定点只能通过循环流而不同，因此流可以写成

固定的 指向 θ : {F类}_{e（电子）} = {F类}_{e（电子）}^{(0)} + \sum_{c（c） \in B_{C类}} {（f）}_{c（c）} {z（z）}_{e（电子）}^{c（c）} ，

(68)

固定的 指向 θ' : {F类}_{e（电子）}^{'} = {F类}_{e（电子）}^{(0)} + \sum_{c（c） \in B_{C类}} {（f）}_{c（c）}' {z（z）}_{e（电子）}^{c（c）} ，

(69)

定义两个循环流向量 $（f）$ 和 $（f）'$ ⁠.我们写作 $ϖ (（f）')$ 和 $ϖ (（f）)$ 对应绕组矢量的简写法。我们证明了这一点 $ϖ (（f）') = ϖ (（f）)$ 暗示 $（f）' = （f）$ 因此 $F类' = F类$ ⁠。由于我们假设正常运行，我们可以通过以下方式重建相位（18）从而发现 $θ = θ' + c（c） {(1 ， 1 ， \dots ， 1)}^{T型}$ 正如我们需要展示的那样。

所以，假设 $ϖ (（f）') = ϖ (（f）)$ 和 $（f）'_{c（c）} \neq {（f）}_{c（c）}$ 至少一个循环c（c）我们证明了这导致了一个矛盾，因此引理如下。首先，考虑以下情况 ${（f）}_{c（c）}^{'} 负极 {（f）}_{c（c）}$ 所有循环均相同： $（f）'_{c（c）} 负极 {（f）}_{c（c）} = Δ （f） \neq 0$ 为所有人 $c（c） \in B_{C类}$ ⁠然后，选择一个循环k个在边界处。如果 $Δ （f） > 0$ ⁠，我们发现 $ϖ_{k个} (（f）') > ϖ_{k个} (（f）)$ ⁠，如果 $Δ （f） < 0$ ⁠，我们发现 $ϖ_{k个} (（f）') < ϖ_{k个} (（f）)$ ⁠这与假设和引理相矛盾。

否则，选择一个周期 ${（f）}_{c（c）}^{'} 负极 {（f）}_{c（c）}$ 是最大的。我们可以找到一个循环k个这样的话

{（f）}_{k个}^{'} 负极 {（f）}_{k个} \geq {（f）}_{ℓ}^{'} 负极 {（f）}_{ℓ} 对于 全部的 ℓ \neq k个 ，

(70)

{（f）}_{k个}^{'} 负极 {（f）}_{k个} > {（f）}_{n个}^{'} 负极 {（f）}_{n个} 对于 在 最少的 一 周期 n个 相邻的 到 k个 .

(71)

或者，同等地，

{（f）}_{k个}^{'} 负极 {（f）}_{ℓ}^{'} \geq {（f）}_{k个} 负极 {（f）}_{ℓ} 对于 全部的 ℓ \neq k个 ，

(72)

{（f）}_{k个}^{'} 负极 {（f）}_{n个}^{'} > {（f）}_{k个} 负极 {（f）}_{n个} 对于 在 最少的 一 周期 n个 相邻的 到 k个 .

(73)

现在，根据MacLane的平面度标准，我们利用任何边最多属于两个循环。⁵⁰选择边e（电子）这是两个循环的一部分k个和n个，我们有 ${z（z）}_{e（电子）}^{k个} {z（z）}_{e（电子）}^{k个} = 1$ 和 ${z（z）}_{e（电子）}^{k个} {z（z）}_{e（电子）}^{n个} = 负极 1$ ⁠对于所有其他循环 $ℓ \neq k个， n个$ ⁠，我们有 ${z（z）}_{e（电子）}^{ℓ} = 0$ ⁠因此，我们发现[使用(73)]

{z（z）}_{e（电子）}^{k个} {F类}_{e（电子）}^{(0)} + \underset{= + 1}{\underset{︸}{{z（z）}_{e（电子）}^{k个} {z（z）}_{e（电子）}^{k个}}} （f）'_{k个} + \underset{= 负极 1}{\underset{︸}{{z（z）}_{e（电子）}^{k个} {z（z）}_{e（电子）}^{n个}}} {（f）}_{n个}^{'} + \sum_{ℓ \neq k个 ， n个} \underset{= 0}{\underset{︸}{{z（z）}_{e（电子）}^{k个} {z（z）}_{e（电子）}^{ℓ}}} {（f）}_{ℓ}^{'} > {z（z）}_{e（电子）}^{k个} {F类}_{e（电子）}^{(0)} + \underset{= + 1}{\underset{︸}{{z（z）}_{e（电子）}^{k个} {z（z）}_{e（电子）}^{k个}}} {（f）}_{k个} + \underset{= 负极 1}{\underset{︸}{{z（z）}_{e（电子）}^{k个} {z（z）}_{e（电子）}^{n个}}} {（f）}_{n个} + \sum_{ℓ \neq k个 ， n个} \underset{= 0}{\underset{︸}{{z（z）}_{e（电子）}^{k个} {z（z）}_{e（电子）}^{ℓ}}} {（f）}_{ℓ} ，

(74)

\to {z（z）}_{e（电子）}^{k个} {F类}_{e（电子）}^{(0)} + \sum_{c（c）} {z（z）}_{e（电子）}^{k个} {z（z）}_{e（电子）}^{c（c）} {（f）}_{c（c）}^{'} > {z（z）}_{e（电子）}^{k个} {F类}_{e（电子）}^{(0)} + \sum_{c（c）} {z（z）}_{e（电子）}^{k个} {z（z）}_{e（电子）}^{c（c）} {（f）}_{c（c）} .

(75)

对于其他边缘 $e（电子）'$ 在循环中k个，我们通过相同的过程[使用(72)]那个

{z（z）}_{e（电子）'}^{k个} {F类}_{e（电子）}^{'} (0) + \sum_{c（c）} {z（z）}_{e（电子）'}^{k个} {z（z）}_{e（电子）'}^{c（c）} （f）'_{c（c）} \geq {z（z）}_{e（电子）'}^{k个} {F类}_{e（电子）'}^{(0)} + \sum_{c（c）} {z（z）}_{e（电子）'}^{k个} {z（z）}_{e（电子）'}^{c（c）} {（f）}_{c（c）} .

(76)

在定义中替换这两个不等式(66)并且使用该arcsin是单调递增的并且关于原点点对称，使得 $电弧正弦 ({z（z）}_{e（电子）}^{k个} x个) = {z（z）}_{e（电子）}^{k个} 电弧正弦 (x个)$ ⁠，我们发现

ϖ_{k个} (（f）') > ϖ_{k个} (（f）) .

(77)

这与我们的相反假设相矛盾，从而得出结论。◻

我们注意到Delabays等。在参考文献中用完全不同的技术证明了这个引理。51.

D.简单循环

对于包含单个循环的网络（环形网络），可以获得满足 $科斯 (θ_{我}^{*} 负极 θ_{j个}^{*}) > 0$ 用于所有边缘(我，j个). 这些状态对应于电网的正常运行，并通过推论1保证其稳定。其他稳定稳态尤其可以存在于稳定参数区域的边界处。²⁹我们将节点标记为 $1 ， 2 ， \dots ， N个$ 沿着循环，沿逆时针方向固定计数方向，并用标识节点1N个 + 1和0N个同样，我们固定边的方向 $e（电子） \in {1 ， \dots ，我}$ 这样的话 ${F类}_{e（电子）} > 0$ 描述了逆时针流动和 ${F类}_{e（电子）} < 0$ 顺时针流动。

我们首先计算固定点的准确数量，计算不同允许绕组数的数量。然而，这个结果取决于动态条件的一个特定解决方案(11)从而限制了其适用性。因此，我们还根据电网的几个简单特征，特别是最大部分净功率，导出了不动点数量的上下界。这些边界不依赖于动力学条件的任何特定解。

备注11。 对于任何环形网络 ${R（右）}_{N个}$ 对于N个节点，循环流向量定义为(2)和中定义的绕组矢量(29)自然减少为单个数字。我们将其称为循环流f_c（c）和绕组编号 $ϖ_{c（c）}$ ，参考。39。这两个量对于确定本节其余部分的结果至关重要。

定理12。 对于环形网络 ${R（右）}_{N个}$ ，正常操作固定点的数量（表示为 $N个$ )由提供

N个 = ⌈ \frac{1}{2 π} \sum_{j个} 电弧正弦 (\frac{{F类}_{j个 + 1 ， j个}^{(0)} + {（f）}_{c（c）}^{最大值}}{{K（K）}_{j个 + 1 ， j个}}) ⌉ 负极 ⌊ \frac{1}{2 π} \sum_{j个} 电弧正弦 (\frac{{F类}_{j个 + 1 ， j个}^{(0)} + {（f）}_{c（c）}^{最小值}}{{K（K）}_{j个 + 1 ， j个}}) ⌋ 负极 1 ，

(78)

哪里 $⌊ \cdot ⌋$ 表示楼层功能和 $⌈ \cdot ⌉$ 表示天花板功能。 ${F类}_{我 j个}^{(0)}$ 是动态条件的一种特殊解决方案(11)和

{（f）}_{c（c）}^{最大值} = \underset{j个}{最小值} ({K（K）}_{j个 + 1 ， j个} 负极 {F类}_{j个 + 1 ， j个}^{(0)}) ，

{（f）}_{c（c）}^{最小值} = \underset{j个}{最大值} (负极 {K（K）}_{j个 + 1 ， j个} 负极 {F类}_{j个 + 1 ， j个}^{(0)}) .

(79)

证明.假设我们有一个固定点 $θ_{0}$ 随着水流 ${F类}_{我 j个}^{(0)}$ 并分析（根据定理3）哪些循环流量值（f）_c（c）导致不同的有效固定点。首先，循环流上下边界均为 ${F类}_{j个， j个 + 1}$ 沿每条边缘的绝对值不能超过容量 ${K（K）}_{j个， j个 + 1}$

{（f）}_{c（c）}^{最小值} < {（f）}_{c（c）} < {（f）}_{c（c）}^{最大值} ，

(80)

{（f）}_{c（c）}^{最大值} = \underset{j个}{最小值} ({K（K）}_{j个 ， j个 + 1} 负极 {F类}_{j个 ， j个 + 1}^{(0)}) ，

(81)

{（f）}_{c（c）}^{最小值} = \underset{j个}{最大值} (负极 {K（K）}_{j个 ， j个 + 1} 负极 {F类}_{j个 ， j个 + 1}^{(0)}) .

(82)

我们强调这一点（f）_c（c）不能等于 ${（f）}_{c（c）}^{最大值}$ 或 ${（f）}_{c（c）}^{最小值}$ 因为否则一个边缘将被完全加载 $科斯 (θ_{我} 负极 θ_{j个}) = 0$ ⁠与我们的假设相矛盾。

其次，所有不动点都必须满足几何条件（参见定理7）

ϖ ({（f）}_{c（c）}) \in ℤ .

(83)

由于我们限制自己正常操作，单个循环的绕组编号读数

ϖ ({（f）}_{c（c）}) = \frac{1}{2 π} \sum_{j个} 电弧正弦 (\frac{{F类}_{j个 + 1 ， j个}^{(0)} + {（f）}_{c（c）}}{{K（K）}_{j个 + 1 ， j个}}) .

(84)

使用循环流动强度的界限(80)由于arcsin是一个单调递增函数，我们发现绕组数也受

ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最小值}) \leq ϖ \leq ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最大值}) .

(85)

由于绕组编号是唯一的（参见引理3），不同的固定点对应于绕组编号的以下值：

ϖ_{不动点} = ⌊ ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最小值}) ⌋ + 1 ， ⌊ ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最小值}) ⌋ + 2 ， \dots ， ⌈ ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最大值}) ⌉ 负极 1

(86)

计算这些值并插入 ${（f）}_{c（c）}^{最小值}$ 和 ${（f）}_{c（c）}^{最大值}$ 然后得出固定点的数量 $N个$ ⁠. ◻

对于实际应用，最好仅根据网络的特性确定不动点的数量，而不参考特定的解决方案 ${F类}^{(0)}$ ⁠.获得固定点数量的适当界限 $N个$ ⁠，我们首先定义了表征网络的一些属性。

定义13.对于环形网络 ${R（右）}_{N个}$ 具有 $N个 \in ℕ$ 节点索引依据 $1 ， 2 ， \dots ， N个$ 沿着循环，a 片段 ${F类}_{我， j个}$ 定义为从节点i开始到节点j结束的路径。对于任何片段 ${F类}_{我， j个}$ ，的 部分净功率 ${\bar{P（P）}}_{我 j个}$ 定义为

{\bar{P（P）}}_{我 j个} = \sum_{k个 = 我}^{j个} {P（P）}_{k个} .

(87)

和最大部分净功率定义为

{\bar{P（P）}}_{最大值} = \underset{我 ， j个}{最大值} {\bar{P（P）}}_{我 ， j个} .

(88)

该概念如所示图。5.此外，我们定义了最大和最小传输容量

{K（K）}_{最大值} = \underset{j个}{最大值} {K（K）}_{j个 + 1 ， j个} 和 {K（K）}_{最小值} = \underset{j个}{最小值} {K（K）}_{j个 + 1 ， j个} .

(89)

图5：。

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最大部分净功率 ${\bar{P（P）}}_{最大值}$ 在不同的环形网络中。

引理4。 对于任何环形碎片 ${F类}_{我， j个}$ ，部分净功率等于净向外流量

{\bar{P（P）}}_{我 j个} = {F类}_{j个 + 1 ， j个} 负极 {F类}_{我 负极 1 ， 我}

(90)

和

{\bar{P（P）}}_{最大值} = \underset{j个}{最大值} {F类}_{j个 + 1 ， j个} 负极 \underset{我}{最小值} {F类}_{我 负极 1 ， 我} .

（91）

引理4是能量守恒的形式化。某段的净向外流量必须等于碎片中的累积注入功率。然后，我们寻求使与环的其余部分交换的总流量最大化的碎片 ${\bar{P（P）}}_{我 j个}$ 和 ${\bar{P（P）}}_{最大值}$ 之前出现在参考。51.

推论3。 对于环形网络 ${R（右）}_{N个}$ ，正常操作固定点的数量（表示为 $N个$ )被上下约束

0 \leq N个 \leq 2 ⌊ \frac{N个}{4} ⌋ + 1

(92)

和依据

⌈ \frac{N个}{4} \frac{2 {K（K）}_{最大值} 负极 {\bar{P（P）}}_{最大值}}{{K（K）}_{最小值}} ⌉ \geq N个 \geq ⌈ \frac{N个}{2 π} \frac{2 {K（K）}_{最小值} 负极 {\bar{P（P）}}_{最大值}}{{K（K）}_{最大值}} ⌉ 负极 1

(93)

证明.根据引理12，不动点的数目 $N个$ 由提供

N个 = ⌈ ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最大值}) ⌉ 负极 ⌊ ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最小值}) ⌋ 负极 1

(94)

我们利用了arcsin函数是有界的这一事实， $电弧正弦 (x个) \in [负极 π / 2 ， + π / 2]$ ⁠，因此

ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最大值}) = \frac{1}{2 π} \sum_{j个 = 1}^{N个} 电弧正弦 (\frac{{F类}_{j个 + 1 ， j个}^{(0)} + {（f）}_{c（c）}^{最大值}}{{K（K）}_{j个 + 1 ， j个}}) < \frac{N个}{4} ， ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最小值}) = \frac{1}{2 π} \sum_{j个 = 1}^{N个} 电弧正弦 (\frac{{F类}_{j个 + 1 ， j个}^{(0)} + {（f）}_{c（c）}^{最小值}}{{K（K）}_{j个 + 1 ， j个}}) > 负极 \frac{N个}{4} .

(95)

这证明了第一部分(92)推论的结果。为了证明第二部分，我们从

⌈ ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最大值}) 负极 ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最小值}) ⌉ 负极 1 \leq N个 \leq ⌈ ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最大值}) 负极 ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最小值}) ⌉ .

(96)

现在，可以使用三角关系获得和中所有项的上下界

x个 负极 年 \leq 电弧正弦 (x个) 负极 电弧正弦 (年) \leq \frac{π}{2} (x个 负极 年) ，

(97)

对所有人都适用 $负极 1 \leq 年 \leq x个 \leq 1$ ⁠。这将产生

\frac{1}{2 π} \sum_{j个} \frac{Δ {（f）}_{c（c）}}{{K（K）}_{j个 + 1 ， j个}} \leq ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最大值}) 负极 ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最小值}) \leq \frac{1}{4} \sum_{j个} \frac{Δ {（f）}_{c（c）}}{{K（K）}_{j个 + 1 ， j个}} ，

(98)

我们在哪里定义 $Δ {（f）}_{c（c）} = {（f）}_{c（c）}^{最大值} 负极 {（f）}_{c（c）}^{最小值}$ ⁠此外，此数量可以绑定为

\begin{matrix} Δ {（f）}_{c（c）} = \underset{j个}{最小值} ({K（K）}_{j个 + 1 ， j个} 负极 {F类}_{j个 + 1 ， j个}^{(0)}) 负极 \underset{j个}{最大值} (负极 {K（K）}_{j个 + 1 ， j个} 负极 {F类}_{j个 + 1 ， j个}^{(0)}) \\ \geq 2 {K（K）}_{最小值} + \underset{j个}{最小值} (负极 {F类}_{j个 + 1 ， j个}^{(0)}) 负极 \underset{j个}{最大值} (负极 {F类}_{j个 + 1 ， j个}^{(0)}) ， \\ = 2 {K（K）}_{最小值} + \underset{j个}{最大值} ({F类}_{j个 ， j个 + 1}^{(0)}) 负极 \underset{j个}{最大值} (负极 {F类}_{j个 + 1 ， j个}^{(0)}) ， \\ = 2 {K（K）}_{最小值} 负极 {\bar{P（P）}}_{最大值} (使用 (92)) ， \end{matrix}

(99)

这样方程中的分数。(98)成为

\frac{Δ {（f）}_{c（c）}}{{K（K）}_{j个 + 1 ， j个}} \geq \frac{2 {K（K）}_{最小值} 负极 {\bar{P（P）}}_{最大值}}{{K（K）}_{最大值}} .

(100)

以类似的方式，我们发现

Δ {（f）}_{c（c）} \leq 2 {K（K）}_{最大值} 负极 {\bar{P（P）}}_{最大值} .

(101)

将这些边界替换为等式。(98)产量

\begin{matrix} ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最大值}) 负极 ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最小值}) \geq \frac{N个}{2 π} \frac{2 {K（K）}_{最小值} 负极 {\bar{P（P）}}_{最大值}}{{K（K）}_{最大值}} ， \\ ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最大值}) 负极 ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最小值}) \leq \frac{N个}{4} \frac{2 {K（K）}_{最大值} 负极 {\bar{P（P）}}_{最大值}}{{K（K）}_{最小值}} ， \end{matrix}

(102)

它与(96)完成证明。◻

我们注意到这个界限的第一部分(92)之前由奥恰布和戈拉展示过³⁸以及Delabays等。³⁷

推论4。 对于均质环 ${R（右）}_{N个}$ 即。， ${K（K）}_{我，我 + 1} = K（K）$ ⁠，等式。(93) 简化为

⌈ \frac{N个}{π} 负极 \frac{N个 {\bar{P（P）}}_{最大值}}{2 K（K） π} ⌉ 负极 1 \leq N个 \leq ⌈ \frac{N个}{2} 负极 \frac{N个 {\bar{P（P）}}_{最大值}}{4 K（K）} ⌉ .

(103)

尤其是环形网络 ${R（右）}_{N个}$ 具有 $N个 \leq 4$ 没有多个稳定的不动点。环形网络 ${R（右）}_{N个}$ 具有 $N个 \geq 7$ 节点将具有多个稳定不动点 $(N个 \geq 2)$ 如果

{\bar{P（P）}}_{最大值} < 2 {K（K）}_{最小值} 负极 \frac{4 π}{N个} {K（K）}_{最大值} .

(104)

这些关系可以通过简单地评估推论3中的边界来证明。

推论5。 在齐次环网中，当K减小时，流的最大无穷范数的不动点

| | F类 | |_{\infty} : = \underset{j个}{最大值} | {F类}_{j个 ， j个 + 1} |

将是第一批消失的人。

证明。我们可以从中看到(95)两者都是 $ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最大值})$ 和 $ϖ ({（f）}_{c（c）}^{最小值})$ 是单调递增的函数 ${（f）}_{c（c）}^{最大值}$ 和 ${（f）}_{c（c）}^{最小值}$ ⁠分别是。根据(80)，何时K（K）减少， ${（f）}_{c（c）}^{最大值}$ 减少和 ${（f）}_{c（c）}^{最小值}$ 增加。推论如下。◻

我们演示了边界如何随连接性而扩展K（K）和 ${\bar{P（P）}}_{最大值}$ 对于尺寸为的样品环N个=图中的16。6我们在图中看到。6（a）越来越多的人K（K）导致更稳定的不动点。鉴于图。6（b）证明如果发电机 $({P（P）}_{j个} \geq 0)$ 聚集在一起，则系统具有较少的固定点，而不是更分散的情况。

图6。

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固定点数量的上下限 $N个$ 作为（a）函数的样本16元素环 $K（K） = {K（K）}_{j个， j个 + 1}$ 为所有人 $1 \leq j个 \leq 16$ 在 ${\bar{P（P）}}_{最大值} = 三$ 和（b） ${\bar{P（P）}}_{最大值}$ 在K（K）=10

E.复杂网络

通常很难获得不动点数量的界限，因为我们不能简单地将网络分解为单个循环，除非网络的两个循环没有共享一条边。困难在于共享一条或多条边的两个面中的循环流可以相互抵消或增强。这就是为什么人们不能简单地将每个循环的不动点数量的界相乘，以获得网络不动点总数的界。我们用两个例子来证明这一点。

1.两个循环流相互破坏

首先，我们表明，即使所有单个循环都支持（多个）不动点（如果它们是孤立的），整个网络也可能根本没有一个不动点。如图所示。7对于仅由两个循环组成的网络。面板（a）和（b）中显示的网络基序分别有3个和1个稳定的不动点，而面板（c）中所示的完整网络没有稳定的不动点。独立循环2，即图。7（b）有一个稳定的固定点，但两个边缘负载沉重，几乎没有安全余量，也没有循环流的可用容量。融合两个循环，如图所示。7（c）扰乱了两个循环的几何条件。恢复几何条件 $ϖ \in ℤ^{2}$ ⁠，我们必须添加一些循环流。但这在循环2中是不可能的，因此在整个网络中没有稳定的固定点。

图7。

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在复杂网络中找到稳定不动点数目的界的困难。（a）和。动力注入P（P）_j个节点中给出了。所有边缘都有传输能力K（K）.

2.创建两个循环流

因此，我们已经看到下限因为一般网络的许多不动点是很难的，因为在一个周期的基础上，将每个周期的下限相乘并不能得到一个有效的下限。接下来，我们将说明为什么要获得上限也很难。

考虑图中两个相同的单回路网络中的任何一个。8它由一个发电机和一个耗电元件组成，发电和耗电 $2.1 K（K）$ 功率。每个边缘都有容量K（K）。两个单环路网络都没有固定点：这仅仅是因为网络没有足够的容量来传输 $2.1 K（K）$ 从发电机到耗电元件的功率。然而，当这两者融合在一起时，会出现两个循环流和一个具有缠绕矢量的稳定不动点 $ω = (1 ，负极 1)$ 产生。这一点也不奇怪：在这种情况下，融合两个周期，最终会产生一个替代的动力流路径。

图8。

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两个环形网络，每个都没有固定点，当被一条边合并时，会获得一个固定点。

F.平面网络

虽然获得一般拓扑的许多不动点的估计值是相当困难的，但我们现在表明，对于平面拓扑，可以获得一些分析见解。

1.上限

定理14。 考虑一个有限平面网络。选择图的面作为循环基B_C类然后，正常操作不动点的数量，即满足以下条件的不动点 $科斯 (θ_{我}^{*} 负极 θ_{j个}^{*}) > 0$ 对于所有边（i，j），从上到下绑定

N个 < \prod_{c（c） = 1}^{我 负极 N个 + 1} 2 ⌊ \frac{{N个}_{c（c）}}{4} ⌋ + 1 ，

(105)

哪里N个_c（c）是循环中的节点数c（c）.

证明在平面网络中，没有两个不同的固定点可以具有相同的绕组矢量 $ϖ$ （参见引理3），这样我们就可以计算不同的允许缠绕向量。对于每个基本循环 $c（c） \in B_{C类}$ ⁠，我们有

负极 ⌊ {N个}_{c（c）} / 4 ⌋ < ϖ_{c（c）} = \frac{1}{2 π} \sum_{e（电子） \in 周期 c（c）} Δ_{e（电子）} < + ⌊ {N个}_{c（c）} / 4 ⌋

(106)

因为 $负极 π / 2 < Δ_{e（电子）} < + π / 2$ 在正常操作中。计算绕组编号的不同可能值的数量 $ϖ_{1} ， \dots ， ϖ_{我负极 N个 + 1}$ 遵循这些上下限会产生结果。◻

德拉巴伊斯等。已呈现³⁷均匀功率注入的这个界P（P）_j个在所有节点。他们还确定了足以确保全部的固定点处于正常运行状态，因此使(105)适用于某类网络中的所有固定点。

有趣的是，这个上限被证明是无效⁵¹超出正常操作范围。

2.渐近行为

我们在V E小节中已经表明，要获得不动点数量的界限并不容易 $N个$ 在复杂网络中，与简单循环不同。然而，在 $N个 ≫ 1 ， K（K） ≫ 1$ ⁠，我们仍然可以推导出 $N个$ ⁠.

3、二次循环网络

为了简单起见，我们首先考虑由两个循环组成的具有均匀传输容量的网络C类₁和C类₂，如图所示。9。假设有n个₁仅属于循环1的边，n个₂仅属于循环2的边和n个₁₂属于两者的边。设一个不动点为 $θ^{*}$ 每个循环和十字路口的流量都受到

{F类}_{1}^{最小值} \leq {F类}_{e（电子）} \leq {F类}_{1}^{最大值} ， 为所有人 e（电子） \in {C类}_{1} 负极 {C类}_{2}

（107）

{F类}_{2}^{最小值} \leq {F类}_{e（电子）} \leq {F类}_{2}^{最大值} ， 为所有人 e（电子） \in {C类}_{2} 负极 {C类}_{1}

(108)

{F类}_{12}^{最小值} \leq {F类}_{e（电子）} \leq {F类}_{12}^{最大值} ， 为所有人 e（电子） \in {C类}_{2} 负极 {C类}_{1} .

(109)

图9：。

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2圈网络。我们使用循环逆时针的约定。因此，我们将正幅度分配给逆时针循环流，将负幅度分配给顺时针循环流。

然后，每个循环中可能的循环流被限定在凸多边形内 $天$ 由描述

负极 K（K） 负极 {F类}_{1}^{最小值} \leq {（f）}_{1} \leq K（K） 负极 {F类}_{1}^{最大值} ，

(110)

负极 K（K） 负极 {F类}_{2}^{最小值} \leq {（f）}_{2} \leq K（K） 负极 {F类}_{2}^{最大值} ，

(111)

负极 K（K） 负极 {F类}_{12}^{最小值} \leq {（f）}_{1} 负极 {（f）}_{2} \leq K（K） 负极 {F类}_{12}^{最大值} .

(112)

那么，对于 $K（K） ≫ 1 ， {n个}_{1} ≫ 1 ， {n个}_{2} ≫ 1$ ⁠，不动点的数目收敛到 $天$ 在映射下 $ϖ$ ⁠.

N个 \approx {¦Β}_{ϖ (天)} d日 ϖ_{1} d日 ϖ_{2} ，

(113)

= {¦Β}_{天} d日 {（f）}_{1} d日 {（f）}_{2} det（探测） J型 (ϖ) ，

(114)

雅可比式 $J型 (ϖ)$ 变量的变化可以通过以下表达式计算 $ϖ$ 在里面(66)，它产生

det（探测） J型 (ϖ) = \frac{1}{4 {K（K）}^{2} π^{2}} det（探测） (\begin{array}{l} \sum_{e（电子） \in {C类}_{1}} \frac{1}{\sqrt{1 负极 {(\frac{{F类}_{e（电子）} + {（f）}_{1}}{K（K）})}^{2}}} + \sum_{e（电子） \in {C类}_{1} \cap {C类}_{2}} \frac{1}{\sqrt{1 负极 {(\frac{{F类}_{e（电子）} + {（f）}_{1} 负极 {（f）}_{2}}{K（K）})}^{2}}} & 负极 \sum_{e（电子） \in {C类}_{1} \cap {C类}_{2}} \frac{1}{\sqrt{1 负极 {(\frac{{F类}_{e（电子）} + {（f）}_{1} 负极 {（f）}_{2}}{K（K）})}^{2}}} \\ 负极 \sum_{e（电子） \in {C类}_{1} \cap {C类}_{2}} \frac{1}{\sqrt{1 负极 {(\frac{{F类}_{e（电子）} + {（f）}_{1} 负极 {（f）}_{2}}{K（K）})}^{2}}} & \sum_{e（电子） \in {C类}_{2}} \frac{1}{\sqrt{1 负极 {(\frac{{F类}_{e（电子）} + {（f）}_{2}}{K（K）})}^{2}}} + \sum_{e（电子） \in {C类}_{1} \cap {C类}_{2}} \frac{1}{\sqrt{1 负极 {(\frac{{F类}_{e（电子）} + {（f）}_{1} 负极 {（f）}_{2}}{K（K）})}^{2}}} \end{array}) .

(115)

接受极限

\begin{matrix} \underset{K（K） \to \infty}{林} \frac{{F类}_{e（电子）} + {（f）}_{1}}{K（K）} = \frac{{（f）}_{1}}{K（K）} ， \\ \underset{K（K） \to \infty}{林} \frac{{F类}_{e（电子）} + {（f）}_{2}}{K（K）} = \frac{{（f）}_{2}}{K（K）} ， \end{matrix}

(116)

导致

\begin{matrix} N个 \approx \frac{1}{4 {K（K）}^{2} π^{2}} {¦Β}_{\tilde{天}} d日 {（f）}_{1} d日 {（f）}_{2} det（探测） (\begin{matrix} \frac{{n个}_{1}}{\sqrt{1 负极 {(\frac{{（f）}_{1}}{K（K）})}^{2}}} + \frac{{n个}_{12}}{\sqrt{1 负极 {(\frac{{（f）}_{1} 负极 {（f）}_{2}}{K（K）})}^{2}}} & 负极 \frac{{n个}_{12}}{\sqrt{1 负极 {(\frac{{（f）}_{1} 负极 {（f）}_{2}}{K（K）})}^{2}}} \\ 负极 \frac{{n个}_{12}}{\sqrt{1 负极 {(\frac{{（f）}_{1} 负极 {（f）}_{2}}{K（K）})}^{2}}} & \frac{{n个}_{2}}{\sqrt{1 负极 {(\frac{{（f）}_{2}}{K（K）})}^{2}}} + \frac{{n个}_{12}}{\sqrt{1 负极 {(\frac{{（f）}_{1} 负极 {（f）}_{2}}{K（K）})}^{2}}} \end{matrix}) . \end{matrix}

\begin{matrix} \tilde{天} : = {({（f）}_{1} ， {（f）}_{2}) : ({（f）}_{1} ， {（f）}_{2}) \in ℝ^{2} ， | {（f）}_{1} | \leq K（K） ， | {（f）}_{2} | \leq K（K） ， | {（f）}_{1} 负极 {（f）}_{2} | \leq K（K）} . \end{matrix}

(117)

重新定义 ${（f）}_{1} \to {（f）}_{1} / K（K）， {（f）}_{2} \to {（f）}_{2} / K（K）$ ⁠，我们获得

\begin{matrix} N个 \approx \frac{1}{4 π^{2}} {¦Β}_{\tilde{天}} d日 {（f）}_{1} d日 {（f）}_{2} det（探测） (\begin{matrix} \frac{{n个}_{1}}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{1}^{2}}} + \frac{{n个}_{12}}{\sqrt{1 负极 {({（f）}_{1} 负极 {（f）}_{2})}^{2}}} & 负极 \frac{{n个}_{12}}{\sqrt{1 负极 {({（f）}_{1} 负极 {（f）}_{2})}^{2}}} \\ 负极 \frac{{n个}_{12}}{\sqrt{1 负极 {({（f）}_{1} 负极 {（f）}_{2})}^{2}}} & \frac{{n个}_{2}}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{2}^{2}}} + \frac{{n个}_{12}}{\sqrt{1 负极 {({（f）}_{1} 负极 {（f）}_{2})}^{2}}} \end{matrix}) ， \end{matrix}

(118)

\begin{matrix} = \frac{1}{4 π^{2}} ({n个}_{1} {n个}_{2} {¦Β}_{\tilde{天}} \frac{1}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{1}^{2}}} \frac{1}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{2}^{2}}} d日 {（f）}_{1} d日 {（f）}_{2} + {n个}_{1} {n个}_{12} {¦Β}_{\tilde{天}} \frac{1}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{1}^{2}}} \frac{1}{\sqrt{1 负极 {({（f）}_{1} 负极 {（f）}_{2})}^{2}}} d日 {（f）}_{1} d日 {（f）}_{2} \\ + {n个}_{2} {n个}_{12} {¦Β}_{\tilde{天}} \frac{1}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{2}^{2}}} \frac{1}{\sqrt{1 负极 {({（f）}_{1} 负极 {（f）}_{2})}^{2}}} d日 {（f）}_{1} d日 {（f）}_{2}) ， \end{matrix}

(119)

= \frac{1}{4 π^{2}} ({n个}_{1} {n个}_{2} {¦Β}_{\tilde{天}} \frac{1}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{1}^{2}}} \frac{1}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{2}^{2}}} d日 {（f）}_{1} d日 {（f）}_{2} + ({n个}_{1} + {n个}_{2}) {n个}_{12} {¦Β}_{\tilde{天}} \frac{1}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{1}^{2}}} \frac{1}{\sqrt{1 负极 {({（f）}_{1} 负极 {（f）}_{2})}^{2}}} d日 {（f）}_{1} d日 {（f）}_{2}) .

(120)

在最后一行中，我们使用了（f）₁和（f）₂在被积函数和积分域中。通过在第二积分中使用以下变量的变化，我们可以进一步简化：

({（f）}_{1} ， {（f）}_{2}) \mapsto ({（f）}_{2} 负极 {（f）}_{1} ， {（f）}_{2}) .

我们注意到，变量和雅可比行列式发生变化后，域保持不变 $det（探测） (J型) = 负极 1$ ⁠。这样可以简化

N个 \approx ({n个}_{1} {n个}_{2} + ({n个}_{1} + {n个}_{2}) {n个}_{12}) \underset{γ}{\underset{︸}{\frac{1}{4 π^{2}} {¦Β}_{\tilde{天}} \frac{1}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{1}^{2}}} \frac{1}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{2}^{2}}} d日 {（f）}_{1} d日 {（f）}_{2}}} ，

具有

γ = \frac{1}{4 π^{2}} {{¦Β}_{负极 1}^{0} \frac{d日 {（f）}_{1}}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{1}^{2}}} {¦Β}_{负极 1}^{{（f）}_{1} + 1} \frac{d日 {（f）}_{2}}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{2}^{2}}} + {¦Β}_{0}^{1} \frac{d日 {（f）}_{1}}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{1}^{2}}} {¦Β}_{{（f）}_{1} 负极 1}^{1} \frac{d日 {（f）}_{2}}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{2}^{2}}}} ， = \frac{1}{4 π^{2}} {{¦Β}_{负极 1}^{0} \frac{电弧正弦 ({（f）}_{1} + 1) + \frac{π}{2}}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{1}^{2}}} d日 {（f）}_{1} + {¦Β}_{0}^{1} \frac{\frac{π}{2} 负极 电弧正弦 ({（f）}_{1} 负极 1)}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{1}^{2}}} d日 {（f）}_{1}} ， = \frac{1}{4 π^{2}} {\frac{π^{2}}{4} + {¦Β}_{负极 1}^{0} \frac{电弧正弦 ({（f）}_{1} + 1)}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{1}^{2}}} d日 {（f）}_{1} + \frac{π^{2}}{4} + {¦Β}_{0}^{1} \frac{电弧正弦 ({（f）}_{1} 负极 1)}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{1}^{2}}} d日 {（f）}_{1}} ， = \frac{1}{8} + \frac{1}{2 π^{2}} {¦Β}_{负极 1}^{0} \frac{电弧正弦 ({（f）}_{1} + 1)}{\sqrt{1 负极 {（f）}_{1}^{2}}} d日 {（f）}_{1} ， \approx 0.1576 ，

以最终生成此缩放结果

\underset{{n个}_{1} ， {n个}_{2} \to \infty}{林} N个 = γ ({n个}_{1} {n个}_{2} + ({n个}_{1} + {n个}_{2}) {n个}_{12}) ，

(121)

γ \approx 0.1576.

评估(121)，我们将其应用于两种特殊情况。首先，我们考虑具有 $n个 = {n个}_{1} = {n个}_{2} ， {n个}_{12} = 1$ ⁠也就是说，两个相同的循环只共享一个单边。在这种情况下，(121)成为

N个 (n个 ， n个 ， 1) \approx ({n个}^{2} + 2 n个) γ .

（122）

其次，我们考虑具有 $n个 = {n个}_{1} = {n个}_{2} ， {n个}_{12} = n个$ ⁠也就是说，两个相同的循环共享其一半的边。在这种情况下，(121)成为

N个 (n个 ， n个 ， n个) \approx 三 γ {n个}^{2} .

(123)

我们在图中看到。10在这两种情况下，缩放关系都非常准确，即使对于不太大的网络规模，例如n个=50

图10。

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（a）在零功率注入和无限边缘容量极限下，双循环网络不动点数量的缩放。（a）每个循环都有n个 + 1条边，它们共享一条边。（左y轴）圆点显示用数字计算的固定点的确切数量。实线表示按比例关系预测的数量(121)。虚线表示上限(105).（右y轴）虚线表示固定点数量除以 ${n个}^{2} + 2 n个$ 收敛到一个常数，接近分析预测值 $γ = 0.1576$ ⁠，根据方程式(121).（b）与（a）相同，但对于每个循环有2个n个边缘，它们共享n个它们之间的边缘。

4.一般平面图

双圈网络的标度结果可以推广到一般平面图；为此，我们定义了几个量。

定义15 （Loopy对偶图）.给定平面图G（V，E）和嵌入，我们选择循环基B_C类由嵌入面组成。循环对偶图 ${G公司}^{二重的} (G公司)$ 是顶点集等于B的无向多重图_C类.其边缘设置 $E类'$ 如下所示。对于每个边缘 $e（电子） \in E类$ ，如果在两个循环c之间共享₁和c₂，然后是c和之间的边 $c（c）'$ 已添加到 $E类'$ 。如果e位于边界并且只属于一个循环c，则在节点c处添加一个自循环图。11.

图11：。

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与此特定嵌入相对应的平面图（实心边、未填充的圆形节点）及其环形对偶（虚线边、填充的环形节点）。

现在，考虑一个平面图和一个任意选择的流动不动点F类_{e（电子）}。让我们用表示 ${\tilde{我}}^{圆圈的}$ 定义1中定义的元图的环形拉普拉斯算子。

然后，等式。(117)概括为

N个 \approx \frac{1}{{(2 K（K） π)}^{我 负极 N个 + 1}} {¦Β}_{\tilde{天}} d日 {（f）}_{1} d日 {（f）}_{2} \cdot d日 {（f）}_{我 负极 N个 + 1} det（探测） {\tilde{我}}^{圆圈的} ，

(124)

\tilde{天} : = {({（f）}_{1} ， {（f）}_{2} ， \dots {（f）}_{我 负极 N个 + 1}) : | {（f）}_{我} | \leq K（K） ， | {（f）}_{我} 负极 {（f）}_{j个} | \leq K（K） 如果 循环 我 ， j个 分享 一个 边缘} .

六、不稳定固定点

原则上，我们也可以推广循环流方法来寻找不满足正常运行条件的不动点。这些固定点通常是线性不稳定的（参见参考文献。30)然而，关于不动点数目的大多数结果都不能推广到这种情况。作为一个有启发性的例子，再次考虑第节中的同质环。四、 C类。我们将节点标记为 $1 ， 2 ， \dots ， N个$ 并假设N个是4的整数倍。所有节点都有一个消失的功率注入 ${P（P）}_{j个} \equiv 0$ ⁠，所有链接都具有同等的强度K（K）和以前一样。那么，很容易看出

θ^{*} = {(0 ， δ ， π ， π + δ ， 2 π ， 2 π + δ ， 三 π ， \dots)}^{T型}

(125)

是每个值的动力学的固定点 $δ \in [0 ， π)$ ⁠。这类不动点表示纯循环流

{F类}_{j个 ， j个 + 1} = K（K） 罪 (θ_{j个 + 1} 负极 θ_{j个}) = K（K） 罪 (δ)

(126)

用于所有边缘 $(j个， j个 + 1)$ ⁠.绕组编号为 $ϖ = N个 / 4$ 独立于δ边缘交替属于 ${E类}_{+}$ 和 ${E类}_{负极}$

\begin{matrix} {E类}_{+} = {(1 ， 2); (三 ， 4); (5 ， 6); \dots} ， \\ {E类}_{负极} = {(2 ， 三); (4 ， 5); (6 ， 7); \dots} . \end{matrix}

(127)

这个简单的例子表明，对正常操作固定点所做的两个主要假设（其中 ${E类}_{负极} = {}$ ⁠)不再成立：首先，不动点集不再是离散的。相反，我们发现了由实数参数化的连续解δ第二，不同的固定点产生相同的绕组编号。因此，我们通常无法通过计算绕组数来获得不动点的数量。

七、。计算所有固定点

循环流方法产生了一种计算振荡网络多个不动点的方便方法。一般来说，很难确保数值算法能给出非线性代数方程的所有解。然而，我们已经证明，绕组数至少对于平面网络中的正常操作不动点是唯一的。因此，我们可以扫描绕组编号的允许值，并尝试找到相应的解决方案。这可以通过从动力学条件的任意解开始，添加循环流，直到获得所需的绕组数来实现。

特别地，我们可以使用以下算法计算平面网络在正常操作中的所有不动点：

找到解决方案 ${F类}^{(0)}$ 动态条件。
固定平面嵌入和循环基。
改变数字z（z）_c（c）在间隔中 $[负极 \frac{{N个}_{c（c）}}{4} ， \frac{{N个}_{c（c）}}{4}]$ ⁠，适用于所有循环 $c（c） = 1 ， \dots ，我负极 N个 + 1$ ⁠.
试着解这组方程
$ϖ_{c（c）} (（f）) = {z（z）}_{c（c）} 对于全部的 c（c） = 1 ， \dots ，我负极 N个 + 1 ，$
(128)
其中绕组编号由公式。(27).

去掉正常操作的假设，我们就失去了第节中讨论的唯一性保证。不及物动词然而，该方法可以很容易地适应最不稳定不动点的数量，至少如果 $| {E类}_{负极} |$ 很小。这可能非常有用，因为系统计算此类不动点通常并不简单。除其他外，这些结果还可以通过分析稳定性边界来评估稳定不动点的全局稳定性^52,53或存在随机波动时的稳定性。⁵⁴特别是，我们必须在算法中添加另一个步骤，以循环遍历所有可能的集 ${E类}_{负极}$ ⁠:

3a、。
变化 $k个 = 0 ， \dots ，我$ ⁠然后，对所有样本进行采样k个-边集的元组E类定义集合 ${E类}_{负极}$ ⁠.
3b、。
改变数字z（z）_c（c）在间隔中 $[负极 \frac{{N个}_{c（c）}}{4} ， \frac{{N个}_{c（c）}}{4}]$ ⁠，适用于所有循环 $c（c） = 1 ， \dots ，我负极 N个 + 1$ ⁠.

该算法的输出如图所示。12对于小型测试网络和 $| {E类}_{负极} | \leq 2$ ⁠。对于这个小网络，我们只有 $我负极 N个 + 1 = 三$ 基本循环，其中一个是解耦的。因此，我们可以用图形检查我们是否获得了全部的固定点。

图12：。

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所有固定点 $| {E类}_{负极} | \leq 2$ 在具有使用正文中描述的算法计算的三个循环的网络中。显示每个循环的绕组编号。正方形表示发电机 $P（P） = + 2 {P（P）}_{0}$ 并用 $P（P） = 负极 {P（P）}_{0}$ ⁠所有连杆的耦合强度为 $K（K） = 24 / 19 \times {P（P）}_{0}$ ⁠.

八、。讨论

振荡器网络在自然界和技术中无处不在。从Kuramoto的开创性工作开始，对统计物理进行了大量研究²一直致力于大型网络中部分同步的开始。然而，在某些应用程序中，需要全局同步。特别是，在电网中，所有发电机必须以完全相同的频率运行，并且必须严格锁相，以确保稳定的电力流向客户。去同步通常会带来灾难性的后果。2006年11月欧洲停电事件就是一个例子。在一条输电线停运且试图恢复稳定运行失败后，欧洲电网分裂为三个相互异步的集群。²³最终，超过1000万用户被切断了电源。

本文分析了有限振子网络中稳定不动点的存在性。主要的方法进步是将计算分为两部分：首先，我们计算所有节点满足连续性方程的流量。然后，我们挑选出导致振荡器相位一致的具体解决方案。因此，我们将计算的重点从节点（阶段）转移到边缘（流）和循环。一个直接的后果是，几个固定点可以共存，它们因循环流量而异。因此，振荡器网络通常是多稳态的。

对于含有单圈的网络，我们得到了不动点数目的三个结构量的上下界：最大部分净功率 ${\bar{P（P）}}_{最大值}$ ⁠，测量功率注入或固有频率的均匀性以及沿循环的最大和最小边缘强度。我们发现，如果（a）周期长，（b）边缘强度大，以及（c）电源分布均匀，则稳定不动点的数量通常特别多。然而，第。四、天表明必须特别注意特殊网络拓扑。增加错误边的强度也可以减少固定点的数量。在一般网络拓扑中寻找稳定不动点数量的界要复杂得多。对于平面网络已经得到了结果，但对于具有单循环的网络，边界要弱得多。有趣的是，树型网络和全连接网络至多都有一个稳定的不动点。然而，对于电网来说，具有中间稀疏性的网络可能表现出多重稳定性，这是最现实的。

文献中已经讨论过多稳定性的几个方面。参考文献中讨论了隔离环的多重稳定性。38.限制(92)并对不同不动点的吸引域进行了数值研究。Taylor在参考文献中分析了密连通图的情况。41他能够证明，如果节点度至少为 $0.9395 \times (N个负极 1)$ ⁠.梅塔等。使用与本文类似的方法数值研究复杂网络中的多重稳定性。⁴³他们认为，固定点的数量与周期的数量成比例，因为每个周期都可以适应周期流。虽然这对许多图都有效，但也有反例（图。7). 德拉巴伊斯等。³⁷最近报道了他们使用循环流来处理多稳态。它们扩展了参考文献。38还包括沿边缘具有相位差的稳定不动点 $> π / 2$ ⁠。它们还导出了上限⁵¹对于平面图在所有节点处均匀功率注入的情况下的若干不动点。Xi（希）等。⁵⁵数值表明，功率注入的空间异质性P（P）_j个减少了不动点的数量，这与我们在推论3中的分析结果相吻合。有趣的是，他们还发现在异质环拓扑中，不动点的非线性稳定性随着环的大小而降低N个.

在这项工作中，我们获得了下限对于固定点的数量，因此提供了一个充分条件因为存在多重稳定性。此外，我们还证明了循环的长度N个_c（c）和同质性 ${\bar{P（P）}}_{最大值}$ 对多稳定性同样重要，因此不动点数量的界限比Ochab和Gora更紧³⁸和Delabays等。³⁷此外，我们还导出了无限传输强度极限下的标度定律，比之前报告的上限结果更严格。我们已经展示了导出的缩放行为，以匹配中等规模网络的数值计算精确结果。

有趣的是，我们的研究结果表明，Jadbabaie之前提出的一个备受认可的结果等。参考文献中。57不正确。作者声称，对于任何具有不同自然频率的Kuramoto振荡器网络，都存在一个K（K）_u个这样，对于 $K（K） > {K（K）}_{u个}$ 只有一个稳定的不动点。第2节中给出的示例反驳了这一说法。四、 C类以及推论3中关于多个不动点存在性的严格结果。参考文献证明中的错误。57是相当技术性的。作者定义了一个函数 $我$ 这样，固定点的定义方程(4)可以改写为

θ^{*} = 我 (θ^{*}) .

(129)

贾德巴比等。然后声称 $我$ 是以下子集的收缩 $θ$ 这样的话 $| θ_{我} 负极 θ_{j个} | < π / 2$ 用于所有边缘(我，j个)我们称之为正常操作。然后，巴拿赫收缩定理得出代数方程(129)有一个唯一的固定点。问题是 $我 (θ)$ 通常是不正常操作的子空间子集，即使域是。应用后 $我$ ⁠，一些相位差可能超出间隔 $[负极 π / 2 ， π / 2]$ ⁠因此，巴拿赫收缩定理无法应用，这破坏了证明。

九、结论

总之，我们以循环流作为流型的基础，分析了Kuramoto振荡器和二阶相位振荡器网络中锁相状态的存在性和稳定性，以模拟电网的相位动力学。我们证明了这样的系统具有多重稳定性。有趣的是，即使在电力工程教科书和关于Kuramoto振荡器的主要复杂网络参考中都认为存在唯一稳定工作点的情况下，也存在多稳态。^56,57对于一类网络拓扑，我们建立了多稳定性的充分必要条件，并导出了不动点个数的上下界。我们解释了为什么为任意拓扑推广这些边界是困难的。然而，我们在大循环极限下导出了渐近比例定律，发现该定律与数值上获得的精确结果密切匹配。

致谢

我们感谢联邦教育和研究部（BMBF批准号：03SF0472A-E）、亥姆霍兹协会（通过联合倡议“能源系统2050–研究领域能源的贡献”和D.W.批准号：VH-NG-1025）以及马克斯·普朗克学会对M.T.的支持。D.M.的工作得到了哥廷根IMPRS生物和复杂系统物理学的支持。

参考文献

1

C。

惠更斯

，

克里斯蒂安·惠更斯综合行动

(

马丁努斯·尼霍夫

，

荷兰海牙

，

1893

).

谷歌学者

2

年。

库拉莫托

，英寸

理论物理数学问题国际研讨会

，物理学卷讲义。

39

，编辑人

H。

荒木经惟

(

施普林格

，

纽约

，

1975

)，第页。

420

.

谷歌学者

交叉参考

三。

年。

库拉莫托

，

化学振荡、波浪和湍流

(

施普林格

，

柏林

，

1984

).

谷歌学者

交叉参考

4

英国。

维森菲尔德

，

第页。

科尔特

、和

S.H.公司。

斯特罗加茨

，

物理学。修订稿。

76

，

404

(

1996

).

https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.76.404

谷歌学者

交叉参考

公共医学

5

F、。

瓦雷拉

，

J.-P.公司。

拉绍

，

E.公司。

罗德里格斯

、和

J。

马提内利

，

国家神经科学评论。

2

，

229

(

2001

).

https://doi.org/10.1038/35067550

谷歌学者

交叉参考

公共医学

6

一、Z。

吻

，

年。

翟

、和

J·L·。

哈德逊

，

科学类

296

，

1676

(

2002

).

https://doi.org/10.1126/science.1070757

谷歌学者

交叉参考

公共医学

7

S.H.公司。

斯特罗加茨

，

物理学。D：非线性现象。

143

，

1

(

2000

).

https://doi.org/10.1016/S0167-2789(00)00094-4

谷歌学者

交叉参考

8

J.A.公司。

阿塞布隆

，

法律。

博尼拉

，

C.J.公司。

佩雷斯·文森特

，

F、。

Ritort公司

、和

R。

Spigler公司

，

修订版Mod。物理学。

77

，

137

(

2005

).

https://doi.org/10.103/RevModPhys.77.137

谷歌学者

交叉参考

9

答：。

竞技场

，

答：。

迪亚斯·吉莱拉

，

J。

库思

，

年。

莫雷诺

、和

C。

周

，

物理学。众议员。

469

，

93

(

2008

).

https://doi.org/10.1016/j.physrep.2008.09.002

谷歌学者

交叉参考

10

D。

维特豪特

和

M。

蒂姆

，

物理学。版本E

90

，

032917

(

2014

).

https://doi.org/10.103/PhysRevE.90.032917

谷歌学者

交叉参考

11

B。

Ermentrout公司

，

数学杂志。生物。

29

，

571

(

1991

).

https://doi.org/10.1007/BF00164052

谷歌学者

交叉参考

12

S.-Y.公司。

哈

，

E.公司。

Jeong（郑）

、和

M.-J.医学博士。

康

，

非线性

23

，

3139

(

2010

).

https://doi.org/10.1088/0951-7715/23/12/008

谷歌学者

交叉参考

13

S.H.公司。

斯特罗加茨

，

D.M.博士。

艾布拉姆斯

，

答：。

麦克罗比

，

B。

埃克哈特

、和

E.公司。

奥特

，

自然

438

，

43

(

2005

).

https://doi.org/10.1038/438043a

谷歌学者

交叉参考

公共医学

14

A.右。

卑尔根

和

D.J.博士。

希尔

，

IEEE传输。功率表观。系统。

PAS-100型

，

25

(

1981

).

https://doi.org/10.109/TPAS.1981.316883

谷歌学者

交叉参考

15

G.公司。

菲拉特雷拉

，

A.H.公司。

尼尔森

、和

N.F.公司。

佩德森

，

欧洲物理学。J·B

61

，

485

(

2008

).

https://doi.org/10.1140/epjb/e2008-00098-8

谷歌学者

交叉参考

16

M。

罗登

，

答：。

索尔吉

，

M。

蒂姆

、和

D。

维特豪特

，

物理学。修订稿。

109

，

064101

(

2012

).

https://doi.org/10.103/PhysRevLett.109.064101

谷歌学者

交叉参考

公共医学

17

答：E。

莫特

，

美国。

迈尔斯

，

M。

安格尔

、和

T。

西川

，

自然物理学。

9

，

191

(

2013

).

https://doi.org/10.1038/nphys2535

谷歌学者

交叉参考

18

F、。

德弗勒

，

M。

切尔科夫

、和

F、。

布洛

，

程序。国家。阿卡德。科学。

110

，

2005

(

2013

).

https://doi.org/10.1073/pnas.121234110

谷歌学者

交叉参考

19

M。

罗登

，

答：。

索奇

，

D。

维特豪特

、和

M。

蒂姆

，

混乱

24

，

013123

(

2014

).

https://doi.org/10.1063/1.4865895

谷歌学者

交叉参考

公共医学

20

B。

Schäfer公司

，

M。

马提亚

，

M。

蒂姆

、和

D。

维特豪特

，

新J.Phys。

17

，

015002

(

2015

).

https://doi.org/10.1088/1367-2630/17/1/015002

谷歌学者

交叉参考

21

M.E.J.医学博士。

纽曼

，

网络——简介

(

牛津大学出版社

，

牛津

，

2010

).

谷歌学者

交叉参考

22

D。

维特豪特

，

M。

罗登

，

X。

张

，

美国。

哈勒伯格

、和

M。

蒂姆

，

物理学。修订稿。

116

，

138701

(

2016

).

https://doi.org/10.103/PhysRevLett.116.138701

谷歌学者

交叉参考

公共医学

23

输电协调联盟

，https://www.entsoe.eu/fileadmin/user_upload/_library/publications/ce/otherreports/Final-Report-20070130.pdf系统干扰最终报告；2006年11月4日访问(

2007

).

24

美国。

瓦塔纳贝

和

S.H.公司。

斯特罗加茨

，

物理学。修订稿。

70

，

2391

(

1993

).

https://doi.org/10.103/PhysRevLett.70.2391

谷歌学者

交叉参考

公共医学

25

C。

自行车

，

M。

蒂姆

，

D。

保利卡特

，

D。

拉什利夫

、和

第页。

阿什温

，

物理学。修订稿。

107

，

244101

(

2011

).

https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.107.2444101

谷歌学者

交叉参考

公共医学

26

G.公司。

菲拉特雷拉

，

N.F.公司。

佩德森

、和

英国。

维森菲尔德

，

物理学。版本E

61

，

2513

(

2000

).

https://doi.org/10.103/PhysRevE.61.2513

谷歌学者

交叉参考

27

G.公司。

菲拉特菌属

，

N.F.公司。

佩德森

、和

英国。

维森菲尔德

，

物理学。版本E

75

，

017201

(

2007

).

https://doi.org/10.103/PhysRevE.75.017201

谷歌学者

交叉参考

28

美国。

古普塔

，

答：。

坎帕

、和

美国。

鲁福

，

《统计力学杂志》：理论实验。

2014

，

电话：08001

.

https://doi.org/10.1088/1742-5468/14/08/R08001

交叉参考

29

D。

曼尼克

，

D。

维特豪特

，

B。

Schäfer公司

，

M。

马提亚

，

答：。

索尔吉

，

M。

罗登

，

E.公司。

Katifori公司

、和

M。

蒂姆

，

欧洲物理学。J.规格顶部。

223

，

2527

(

2014

).

https://doi.org/10.1140/epjst/e2014-02274-y

谷歌学者

交叉参考

30

T。

科莱塔

和

第页。

提花

，

物理学。版本E

93

，

032222

(

2016

).

https://doi.org/10.103/PhysRevE.93.032222

谷歌学者

交叉参考

公共医学

31

L.G.公司。

卡津

和

E.公司。

Schnol公司

，

临界平衡态的稳定性

(

曼彻斯特大学出版社

，

1991

).

谷歌学者

32

C.J.公司。

塔沃拉

和

O.J.公司。

史密斯

，

IEEE传输。功率表观。系统。

PAS-91标准

，

1138

–

1144

(

1972

).

https://doi.org/10.109/TPAS.1972.293470

谷歌学者

交叉参考

33

E.公司。

Katifori公司

，

G·J。

谢尔西（Szöllősi）

、和

管理办公室。

马尼亚斯科

，

物理学。修订稿。

104

，

048704

(

2010

).

https://doi.org/10.103/PhysRevLett.104.048704

谷歌学者

交叉参考

公共医学

34

H。

罗内伦菲奇

，

M。

蒂姆

、和

D。

维特豪特

，

IEEE传输。电力系统。

32

，

1007

(

2016

).

https://doi.org/10.109/TPWRS.2016.2589464

谷歌学者

交叉参考

35

R。

迪斯特尔

，

图论

(

施普林格

，

纽约

，

2010

).

谷歌学者

交叉参考

36

C。

戈德西尔

和

G.F.公司。

罗伊尔

，

代数图论

(

施普林格科技与商业媒体

，

2013

)，卷。

207

.

谷歌学者

37

R。

德拉巴伊斯

，

T。

科莱塔

、和

第页。

提花

，

数学杂志。物理学。

57

，

032701

(

2016

).

https://doi.org/10.1063/1.4943296

谷歌学者

交叉参考

38

J。

奥恰布

和

第页。

戈拉

，

物理学报。波兰。序列号。B、程序。供应商。

三

，

453

(

2010

).

谷歌学者

39

D.A.博士。

威利

，

S.H.公司。

斯特罗加茨

、和

M。

吉尔万

，

混乱：磁盘间。非线性科学杂志。

16

，

015103

(

2006

).

https://doi.org/10.1063/1.2165594

谷歌学者

交叉参考

40

M。

狼

，

F、。

弗斯特雷特

、和

J。

西拉克

，

国际量子信息。

1

，

465

(

2003

).

https://doi.org/10.1142/S021974990300036X

谷歌学者

交叉参考

41

R。

泰勒

，

《物理学杂志》。A：数学。西奥。

45

，

055102

(

2012

).

https://doi.org/10.1088/1751-8113/45/055102

谷歌学者

交叉参考

42

F、。

爱奥尼亚（Ionita）

，

D。

拉巴维克语

，

文学硕士。

扎克斯

、和

H。

梅尔·奥特曼斯

，

欧洲物理学。J·B

86

，

511

(

2013

).

https://doi.org/10.1140/epjb/e2013-40998-8

谷歌学者

交叉参考

43

D。

梅塔

，

N。

达利奥

，

F、。

德弗勒

、和

J·D·。

豪恩斯坦

，

混乱

25

，

053103

(

2015

).

https://doi.org/10.1063/1.4919696

谷歌学者

交叉参考

公共医学

44

答：。

科萨克

，

IEEE传输。电源应用程序。系统。

PAS-91标准

，

1093

(

1972

).

https://doi.org/10.109/TPAS.1972.293463

谷歌学者

交叉参考

45

D。

维特豪特

和

M。

蒂姆

，

新J.Phys。

14

，

083036

(

2012

).

https://doi.org/10.1088/1367-2630/14/8/083036

谷歌学者

交叉参考

46

D。

维特豪

和

M。

蒂姆

，

欧洲物理学。J·B

86

，

377

(

2013

).

https://doi.org/10.1140/epjb/e2013-40469-4

谷歌学者

交叉参考

47

D。

布雷斯

，

为中解围

12

，

258

(

1968

).

https://doi.org/10.1007/BF01918335

谷歌学者

交叉参考

48

年。

努斯鲍姆

，预打印arXiv:1012.4767(

2010

).

49

L.R.公司。

福特

，Jr.（小）。和

D.R.公司。

富尔克森

，

网络中的流量

(

普林斯顿大学出版社

，

2015

).

谷歌学者

50

美国。

Mac Lane公司

，

芬丹。数学。

28

，

22

(

1937

).

谷歌学者

交叉参考

51

R。

Delabays公司

，

T。

科莱塔

、和

第页。

提花

，

数学杂志。物理学。

58

，

032703

(

2017

).

https://doi.org/10.1063/1.4978697

谷歌学者

交叉参考

52

P.J.公司。

门克

，

J。

海茨格

，

N。

马尔万

、和

J。

库思

，

自然物理学。

9

，

89

(

2013

).

https://doi.org/10.1038/nphys2516

谷歌学者

交叉参考

53

高-深。

蒋介石

，

F、。

吴

、和

第页。

瓦莱亚

，

IEEE传输。电路系统。

34

，

160

(

1987

).

https://doi.org/10.109/TCS.1987.1086115

谷歌学者

交叉参考

54

B。

Schäfer公司

，

M。

马提亚

，

X。

张

，

M。

罗登

，

M。

蒂姆

、和

D。

维特豪特

，

物理学。版本E

95

，

060203

(

2017

).

https://doi.org/10.103/PhysRevE.95.060203

谷歌学者

交叉参考

公共医学

55

英国。

Xi（希）

，

J·L·。

杜贝尔丹

、和

H.X.公司。

林

，

混乱：磁盘间。非线性科学杂志。

27

，

013109

(

2017

).

https://doi.org/10.1063/1.4973770

谷歌学者

交叉参考

56

答：。

贾德巴比

，

N。

汽车旅馆

、和

M。

巴拉奥纳

，英寸

2004年美国控制会议记录

（IEEE，

2004

)，卷。

5

，第页。

4296

–

4301

.

57

J。

马科斯基

，

J。

比亚莱克

、和

J。

邦比

，

电力系统动力学、稳定性和控制

(

约翰·威利父子公司

，

纽约

，

2008

).

谷歌学者

58

西。

陈

，

D。

王

，

J。

线路接口单元

，

T。

巴萨尔

，

K.H.公司。

约翰逊

、和

L。

邱

，

IFAC在线论文

49

(22),

97

–

102

(

2016

).

https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2016.10.379

谷歌学者

交叉参考

2017

作者

振荡网络中的循环流和多重稳定性

I.从KURAMOTO振荡器到电网

二、。不动点的性质和分支

三、循环流动和几何摩擦

A.流量守恒和动力学条件

B.绕组编号和几何条件

C.几何挫折

四、示例和应用

A.树木不会受挫

B.循环中的多种解决方案

C.挫折导致离散

D.布雷斯悖论

V.多重稳定性和不动点数量

A.动态条件

B.树状网络

C.循环流量和绕组矢量

D.简单循环

E.复杂网络

1.两个循环流相互破坏

2.创建两个循环流

F.平面网络

1.上限

2.渐近行为

3、二次循环网络

4.一般平面图

六、不稳定固定点

七、。计算所有固定点

八、。讨论

九、结论

致谢

参考文献

通过引用文章

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振荡网络中的循环流和多重稳定性

I.从KURAMOTO振荡器到电网

二、。不动点的性质和分支

三、 循环流动和几何摩擦

A.流量守恒和动力学条件

B.绕组编号和几何条件

C.几何挫折

四、 示例和应用

A.树木不会受挫

B.循环中的多种解决方案

C.挫折导致离散

D.布雷斯悖论

V.多重稳定性和不动点数量

A.动态条件

B.树状网络

C.循环流量和绕组矢量

D.简单循环

E.复杂网络

1.两个循环流相互破坏

2.创建两个循环流

F.平面网络

1.上限

2.渐近行为

3、二次循环网络

4.一般平面图

六、 不稳定固定点

七、。计算所有固定点

八、。讨论

九、 结论

致谢

参考文献

通过引用文章

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三、循环流动和几何摩擦

四、示例和应用

六、不稳定固定点

九、结论