当燃气轮机燃烧室在贫燃料条件下运行时，热声不稳定性和贫油熄火是面临的主要挑战。热声系统的动力学是子系统湍流反应流与燃烧室声场之间复杂非线性相互作用的结果。为了研究这样一个复杂系统中动力状态之间的转换，将对应于其中一个动力变量的时间序列转换为ε-递归网络。递归网络的拓扑类似于表示系统动力学的吸引子的结构。然后将热声系统中的跃迁捕获为网络拓扑特征的变化。我们证明了在燃烧噪声发生期间和贫油井喷前的低振幅非周期振荡期间，由时间序列构建的递归网络中存在幂律度分布。我们还证明了在热声不稳定性发生和间歇发生期间获得的时间序列构建的递归网络中不存在幂律度分布。我们证明，从递归网络导出的测量值可以用作捕捉湍流燃烧室中过渡的工具，也可以用作预测即将发生的热声不稳定性和井喷的预警措施。

话题
声学特性, 热声学, 声场, 内燃机, 信号处理, 图论, 概率论, 火焰动力学, 振荡流, 化学反应流

在贫燃料条件下运行的燃烧室极易受到热声不稳定性和贫放喷的影响。当燃烧室内的非定常热释放率与声场之间存在正反馈时，会发生高振幅的声波振荡。这种情况称为热声不稳定性。这些高振幅的声波振荡会增强壁面的传热，并对发动机造成结构损坏。当燃烧当量比降低到临界值以下时，燃烧室内的火焰不再存在，从而导致所谓的火焰爆燃。在过去的几十年里，人们进行了一些研究，以预测湍流燃烧室中的热声不稳定性和爆裂，并确定燃烧室中动力状态之间转换的动力学基础。子系统之间非线性相互作用的存在保证了热声系统是一个复杂的系统。子系统之间的这些相互作用还导致热声系统在发生称为燃烧噪声的非周期振荡期间出现多个时间尺度。本文将湍流燃烧室的声压时间序列数据转换为ε-递归网络。递归网络（RN）保留了吸引子的几何结构。吸引子的几何结构在动力学状态之间发生转换时发生改变。在本文中，我们研究了度分布随递归阈值的变化。我们还研究了湍流燃烧室中网络特性随当量比的变化。综上所述，我们表明RN可以作为一种工具来捕捉燃烧室内动力状态之间的转变。

当燃烧室内的非稳态热释放率与声场之间存在正反馈时，就会出现热声不稳定性。1热声不稳定性导致大幅度的声学振荡，这导致向壁的热传递增强，也导致发动机的结构损坏。面临的另一个挑战是火焰熄灭。当当量比（实际燃料空气比与化学计量燃料空气比的比值）降低到临界值以下时，火焰无法稳定并不再存在于燃烧室中，就会发生爆燃。在飞机上，井喷会导致产生的推力损失，火焰必须重新点燃。井喷也可能导致飞机高度突然下降。已经进行了各种研究，以预测即将发生的热声不稳定性和井喷。最近的研究表明，湍流燃烧室中的跃迁表现出丰富的动力学行为。2因此，迫切需要研究和表征湍流燃烧室中热声不稳定性和爆燃转变的动力学特征。

在许多湍流燃烧室中，当当量比从富燃料状态变为贫燃料状态时，燃烧噪声转变为热声不稳定性，热声不稳定转变为贫爆燃。燃烧噪声由燃烧室稳定运行期间发生的低振幅非周期压力振荡组成。托尼等。三结果表明，燃烧噪声具有高维混沌信号的特征，并被白噪声和有色噪声所污染，使用了大量的工具来确定确定性。奈尔等。4提出从燃烧噪声到热声不稳定性的转变可以看作是从混沌状态到有序状态的转变。在随后的工作中，Nair和Sujith5据报道，燃烧噪声具有复杂的标度行为，并使用多重分形谱对其进行了表征。此外，他们报告了热声不稳定性开始时信号中的多重分形损失。奈尔和苏吉特5证明了Hurst指数，一种时间序列分形维数的度量，可以用作预测热声不稳定性的前兆。奈尔等。6此外，燃烧噪声向热声不稳定性的转变是通过间歇性发生的，间歇性是一种由低振幅非周期振荡中的大振幅周期振荡爆发组成的状态。

从燃烧噪声过渡到热声不稳定性后，当量比进一步降低，从热声不稳定过渡到贫放喷。这种从热声不稳定性到贫放喷的转变表现出丰富的动力学行为。草药医生等。7,8在层流预混燃烧中检测到井喷前的间歇性。Gotoda公司等。9研究了从燃烧不稳定到井喷的转变，并检测到在贫油井喷前重构相空间中存在多重分形特征。在随后的工作中，Gotoda等。10证明了平移误差和置换熵等各种非线性量可以作为井喷预测的预警信号。扩大Nair和Sujith的工作，5Unni和Sujith11对贫油井喷前的振荡进行了多重分形描述，从而为研究燃烧噪声到热声不稳定性再到井喷的转变提供了统一的框架。他们认为赫斯特指数可能是井喷的前兆。

声场、水动力场和非定常燃烧之间的非线性相互作用导致燃烧室内从燃烧噪声（混沌）到热声不稳定性（有序）的不同动力学状态，这表明热声系统可以被视为一个复杂系统。在复杂系统中，组件之间的相互作用是非线性的，因此系统的集体行为不同于其各自行为的总和。这些组件可以自组织并表现出一致的行为。12这是指在复杂系统中出现的一种现象。13我们假设，燃烧噪声（混沌）引起的热声不稳定性（有序）的出现以及热声不稳定发生期间出现的离散尺度，与燃烧噪声发生期间存在的多尺度相比，可能是由于系统中的自组织。监控单个元素的传统简化方法不再足以描述复杂系统的紧急行为。14 

复杂网络用于研究复杂系统15–17因为它们有助于理解连接模式。复杂的网络包括节点和链路。节点表示系统的组件，链接表示这些组件之间的交互。从网络中导出的拓扑和度量可以用来描述复杂系统的定性和定量行为。系统动力学的变化反映在网络的拓扑结构中。从复杂网络中导出的度量可以用于分析复杂系统中动力学状态之间的转换。18物理系统的潜在动力学保存在时间序列数据中。因此，为了研究复杂系统，将来自此类系统的时间序列数据转换为复杂网络。对网络结构建模对于理解系统的潜在动态至关重要。已经设计了许多方法来将时间序列转换为复杂网络。19–22斯特罗齐等。23已经表明，时间序列可以转换为复杂网络，反之亦然。

Murugesan和Sujith24引入复杂网络来分析热声系统的动力学状态。他们使用可见性算法将时间序列转换为复杂网络。25可见性算法将时间序列的数据点视为一个节点。如果满足可见性条件，则连接两个节点。（连接两个数据点的线不应与中间数据点的高度相交。）他们检测到燃烧噪声发生期间的无标度行为和热声不稳定性开始时的规律性。此外，穆鲁格桑和苏吉思26显示了从复杂网络中导出的数量，如特征路径长度（CPL）（表示从一个节点到达另一个节点所需的最小步数的平均值）、聚类系数（提供节点的局部聚类或收缩性的度量），网络直径（网络中两个节点之间的最大距离）和全局效率（网络中一个节点与其他节点的连接效率）可以用作预测热声不稳定性和爆裂发生的前兆。

在使用可见性算法将时间序列转换为复杂网络时，与吸引子的几何和结构相关的信息会丢失。为了保持吸引子的几何特征，我们使用ε–递归网络（RN）。RN保留与吸引子几何体相关的信息。此外，由于递归是任何确定性动力系统的基本特性，因此使用递归网络从时间序列构建复杂网络的基本原理比可见性网络更自然、更简单。27 

RN并不明确依赖于时间相关性。因此，RN比其他考虑时间相关性的方法更稳健，如去趋势波动分析，28在系统中存在外部噪音的情况下。29从时间序列构造RN所需的数据点数量少于计算Lyapunov指数所需的数量。因此，与Lyapunov指数相比，当时间序列更短时，由RN导出的度量非常适合区分混沌状态和周期状态。29 

在我们目前的工作中，我们从湍流燃烧室获得的声压时间序列构造RN。重现阈值由Jacob提出的方法选择等。,30它决定了ε因此，复发阈值的选择不是任意的。我们证明了RN保持了吸引子的几何结构，因此在湍流燃烧室中为各种动力状态构建的RN的拓扑结构是不同的。我们研究了RN的度分布随ε我们继续研究RN测量值随等效比的变化，以分析热声不稳定性和井喷的转变。据我们所知，这是RN首次应用于研究热声不稳定性和井喷。

在第。二，我们描述了将时间序列转换为ε–递归网络。第节描述了实验装置。三结果见第。四、最后，第。V（V）.

有几种方法可以从时间序列生成复杂网络；ε–递归方法就是其中之一。在这种方法中，我们利用Takes嵌入定理计算相空间重构后相空间向量的递推。31离散采样实验时间序列x个(1),x个(2),…x个(N个吨)嵌入到M（M）-使用适当的时间延迟的维度相位空间，其中N个吨是时间序列中的总点数。延迟向量由下式给出

(1)

在本文中，嵌入维数M（M）使用Cao的算法选择。32选择平均互信息的第一个最小值作为从离散采样时间序列计算延迟向量的时间延迟。

A状态（相空间矢量）X（X）(吨我)如果有吨我和吨j个这样的话d日(X（X）(吨我),X（X）(吨j个)) < ε，其中d日(X（X）(吨我),X（X）(吨j个))是相空间矢量之间的距离X（X）(吨我)和X（X）(吨j个)，使用欧几里德范数计算ε是重复阈值。相空间中递归的结构编码在递归矩阵中，33,34

(2)

在这里，θ是Heaviside函数。

我们只考虑递归网络中的空间相关性。为了从时间序列中构造递归网络，我们使用邻接矩阵A类我,j个使用递归矩阵计算R（右）我,j个根据关系27 

(3)

哪里A类我,j个是邻接矩阵δ我,j个是Kronecker三角洲。δ我,j个 = 1何时我= j个和δ我,j个 = 0时我≠ j。

邻接矩阵提供有关节点及其之间连接的信息。如果A类我,j个 = 1，然后是节点i、 j个连接，这意味着状态空间向量接近于递归阈值ε在相空间中。

与描述吸引子几何特性的RN测度相比，由递归矩阵导出的测度表征了相空间轨迹的动力学特性。动力学特性表征了系统的动力学，即规则或不规则动力学，而几何特性表征了重构相空间的几何和结构。递归网络从复杂网络理论中提供了额外的度量来表征吸引子的几何特性。因此，RN为时间序列分析提供了更多工具。35 

构造网络的一个关键参数是递归阈值ε。如果阈值非常大，网络会变得非常密集，因为有太多的链接会导致错误重复出现。另一方面，如果重复阈值太小，则网络会分解为相互脱节的组件。因此，网络特征可能变得模糊。嵌入后，吸引子的大小取决于信号的范围。将时间序列数据转换为均匀偏差。因此，吸引子大小被重新调整为区间[0，1]。

生成一个随机时间序列，并选择嵌入维数与从燃烧室获得的声压时间序列的嵌入维数相同。然后根据声压时间序列数据和随机时间序列构建递归网络。特征路径长度(CPL公司)对于由声压时间序列数据和随机时间序列构建的网络，计算了两个节点之间最短路径的平均值。以下内容的简要描述CPL公司第。II B类. TheCPL公司根据燃烧噪声期间获得的时间序列构建的RN随着阈值的增加而减小ε1（图。1). 当阈值为ε1，然后形成一个节点簇。因此，阈值的进一步增加会导致CPL公司随着每个节点度数的增加。当重复阈值大于ε2，的CPL公司燃烧噪声对应的时间序列与随机时间序列几乎相同。这是由于错误的复发。因此，递归阈值的上限和下限固定为ε1 = 0.2和ε2 = 分别为0.4。我们使用ε = 0.25对于我们目前的工作ε高于下限阈值可以确保网络没有断开连接的节点。具有阈值ε低于上阈值还确保了由声压的时间序列构建的RN不同于由随机时间序列构建的RN。

图1。
图1。由随机时间序列和对应于燃烧噪声的时间序列构造的具有阈值的递归网络的特征路径长度（CPL）的变化。燃烧噪声对应的时间序列嵌入在M=10维中，随机时间序列也嵌入在同一维中。
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特征路径长度的变化(CPL公司)由随机时间序列和与燃烧噪声相对应的时间序列构造的具有阈值的递归网络。燃烧噪声对应的时间序列嵌入M（M） = 10个维度，随机时间序列也嵌入在同一个维度中。

图1。
图1。由随机时间序列和对应于燃烧噪声的时间序列构造的具有阈值的递归网络的特征路径长度（CPL）的变化。燃烧噪声对应的时间序列嵌入在M=10维中，随机时间序列也嵌入在同一维中。
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特征路径长度的变化(CPL公司)由随机时间序列和与燃烧噪声相对应的时间序列构造的具有阈值的递归网络。燃烧噪声对应的时间序列嵌入M（M） = 10个维度，并且随机时间序列也嵌入在同一维度中。

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在第小节中。II B类，我们简要描述了由RN导出的度量，如度分布、特征路径长度和中间中心度，这些度量用于分析热声系统中的跃迁。

从邻接矩阵计算以下度量A类，对与每个节点的连接性相关的信息进行编码。36 

1.学位分布

度分布是绘制在P（P）(k个)和k个哪里P（P）(k个)是给定节点具有学位的概率k个.P（P）(k个)由提供n个(k个)/N个哪里n个(k个)是具有度的节点数k个和N个是节点的总数。节点的阶数k个我表示节点的连接性。节点的阶数我是中所有元素的总和我由于RN的拓扑结构类似于吸引子的结构，节点的局部连通性与吸引子局部相空间密度有关。36因此，度分布的变化反映了吸引子上局部相空间密度的变化。

2.中间中心性

中间中心度计算通过顶点（节点）的最短路径的分数

(4)

哪里σ̂我,j个给出两个节点之间最短路径的数目我和j个.σ̂我,j个(v（v）)给出节点之间的最短路径数我和j个通过节点的v（v）.节点之间的最短路径我,j个通过计算两个节点之间所有路径长度的最小值来计算我,j个在由邻接矩阵表示的网络中。中间中心性决定了连接两个高相空间密度区域的瓶颈节点或相空间密度低的区域。

3.特征路径长度

特征路径长度是两个节点之间最短路径长度的平均值

(5)

哪里d日我,j个是一对节点之间最短路径的长度(i、 j个)，这只是节点之间的最小链接数我和节点j个。我们在计算时不考虑断开连接的节点CPL公司.

实验装置的示意图如图所示。2本文分析的声压时间序列是从作为火焰稳定机构的钝体后向阶梯燃烧室获得的。燃烧室的横截面积为90×90 mm2钝体是直径为47 mm、厚度为10 mm的圆盘。钝体位于燃烧室内距倾卸平面50 mm的位置。用作燃料的液化石油气（LPG）在钝体上游120 mm处喷射。位于卸载平面的火花塞用于点火。质量流量控制器的不确定度为±（读数的0.8%+满量程的0.2%）。使用PCB106B50压电传感器进行压力测量，该传感器位于距离后向台阶90 mm处，不确定度为±0.15 Pa。压力测量以10 kHz的频率进行采样，燃料流速为1.04 g/s。Unni和Sujith对实验装置进行了详细描述，11Nair和Sujith。5 

图2。
图2。实验装置示意图。
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实验装置示意图。

图2。
图2。实验装置示意图。
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实验装置示意图。

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我们观察到从燃烧噪声到热声不稳定性，然后到稀喷的转变，作为当量比(⁠ϕ⁠)多种多样。我们改变了当量比(⁠ϕ⁠)从0.98到0.29。当当量比接近1时，我们观察到燃烧噪声，当当量比达到0.29时，发生井喷。图中绘制了不同当量比的声压时间序列。三当当量比为0.98时，我们观察到由非周期波动组成的燃烧噪声[图。3（a）]. 当当量比为0.8时，我们观察到间歇性[图。3（b）]它由非周期振荡中的大幅度周期波动组成。当量比降至0.77[图。3（c）]，间歇爆发的数量增加，当当量比进一步降低到0.74时，可以看到周期振荡的开始[图。3（d）]. 当当量比进一步降低到0.5时，我们观察到热声不稳定性[图。3（e）]. 当等效比进一步降低到0.47时，我们观察到图。3（f）等效比进一步降低到0.44，间歇性周期性爆发的振幅和持续时间也降低了[图。3（克）]. 当等效比降至0.29时，我们观察到低振幅非周期振荡[图。3（小时）]. 如果我们进一步降低当量比，火焰就会熄灭。

图3。
图3。不同当量比（a）0.98、（b）0.8、（c）0.77、（d）0.74、（e）0.5、（f）0.47、（g）0.44和（h）0.29的声压时间序列。声压振幅按间隔[0,1]缩放。
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不同当量比（a）0.98、（b）0.8、（c）0.77、（d）0.74、（e）0.5、（f）0.47、（g）0.44和（h）0.29的声压时间序列。声压振幅按间隔[0,1]缩放。

图3。
图3。不同当量比（a）0.98、（b）0.8、（c）0.77、（d）0.74、（e）0.5、（f）0.47、（g）0.44和（h）0.29的声压时间序列。声压振幅按间隔[0,1]缩放。
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不同当量比（a）0.98、（b）0.8、（c）0.77、（d）0.74、（e）0.5、（f）0.47、（g）0.44和（h）0.29的声压时间序列。声压振幅按间隔[0,1]缩放。

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因此，当我们从燃烧噪声发展到热声不稳定性时，信号的周期性增加。我们还观察到，当当量比进一步降低时，在从热声不稳定性到贫放喷的过渡过程中，信号的周期性降低。当当量比进一步降低时，在贫油井喷之前，时间序列信号的周期性将丢失。这可以从时间序列（FFT）的功率谱中看出。Unni和Sujith绘制了相同压力时间序列的功率谱。37在燃烧噪声期间，没有主频，当我们接近热声不稳定性时，主频约为120 Hz。当我们接近贫油井喷极限时，周期性消失，时间序列信号中没有主频。此外，Unni和Sujith37观察到随着当量比的变化，主频略有变化，这归因于火焰动力学的变化。

从递归矩阵获得的邻接矩阵表示网络的拓扑。图4表示对应于湍流燃烧室中各种动力学状态的网络拓扑。使用Gephi可视化网络拓扑(https://gephi.org/)软件。图4（a）表示燃烧噪声的网络拓扑。图4（b）表示热声不稳定性之前间歇性的网络拓扑。图4（c）表示热声不稳定性的网络拓扑。吸引子的结构是热声不稳定性的极限环，因为声压的时间序列是周期性的。图4（d）表示热声不稳定后间歇的网络拓扑。热声不稳定性之前间歇所对应的吸引子不同于热声不稳定之后的间歇吸引子。这是因为，与热声不稳定性之前间歇期间的周期性爆发相比，间歇期间发生的周期性突发持续时间更长。图4（e）表示贫油井喷前非周期振荡的网络拓扑。我们可以观察到网络拓扑类似于吸引子的几何结构。因此，我们可以重申RN保留吸引子的几何结构。图4（f）表示白噪声的网络拓扑。我们观察到，对应于声压时间序列的吸引子与对应于白噪声的吸引器有显著不同。我们还可以观察到，网络中的节点对应于燃烧噪声的节点[图。4（a）]以及井喷前的低振幅非周期振荡[图。4（e）]与网络中节点对应的间歇性和热声不稳定性程度相比，其程度较低。与根据声压时间序列构建的RN相比，网络中节点对应白噪声的程度非常低。

图4。
图4。根据等效比（a）0.98（燃烧噪声），（b）0.8（热声不稳定性之前的间歇），（c）0.5（热声稳定性），（d）0.47（热声失稳之后的间歇）的声压时间序列构建的递归网络拓扑，（e）0.29（稀喷前的振荡）和（f）白噪声。网络由2000个数据点构成，递归阈值为0.25。颜色栏显示颜色随节点度数的变化。该图重申了RN保留了吸引子的几何结构。
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根据等效比（a）0.98（燃烧噪声），（b）0.8（热声不稳定性之前的间歇），（c）0.5（热声稳定性），（d）0.47（热声失稳之后的间歇）的声压时间序列构建的递归网络拓扑，（e）0.29（稀喷前的振荡）和（f）白噪声。网络由2000个数据点构成，重现阈值为0.25。颜色栏显示颜色随节点度数的变化。该图重申了RN保留了吸引子的几何结构。

图4。
图4。根据等效比（a）0.98（燃烧噪声），（b）0.8（热声不稳定性之前的间歇），（c）0.5（热声稳定性），（d）0.47（热声失稳之后的间歇）的声压时间序列构建的递归网络拓扑，（e）0.29（稀喷前的振荡）和（f）白噪声。网络由2000个数据点构成，重现阈值为0.25。颜色栏显示颜色随节点度数的变化。该图重申了RN保留了吸引子的几何结构。
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由等效比（a）0.98（燃烧噪声）、（b）0.8（热声不稳定性之前的间歇性）、（c）0.5（热声不稳定性）、（d）0.47（热声不稳定性之后的间歇性）、（e）0.29（稀喷前的振荡）和（f）白噪声。网络由2000个数据点构成，重现阈值为0.25。颜色条显示了颜色随节点程度的变化。该图重申了RN保留了吸引子的几何结构。

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我们说度分布遵循幂律，如果P（P）(k个) = k个–γ，其中γ是幂律指数。我们研究了日志(P（P）(k个))与日志(k个)具有重复阈值，ε = 0.2、0.25、0.3和0.35，用于根据不同动力学状态下的声压时间序列数据构建的RN。

数字5和6描述燃烧噪声期间获取的时间序列构造的RN的度分布变化(⁠ϕ=0.98⁠)以及贫放喷前的非周期性振荡(⁠ϕ=0.29⁠). 我们可以观察到，度分布对于阈值0.2、0.25遵循幂律。随着阈值的增加，度分布的很大一部分不遵循幂律。从理论上讲，如果整个分布遵循幂律，即不应有任何离群值，那么就存在幂律。当我们考虑来自实际系统的时间序列时，整个度分布可能不遵循幂律。我们需要考虑一些异常值。在我们目前的工作中，如果度分布中90%以上的点遵循幂律，我们认为度分布遵循幂律。数字7,8、和9描述由热声不稳定前间歇期间获取的时间序列构建的RN度分布的变化(⁠ϕ=0.8⁠)，在热声不稳定性期间(⁠ϕ=0.5⁠)以及在热声不稳定性之后的间歇期间(⁠ϕ=0.47⁠). 我们可以看到，对于任何选定的阈值，度分布都不遵循幂律。

图5：。
图5：。对数（P（k））与递归网络对数（k）的变化，递归网络由对应于燃烧噪声的时间序列（=0.98）构成，其不同阈值分别为ε=0.2、0.25、0.3和0.35。我们可以看到，幂律在较低阈值下非常重要。
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的变化日志(P（P）(k个))对日志(k个)由燃烧噪声对应的时间序列构造的递归网络(⁠ϕ=0.98⁠)具有各种阈值ε = 分别为0.2、0.25、0.3和0.35。我们可以看到，幂律在较低阈值下非常重要。

图5：。
图5：。对数（P（k））与递归网络对数（k）的变化，递归网络由对应于燃烧噪声的时间序列（=0.98）构成，其不同阈值分别为ε=0.2、0.25、0.3和0.35。我们可以看到，幂律在较低的阈值下是显著的。
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的变化日志(P（P）(k个))与日志(k个)由燃烧噪声对应的时间序列构造的递归网络(⁠ϕ=0.98⁠)具有各种阈值ε = 分别为0.2、0.25、0.3和0.35。我们可以看到，幂律在较低阈值下非常重要。

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图6。
图6。根据贫放喷前低振幅非周期振荡对应的时间序列构建的递归网络的对数（P（k））与对数（k）的变化。不同阈值ε分别为0.2、0.25、0.3和0.35。度分布的宽度较小，幂律对于较低的阈值非常显著。
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的变化日志(P（P）(k个))与日志(k个)由贫井喷前低振幅非周期振荡对应的时间序列构建的递归网络。(⁠ϕ=0.29⁠)具有各种阈值ε = 分别为0.2、0.25、0.3和0.35。度分布的宽度较小，幂律对于较低的阈值非常显著。

图6。
图6。根据贫放喷前低振幅非周期振荡对应的时间序列构建的递归网络的对数（P（k））与对数（k）的变化。不同阈值ε分别为0.2、0.25、0.3和0.35。程度分布的宽度较小，并且幂律对于较低的阈值是显著的。
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的变化日志(P（P）(k个))与日志(k个)由贫井喷前低振幅非周期振荡对应的时间序列构建的递归网络。(⁠ϕ=0.29⁠)具有各种阈值ε = 分别为0.2、0.25、0.3和0.35。度分布的宽度较小，幂律对于较低的阈值非常显著。

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图7。
图7。对数（P（k））与回归网络对数（k）的变化，回归网络由对应于热声不稳定性之前间歇的时间序列构建而成，不同阈值分别为ε=0.2、0.25、0.3和0.35。我们可以看到，度分布不遵循幂律。
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的变化日志(P（P）(k个))与日志(k个)由热声不稳定性之前的间歇时间序列构造的递归网络(⁠ϕ=0.8⁠)具有各种阈值ε = 分别为0.2、0.25、0.3和0.35。我们可以看到，度分布不遵循幂律。

图7。
图7。对数（P（k））与回归网络对数（k）的变化，回归网络由对应于热声不稳定性之前间歇的时间序列构建而成，不同阈值分别为ε=0.2、0.25、0.3和0.35。我们可以看到，度分布不遵循幂律。
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的变化日志(P（P）(k个))与日志(k个)由热声不稳定性之前的间歇时间序列构造的递归网络(⁠ϕ=0.8⁠)具有各种阈值ε = 分别为0.2、0.25、0.3和0.35。我们可以看到，度分布不遵循幂律。

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图8。
图8。对数（P（k））与递归网络对数（k）的变化，递归网络由对应于燃烧不稳定性的时间序列（=0.5）构成，不同阈值分别为ε=0.2、0.25、0.3和0.35。我们可以看到，学位分布并不遵循幂律。
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的变化日志(P（P）(k个))与日志(k个)由燃烧不稳定性时间序列构造的递归网络(⁠ϕ=0.5⁠)具有各种阈值ε = 分别为0.2、0.25、0.3和0.35。我们可以看到，度分布不遵循幂律。

图8。
图8。对数（P（k））与递归网络对数（k）的变化，递归网络由对应于燃烧不稳定性的时间序列（=0.5）构成，不同阈值分别为ε=0.2、0.25、0.3和0.35。我们可以看到，度分布不遵循幂律。
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的变化日志(P（P）(k个))与日志(k个)由燃烧不稳定性时间序列构造的递归网络(⁠ϕ=0.5⁠)具有各种阈值ε = 分别为0.2、0.25、0.3和0.35。我们可以看到，度分布不遵循幂律。

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图9：。
图9：。对数（P（k））与递归网络对数（k）的变化，递归网络由对应于间歇（=0.47）的时间序列构成，不同阈值分别为ε=0.2、0.25、0.3和0.35。我们可以看到，对于这些阈值，度分布不遵循幂律。
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的变化日志(P（P）(k个))与日志(k个)由对应于间歇性的时间序列构建的递归网络(⁠ϕ=0.47⁠)具有各种阈值ε = 分别为0.2、0.25、0.3和0.35。我们可以看到，对于这些阈值，度分布不遵循幂律。

图9：。
图9：。对数（P（k））与递归网络对数（k）的变化，递归网络由对应于间歇（=0.47）的时间序列构成，不同阈值分别为ε=0.2、0.25、0.3和0.35。我们可以看到，对于这些阈值，度分布不遵循幂律。
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的变化日志(P（P）(k个))与日志(k个)由间歇时间序列构造的递归网络(⁠ϕ=0.47⁠)具有各种阈值ε = 分别为0.2、0.25、0.3和0.35。我们可以看到，对于这些阈值，度分布不遵循幂律。

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动力系统相空间矢量的长期分布（不变测度）与概率分布有关38不变量测度的。状态在相空间中特定位置停留的时间可以与该位置的不变密度相关联。因此，概率分布可以与吸引子上的不变密度分布相关联。度分布决定了节点的局部连通模式。由于递归网络保持了吸引子的几何结构，因此吸引子上的度分布和不变密度之间存在直接映射。39因此，幂律在度分布中的存在可以归因于幂律在不变密度函数中的存在。严格意义上，如果不变密度函数在某些状态下具有幂律峰值X（X）0，即表单的（f）(X（X）−X（X）0)−λ⁠，对一些人来说λ > 0，然后X（X）0是一个奇点。一般情况下，如果不变密度函数在状态下接近幂律X（X）0，这导致了学位分布的幂律。相空间中的不变密度在奇异点附近最大；因此，靠近奇异点的相空间轨迹趋于收敛，且递归率将更接近奇异点。与远离奇异点的节点相比，靠近奇异点的点具有非常高的程度。

我们观察到，与燃烧噪声相对应的RN度分布中存在幂律，并且稀喷前的振荡仅在0.2和0.25等较低阈值时显著。这是因为阈值对应于相空间中重构吸引子上的局部相关性。我们可以说，对于较高的阈值，作为局部属性的奇异性被过多的链接所掩盖。不变密度随递归阈值的变化而变化，因此幂律指数也随阈值变化。还有，雅各布等。39已有报道称，具有连续不变密度函数的混沌吸引子的递归网络不表现出无标度拓扑。由于RN中存在与燃烧噪声相对应的幂律度分布和稀喷前的振荡，我们可以说，当使用0.2和0.25等较低阈值时，与燃烧噪声和稀喷之前的振荡相对应的吸引子上的不变密度分布具有奇点。

我们继续使用特征路径长度和RN导出的中间中心度等测量方法来确定即将从燃烧噪声过渡到稀喷。

对于从声压时间序列构建RN，我们考虑ε = 0.25用于计算网络的拓扑度量，作为阈值确保网络中存在单个组件而没有任何断开的节点。重复阈值ε还确保根据燃烧噪声对应的时间序列构建的RN与根据随机过程（白噪声）构造的RN不同。

对于大多数递归网络P（P）(k个)和k个取决于用于构建RN的数据点数量。度分布随着数据点数量的增加而向右移动(N个)随着平均度数的增加，用于构建RN的N个。为了避免这种依赖N个，在重新缩放的变量之间绘制图形P（P）(k个)N个和确定/否30对于图中所示的各种当量比。10.数字10（a）到10（e）分别对应于燃烧噪声、热声不稳定性前的间歇、热声稳定性、热声失稳后的间歇和稀喷前的振荡的度分布。图10（e）对应于白噪声对应的网络中的度分布。为了提供与燃烧噪声和稀喷前的振荡相对应的度分布的生动变化，图中绘制了放大视图。10（克）和10（小时）分别是。

图10。
图10。由等效比为0.98（燃烧噪声）的声压时间序列数据构建的RN的度分布变化；（b） 0.8（热声不稳定性前的间歇性）；（c） 0.5（热声不稳定性）；（d） 0.47（热声不稳定性后的间歇性）；（e） 0.29（贫油井喷前的振荡）；以及（f）白噪声。当ε=0.25时，RN中没有连接，因此白噪声对应的度分布中只有一个点（横坐标为零）。图中显示了（g）燃烧噪声和（h）稀喷前振荡度分布的放大视图，以便清楚地看到度分布。我们使用了N=10000个数据点，ε=0.25。
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由等效比为0.98（燃烧噪声）的声压时间序列数据构建的RN的度分布变化；（b） 0.8（热声不稳定性前的间歇性）；（c） 0.5（热声不稳定性）；（d） 0.47（热声不稳定性后的间歇性）；（e） 0.29（贫油井喷前的振荡）；和（f）白噪声。当RN中没有连接时，对应于白噪声的度分布中只有一个点（横坐标为零）ε = 0.25. 图中显示了（g）燃烧噪声和（h）稀喷前振荡度分布的放大视图，以便清楚地看到度分布。我们使用N个 = 10000个数据点和ε = 0.25.

图10。
图10。由等效比为0.98（燃烧噪声）的声压时间序列数据构建的RN的度分布变化；（b） 0.8（热声不稳定性前的间歇性）；（c） 0.5（热声不稳定性）；（d） 0.47（热声不稳定性后的间歇性）；（e） 0.29（贫油井喷前的振荡）；和（f）白噪声。当ε=0.25时，RN中没有连接，因此白噪声对应的度分布中只有一个点（横坐标为零）。图中显示了（g）燃烧噪声和（h）稀喷前振荡度分布的放大视图，以便清楚地看到度分布。我们使用了N=10000个数据点，ε=0.25。
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由等效比为0.98（燃烧噪声）的声压时间序列数据构建的RN的度分布变化；（b） 0.8（热声不稳定性前的间歇性）；（c） 0.5（热声不稳定性）；（d） 0.47（热声不稳定性后的间歇性）；（e） 0.29（贫油井喷前的振荡）；和（f）白噪声。当RN中没有连接时，对应于白噪声的度分布中只有一个点（横坐标为零）ε = 0.25. 图中显示了（g）燃烧噪声和（h）稀喷前振荡度分布的放大视图，以便清楚地看到度分布。我们使用N个 = 10000个数据点和ε = 0.25.

关闭模态

当等效比从0.98降至0.5时，度分布向右移动。与热声不稳定性相对应的RN的程度分布[图。10（c）]集中度较高，表明连接程度较高。因此，这些位置的相空间密度高于吸引子。我们还可以在图中看到。10（c）有一个突出的山峰。度分布中的这种峰值集中在较高的度上，对应于周期信号。40这再次证明了热声不稳定性是周期性的。对应的度分布ϕ=0.47[图。10（d）]度分布具有多个峰值，且度分布较广。类似地，对应于当量比的度分布ϕ=0.8[图。10（b）]也广泛传播。这意味着吸引子上的相空间密度存在较大波动。在间歇状态下，非周期振荡中存在较大幅度的周期性波动，从而导致吸引子上局部相空间密度的波动。

我们观察到，当我们将等价比从ϕ=0.5到ϕ=0.29⁠，并向较低程度集中。这意味着，根据贫井喷前的时间序列数据构建的RN链接密度较小。随着热声不稳定性向井喷的转变，信号中周期性爆发的持续时间缩短。由于复发率较小，相空间密度较小，当热声不稳定性转变为井喷时，导致度分布向左偏移。因此，复发率降低，节点的平均程度也降低。

与稀喷之前的振荡相对应的RN中度分布的峰值集中在与燃烧噪声相对应的较低程度上（图。10). 由于度分布可以映射到相空间密度，因此对于贫油井喷之前的振荡，相空间中的平均密度较小。这导致井喷前振荡的重现性较低。我们还观察到，对应于白噪声的RN中所有节点的阶数为零[图。10（f）]. 这是因为使用阈值从白噪声构建的RN中的节点之间没有连接ε = 0.25（图。1).

图11显示了CPL公司具有等效比。CPL公司对应热声不稳定性的RN最小，对应井喷前振荡的RN最大。CPL公司测量两个节点之间的空间距离，这两个节点只不过是两个状态。对于周期信号，相位空间中的重复次数较多，因此两个节点之间的最短路径较少CPL公司热声不稳定性最小。CPL公司与热声不稳定性相比，由于平均程度和复发率较小。

图11：。
图11：。CPL随当量比的变化。与燃烧噪声相对应的RN的CPL较高，并且随着热声不稳定性的接近而降低。当我们接近贫油井喷极限时，CPL再次增加。CPL随动力状态而变化。因此，CPL可用于检测从燃烧噪声到热声不稳定性的转变，以及从热声不稳定到稀喷的转变。我们使用了N=5000个数据点，ε=0.25。
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变更CPL公司具有等效比。CPL公司相对燃烧噪声而言，RN较高，并且随着热声不稳定性的接近而降低。CPL公司当我们接近贫油井喷极限时再次增加。CPL公司随动力状态而变化。因此，CPL公司可用于检测从燃烧噪声到热声不稳定性的过渡，以及从热声不稳定到稀喷的过渡。我们使用N个 = 5000个数据点和ε = 0.25.

图11：。
图11：。CPL随当量比的变化。与燃烧噪声相对应的RN的CPL较高，并且随着热声不稳定性的接近而降低。当我们接近贫油井喷极限时，CPL再次增加。CPL随动力状态而变化。因此，CPL可用于检测从燃烧噪声到热声不稳定性的转变，以及从热声不稳定到稀喷的转变。我们使用了N=5000个数据点，ε=0.25。
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变更CPL公司具有等效比。CPL公司相对燃烧噪声而言，RN较高，并且随着热声不稳定性的接近而降低。CPL公司当我们接近贫油井喷极限时再次增加。CPL公司随动力状态而变化。因此，CPL公司可用于检测从燃烧噪声到热声不稳定性的过渡，以及从热声不稳定到稀喷的过渡。我们使用N个 = 5000个数据点和ε = 0.25.

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图12显示了平均中间中心度随等效比的变化。我们观察到热声不稳定性的中间值较低，燃烧噪声和稀喷前的振荡的中间值很高。中间中心性给出了与低相空间密度区域的存在相关的信息，该区域将高相空间密度的区域分隔开来。较高的介数中心性值表明吸引子具有较高的局部碎裂度。36由于热声不稳定性是周期性的，因此会出现具有高相空间密度的均匀分布区域。因此，热声不稳定性的中间中心度较低。

图12：。
图12：。对数尺度中平均介数中心性的对数值随当量比的变化。⟨bv⟩对于与燃烧噪声相对应的RN较高，并且随着我们接近热声不稳定性而降低当我们接近贫油井喷极限时，bv再次增加。Betweenness中心性随动力学状态而变化，因此可用于检测从燃烧噪声到热声不稳定性的转变以及从热声不稳定性到稀井喷的转变。我们使用了N=5000个数据点，ε=0.25。
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对数标度中平均中心度对数值随当量比的变化。⟨bv（v）⟩对应于燃烧噪声的RN较高，并且随着热声不稳定性的接近而降低。⟨bv（v）⟩当我们接近贫油井喷极限时再次增加。中间中心度随动力状态而变化，因此可用于检测从燃烧噪声到热声不稳定性的转变，以及从热声不稳定到贫放喷的转变。我们使用N个 = 5000个数据点和ε = 0.25.

图12：。
图12：。对数标度中平均中心度对数值随当量比的变化。⟨bv⟩对于与燃烧噪声相对应的RN较高，并且随着我们接近热声不稳定性而降低当我们接近贫油井喷极限时，bv再次增加。中间中心度随动力状态而变化，因此可用于检测从燃烧噪声到热声不稳定性的转变，以及从热声不稳定到贫放喷的转变。我们使用了N=5000个数据点，ε=0.25。
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对数尺度中平均介数中心性的对数值随当量比的变化。⟨bv（v）⟩对应于燃烧噪声的RN较高，并且随着热声不稳定性的接近而降低。⟨bv（v）⟩当我们接近贫油井喷极限时再次增加。中间中心度随动力状态而变化，因此可用于检测从燃烧噪声到热声不稳定性的转变，以及从热声不稳定到贫放喷的转变。我们使用N个 = 5000个数据点和ε = 0.25.

关闭模态

该网络测量特征路径长度，中间中心度捕获从燃烧噪声到热声不稳定性以及从热声不稳定到井喷的过渡。因此，这些测量值可用于测量工业应用中湍流燃烧室中即将发生的过渡的接近程度。

我们首次引入递归网络来研究湍流反应流燃烧室中动力状态之间的转换。我们观察到网络拓扑表示吸引子在相空间中的几何结构。网络拓扑随动态状态而变化。在不同的等效比下，由白噪声构建的RN网络拓扑与由声压时间序列构建的RNs网络拓扑完全不同。与白噪声构建的RN相比，由声压时间序列构建的RNs的平均度、重现性和确定性更高。随着燃烧噪声向热声不稳定性的转变，吸引子的相应拓扑结构从复杂拓扑结构变为极限环。在从热声不稳定性到稀爆的过渡过程中，吸引子的拓扑结构从极限环变为复杂拓扑。因此，RN的拓扑结构因不同的动力学状态而不同。RN中的度分布图表明，根据燃烧噪声和稀喷前的振荡对应的声压时间序列构建的递归网络中存在幂律度分布。幂律的存在是由于不变密度中存在奇点。然后，我们继续研究了由RN导出的度量值随等价比的变化。我们观察到网络测量的变化CPL公司具有当量比的中间中心度能够检测湍流燃烧室中的跃迁，因此可以作为预警信号。因此，我们得出结论，RN可以作为一种潜在的工具，在工业应用中捕捉湍流燃烧室中动力状态之间的转换。

我们要感谢ONR Global的财政支持（拨款号：N62909-14-1-N299）。合同监督员：Ramesh Kolar博士。我们感谢我们与斯威托波罗夫·乔达里教授、科钦学院的K.P.Harikrishnan博士和浦那州IISER的G.Ambika教授进行的讨论，这些讨论对我们改进草案有很大帮助。我们感谢科钦学院的K.P.Harikrishnan博士、普纳IISER的G.Ambika教授和普纳IUCAA的R.Misra教授分享他们计算RN测度的代码。

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©2017作者。
2017
作者