“嵌合体状态”是当振荡器群的对称性被打破为同步和异步部分时，在耦合的相同振荡器网络中发生的一种动态模式。我们报道了在四个全局耦合的混沌光电振荡器网络中对嵌合体和团簇态的实验观察。这是支持嵌合体状态的最小网络，我们的研究为嵌合体状态形成的基本机制提供了新的见解。我们使用统一的方法来确定所有观察到的部分同步模式的稳定性，强调嵌合体和簇状态之间的密切关系，因为它们属于更广泛的部分同步现象。我们的方法在网络大小和连接性方面是通用的。我们还发现嵌合体状态经常出现在全局、集群和去同步状态之间的多稳态区域。

话题
线性稳定性分析, 耦合振荡器, 电信网络, 数字信号处理, 图论, 群论方法, 数值线性代数, 算子理论, 激光器, 奇梅拉斯

我们提供了由四个光电振荡器组成的全球耦合网络中嵌合体和簇同步态的实验证据。由于这是嵌合体状态可能发生的最小网络，我们的设备能够实验测试嵌合体状态的一些基本特性。迄今为止，集群同步的研究独立于嵌合体状态；然而，这里我们提出了一种统一的方法，利用网络中的对称性来确定嵌合体和簇的稳定性。我们获得了两个重要的结果：（a）我们首次实验证明嵌合体可以出现在小网络中，这与传统的假设相反，即需要具有非局部耦合的大网络，1并且（b）我们证明了簇态和嵌合体态都可以被视为更普遍的部分同步现象的特例。这些方法适用于不同大小和拓扑的网络，为嵌合体和电网等现实网络中的其他部分同步模式开辟了潜在应用。

自从他们最初的发现，2,3关于嵌合体状态的定义及其存在的条件，人们进行了大量的讨论。最初认为嵌合体只能存在于非局部耦合振荡器的大型网络中，并且只能在特殊的初始条件下存在。1这些假设反映在他们的理论发现之间长达十年的差距中2空间光调制器反馈系统中嵌合体的首次实验实现4和一个化学振荡器系统。5然而，最近的研究表明，嵌合体实际上可以出现在更广泛的网络中：嵌合体现在已经在节拍器的机械系统中被实验观察到，6光学频率梳，7电化学系统，8洛伦兹振荡器的星形网络，9以及电子和光电延迟系统。10–12这表明嵌合体的存在范围可能比最初预期的要广。事实上，最近的研究在小型网络中发现了嵌合体，9,13从随机初始条件，14,15以及全局耦合。14,16–18此外，长期以来，在随机初始条件下的数值模拟中观察到一个大团簇和多个小团簇的嵌合体状态19以及全局耦合。20这些都远远超出了最初假设的嵌合体状态存在所必需的条件。

虽然嵌合体可以存在于许多不同的系统中，但一个共同的特征似乎是嵌合体经常出现在具有其他同步模式的多稳态区域。5,6,12,20,21最近，Böhm等提出了一个由四个全局耦合激光器组成的网络，其中嵌合体状态可以从随机初始条件中出现，并将嵌合体的出现与参数空间的多稳态区域联系起来。22 

嵌合体是一种特殊类型的部分同步状态。集群同步性是另一种部分同步状态，其研究独立于嵌合体；然而，最近的工作已经开始将全球耦合网络中嵌合体的存在与集群联系起来。17,18集群同步性研究的一个主要进展是能够确定允许从网络拓扑中的对称性形成的集群，并利用这些对称性导出稳定性计算的变分方程。23,24该理论的一个扩展最近被用来解释化学振荡器网络中的相图同步；25然而，据我们所知，这种强大的新方法尚未应用于研究嵌合体状态的存在性或稳定性。

在本文中，我们报道了在四个具有时滞反馈和耦合的全耦合光电振荡器的最小网络中对嵌合体和其他部分同步态的实验观察。我们证明了这些状态来自网络拓扑中的部分（或子群）对称性，并且我们使用方法计算了它们的线性稳定性23,24最近发展用于集群同步研究，强调嵌合体和集群状态是部分同步的密切相关模式。最后，我们讨论了部分同步态的多稳态对嵌合体态存在的重要性。

该实验由四个全局耦合的相同、光电、时滞反馈回路组成的网络组成，其单个动力学和耦合动力学已在前面进行过研究。26–31网络布局和单个节点示意图如图所示。1如图所示。1（b），每个节点由一个光纤耦合激光二极管组成，其光通过马赫-曾德尔调制器（MZM）V（V）π=3.4 V，并通过光电接收器转换为电信号。该电信号被数字信号处理（DSP）板（德克萨斯仪器TMS320C6713）延迟和过滤，然后被放大和反馈以驱动MZM。标准化电压x个(t吨)≡πv（v）我(t吨)2V（V）π应用于MZM被测量并用作我们的动力学变量。数字滤波器是具有截止频率的双极巴特沃斯带通滤波器ωH（H）/2π=100 Hz和ωL（左）/2π=2.5 kHz，采样率为24 kSamples/s。

图1。
图1。（a） 我们的全局耦合网络的草图。每个节点都有一个具有反馈时延τf（red）的自反馈，并以耦合时延τc耦合到其他每个节点。（b） 单个节点的实验示意图，显示与其他节点的耦合。光学连接以红色显示，电子连接以黑色显示。
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（a） 我们全球耦合网络的草图。每个节点都有一个带反馈延时的自反馈τ（f）（红色）并通过耦合时间延迟耦合到其他每个节点τc（c）（b）单个节点的实验示意图，显示与其他节点的耦合。光学连接以红色显示，电子连接以黑色显示。

图1。
图1。（a） 我们的全局耦合网络的草图。每个节点都有一个反馈时滞τf（红色）的自反馈，并与耦合时滞τc的每个其他节点耦合。（b） 单个节点的实验示意图，显示与其他节点的耦合。光学连接以红色显示，电子连接以黑色显示。
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（a） 我们全球耦合网络的草图。每个节点都有一个带反馈延时的自反馈τ（f）（红色）并通过耦合时间延迟耦合到其他每个节点τc（c）（b）单个节点的实验示意图，显示与其他节点的耦合。光学连接以红色显示，电子连接以黑色显示。

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输入的耦合信号通过第二光电二极管进行光学组合并转换为第二电信号。DSP板接收此电信号，实现滤波和耦合延迟τc（c）（通常与反馈延迟不同τ（f）)，并将第二个电信号与第一个（反馈）信号耦合。

光电子振荡器网络的动力学方程在参考文献中导出。26和由给出

u个̇我(t吨)=E类u个我(t吨)−F类β 余弦2(x个我(t吨)+ϕ0),
(1)
x个我(t吨)=G公司(u个我(t吨−τ（f）)+εn个我n个∑jA类我j(u个j(t吨−τc（c）)−u个我(t吨−τ（f）))),
(2)

哪里

E类=[−(ωL（左）+ωH（H）)−ωL（左）ωH（H）0],F类=[ωL（左）0], 和 G公司=[10].

在这里，u个我是描述节点处数字滤波器状态的2×1矢量我、和x个我(t吨)是观察到的变量，即Mach-Zehnder调制器电输入的归一化电压。节点通过邻接矩阵耦合A类=A类ij公司; 对于这里考虑的相同全局耦合的情况，A类ij公司=0用于我=j和A类伊吉=1否则。因此，对于我们的四节点网络，传入链路的数量n个在里面=所有节点为3。我们强调耦合一般不是拉普拉斯的，只有在极限时才成为拉普拉斯τc（c）=τ（f）在这项工作中，我们修复了往返增益β=3.8和反馈延时τ（f）=1.4 ms并改变整体耦合强度ε和耦合延时τc（c）.我们选择相位偏置ϕ0=π/4因此，对于我们的β值，MZM非线性变得很重要，而非耦合振荡器表现出混沌行为。E类,F类、和G公司是描述过滤器的矩阵。

在每次试验中，通过将随机电信号记录到数字信号处理（DSP）板中50毫秒，从噪声中初始化节点。然后在不耦合的情况下开启反馈500毫秒，以消除瞬态。在此期间结束时，耦合打开1450毫秒。我们使用最后400毫秒的记录来确定网络显示的同步状态。

我们根据每个集群中的节点数来命名每个同步状态（或“模式”）。所谓“集群”，是指同步节点组。因此，对于四个节点的网络，五种可能的同步状态是（图。2)：（a）全局同步状态，（b）双-双态，（c）三重态-单重态，（d）双-单重态（DSS）状态和去同步状态（未示出）。我们将双重和三重单态称为“簇状态”，而DSS称为“嵌合体状态”

图2。
图2。实验观察到的同步状态。四节点全局耦合网络的所有同步状态的图示和典型实验时间序列：（a）全局同步，（b）双双同步，（c）三单同步，和（d）双单单同步（嵌合体）。相同颜色的节点是同一簇的一部分。在ε=0.40和τc=1.8ms、ε=0.45和τc=1.8ms的双双态和三重单态以及ε=0.40和τc=2.3ms的嵌合体状态下观察到了这种全局状态。方程（1）和（2）的数值模拟给出了类似的时间序列。
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实验观察到的同步状态。四节点全局耦合网络的所有同步状态的图示和典型实验时间序列：（a）全局同步，（b）双双同步，（c）三单同步，和（d）双单单同步（嵌合体）。相同颜色的节点是同一簇的一部分。此全局状态是通过ε=0.40和τc（c）=1.8 ms，双-双和三-单态ε=0.45和和τc（c）=1.8 ms，嵌合体状态ε=0.40和τc（c）=2.3 ms方程的数值模拟(1)和(2)给出了类似的时间序列。

图2。
图2。实验观察到的同步状态。四节点全局耦合网络的所有同步状态的图示和典型实验时间序列：（a）全局同步，（b）双双同步，（c）三单同步，和（d）双单单同步（嵌合体）。相同颜色的节点是同一簇的一部分。在ε=0.40和τc=1.8ms、ε=0.45和τc=1.8ms的双双态和三重单态以及ε=0.40和τc=2.3ms的嵌合体状态下观察到了这种全局状态。方程（1）和（2）的数值模拟给出了类似的时间序列。
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实验观察到的同步状态。四节点全局耦合网络的所有同步状态的图示和典型实验时间序列：（a）全局同步，（b）双双同步，（c）三单同步，和（d）双单单同步（嵌合体）。相同颜色的节点是同一簇的一部分。此全局状态是通过ε=0.40和τc（c）=1.8 ms，双-双和三-单态ε=0.45和和τc（c）=1.8 ms，嵌合体状态ε=0.40和τc（c）=2.3 ms方程的数值模拟(1)和(2)给出了类似的时间序列。

关闭模态

我们在实验中观察到所有可能的同步状态，如图所示。2（a）-2（d），包括持续许多延迟时间且看起来稳定的嵌合体状态。对于不同初始条件下的实现，节点出现在不同的簇中，证实了部分同步模式不是振荡器之间参数失配的结果。据我们所知，这是第一次在如此小的网络中实验观察到嵌合体状态。事实上，这是可以支持嵌合体状态的最小全局耦合振荡器网络。13,22

最近的研究表明，网络拓扑中的对称性决定了网络可以显示的同步模式。23,24我们简要回顾了主要结果。邻接矩阵的对称性形成了一个数学群。由这些对称性（即群的轨道）相互排列的节点构成完全对称的簇。对称群的子群的轨道给出了部分（子群）对称簇，这些簇可以通过对称破缺出现。

我们现在表明，这些技术可以应用于相同振荡器的全局耦合网络中的嵌合体。对于全球耦合网络N个节点，则节点是不可区分的，因此邻接矩阵的置换对称组是对称组S公司N个（可以对其执行的所有排列的组N个节点）。由于任何节点都可以与任何其他节点进行置换，因此对称组的轨道是所有节点，最大对称情况是全局同步。为了理解允许的部分对称情况，必须考虑对称群的子群。子群的轨道S公司N个是这样的任何的分区N个振荡器是允许存在的。特别是嵌合体状态（即一个大型同步集群的状态N个秒振荡器和N个–N个秒单重态“团簇”）是运动方程允许的。这些嵌合体状态是否可能被观察到，取决于线性稳定性分析。

为了计算允许的同步模式的稳定性，我们使用最近开发的群论技术来分析集群同步。23,24该技术通过保持部分同步状态结构的坐标变换，将邻接矩阵转换为块对角化形式。这种技术的优点是转换矩阵吨还变换了变分方程，使沿同步流形的运动与其横向运动解耦。因此，可以仅考虑横向（低维）方程来计算部分同步状态的稳定性。我们将原始坐标系称为节点坐标，将转换后的坐标系称之为不可约表示（IRR）坐标。

作为一个例子，我们描述了计算（DSS）嵌合体状态稳定性的步骤。其他部分同步状态的稳定性以类似的方式确定。

确定所考虑的部分同步状态（在本例中为（DSS）嵌合体状态）的运动方程很简单。通过考虑小扰动的时间演化来确定变分方程Δu个到同步状态，并由

d日d日t吨Δu个我(t吨)=E类Δu个我(t吨)+F类β 罪(2x个我(t吨)+2ϕ0)Δx个我(t吨),
(3)
Δx个我(t吨)=G公司[(1−ε)Δu个我(t吨−τ（f）)+ε三∑jA类我jΔu个j(t吨−τc（c）)],
(4)

其中x个我(t吨)是节点的行为我在期望的部分同步状态下，我们使用了网络包含四个全局耦合节点的事实。

为了将同步流形横向扰动对应的变分方程与同步流形沿线扰动对应的方程解耦，我们现在转换到IRR坐标系。正如在附录，（DSS）嵌合体状态的变换矩阵为

吨=[1212000010000112−1200],
(5)

其中，上面三行对应于沿同步歧管的方向，而下面一行对应于与同步歧管横向的方向。为了确定部分同步状态的稳定性，我们只需要考虑沿同步流形横向方向的扰动。如果我们定义IRR基向量Δv（v）我(t吨)≡吨我jΔu个我(t吨)⁠，然后Δv（v）4(t吨)是与同步流形横向扰动相对应的唯一IRR基向量。因此，在下面我们只考虑Δv（v）⊥(t吨)≡Δv（v）4(t吨)⁠.从左侧乘以吨将变分方程转换为IRR坐标系，我们得到

d日d日t吨Δv（v）⊥(t吨)=E类Δv（v）⊥(t吨)+F类β 罪(2x个秒(t吨)+2ϕ0)Δx个⊥(t吨),
（6）
Δx个⊥(t吨)=G公司[(1−ε)Δv（v）⊥(t吨−τ（f）)+ε三∑jB类我jΔv（v）j(t吨−τc（c）)],
(7)

哪里x个秒(t吨)是同步集群中一个节点的行为，并且

B类=吨A类吨−1=[122020102100000−1]
(8)

是变换到IRR坐标的邻接矩阵。显式执行方程式中的求和(7)，我们获得

Δx个⊥(t吨)=G公司[(1−ε)Δv（v）⊥(t吨−τ（f）)−ε三Δv（v）⊥(t吨−τc（c）)].
(9)

为了确定稳定性，我们计算了方程的最大Lyapunov指数（LLE）（6）和(9)，表示横向于同步流形的无穷小扰动如何随时间增长或衰减。如果LLE为负，扰动指数衰减到零，表明状态是稳定的。在我们的计算中，我们使用了上述方程的离散时间版本，这些版本更适合于实验条件。对于Lyapunov指数计算，我们使用QR分解方法。32计算的平均时间至少为耦合延迟的500000倍。为了获得其他同步状态的稳定性，遵循了类似的程序。

在图中。三，我们在耦合强度参数空间中比较了实验结果和稳定性计算结果(ε)和耦合延迟(τc（c）)对于系统显示的所有部分同步状态。通过在参数空间中选择规则间隔的点进行实验。对于参数空间中的每个点，从不同的随机初始条件进行了至少20次实验试验。原则上，人们可以实验性地观察到参数空间中理论上显示稳定解的任何状态；然而，在实际中，很难观察到具有较小吸引盆的状态。如参考文献所述。33，吸引力流域的大小具有很大的实际意义，在未来的工作中，我们希望研究网络拓扑中的对称性是否有助于阐明流域的稳定性。对于所有四个同步状态，实验观察到的状态与其计算的稳定性之间的一致性相当好。然而，在稳定性行为相当零散的边界附近出现轻微分歧并不奇怪。这种轻微的分歧可归因于用于计算和实验的随机初始条件的数量有限，以及实际实验参数与模拟和稳定性计算中使用的参数值之间的轻微不匹配。

图3。
图3。实验结果与稳定性计算的比较。（a） –（d）不同同步状态的稳定区域。阴影区域是稳定的；也就是说，变分方程的LLE是负的。标记代表实验结果。点表示在实验中观察到该状态；交叉表明在实验中没有观察到这种状态。对于每个实验数据点，从不同的随机初始条件进行了至少20次试验。对于实验和稳定性计算，往返增益β=3.8，反馈时间延迟τf=1.4 ms。
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实验结果与稳定性计算的比较。（a） –（d）不同同步状态的稳定区域。阴影区域是稳定的；也就是说，变分方程的LLE是负的。标记代表实验结果。点表示在实验中观察到该状态；交叉表明在实验中没有观察到这种状态。对于每个实验数据点，从不同的随机初始条件进行了至少20次试验。对于实验和稳定性计算，往返增益β=3.8和反馈延时τ（f）=1.4毫秒。

图3。
图3。实验结果与稳定性计算的比较。（a） –（d）不同同步状态的稳定区域。阴影区域是稳定的；也就是说，变分方程的LLE是负的。标记代表实验结果。点表示在实验中观察到该状态；交叉表明在实验中没有观察到这种状态。对于每个实验数据点，从不同的随机初始条件进行了至少20次试验。对于实验和稳定性计算，往返增益β=3.8，反馈时间延迟τf=1.4 ms。
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实验结果与稳定性计算的比较。（a） –（d）不同同步状态的稳定区域。阴影区域是稳定的；也就是说，变分方程的LLE是负的。标记代表实验结果。点表示在实验中观察到该状态；交叉表明在实验中没有观察到这种状态。对于每个实验数据点，从不同的随机初始条件进行了至少20次试验。对于实验和稳定性计算，往返增益β=3.8以及反馈时间延迟τ（f）=1.4毫秒。

关闭模态

上述稳定性计算程序原则上可用于确定任何规模网络中部分同步状态（簇和嵌合体）的稳定性。虽然我们的实验仅限于四个节点，但我们对一个由5个和5个单线态簇组成的10节点网络中的嵌合体状态进行了相同类型的稳定性分析，发现它与方程的直接模拟一致(1)和(2)，如图所示。4.

图4。
图4。将嵌合体状态（由5个和5个单态簇组成的一个簇）的稳定性计算与对10节点全局耦合网络的方程（1）和（2）的直接模拟进行比较。直接模拟包括100次试验，对ε-τc参数空间中的每个点使用不同的初始条件。对于实验和模拟，往返增益β=3.8，反馈时间延迟τf=1.4ms。
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嵌合体状态（一个由5个和5个单线态团簇组成的团簇）的稳定性计算与方程的直接模拟的比较(1)和(2)对于一个10节点的全局耦合网络。直接模拟包括100次试验，每个试验点的初始条件不同ε−τc（c）参数空间。对于实验和模拟，往返增益β=3.8和反馈延时τ（f）=1.4毫秒。

图4。
图4。将嵌合体状态（由5个和5个单态簇组成的一个簇）的稳定性计算与对10节点全局耦合网络的方程（1）和（2）的直接模拟进行比较。直接模拟包括100次试验，对ε-τc参数空间中的每个点使用不同的初始条件。对于实验和模拟，往返增益β=3.8，反馈时间延迟τf=1.4ms。
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嵌合体状态（由5个和5个单态团簇组成的一个团簇）的稳定性计算与方程直接模拟的比较(1)和(2)对于一个10节点的全局耦合网络。直接模拟包括100次试验，每个试验点的初始条件不同ε−τc（c）参数空间。对于实验和模拟，往返增益β=3.8和反馈延时τ（f）=1.4毫秒。

关闭模态

最近，嵌合体的存在在理论上与系统的多稳态有关。22我们的观察结果支持这一观点。

在图中。5，在我们的四个振荡器网络中，我们展示了多稳态和嵌合体之间的直接联系。从稳定性计算中，我们确定了至少两个全局同步、双双和三重单态稳定的区域。在图中。5（a），此类区域标记为多稳定。计算出的稳定嵌合体解与这些多稳定区域吻合得很好。在实验中，我们还观察到了表现出嵌合体状态的参数值的这种多稳定性，如图所示。5（b）.

图5：。
图5：。嵌合体与四节点全局耦合网络中多稳态之间的关系。（a）稳定性计算表明，（DSS）嵌合体在其他同步模式共存的参数空间区域趋于稳定。这里，多稳态意味着至少两个全局同步、双稳态和三单稳态是稳定的。（b） 实验还表明嵌合体倾向于出现在多稳定区域。对于实验和模拟，往返增益β=3.8，反馈时间延迟τf=1.4ms。
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嵌合体与四节点全局耦合网络中多稳态之间的关系。（a）稳定性计算表明，（DSS）嵌合体在其他同步模式共存的参数空间区域趋于稳定。这里，多稳态意味着至少两个全局同步、双稳态和三单稳态是稳定的。（b） 实验还表明，嵌合体往往出现在多稳态区域。对于实验和模拟，往返增益β=3.8和反馈延时τ（f）=1.4毫秒。

图5：。
图5：。嵌合体与四节点全局耦合网络中多稳态之间的关系。（a）稳定性计算表明，（DSS）嵌合体在其他同步模式共存的参数空间区域趋于稳定。这里，多稳态意味着至少两个全局同步、双稳态和三单稳态是稳定的。（b） 实验还表明嵌合体倾向于出现在多稳定区域。对于实验和模拟，往返增益β=3.8，反馈时间延迟τf=1.4ms。
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嵌合体与四节点全局耦合网络中多稳态之间的关系。（a）稳定性计算表明，（DSS）嵌合体在其他同步模式共存的参数空间区域趋于稳定。这里，多稳态意味着至少两个全局同步、双稳态和三单稳态是稳定的。（b） 实验还表明嵌合体倾向于出现在多稳定区域。对于实验和模拟，往返增益β=3.8和反馈延时τ（f）=1.4毫秒。

关闭模态

除了不同部分同步模式之间的多稳态外，我们还观察到单个模式中的多稳态。例如，图中全局同步状态的动力学。2（a）出现混沌时，还有其他的全局同步态，它们似乎是准周期的。我们不区分同一部分同步态的不同动力学行为；例如，图。3（a）如果全局同步的任何可能的动态实现是稳定的，我们认为全局同步模式是稳定的。

如前所述，部分同步模式（在这种情况下为双-双态、三-单态和（DSS）嵌合体状态）从网络中的部分（子群）对称性中出现。23,24在我们这样的系统中，可以通过分析邻接矩阵详细检查网络的所有子群对称性来预测这一点。然而，什么机制破坏了最大对称性是一个有趣的问题。对于我们的特定系统，耦合延迟和反馈延迟之间的不匹配导致系统中存在两个不同的时间延迟。当这两个时间延迟完全匹配（拉普拉斯耦合情况）时，我们只观察到全局同步性，这也得到了这些光电振荡器网络的先前工作的支持。28 

我们知道，产生的同步状态对初始条件的依赖性导致了复杂的分散稳定区域。我们将这些区域称为碎片区域，而不是分形区域，因为我们的系统由于数字滤波器而具有离散时间，并且不可能在比滤波器的采样时间更短的时间尺度上观察到自相似性。随着初始条件的变化，参数空间的高度多稳态（既包括单个同步模式内的，也包括不同同步模式之间的）允许不同的稳定状态（取决于它们的吸引域），包括全局同步和完全失同步。因此，我们观察到的不是同步区域和非同步区域之间的平滑边界，而是分散的稳定区域，如图所示。三和5.

因此，系统中的多稳定性或各种部分同步解决方案的可能性可以被视为任何系统中嵌合体的要求，但产生这种多稳定性的物理机制对于不同的系统可能不同。众所周知，耦合中的延迟会导致同步状态之间的多稳态（参考文献。29和34). 这是我们系统中的情况，而在参考文献。22振幅-相位耦合导致嵌合体状态出现所需的多稳态。

我们的四个全球耦合振荡器网络在嵌合体的背景下至关重要。这是一个在耦合拓扑中没有任何对称性破坏的小系统，但我们从随机初始条件开始实验观察到嵌合体状态。我们的系统违反了先前认为形成嵌合体状态所必需的大多数条件：它是一个小网络，由随机初始条件初始化，并且是全局耦合的。重要的是，我们的稳定性计算表明，观察到的嵌合体不是长瞬态，而是实验中持续存在的稳定物理状态。

在我们的系统中，允许部分同步状态形成的机制是一种常见的现象，称为孤立去同步，在这种现象中，一些集群从同步状态中分离出来，但没有完全破坏同步。23由于网络的部分（子组）对称性，这是可能的。子组结构确保一个簇中的所有节点从其他簇中的节点接收相同的有效耦合信号。因此，即使一个集群被取消同步，其他集群也可以保持相同的同步。例如，在我们的DSS嵌合体的情况下，双子群中的每个振荡器从两个失同步的单子态接收相同的总信号，即使两个单子态振荡器的行为不相干，它们也可以保持同步。我们系统中的嵌合体和簇源于相同的孤立去同步机制，并且它们的稳定性可以用相同的方式计算，这一想法突出了嵌合体和作为部分同步模式的簇状态之间的密切关系。我们强调，我们在这里提出的分析并不局限于全局耦合振荡器网络。群理论分析和孤立去同步机制扩展到任何具有簇状态或嵌合体状态的网络，在这些网络中相干布居是相同同步的，例如Refs中的非局部耦合系统。5,6、和35和参考文献中的恒星网络。9.

在仿真和稳定性分析中，我们考虑了具有相同耦合的相同振荡器，但在实验中不可避免地存在一些异质性和噪声。尽管我们的实验中存在微小的异质性，但我们仍然观察到持续的嵌合体和团簇状态，这与模拟和稳定性计算一致。确定群体理论分析和稳定性计算保持有效的异质性数量是一个重要的公开问题。

我们在四个全局耦合混沌光电振荡器的实验网络中观察到了所有可能的部分同步态，包括嵌合体态。我们使用最近发展起来的团簇同步群论方法来计算这些状态的线性稳定性，并发现与我们的实验非常吻合。这些方法非常通用，因为它们可以扩展到大型网络，并且可以用于分析相干振荡器完全同步的任何嵌合体状态的稳定性，这表明这种嵌合体与团簇状态密切相关。我们的结果表明，不同同步模式的多重稳定性似乎对稳定嵌合体状态的存在很重要，可以通过分析给定网络拓扑的对称性来确定；然而，在不同的系统中，产生多稳态的机制可能不同。在我们的例子中，我们通过网络中有两个不同的时间延迟来确定这是拉普拉斯耦合中对称性的破坏。

我们感谢F.Sorrentino、L.M.Pecora和Ref。22（F.Böhm、A.Zakharova、E.Schöll和K.Lüdge）进行了有益的讨论。我们感谢ONR通过第N000141410443号拨款支持这项工作。

为了将变分方程转换为IRR坐标，IRR变换矩阵吨必须获得。一般来说，计算方法吨涉及到为给定同步状态的对称（子）组找到IRR，这是非常重要的。While期间吨可通过参考文献中的方法计算。23，对于DSS嵌合体的情况吨可以通过检查确定。

首先，我们注意到对于DSS嵌合体，同步流形是三维的：同步双态簇是一维的，两个单态簇中的每个都是一维的。这些可以表示为

v（v）1=[121200], v（v）2=[0010], v（v）三=[0001].
（A1）

有四个节点，因此节点空间是四维的。因此，只能有一个横向

v（v）4=[12−1200].
（A2）

然后吨可以通过堆叠这些归一化行基向量来构造。如果我们将它们叠加起来，使得与同步流形对应的向量位于与横向对应的向量的顶部，那么当我们使用吨为了对邻接矩阵进行块对角化，上部块将对应于沿着同步流形的扰动，而下部块将对应于横向扰动。对于DSS chimera案件，我们发现

吨=[1212000010000112−1200].
（A3）
1
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T.E.公司。
 
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索伦蒂诺
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佩科拉
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T.E.公司。
 
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答：E。
 
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威廉姆斯
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墨菲
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对。
 
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威廉姆斯
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F。
 
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墨菲
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帕德
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佩雷拉
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L。
 
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第J页。
 
门克
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J。
 
Heitzig公司
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N。
 
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库思
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盆地稳定性如何补充线性稳定性范式
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T·K·D。
 
佩龙
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第页。
 
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艾布拉姆斯
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米罗洛
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交叉参考
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公共医学
 
©2016作者。
2016
作者