C.斯佩,J.I.de Vicente公司,B.克劳斯；最大纠缠的4比特态集。数学杂志。物理学。2016年5月1日；57 (5): 052201.https://doi.org/10.1063/1.4946895
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纠缠是一种资源，可以克服用于状态操作的操作对经典通信（LOCC）辅助的本地操作的自然限制。因此，二体最大纠缠态是可以通过LOCC确定性地转换为任何其他状态的状态。在多部分设置中，不存在此类状态。这里需要一个完整的集合，即我们最近介绍的最大纠缠状态集（MES）。该集合一方面具有这样的属性，即可以通过LOCC从集合内的一个状态获取该集合外的任何状态，另一方面，集合内的任何状态都不能通过LOCC自任何其他状态获取。最近，我们研究了纯多体态之间的LOCC变换，导出了三个和一般四个量子比特态的MES。在这里，我们考虑非泛型四量子比特态，并分析它们关于局部变换的性质。由于随机LOCC（SLOCC）已经是最粗粒度的分类，因此四个量子比特状态的分类要比三个量子比特的分类丰富得多，因此研究可能的LOCC变换也相应地更加困难。我们证明了大多数SLOCC类显示出与通用状态类似的行为，但是我们在这里也确定了三个具有非常不同属性的类。第一类包括GHZ和W类，其中任何一个州都可以非私人地转变为其他州。特别是，不存在隔离。另一方面，也存在所有状态都被隔离的类。最后但并非最不重要的是，我们确定了一个额外的状态类，其转换属性与所有其他类截然不同。虽然LOCC将状态转换为本地-公共不平等状态的可能性很小，但我们确定了MES中的状态（后一类除外）和可以分别从其他状态非私有获得（转换）的状态。这些研究不仅确定了与LOCC纠缠操作最相关的状态类别，还揭示了可分离变换和LOCC变换之间的异同，并使研究任意四量子比特状态之间的LOCC变换成为可能。
注意，我们在整篇论文中只考虑真正的多体纠缠态。
请注意，在某些情况下，种子状态不是唯一选择的。然而，这些SLOCC类的结果适用于任何种子状态的选择。此外，通过强制种子状态的某些参数的正数和/或顺序，可以使种子状态唯一。然后，可以用这种独特的种子状态以非常简单的方式确定LU等效性。
请注意，参考文献。18是使用与我们在这里使用的方法相关的方法推导出来的，以确定对称性。每节开头给出了每个SLOCC类的代表。
回想一下G公司不必有行列式一。如果我们将自己限制在这里来确定一个操作符，我们将定义S公司(Ψ)={S公司∈G公司,S公司=1和∃q个∈C类:S公司Ψ=q个Ψ}然而，在方程式。(2)只要不是一个阶段，就必须考虑这个比例因素。
请注意，这可以推广到更多的系统。为此，定义（n个偶数）酉算子U型=−我e（电子）我π/4σ年⊗n个.然后，U型U型T型=σ年n个,UU（单位）†=1和∀A类我∈SL公司（2，ℂ），我们有O（运行）≡U型†⨂A类我U型，这是一个复杂的正交矩阵。
等效地，人们可以确定这些正交矩阵，O（运行）,O（运行）̃，那就离开B类Ψ不变量，即。，O（运行）B类ΨU型T型σ年⊗2U型*O（运行）̃T型U型†σ年⊗2U型∝B类Ψ.
注意，对对称矩阵使用Takagi因子分解，32可以很容易地证明，对于任何对称Z轴存在相应的状态B类Ψ=W公司D类导致Z轴=西部数据仓库T型.
事实上，如果对是一个条目为±1的非平凡对角矩阵万国邮联†形式为⊗我A类我仅当对角线中+1和-1的数量都是2时n个−1在这种情况下我A类我= ± (我) ⊗σk个，使用σk个我∈ {σx个,σ年}，或⊗我A类我= ± (我) ⊗σk个，使用σk个我∈ {1,σz（z）}.
注意，对于奇数个系统，n个，此定义不能像本例中那样使用(σ年⊗n个)T型=−σ年⊗n个因此U型T型∝U型†，这意味着UU（单位）T型∝ 1.
请注意，这种状态通常不是唯一的。然而，始终选择种子状态，以便在MES中附加种子状态。
注意，这并不意味着只有涉及两个结果POVM的转换才是可能的。作为一个例子，考虑一般的4量子位状态小时1⊗1⊗三Ψ哪里小时1⁄⁄1，可从Ψ通过4个结果的POVM。然而，这些状态也可以从克1x个⊗1⊗三Ψ通过双结果POVM。
这可以看出如下。让我们用表示克̃我泡利向量对应于X（X）†G公司我X（X）（归一化后）X（X）†=对z（z）e（电子）iασ年。我们选择z（z）∈0和α这样2α≠kπ对于k个∈ ℕ0然后，作为克̃1≠0，除非另有规定G公司1？1，这里不包括，所有泡利向量都是平行的iff克̃1∥克̃2和克̃1∥克̃三，相当于克̃1×克̃2=克̃1×克̃三=0.因为所有矢量都消失了年-组件，之前的条件等效于克̃1×克̃我正在消失年-的组件我= 2, 3. 由于(克̄1三−克̄2三)/克̄21=(克̄1三−克̄三三)/克̄三1很容易看出，如果存在α和z（z）这样的话[−2克̄1三+余弦(2α)+(克̄1三−克̄三三)/克̄三1罪(2α)]/[2克̄1三+余弦(2α)+(克̄1三−克̄三三)/克̄三1罪(2α)]=z（z）4。很容易看出，始终存在α这样，前面方程的左边是正的，这意味着存在一个实z（z）满足等式的。因此，始终存在一个运算符X（X）= (对z（z）e（电子）iασ年)†这样，变换后的算符具有平行的泡利向量。
这里应该注意的是α和z（z）在转换的第一步并不是唯一的。然而，可以很容易地看出，标准形式最终是独一无二的。
请注意，这里我们不考虑M（M）因为这个等式不会导致任何新的条件。
注意，这里和下面我们假设角度小于π/2.否则角度只能减小。然而，同样的论点成立。
我们在这里用过对z（z）σx个=σx个对z（z）−1.
这可以很容易地看出如下。追踪方程。(2)并考虑到Ψ−此方程的导出公式。(47)此外，将等式。(2)带有(对123−对321)⊗1其中对jkl公司表示循环记数法中的三方排列，并且考虑该方程的迹导致方程。(48)类似地，我们可以得到公式。(48)对于所有其他三元组的向量{克我}和{小时我}.
注意，如果克12=0对称性不能用来选择克1？1和克2=克2x个自从对z（z）†1对z（z）⁄∝1对于z（z）≠1因此，在这种情况下，只有酉对称可以用于限制克2.
注意，如果小时我2,小时j个2≠0解决方案∑z（z）,ϕ第页z（z）,ϕe（电子）−我2ϕ=0不可能，因为这意味着克k个2=0对于k个=我,j个因此小时k个2=0对一些人来说k个=我,j个由于小时j个2∗小时我2=克j个2∗克我2.
请注意Ψ此处表示等式中给出的各自种子状态。(94)进一步注意，可通过对称性建立的标准形式S公司x个,年,z（z）由于对称性，遵守标准形式的约束对z（z）⊗4.
注意，可达状态的结构使得LOCC协议使用的对称性与所有克我对于我≠我.
请注意一= −bLU等效于的状态一=b通过本地单元1⊗1 \8855σz（z）⊗σz（z）（参见公式。(106)).
请注意，种子状态与状态位于同一个SLOCC类中ϕ=一(0000+1111)+一Ψ+Ψ++bΨ−Ψ−+我/2(0111+1011−0001−0010)与参考文献。18.
为了简化符号，我们在这里考虑非规范化局部算子。
注意，如果克42=0和ℜ(克12)=ℑ(克12)=克1三(1+克42/克4三)=克1三，标准形式（由第一种情况产生）由下式给出G公司1⊗G公司2⊗ 1/2 ⊗G公司4，使用G公司1等式中给出。(147).
请注意，如果2克1三−克12≥0然而，在这种情况下，可以通过应用S公司0,−1若（iff）克1三<克12.
让我们在这里指出，这个SLOCC类是唯一一个我们找不到标准形式的类第页在等式中。(2)可以选择为1。
注意，在这种情况下G公司1始终可以按等式选择。(148)（按照标准表格的规定）。
正如本案所述，它必须坚持克j个2≠0对于j个∈{2,3,4}，因此它遵循等式。(156)那个∑z（z）第页z（z）e（电子）−我4ϕ≠0.
请注意，由于我们设置的限制，这些梯度永远不会消失。
因为我们要求这样v（v）我′≥v（v）我∀我标量积必须保持不变，很明显，如果存在这样的三元组，它也必须有成对非平行非零向量，因此必须存在非零向量α′,β'这样v（v）三′=α′v（v）1′+β′v（v）2′.
注意，在这种情况下∑z（z）1,z（z）2,米第页z（z）1,z（z）2,米e（电子）−我2ϕ1(−1)米≠0与其他情况一样克我2=0对于我∈{1,3}，这意味着小时12小时三2=0根据方程式。（B4）.
请注意，对于ℑ(克三2)=0和/或克12=0它必须保持住第页̃0小时41+2我−第页̃1小时4三−2我=0对于我=0，1，我们已经讨论过了。
请注意，我们始终可以选择此订单，因为第页̃0≤第页̃1导致LU等效于以下情况下获得的转换第页̃0≥第页̃1因为我们没有使用σx个来修改我们的标准表格。
请注意，我们在这里再次使用小时k个=小时k个x个和小时我=小时我x个对一些人来说{k个,我}∈{{1,3}，{2,4}}及任一小时k个2=小时我2=0或小时k个2,小时我2≠0只能从具有小时k个=克k个和小时我=克我.
回想一下，如果不使用标准形式设置的限制，那么仅在与其中一个对称共轭之前不同的变换就可以达到相同的状态。
注意，我们在这里称为度量运算符POVM元素。
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