本文讨论了威廉姆森流体在拉伸圆筒上的流动和传热。假设导热系数随温度线性变化。还考虑了发热/吸收效应。通过适当的变换,将建模的偏微分方程转换为常微分形式。采用打靶法结合Runge-Kutta-Fehlberg方法求解问题。此外,不同流量参数的影响γλϵβ公共关系图中显示了速度和温度曲线。局部努塞尔数和表面摩擦系数以表格和图形形式显示。

对于流体的非牛顿行为的研究,假塑性流体通常用于聚合物片材的挤出、乳液和粘合剂的制备等。它在石油工业和电力工程中有许多应用。大多数非牛顿模型都与Navier-Stokes方程结合,用于解释流体的流变特性。引入了几种模型来解释假塑性流体(如幂律模型、Carreaus模型、Cross模型、Ellis模型和Williamson流体模型)。在威廉姆森流体模型中,最小粘度(μ)以及最大粘度(μ)两者都被考虑在内。威廉姆森1解释了假塑性材料,并引入了描述假塑性流体流动的模型方程。他通过实验获得了结果。吕比莫夫和波米诺夫2讨论了在重力作用下倾斜表面上威廉姆森流体的薄层。Malik等人。研究了Williamson流体在拉伸圆柱上MHD驻点流动的数值解。Malik等人讨论了Williamson流体模型中拉伸圆柱体上的均匀非均匀反应。4Salahuddin等人利用Keller盒讨论了可变导热系数和MHD流动对拉伸圆柱体上Williamson流体的联合影响。5 

拉伸气缸在塑料和金属行业的挤压中具有重要作用。萨基亚迪斯6在以恒定速度移动的拉伸表面上启动二维流体流动。起重机7提出了拉伸曲面的二维Navier-Stokes方程的精确解。8扩展了Crane的概念,提出了三维拉伸曲面的求解方法。Fang等人。9观察到两个拉伸圆盘之间的流动。Xinhui等人讨论了拉伸多孔圆柱上考虑传热影响的边界层流动的数值解。10 

在铜丝拉拔和玻璃吹制等制造过程中,通过拉伸表面的不可压缩粘性流体流动和传热受到了广泛关注。在传热研究中,最有价值的应用是塑料或金属板的挤压。在挤压过程中,观察冷却和传热非常重要,因为它会影响最终产品。传统上,水和空气被用作冷却介质,但最近有人建议用凝固速度较慢的介质代替水。卡拉格等人。11研究了拉伸表面上的边界层流动和传热,假设表面和周围流体之间的温差与距离固定点的距离成正比。Tsou等人。12扩展了Sakiadis的研究,考虑了连续拉伸表面上的传热,并通过实验验证了Sakiaddis的结果。后来,许多研究人员扩展了克雷恩的工作,如古普塔和古普塔,13杜塔14通过考虑不同物理方面下的传热现象。伊沙克15和纳迪姆16并对传热结果进行了讨论。最近,Rao等人对传热和流动摩擦进行了实验和数值研究。17 

近几年来,由于在核反应堆工程和科学仪器中的大量应用,对热量产生的研究变得越来越流行。吸热式制冷机和热泵由于其在可再生利用和废热回收方面的优势,在工业中具有重要意义。由于节能的重要性,许多研究人员对其进行了显著的讨论。吸收技术方面的努力在全球能源和环境问题中发挥着重要作用。其中一些吸收技术包括吸收式热泵(AHP)、发电机-吸收器换热器(GAX)、压缩-吸收式水泵(CAHP)、开式循环吸收式热泵系统(OAHP)等。由于耗能巨大,吸收式供暖系统在住宅和商业上有许多应用。例如,基于吸收泵理论的直燃吸收式制冷/制热器、OAPH蒸汽潜热回收装置、混合式CAHP供暖系统、区域供暖系统、热能储存和运输等都是民用的。吸收辅助干燥、吸收辅助蒸发、吸收辅助蒸馏等都是工业应用。Rybchinskaya等人讨论了圆柱体上具有多沸腾效应的内部热量生成。18通过实验研究了圆柱形、矩形和纵向表面的均匀和非均匀发热结果。19,20Mahapatra et al.对混合对流和磁力生热对非定常流动的影响进行了数值研究。21最近,托拉比(Torabi)等人采用微分变换法(DTM)数值求解了具有导热性和生热效应的边界层流动问题,以处理动量和热量方程的非线性。22 

因为导热性是一种随温度变化而变化的材料特性。这取决于材料,如果流体导电,则温度流量会增加。可变导热系数的研究在电解液中非常重要,而电解液在电池制备中具有重要意义。Salahuddin等人。23研究了正切双曲线流体在变导热系数拉伸柱体上的MHD流动。上述研究大多集中在Williamson流体模型的边界层流动或蠕动流动。

在这项研究中,我们研究了威廉姆森流体通过拉伸圆柱体时的变化导热系数和热量产生/吸收的综合效应。将射法与龙格-库塔-费尔贝格方法相结合,得到了数值解。C类(f)皮肤摩擦和x个是计算Nusselt数。相关物理参数的影响,例如:;曲率参数γ,Prandtl编号公共关系、导热系数ε和发热系数β详细讨论了。

考虑威廉姆森流体在拉伸圆柱上的稳态、轴对称、不可压缩和二维边界层流动,如图所示。1流是由线性拉伸产生的。连续性、动量和能量方程如下所示:

. V(V) = 0
(1)
ρ V(V) t吨 = . T型
(2)
ρ c(c) T型 t吨 = . ( k个 T型 ) + ( T型 T型 ) .
(3)

在哪里?V(V)ρ是流体的速度和密度。T型是柯西应力张量。在热量方程中c(c)是恒压下的比热容,k个是导热系数和T型是流场的温度。威廉姆森流体模型的本构方程如下

T型 = + τ
(4)

其中,

τ = [ μ + ( μ μ ) 1 Γ γ ̇ ] A类 1 .
(5)

τ是压力、单位向量和附加应力张量。其中Γ是正时间常数,即Γ>0。μ是零粘度μ是无限剪切速率下的粘度 γ ̇ 定义为

γ ̇ = 1 2 π
(6)

哪里

π = 1 2 追踪 ( A类 1 2 ) .
(7)

这里我们只考虑以下情况μ=0和 Γ γ ̇ < 1 现在,额外的应力张量减少为:

τ = [ μ 1 Γ γ ̇ ] A类 1 .
(8)

将二项式展开应用于等式(8)并得到以下表达式

τ = μ [ 1 + Γ γ ̇ ] A类 1
(9)
γ ̇ = [ ( v(v) 第页 ) 2 + v(v) 2 第页 2 + 1 2 ( v(v) x个 + u个 第页 ) 2 ] 1 2
(10)
τ 第页 第页 = 2 μ [ 1 + Γ γ ̇ ] ( v(v) 第页 )
(11)
τ 第页 x个 = μ [ 1 + Γ γ ̇ ] ( v(v) x个 + u个 第页 )
(12)
τ θ θ = 2 μ [ 1 + Γ γ ̇ ] ( v(v) 第页 )
(13)
τ x个 第页 = μ [ 1 + Γ γ ̇ ] ( u个 第页 + v(v) x个 ) .
(14)

控制方程的组成形式可以定义为

( 第页 v(v) ) 第页 + ( 第页 u个 ) x个 = 0
(15)
( u个 u个 x个 + v(v) u个 第页 ) = 1 第页 第页 ( 第页 τ 第页 第页 ) + 1 第页 θ ( τ 第页 θ ) + x个 ( τ 第页 x个 )
(16)
( u个 u个 x个 + v(v) u个 第页 = 1 第页 第页 ( 第页 τ 第页 x个 ) + 1 第页 θ ( τ θ x个 ) + x个 ( τ x个 x个 ) .
(17)

在哪里?u个(第页x个)和v(v)(第页x个)分别是沿流动方向和垂直于流动方向的速度分量。在没有压力梯度的情况下T型=τ.应用边界层近似后,等式(15)-(17)采用以下形式

( 第页 v(v) ) 第页 + ( 第页 u个 ) x个 = 0
(18)
u个 u个 x个 + v(v) u个 第页 = ν [ 1 第页 u个 第页 + 2 u个 第页 2 + Γ 2 第页 ( u个 第页 ) 2 + 2 Γ u个 第页 2 u个 第页 2 ]
(19)
u个 T型 x个 + v(v) T型 第页 = 1 第页 第页 ( α 第页 T型 第页 ) + ( T型 T型 ) ρ c(c)
(20)

各自的边界条件为

u个 = 单位 ( x个 ) v(v) = 0 T型 = T型 w个 t吨 第页 = R(右)
u个 0 T型 T型 第页 .
(21)

在哪里? 单位 ( x个 ) = 单位 x个 表示拉伸速度,其中单位是参考速度和T型w个T型特征长度、表面温度和极端温度。我们可以引入满足连续性方程的流函数,这样

u个 = 1 第页 ψ 第页 v(v) = 1 第页 ψ x个
(22)

控制方程的相似变换定义为

η = 第页 2 R(右) 2 2 R(右) 单位 ν x个 ψ = 单位 ν x个 R(右) (f) ( η )
(23)
ϕ = T型 T型 w个 T型 w个 T型 α = α ( 1 + ε ϕ ) .
(24)

在上面的表达式中α是距离圆柱体较远的导热系数,ε是较小的数字。将上述变换应用于控制方程后,我们得到以下表达式

2 γ (f) + ( 1 + 2 η γ ) (f) + 2 ( 1 + 2 η γ ) 1 2 γ λ (f) 2 + λ ( 1 + 2 η γ ) 2 (f) (f) + (f) (f) (f) 2 = 0
(25)
ϕ ( 1 + 2 η γ ) ( 1 + ε ϕ ) + ϕ ( 2 γ + P(P) 第页 (f) + 2 ϵ γ ϕ ) + ϕ 2 ε ( 1 + 2 η γ ) + P(P) 第页 ϕ β = 0 .
(26)

连同边界条件

(f) ( 0 ) = 0 (f) ( 0 ) = 1 ϕ ( 0 ) = 1
(f) 0 ϕ 0 t吨 η .
(27)

无量纲数公共关系γλβ是普朗特尔数、曲率参数、魏森伯格数和热量产生/吸收参数,定义为

γ = 1 R(右) x个 ν 单位 λ = Γ 2 单位 ν x个 P(P) 第页 = ν α β = x个 ρ 单位 c(c) .
(28)
图1。

物理模型。

表面摩擦系数定义为

C类 (f) = τ w个 1 2 ρ 单位 2
(29)

在上面的表达式中τw个表示圆柱体表面的剪切应力。对于威廉姆森流体,表面剪切应力定义为

τ w个 = μ [ u个 第页 + Γ 2 ( u个 第页 ) 2 ] 第页 = R(右)
(30)

在放置等式.(30)在里面等式.(29)我们得到以下表达式

C类 (f) R(右) e(电子) x个 1 2 2 = (f) ( 0 ) + λ 2 (f) 2 ( 0 ) .
(31)

现在,本地Nusselt编号定义为

N个 u个 x个 = x个 q个 w个 α ( T型 w个 T型 )
(32)

哪里q个w个是测量圆柱体表面的传热,定义为

q个 w个 = α ( T型 第页 ) 第页 = R(右)
(33)

使用等式.(33)在里面等式.(32)为了获得局部Nusselt数的表达式

N个 u个 x个 R(右) e(电子) x个 1 2 = ϕ ( 0 ) .
(34)

在这里 R(右) e(电子) x个 = 单位 x个 ν 是雷诺数。

当前问题涉及两个非线性常微分方程,其中速度分布为三阶,温度分布为二阶。(请参见等式。(25)(26))

(f) = (f) 2 (f) [ 2 γ + γ λ 2 ( 1 + 2 η γ ) 1 2 (f) + (f) ] ( 1 + 2 η γ ) [ 1 + 2 λ ( 1 + 2 η γ ) 1 2 (f) ]
(35)
ϕ = ϕ [ 2 γ + P(P) 第页 (f) + 2 ε γ ϕ ] + ϕ 2 ε [ 1 + 2 η γ ] [ 1 + 2 η γ ] [ 1 + ε ϕ ] + P(P) 第页 ϕ β [ 1 + 2 η γ ] [ 1 + ε ϕ ] .
(36)

采用打靶法结合Runge-Kutta-Fehlberg方法获得方程组的数值解。为了用打靶法解决这个问题,等式。(25)(26)被转换为五个一阶常微分方程组。将高阶方程简化为五个一阶常微分方程,如下所示:

(f) = 1 (f) = 2 (f) = (f) =
ϕ = 4 ϕ = 5 ϕ = 5
(37)

因此,一阶常微分方程联立系统为

1 = 2
(38)
2 =
(39)
= 2 2 [ 2 γ + γ λ 2 ( 1 + 2 η γ ) 1 2 + 1 ] ( 1 + 2 η γ ) [ 1 + 2 λ ( 1 + 2 η γ ) 1 2 ]
(40)
4 = 5
(41)
5 = 4 [ 2 γ + P(P) 第页 1 + 2 ε γ 4 ] + 5 2 ε [ 1 + 2 η γ ] [ 1 + 2 η γ ] [ 1 + ε 4 ] + P(P) 第页 4 β [ 1 + 2 η γ ] [ 1 + ε 4 ] .
(42)

其中素数表示关于η变换后的边界条件为

1 ( 0 ) = 0 2 ( 0 ) = 1 2 ( u个 ( 1 ) ) = 0
4 ( 0 ) = 1 4 ( u个 ( 2 ) ) = 0 .
(43)

现在,上述一阶ODE系统在等式。(38)(42)使用五阶Runge-Kutta-Fehlberg方法和中给出的未知初始条件求解等式.(43)通过应用牛顿-拉斐森方法以满足给定边界条件的方式进行数值计算,其中截断误差满足小于10的所需精度−6针对当前问题。

用于模型分析.2.14为不同的物理参数值绘制。.2表明由于曲率参数,速度的横向分量没有变化γ但在动态区域[0,1.25]之后,速度分量随着曲率的减小而减小γ也就是说,圆柱体的外表面趋于平面,这意味着由于与流体接触的区域变得相切,粘度效应降低。.显示了Weissenberg数的影响λ关于速度的横向分量。随着λ速度的横向分量增加。我们知道Weissenberg数λ是弛豫时间与特定过程时间的比值,因此特定过程时间增加将降低Weissenberg数λ这表明速度分量增加了。.4反映了Weissenberg数的影响λ速度的水平分量。速度分量渐近地接近于零η→∞,在这种情况下,速度是自由流速度。同样随着Weissenberg数的增加λ速度分量减小。我们知道Weissenberg数λ是弛豫时间与特定过程时间的比值,因此特定过程时间减少将增加Weissenberg数λ这表明速度分量减小,边界层厚度减小,反之亦然。.5显示了速度剖面的变化(f)′(η)由于曲率参数γ分析表明,动态区域[0,0.75]有一个小的变化,在此区域之后,即在[0.75,∞)内,速度剖面接近于零,这意味着速度在[0.75,∞)区域内成为自由流。速度剖面(f)′(η)随着曲率参数的增加而增加γ。因为曲率参数增加γ导致曲率半径减小,从而降低流动阻力。边界层厚度随曲率参数的增加而增加γ.

图2。

速度的横向分量(f)对于不同的值γ.

图2。

速度的横向分量(f)对于不同的值γ.

关闭模态
图14:。

不同值的传热速率γ和ε。

图14:。

不同值的传热速率γ和ε。

关闭模态
图3。

速度的横向分量(f)对于不同的值λ.

图3。

速度的横向分量(f)对于不同的值λ.

关闭模态
图4。

速度的水平分量(f)'对于不同的值λ.

图4。

速度的水平分量(f)'对于不同的值λ.

关闭模态
图5:。

速度的水平分量(f)'对于不同的值γ.

图5:。

速度的水平分量(f)'对于不同的值γ.

关闭模态

发件人.我们看到了 C类 (f) R(右) e(电子) x个 1 2 逆关系表明C类(f)随着雷诺数的增加而减小。很明显重新x个导致粘性力减小,因此|C类(f)|. 在这种情况下C类(f)在曲率参数上γ。我们看到曲率参数增加γ增加 | 1 2 C类 (f) R(右) e(电子) x个 | 这意味着作为曲率参数γ黏性力增加,黏性力减小。图形行为显示为.6..将不同的表面摩擦系数值与之前的结果进行了比较。

表一。

不同值的表面摩擦力γλ.

λ γ (f)″(0)+ λ 2 (f) ( 0 )
0.1  0.1  -0.9776 
  0.2  -1.0117 
  0.3  -1.0456 
0.2  0.1  -0.9118 
  0.2  -0.9401
  0.3 -0.9680 
0.3  0.1  -0.8413 
  0.2  -0.8634 
  0.3  -0.8847 
λ γ (f)″(0)+ λ 2 (f) ( 0 )
0.1  0.1  -0.9776 
  0.2  -1.0117 
  0.3  -1.0456 
0.2  0.1  -0.9118 
  0.2 -0.9401 
  0.3  -0.9680 
0.3  0.1  -0.8413 
  0.2  -0.8634 
  0.3  -0.8847 
图6。

不同值的表面摩擦力γλ.

图6。

不同值的表面摩擦力γλ.

关闭模态
表二。

不同值的皮肤摩擦系数的不同值的比较λ与之前的结果一致。

λ Nadeem等人。24[2013] 呈现结果.
1.005 
0.1  0.976558  0.965285 
0.2  0.939817  0.927877 
0.3  0.88272  0.887909 
λ Nadeem等人。24[2013] 呈现结果.
1.005 
0.1 0.976558  0.965285 
0.2  0.939817  0.927877 
0.3  0.88272  0.887909 

.7曲率参数的不同值γ结果表明,随着曲率参数的增加,温度分布和温度边界层都有所增加。所以曲率参数增加γ加快了传热速度。因此,热边界层随着曲率参数的增加而增加γ..8结果表明,导热系数ε的增加增加了温度分布和温度边界层,从而导致了传热火花的产生。.9显示了普朗特尔数的增加公共关系降低边界层厚度。在传热问题中公共关系对控制动量和热边界层的相对增厚起着重要作用。较小的Pr值表明,与速度(动量)相比,热量扩散较快。因此,Prandtl数公共关系可用于增加或减少传导流中的冷却速度。.10表明温度场随着热源的增加而增加β>0,因为在这些过程中发生放热反应并释放热量,因此系统热量增加,热边界层增加。.11表明温度场随着热沉的增加而减小β<0,因为发生了吸热反应,系统吸收了热量,因此系统热量减少,热边界层也减少。这说明了热源β在传热问题中具有重要意义。等式.(34)定义了常规传热系数之间的关系,即努塞尔数x个和雷诺数重新x个,我们注意到 N个 u个 x个 R(右) e(电子) x个 1 2 R(右) e(电子) x个 = 单位 x个 ν 这些关系表明,粘度的增加会降低雷诺数,反之亦然。所以由于曲率参数的增加γ粘度降低重新x个增加导致Nusselt数增加。也增加了x个在拉伸气缸的情况下,提高了常规传热速率的幅度。此外,Nusselt数x个取决于β公共关系和ε,以及它们的影响在.。图形行为也显示在.1213、和14.

图7。

曲率参数的影响γ温度场。

图7。

曲率参数的影响γ温度场。

关闭模态
图8。

导热系数ε对温度分布的影响。

图8。

导热系数ε对温度分布的影响。

关闭模态
图9:。

普朗特数的影响公共关系关于温度分布。

图9:。

普朗特数的影响公共关系在温度曲线上。

关闭模态
图10。

热源的影响β>温度曲线上为0。

图10。

热源的影响β>温度曲线上为0。

关闭模态
图11:。

散热器的影响β温度曲线上小于0。

图11:。

散热器的影响β温度曲线上小于0。

关闭模态
图12:。

不同值的传热速率γβ.

图12:。

不同值的传热速率γβ.

关闭模态
图13。

不同值的传热速率γ公共关系.

图13。

不同值的传热速率γ公共关系.

关闭模态

.显示了不同参数对局部Nusselt数的影响。热源增加β导致流体温度升高,从而导致从壁面到流体的传热速率降低。.还显示了Prandtl数的影响公共关系当地Nusselt号码。Prandtl数量增加公共关系导致流体温度降低,从而在壁面和流体之间产生温度梯度,传热速率增加。值得注意的是,导热系数ε的增加降低了局部努塞尔数。由于电导率ε增加了流体的温度,因此壁面和流体之间的温差减小,因此最终传热速率降低。

表III。

温度梯度−ϕ′(0)对于不同的值γβ.

γ ϵ β 公共关系 -ϕ′(0)
0.1  0.1      0.5241 
0.2        0.5739 
0.3        0.6340 
  0.2      0.9695 
  0.3      0.9162 
  0.1  0.2    0.5530 
    0.3    0.4631 
    0.1  0.8322
      1.0315 
γ ϵ β 公共关系 -ϕ′(0)
0.1  0.1      0.5241 
0.2        0.5739 
0.3        0.6340 
  0.2      0.9695 
  0.3      0.9162 
  0.1  0.2    0.5530 
    0.3   0.4631
    0.1  0.8322 
      1.0315 

在该分析中,数值研究了Williamson流体在具有可变导热系数和热量产生/吸收的拉伸圆柱体上稳态流动的动量和传热特性。我们的计算表明:

  • 曲率参数增加γ增加速度和温度分布。

  • Weissenberg数增加λ降低速度剖面。

  • 导热系数ε的增加会增强温度分布。

  • Prandtl数量增加公共关系降低温度分布。

  • 发热/吸收参数β显示了两种类型的结果β>0表示热源增强了温度分布ϕ(η)和用于β<0散热器会降低温度分布。

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