二微分学中的“黎曼方程”

我们在双微分学的框架中考虑形式上类似于矩阵黎曼（或霍普夫）方程的方程。通过对一阶双微分演算的不同选择，我们得到了各种方程，包括矩阵黎曼方程的半离散和全离散版本。相应的通用解生成方法要么生成（连续或离散）Cole-Hopf变换，要么留给我们求解黎曼方程的问题（因此是速度图方法的应用）。如果二微分学扩展到二阶，则“黎曼方程”系统的解也是在二微分学的普适水平上作为可积条件出现的方程的解。根据双微分的选择，后者可以表示许多重要的可积方程，如自对偶Yang-Mills，以及二维Toda晶格的矩阵形式，Hirota的双线性差分方程，（2+1）维非线性薛定谔（NLS），Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程，和Davey-Stewartson方程。对于所有这些，最近的（非等谱）二元Darboux变换应用于双微分演算，它可以专门用于生成相关“黎曼方程”的解。对于后者，我们澄清了这些特殊的二进制Darboux变换与上述求解生成方法之间的关系。根据与可积方程相关的“黎曼方程”的（任意大小）矩阵版本，具有双微分微积分公式，可以生成后者的多孤子型解。这包括自对偶Yang-Mills和（2+1）维NLS方程的“破缺”多立方体型解，这些解由黎曼方程的解参数化。