我们评论Martínez-y-Romero作品中的分析中的一个致命缺陷等。，[数学物理杂志。54，053509（2013）]，其中涉及点粒子在平方反比势中的运动，并表明在那里得出的大多数结论是错误的。特别是，在吸引势的情况下，负能量不存在有界轨道，这一明显毫无意义的说法被追溯到符号错误。指出了经典和量子情况下的几个错误。
参考文献的作者。1考虑质量点粒子的牛顿动力学米处于中心电位U型(第页) = −k个/第页2，其中k个是一个实参数，并且第页是粒子到原点的欧氏距离。考虑到角动量粒子守恒，动力学发生在平面∏中，与.使用极坐标(第页,θ)在∏上，相应的有效一维拉格朗日公式如下
哪里，点表示时间导数。常数的符号β确定有界轨道是否存在。对于β>0，有效电位U型效率(第页)为负定，趋向于零第页趋向于无穷大。因此，对于E类<0，其中能量E类粒子的数量由下式给出
在这种情况下，0≤第页(t吨) ≤第页转保持，其中对应于“转折点”U型效率(第页转) =E类和对于排斥情况，k个<0，这意味着β<0和E类>0，只有无界轨道存在，其中第页(t吨) ≥第页转.
哪里R（右）=第页（0）和是（径向）运动的初始条件（在第二个等式中，我们插入E类=毫伏2/2 −β/R（右）2). 注意，圆形轨道存在于E类= 0 =β，使用第页(t吨) =R（右）在下文中，我们将重点讨论具有吸引力的有效潜力的情况，β>0，总能量为负，E类<0，式中。(5)意味着粒子到达原点第页时间=0t吨0>0由给定
虽然第页转只有在以下情况下才能到达V（V）≥0，时间t吨转= −无人机/(2E类). 对于t吨>t吨0也就是说，当粒子在第页=0，等式。(5)不再有效。
等式。(5)是这篇评论中最相关的部分，与我们对Ref。1在该参考的方程式（11）中，作者写道
它在平方根下的第二项中有错误的符号，并且满足，而不是等式。(4)不幸的是，这不仅仅是一个错误：作者认真对待上述错误的解决方案，并导致了明显的错误画面。例如，在E类< 0,β>0的情况下，错误的解决方案，等式。(7)，意味着，毫不奇怪，无限的轨迹，而正确的，等式。(5)，表明粒子无法超越第页转而且它总是到达第页=0，无论初始条件如何（与E类< 0).
由于采用了错误的解决方案，Ref。1更进一步，试图找到支持它的论据-所有这些论据，以及随后的主张和结论，也必须被驳回。首先，它们引入了一个“有效角动量”，它遵循这应该说明一个人处理的是一个“没有交互作用的经典问题”——一个失败的论点β> 0.
接下来，作者执行规范转换第页′ =第页,第页′ = −第页对应于旋转−π/在原始相空间中为2(第页,第页). 随后，另一个正则变换生成坐标问, P（P）,
注意，变量问本质上是重缩放（通过第页,第页-动量的依赖因子第页，而P（P）类似地，是径向坐标的缩放第页.
在正则变换下，与时间无关的哈密顿量在相空间中表现为标量
哪里K（K）(第页′,第页′) =第页′ 2/(2米) −β/第页′ 2、和H（H）'采取形式
然而，参考文献的等式（9）。1反而给出了错误的表达式
这是一种误导，因为它给人的印象是，人们正在处理变换坐标系中的自由粒子问, P（P）然而，不是对应于这个正则变换的哈密顿量。
但即使如此如参考文献所述。1，随后的分析仍有问题。这是因为有人认为问包括无界的随时间线性增长，这可能证实了没有有界轨道。声明本身及其解释都是错误的：问(t吨)由提供
即，它在时间上确实是线性的，但仅在有限区间[0，t吨0]. 此外，如前所述，问显然（通过重新缩放）与动量有关，而不是与位置有关，并且它随时间的线性增长没有任何直接关系空间的解释。当粒子被拉到原点时，其动量以这样的方式爆炸问时间上呈线性增长。相应的守恒“动量”P（P）等于−第页转考虑到−π/2上述相空间中的旋转。
第二个变量的非规范变化建议如下：第页,第页到ξ,第页ξ,
并且声称，哈密顿量又是以自由粒子的形式存在的然而，很容易看出这一点第页ξ=P（P），因此，
请注意，即使表单通过对下列变量变化的函数形式进行适当的修正，以某种方式获得(13)，结果与ξ，因为泊松结构现在是非标准的，而自由粒子哈密顿量是不与成比例.
参考文献中的进一步备注。1关于系统在双曲线上的运动，我们完全没有任何意义。”相空间负能量区域与无界双曲线拱的等价性[原文如此]这并不奇怪，因为经典问题中没有束缚轨道“再往下看：”因此在经典问题中没有束缚轨道。因此k个对于系统中不存在束缚运动来说，这一点都不重要.”
最后，在研究了经典问题之后，作者将注意力转向量子版本，仍然是二维的。这里也充满了混乱。问题开始于不小心从参考文献10中复制了1D哈密顿量方程（12），其中1D问题得到了正确的处理，但未能将其应用于2D情况。因此，在正在研究的2D情况下，它们遗漏了一个重要的一阶导数项（方程式（12）中的一阶微分抵消了）。第二个严重的错误是他们“证明”径向哈密顿量是正定的，其中错误的积分测度（因此，错误的伴随结构)使用：径向波函数之间的内积自然涉及二维径向测量第页d日第页，继承自极坐标中的体积元素，而在Ref。1，平凡测度d第页使用。分析的其余部分重申了关于这个问题的众所周知的事实，毕竟，这些事实之前已经进行了彻底的分析（例如，参见参考文献。2以及其中的参考）。此外，有人会说“能量并不像经典情况下不存在有界轨道所表明的那样是量子化的……，“这又一次用有缺陷的论点“解释”了其他作者的正确结果。
我们还指出，在上述出版物之前，参考文献。三，然后在参考。4，在空间维度上有一个无关紧要的变化。同样的错误在那里重复出现，而在参考文献中处理的1D案例中。三另一种说法是，粒子会从原点反弹，始终停留在原点的左侧或右侧，这与常识和任何合理的正则化建议背道而驰。
感谢联阿援助团-太平洋投资信托基金根据第IN107915（W.B.）、IN114712（C.C.）和IN107113（M.S.）号赠款提供的部分支持，以及根据第CB 155905（W.B）、103486（C.C。
