找到有限尺寸Kuramoto模型的平衡点相当于求解非线性方程组，这是一个重要但具有挑战性的问题。我们将其转化为代数几何问题，并使用数值方法找到各种耦合常数选择的所有平衡点K（K）、自然频率和不同的图形。我们注意到，即使尺寸适中(N个 ∼ 10–20），平衡数已经超过10万。我们分析了每个计算平衡的稳定性以及角度的配置。我们对平衡景观的探索导致了意想不到的、可能令人惊讶的结果，包括平衡数量的非单调性、平衡指数的可预测模式、猜想的反例、多稳定平衡景观、只有不稳定平衡的场景、，稳定平衡分布中的多个不同极值是图中循环数的函数。

话题
非线性系统, Kuramoto模型, 振荡器, 计算方法, 代数拓扑, 图论, 算子理论, 代数几何, 耦合常数, 统计力学模型

Kuramoto模型是1975年提出的一个研究同步现象的有趣模型1这些模型因其适用性而受到了各个科学界的关注，包括生物学、化学、物理学和电子工程。该模型已被用于研究各种现象，包括神经网络、化学振荡器、约瑟夫森结和激光阵列、电网、粒子配位、自旋玻璃模型、，以及有节奏的掌声。2–4本文的目的是介绍Kuramoto模型平衡计算问题的代数几何解释。我们的解释需要求解多项式方程组，我们讨论了数值代数几何中非常适合这些问题的技术。计算参数空间中各点的平衡并分析其稳定性可以为同步现象提供新的见解。

Kuramoto模型被定义为一个自治常微分方程系统，如下所示

d日θ我d日t吨=ω我负极K（K）N个∑j个=1N个一我,j个 罪(θ我负极θj个) 对于 我=1,…,N个,
(1)

哪里K（K）是耦合强度，N个是振荡器的数量，Ω=(ω1,…,ωN个)是固有频率的矢量，以及一我,j个 = 一j个,我∈{0，1}是(我,j个)我们假设耦合图的邻接矩阵的入口是无向的。固有频率ω我指出在没有任何耗散或外力的情况下，系统是如何振荡的。在不失一般性的情况下，我们假设∑我=1N个ω我=0⁠特别是，如果ω¯:=∑我=1N个ω我/N个⁠，然后转换为旋转框架，θ我↦θ我负极ω¯t吨导致重新缩放的固有频率ω̃我=ω我负极ω¯令人满意的∑我=1N个ω̃我=0⁠.

平衡条件为d日θ我d日t吨=0为所有人我。该方程组具有O（运行）（2） 自由，即任何α∈ (−π,π]，方程在全部替换下是不变的θ我具有θ我 + α这种旋转对称导致平衡的延续O（运行）（2） 自由导致有限多个平衡，我们固定其中一个角度，例如，θN个 = 0，并移除方程式d日θN个d日t吨=0来自系统。其余系统包括N个−1非线性方程N个−1个角度。自∑我=1N个d日θ我d日t吨=∑我=1N个ω我=0⁠，从系统中删除一个方程不会丢失任何信息。有关删除O（运行）（2） 自由。

提供耦合强度K（K）足够强时，振荡器将同步t吨→∞在此设置中，关键联轴器K（K）c（c）(N个)存在稳定平衡数从0变为非零值的情况。在特殊情况下N个→∞和远程（全对全）耦合一我,j个 = 1，可以分析计算K（K）c（c）(N个). 然而，对于有限尺寸的Kuramoto模型，这样的分析可能非常困难。特别是，找到所有平衡点、分析稳定性和K（K）c（c）(N个)已知对于有限但较大的振荡器群来说非常困难。

因为我们使用的是无向耦合图，即。，一我,j个 = 一j个,我为所有人我,j个，我们指出，系统（1）的平衡点也可以看作是由带有外生扰动项的平均场XY模型绘制的势能景观的驻点

V（V）(θ)=K（K）2N个∑我,j个=1N个一我,j个(1负极余弦(θ我负极θj个))负极∑我=1N个ω我θ我,
(2)

其梯度再现了方程的右侧。(1)因此，在下文中，我们可以互换使用平衡点和驻点。

有限的所有驻点N个参考文献中确定了平均场XY模型（即具有均匀频率的Kuramoto模型）。5.根据参考建造。5，一维最近邻的所有驻点XY公司模型（即带有局部耦合的Kuramoto模型）N个发现了周期或反周期边界条件。6–9 

使用这些解，二维最近邻的一类平稳点XY公司模型10和XY公司长程相互作用模型11构建和分析（另请参见参考。12和13). 参考文献。6,7,12、和14，用代数几何方法求出了小格子的所有驻点。平衡数的界15以及一些似是而非的猜想的反直觉例子16在电力系统领域中，已报告了同一模型。

参考文献。5对于有限的N个平均场XY公司模型和参考。6和10给最近的邻居XY公司模型，结果表明存在指数级的孤立定态解N个增加。此外，即使在打破全球O（运行）（2） 对称性，在能量的最大值处有连续的解，这些解被独立观察并称为非相干流形参考文献中。17.

参考文献。18–20，给出了完备图和二部图的有限尺寸Kuramoto模型存在不动点的充要条件，并给出了不动点存在的显式上下界K（K）c（c）(N个)对这些系统也进行了计算，然后提供了一个计算算法K（K）c（c）(N个). 对于完整的图表，参考文献中给出了类似的结果。21和22，其中还表明K（K） > K（K）c（c）(N个). 参考文献。23对于无圈图、短圈图、完全图及其组合，也给出了类似的结果。在具有足够高节点度的均匀自然频率网络的情况下，已知的唯一稳定不动点是相位同步解。24参考文献。25，对一维Kuramoto模型的所有稳定同步态进行了分类，该模型位于具有随机固有频率的环图上，此外还计算了K（K）c（c）(N个)（另请参见参考文献。26,44、和45).

我们提出了一种研究Kuramoto模型的方法，使用平衡的代数几何解释和同步研究。如上所述，在不失一般性的前提下，假设ωN个=负极∑我=1N个负极1ω我⁠，固定θN个 = 0，并删除N个方程，我们有

0=ω我负极K（K）N个∑j个=1N个一我,j个 罪(θ我负极θj个) 对于 我=1,…,N个负极1
(3)

我们使用身份罪(x个负极年)=罪 x个 余弦 年负极罪 年 余弦 x个和替代品秒我=罪 θ我和c（c）我=余弦 θ我转换N个−1方程转化为多项式，通过毕达哥拉斯恒等式耦合秒我2+c（c）我2=1⁠。这导致系统为2(N个−1）多项式(N个−1）变量

0=ω我负极K（K）N个∑j个=1N个一我,j个(秒我c（c）j个负极秒j个c（c）我)0=秒我2+c（c）我2负极1.
(4)

给定一个固定整数N个，我们的第一个目标是找到多项式系统的所有实解(4)对于给定的Ω选择，K（K）、和邻接矩阵A类 = [一我,j个]. 我们使用数值代数几何中的一种技术通过参数同伦来实现这一点，我们将在下面简要回顾。一旦系统被求解，我们通过分析每个实解处雅可比矩阵的特征值来确定哪些解（如果有的话）是稳定的稳态解。

对于固定N个，我们可以将（4）解释为系统如果N个(秒,c（c）；K（K）, Ω,A类)=0，带变量秒和c（c）和参数K（K）、Ω和A类这导致使用参数同伦27用于求解，这是一个两步过程。首先，在从头算阶段，计算一组足够随机的参数的所有解。然后，在参数同伦阶段，通过变形在从头算阶段。这个从头算相位执行一次，而参数同伦相位则针对每组参数执行。以下是简短的介绍，参考文献中提供了更多细节。28，第7章和参考。29，第6章。

这个过程是其他标准同伦方法的推广，例如全度同伦或多齐同伦经常使用的，例如参考文献。28,29、和32–40该方法最近也用于求解功率流系统。30,31例如，考虑求解米多项式方程米变量，（f）(x个)=(（f）1(x个),…,（f）米(x个))=0哪里x个=(x个1,…,x个米)⁠对于全度同伦，感兴趣的空间是所有多项式系统的空间克(x个)第页，共页米多项式米变量，其中d日我:=度（f）我=度克我⁠。由于此空间中的随机元素具有根的Bézout数，即，∏我=1米d日我⁠、系统G公司=(G公司1,…,G公司米)=0⁠，其中G公司我(x个)=x个我d日我负极1在这个空间中足够随机。

在这种情况下从头算解决阶段G公司 = 0是微不足道的。然后，在参数同伦阶段，可以考虑同伦H（H）(x个,t吨)=(1负极t吨)（f）(x个)+γt吨G公司(x个)对于随机的γ∈ℂ⁠现在H（H）(x个,t吨)=0时t吨 = 1已知，我们想计算H（H）(x个，0）=0。使用在贝尔蒂尼,41我们跟踪每个解决方案路径t吨 = 1至t吨 = 0.数字γ确保此类路径跟踪将获得全部的的孤立复解（f）(x个)=0，从中可以识别真实解和非真实解。对于非奇异解，可以证明这种识别。42 

现在，回到我们的案子如果N个为了简单起见，假设我们想研究如果N个 = 0作为的函数K（K），也就是说，我们还固定Ω和A类。在从头算阶段，我们选择一个随机K（K）=K（K）0∈ℂ并计算解S公司0属于如果N个(秒,c（c）；K（K）0,Ω,A类)=0使用上面通过描述的全度同伦贝尔蒂尼.

在参数同伦阶段，我们考虑求解各种参数的选择K（K）例如。，K（K） = 2-100。对于以下各项中的每一项选择K（K），我们只需跟踪如果N个(秒,c（c）；K（K）·(1负极t吨)+t吨·K（K）0,Ω,A类)=0开始于t吨 = 1和解决方案S公司0。每种计算都相对便宜，因此可以在数百种不同的选择下计算K（K）.

所得解根据它们是否真实进行排序，其稳定性研究如下。从正弦秒我和余弦c（c）我值，我们计算相应的角度θ我的Jacobian的本征值(1)用于分析稳定性。这个指数是负特征值的数目，因此指数为零的实解对应于稳定的稳态。

我们从对应于无向完全图的最突出和研究最充分的情况开始，即，一我,j个 = 1.我们选择Ω=(ω1…ωN个)将成为N个等距数，即，ω我=负极1+(2我负极1)/N个⁠.数字1和2总结多项式系统实值解的个数(4)对于N个 = 3–18，各种值为K（K）一般来说，我们看到不同的实际解决方案的数量随着K（K）增加。然而，这种预期的单调性特性有一些令人惊讶的例外，例如N个 = 9案例有328个实际解决方案K（K） = 60和326个实际解决方案K（K） = 70.我们的结果表明，最终实际解的数量对于每个解都稳定为常数N个。对于N个 = 18，当K（K） = 50; 如果没有多项式公式，计算这些值将非常困难。

图1。
图1。在1≤K≤2的条件下，完整图上等距自然频率的平衡数。
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1≤时完整图上等距固有频率情形的平衡数K（K） ≤ 2

图1。
图1。在1≤K≤2的条件下，完整图上等距自然频率的平衡数。
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1≤时完整图上等距固有频率情形的平衡数K（K） ≤ 2

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图2。
图2。在2≤K≤100时，完整图上等距自然频率的平衡数。
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在2≤2的完全图上等距自然频率情况下的平衡数K（K） ≤ 100

图2。
图2。在2≤K≤100时，完整图上等距自然频率的平衡数。
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完全图上2≤等距固有频率的平衡数K（K） ≤ 100

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一旦找到真正的解决方案，我们将注意力转向确定哪些是稳定的。通过分析雅可比矩阵，我们发现对于N个 = 每个3–18个K（K）测试值，小值除外K（K）这导致没有真正的解决方案。这一结果与完整图的理论结果一致。19–22接下来，针对每个N个，我们使用稳定性分析的结果来确定K（K）c（c）(N个)如下所示。我们获得了一个上界K（K）c（c）(N个)通过确定的最小测试值K（K）找到了一个真正的稳态。类似地，我们发现K（K）c（c）(N个)通过确定最大测试值K（K）没有发现真正的稳态。这些结果如图所示三。我们验证了K（K）c（c）(N个)与参考文献中已知的明确界限一致。4，推论6.7。对于N个∈{3,4}，由于测试数值的粗略分辨率，我们计算的下限小于显式下限K（K）c（c）(N个).

图3。
图3。完整图上等距自然频率情况下Kc（N）的界。参考中已知的显式边界。4，为了进行比较，显示了推论6.7。
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的边界K（K）c（c）(N个)在完整图上的等距自然频率的情况下。参考中已知的显式边界。4，推论6.7用于比较。

图3。
图3。完整图上等距自然频率情况下Kc（N）的界。参考中已知的显式边界。4，推论6.7用于比较。
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的边界K（K）c（c）(N个)在完全图上自然频率等距的情况下。参考中已知的显式边界。4，推论6.7用于比较。

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参考文献。16，假设存在稳定平衡，则存在满足|θ我负极θj个|<π/2为所有邻居{我,j个}. 我们检验了这个猜想，很快就找到了反例。对于N个 = 3和K（K） = 1.15，在(θ1,θ2,θ三)≈(1.6820,0.8410,0)⁠.自θ1和θ三与…耦合|θ1负极θ三|>π/2⁠，我们拒绝这个猜测。

对于较大的N个，唯一的稳定平衡可以有更分散的角度，例如(θ1,…,θ15)≈(2.0981,1.8867,…,0.2114,0)什么时候N个 = 15和K（K） = 1.3. 这些有趣的数值观察促使我们分析性地拒绝参考文献中的猜想。16；参考文献中。4，表明了最坏情况下的平衡配置K（K） = K（K）c（c）和n个 > 3对应于跨越半圆的所有角度的三极分布。来自参考。21和22，我们知道这是唯一稳定的平衡。这两个论点足以拒绝参考文献中的猜想。16.

如前所述，我们的稳定性分析基于计算每个实际解决方案对应的指数。图4显示了案例中这些值的直方图K（K） = 100.我们观察到j个相对于而言足够小N个，带索引的实解数j个确实是(N个j个)⁠特别是对于3≤N个 ≤ 4发生此行为的原因j个 ≤ 1和，对于5≤N个 ≤ 18，这种行为发生在j个≤⌈ 25(N个负极1) 中国⁠根据这些结果，我们推测这种现象通常会发生：对于等间距的固有频率，如果0≤j个≪N个和K（K）≫0，则为带指数的平衡数j个预计将(N个j个)⁠。当N个可能太大，无法计算所有解。例如，我们预计指数5的75 287 520实际平衡N个 = 100

图4。
图4。具有给定指数的等距自然频率和K=100的完整图的平衡数。
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具有给定指标的等距固有频率的平衡数和具有K（K） = 100

图4。
图4。具有给定指标的等距自然频率和K=100的完整图的平衡数。
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具有给定指标的等距固有频率的平衡数和具有K（K） = 100

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虽然我们的研究最初集中在研究最充分的完整图上，但我们也对由无向循环图定义的耦合排列进行了初步分析。循环图以具有多稳态平衡而闻名，4完全不稳定的平衡景观16它不同于非循环图或完全图。23,43,45

对于N个 = 10，我们使用了图中前面提到的相同的等距自然频率5显示每个整数的平衡数和稳定平衡数K（K） = 0–100.

图5：。
图5：。当N=10时，循环耦合布置的平衡数和稳定平衡数。
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循环耦合布置的平衡数和稳定平衡数，当N个 = 10

图5：。
图5：。当N=10时，循环耦合布置的平衡数和稳定平衡数。
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循环耦合布置的平衡数和稳定平衡数，当N个 = 10

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对于的某些值K（K），系统只具有不稳定平衡。特别是当K（K）是13、14或15，分别有76、164和260个平衡点，所有这些平衡点都是不稳定的。由于潜力的临界点(2)与输电网络中的功率流相对应，这些结果的一个非常有趣的技术含义是，存在着只有不稳定平衡才能满足的功率需求K（K） = 16，结论15≤K（K）c（c）（10） ≤16.图5也表示某些值的多重稳定性K（K），最多三每个研究样品的稳定平衡。这些结果与完全图情形相反，在完全图情形中，只要系统有实值解，就正好存在一个稳定平衡。

接下来，我们仔细观察图中所示稳定平衡点处角的几何配置5.对于相对较小的K（K）例如K（K） = 16、17和18，稳定平衡时的角度配置没有显示出可辨别的结构。对于K（K） = 35有两个稳定的平衡点，一个表现出相位同步，即围绕0聚集的角度，另一个表现为张开状态，即在[0,2上近似均匀分布的角度π). 对于散索状态θ我[0,2上的减少π).

对于每个K（K） = 36–100，有三个稳定的平衡，每个平衡由一个相位同步和两个散态组成。在这些张开状态中的一种θ1,…,θ9在[0,2上按递增顺序排列π)，在另一个θ9,…,θ1在[0,2上按降序排列π). 在图中6，我们在K（K） = 100.作为K（K）增加时，稳态相位同步逐渐变得更加紧密，角度范围从～0.9432减小K（K） = 35至～0.3256K（K） = 100.这与精确相位同步是Kuramoto势的临界点这一渐近结果相一致(2)作为K（K）→∞.4 

图6。
图6。N=10的循环图在K=100处发生的三个稳定平衡的θ1，…，θ10的构型。
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的配置θ1,…,θ10对于发生在K（K） = 100表示循环图N个 = 10

图6。
图6。N=10的循环图在K=100处发生的三个稳定平衡的θ1，…，θ10的构型。
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的配置θ1,…,θ10对于发生在K（K） = 100表示循环图N个 = 10

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现在我们将注意力转向随机耦合安排。在这些计算中，我们选择每一个一我,j个根据预先确定的概率为0或1对设置时一j个,我 = 一我,j个换句话说[一我,j个]是具有耦合概率的对称Erdös-Rényi随机图的邻接矩阵对，其中我们将注意力局限于无向连通图。对于这些数值实验，我们使用前面讨论过的相同的等距自然频率。

首先，我们修复N个 = 8和K（K） = 100并研究稀疏随机图的稳定平衡数。对于每个c（c） = 0，1，…，20，我们构造了100个随机图c（c）循环。我们通过生成对称Erdős-Rényi随机图的邻接矩阵来实现这一点，直到有100个具有所需圈数的连通图实例为止。根据图表，我们可以找到1、2或3个稳定的平衡点7证明了最稀疏（即无圈）和足够稠密的图正好有一个稳定的平衡点，从而证实了这两个极值拓扑的分析结果。4,21–24由于已知循环显示多稳定性（见图5)，可以预期，对于小循环数，存在多个稳定平衡。令人惊讶的是，在图中的稳定平衡分布中可以观察到多个不同的极值7.

图7。
图7。在N=8和K=100的情况下，随机图的稳定平衡数与循环数有关。
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随机图的稳定平衡数与循环数的关系N个 = 8和K（K） = 100

图7。
图7。在N=8和K=100的情况下，随机图的稳定平衡数与循环数有关。
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随机图的稳定平衡数与循环数的关系N个 = 8和K（K） = 100

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接下来，我们修复N个 = 10并调查如何K（K）c（c）(N个)取决于图形的密度。对于每个耦合概率对 = 0.25，0.375，…，0.875，我们生成了100个随机图。对于每个图，我们计算了平衡并确定了以下值的稳定性K（K）：用于对 = 我们使用0.25K（K） = 1–20; 对于对 = 我们使用0.375K（K） = 1–15; 对于对 = 我们使用0.5K（K） = 1–10; 以及每个对 = 0.625、0.75和0.875，我们使用K（K） = 1-5.在所有情况下，我们都会发现K（K）至少有一个稳定平衡发生在K（K）而在K（K）–1，从而允许我们估计K（K）c（c）(10). 图8显示了根据图形中的循环数排序的结果。

图8。
图8。在N=10的情况下，随机图的Kc（N）上的平均界取决于循环数。
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上的平均界限K（K）c（c）(N个)根据循环数的随机图N个 = 10

图8。
图8。在N=10的情况下，随机图的Kc（N）上的平均界取决于循环数。
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上的平均界限K（K）c（c）(N个)根据循环数的随机图N个 = 10

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对于无向连通图，给出了一个理论下界和一个猜想的理论上界4，23

N个·最大值我{ |ω我|度我 }≤K（K）c（c）(N个)≤N个·‖ B类T型L（左）†ω ‖∞,

哪里度我=∑j个一我,j个是节点的度数我,B类是定向关联矩阵，并且L（左）是网络拉普拉斯矩阵。这些边界如图所示8用于比较。我们验证了我们的600个个人结果以及显示的平均值与这些理论界一致，并验证了其准确性。图8表明数值上界平均比理论上界更紧，而数值下界往往更弱。由于计算边界的紧密性取决于K（K）测试值，可以检查更精细的K（K）值以获得特定感兴趣图形的更严格数值边界。

通过将平稳方程转换为多项式方程组，我们将寻找Kuramoto模型所有平衡点的问题解释为代数几何问题。耦合常数、固有频率和相应图的邻接矩阵的项都可以视为系统的参数。通过这种统一，我们证明了多项式同伦延拓与参数同伦相结合不能只找到全部的每个参数点的独立平衡，但也可以扫描大量参数，而无需在每个实例中重新求解系统。

对于完全图，我们发现平衡数中意外的非单调性为K（K）增加。我们的稳定性分析使我们得出了一个关于某个指数的期望平衡数的猜想。我们对稳态角组态的研究使我们拒绝了参考文献中的一个猜想。16对于循环图，我们注意到某些耦合常数K（K）结果只有不稳定的平衡点，并且我们显示了多稳态场景，其多模态稳定平衡分布取决于循环数。我们对随机图的实验从更广的意义上揭示了Kuramoto模型，并表明了耦合概率的重要性。我们的所有结果都与可用的理论界一致，这些理论界有时非常宽松。

也许更重要的是，对于复杂系统领域，通过代数几何解释和计算方法，我们已经开发了一种可靠而直接的方法来界定临界耦合K（K）c（c）(N个)用于不依赖于任何特定频率分布或图形拓扑的有限大小Kuramoto模型中的同步。我们正在编写一个更具体的算法来计算K（K）c（c）(N个)基于代数几何解释和参数同伦计算，达到任意精度。

通过使用这种代数几何解释，人们还可以研究存在无穷多个临界点的情况，例如，当ω我 = 0代表全部我所得到的多项式系统将具有正维解分量，该正维解分量可以通过数值代数几何来计算，例如，参见参考文献。29，第8章。使用代数几何观点分析此类组件超出了本文的当前范围，但可以在未来解决。

此外，我们旨在将我们的研究扩展到有向图、负权重、余弦耦合和随机图模型的统计特性，并验证参考文献。43.

D.M.感谢Carlo Laing和Steven Strogatz在这项工作的初始阶段提供的反馈意见。N.S.D.、J.D.H.和D.M.获得了DARPA青年教师奖和斯隆研究奖学金的支持，N.S.D.和J.D.H还获得了NSF DMS-1262428的支持。F.D.的部分资金来源于苏黎世理工大学创业基金。

在第。我，我们注意到平衡条件d日θ我d日t吨=0形成一个系统N个方程式O（运行）（2） 自由。那是，对任何人来说α∈ (−π,π]，平衡条件在旋转下不变θ我↦θ我 + α为所有人我。我们解决了这个问题O（运行）（2） 固定自由θN个 = 0并删除N个系统的第个方程。我们声称在这种简化中没有丢失任何信息，因为∑我ω我=0⁠。在本附录中，我们按照不同的步骤删除O（运行）（2） 自由，并表明这两种公式实际上是等价的。

对于任何无向耦合图A类 = [一我,j个]，（1）意味着∑我d日θ我d日t吨=∑我ω我⁠特别是平衡，即。，d日θ我d日t吨=0对于我 = 1,…,N个，仅当∑我ω我=0⁠.

我们着手解决d日θ我d日t吨=0对于我 = 1,…,N个通过考虑ϕ我,j个=θ我负极θj个对于每个我,j个 = 1,…,N个。由于系统具有O（运行）（2） 自由，与不同的阶段而不是阶段本身一起工作是很自然的。

有了这个设置，我们就有了这个系统

ϕ我,j个=θ我负极θj个 对于 每个 我,j个=1,…,N个0=ω我负极K（K）N个∑j个=1N个一我,j个 罪 ϕ我,j个 对于 我=1,…,N个.

如前所述，线性和三角条件都包含冗余信息。例如，ϕ我,我=0,罪 ϕ我,我=0⁠、和ϕ我,j个=负极ϕj个,我⁠因此，我们可以立即限制变量ϕ我,j个1≤我 < j个 ≤ N个.经观察ϕ我,j个=ϕ我,N个负极ϕj个,N个⁠，我们只剩下N个−1个变量：ϕ我,N个对于我 = 1,…,N个− 1.

对于我 = 1,…,N个−1，此设置产生以下结果：

0=ω我负极K（K）N个∑j个=1N个一我,j个 罪 ϕ我,j个=ω我负极K（K）N个((∑j个=1N个负极1一我,j个 罪(ϕ我,N个负极ϕj个,N个))+一我,N个 罪 ϕ我,N个),
（A1）

使用N个第个方程为

0=ωN个负极K（K）N个∑j个=1N个一N个,j个 罪 ϕN个,j个=ωN个+K（K）N个∑j个=1N个一N个,j个 罪 ϕj个,N个.
（A2）

自解决以来（f）1=⋯=（f）N个负极1=（f）N个=0相当于求解（f）1=⋯=（f）N个负极1=∑我=1N个（f）我=0⁠，我们可以更换（A2）通过相应的和，简化为

0=∑我=1N个ω我
（A3）

使用图是无向的假设，即。，一我,j个 = 一j个,我，以及正弦函数的反对称性，即。，罪(负极x个)=负极罪(x个)⁠.自（A3）满足假设（否则不存在平衡），则此分析得出以下系统N个−1方程式，见（A1）在里面N个−1个变量ϕ我,N个对于我 = 1,…,N个− 1.

现在，我们简单地定义θ̃我=ϕ我,N个对于我 = 1,…,N个−1和θ̃N个=0⁠.自罪(ϕ我,N个)=罪(θ̃我负极θ̃N个)⁠,（A1）减少到(3)重新标记时。

特别是，我们已经表明，在我们的示例中，将一个角度设置为0相当于使用相位差作为处理O（运行）（2） 对称性。

1
年。
 
库拉莫托
,
理论物理数学问题国际研讨会
(
施普林格
,
1975
)，第页。
420
–
422
.
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
2
J.A.公司。
 
阿塞布隆
,
法律。
 
博尼拉
,
C.J.公司。
 
佩雷斯·文森特
,
F、。
 
Ritort公司
、和
对。
 
Spigler公司
,
修订版Mod。物理学。
 
77
(
1
),
137
(
2005
).
https://doi.org/10.1103/RevModPhys.77.137
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
三。
S.H.公司。
 
斯特罗加茨
,
物理D
 
143
(
1
),
1
–
20
(
2000
).
https://doi.org/10.1016/S0167-2789(00)00094-4
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
4
F、。
 
德弗勒
和
F、。
 
布洛
,
Automatica公司
 
50
(
6
),
1539
–
1564
(
2014
).
https://doi.org/10.1016/j.automatica.2014.04.012
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
5
L。
 
卡塞蒂
,
M。
 
佩蒂尼
、和
E.G.D.公司。
 
科恩
,
《统计物理学杂志》。
 
111
,
1091
–
1123
(
2003
).
https://doi.org/10.1023/A:1023044014341
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
6
D。
 
梅塔
, “
晶格与连续体：Landau规范固定和't Hooft-Polyakov单极子
，“博士论文，
澳大利亚阿德莱德大学数字论文项目
,
2009
.
谷歌学者
 
7
D。
 
梅塔
和
M。
 
卡斯特纳
,
安·物理。
 
326
,
1425
–
1440
(
2011
).
https://doi.org/10.1016/j.aop.20110.12.016
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
8
L。
 
冯·斯梅卡尔
,
D。
 
梅塔
,
答：。
 
斯特恩贝克
、和
A.G.公司。
 
威廉姆斯
，英寸
PoS拉丁美洲
 
2007
，第页。
382
.
9
L。
 
冯·斯梅卡尔
,
答：。
 
约尔科夫斯基
,
D。
 
梅塔
、和
答：。
 
斯特恩贝克
.英寸
PoS限制
,
2008
，卷。
8
，第页。
048
.
10
对。
 
内拉提尼
,
M。
 
卡斯特纳
,
D。
 
梅塔
、和
L。
 
卡塞蒂
,
物理学。版本E
 
87
(
三
),
032140
(
2013
).
https://doi.org/10.103/PhysRevE.87.032140
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
11
M。
 
卡斯特纳
,
物理学。版本E
 
83
(
三
),
031114
(
2011
).
https://doi.org/10.103/PhysRevE.83.031114
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
12
C、。
 
休斯
,
D。
 
梅塔
、和
J.-I.公司。
 
斯库莱鲁
,
安·物理。
 
331
,
188
–
215
(
2013
).
https://doi.org/10.1016/j.aop.2012.12.011
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
13
D。
 
梅塔
和
M。
 
施洛克
,
物理学。版次D
 
89
,
094512
(
2014
).
https://doi.org/10.103/PhysRevD.89.094512
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
14
D。
 
梅塔
,
答：。
 
斯特恩贝克
,
L。
 
冯·斯梅卡尔
、和
A.G.公司。
 
威廉姆斯
，英寸
PoS，质量控制数据-TNT09
,
2009
，第页。
025
.
15
J。
 
贝利乌尔
和
C.国际。
 
拜恩斯
,
IEEE传输。电路系统。
 
29
(
11
),
724
–
737
(
1982
).
https://doi.org/10.109/TCS.1982.1085093
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
16
答：。
 
阿拉波斯塔提斯
,
美国。
 
萨斯特里
、和
第页。
 
瓦莱亚
,
国际电工杂志。电力能源系统。
 
三
(
三
),
115
–
126
(
1981
).
https://doi.org/10.1016/0142-0615（81）90017-X
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
17
S.H.公司。
 
斯特罗加茨
和
右。
 
米罗洛
,
《统计物理学杂志》。
 
63
(
3–4
),
613
–
635
(
1991
).
https://doi.org/10.1007/BF01029202
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
18
M。
 
维沃德
和
O。
 
梅森
,
SIAM J.应用。动态。系统。
 
8
(
1
),
417
–
453
(
2009
).
https://doi.org/10.1137/080725726
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
19
M。
 
维沃德
和
O。
 
梅森
,
SIAM J.应用。动态。系统。
 
7
(
1
),
134
–
160
(
2008
).
https://doi.org/10.1137/070686858
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
20
F、。
 
德弗勒
和
F、。
 
布洛
,
SIAM J.应用。动态。系统。
 
10
(
三
),
1070
–
1099
(
2011
).
https://doi.org/10.1137/10081530X
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
21
D。
 
Aeyels公司
和
J.A.公司。
 
罗格
,
掠夺。西奥。物理学。
 
112
(
6
),
921
–
942
(
2004
).
https://doi.org/10.1143/PTP.112.921
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
22
R.E.公司。
 
米罗洛
和
S.H.公司。
 
斯特罗加茨
,
物理D
 
205
(
1–4
),
249
–
266
(
2005
).
https://doi.org/10.1016/j.physd.2005.0117
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
23
F、。
 
德弗勒
,
M。
 
切尔科夫
、和
F、。
 
布洛
,
程序。国家。阿卡德。科学。美国。
 
110
(
6
),
2005
–
2010
(
2013
).
https://doi.org/10.1073/pnas.121234110
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
公共医学
 
24
对。
 
泰勒
,
物理学杂志。A： 数学。西奥。
 
45
(
5
),
055102
(
2012
).
https://doi.org/10.1088/1751-8113/45/055102
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
25
J。
 
奥恰布
和
P.F.公司。
 
戈拉
, “
局部一维Kuramoto模型中耦合振子的同步
，“预打印arXiv:0909.0043(
2009
).
谷歌学者
 
26
第页，共页。
 
蒂莱斯
,
F.F.公司。
 
费雷拉
、和
H.A.公司。
 
Cerdeira公司
,
物理学。版本E
 
83
,
066206
(
2011
).
https://doi.org/10.103/PhysRevE.83.066206
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
27
A.P.公司。
 
摩根
和
A.J.公司。
 
索梅塞
,
申请。数学。计算。
 
29
(
2
),
123
–
160
(
1989
).
https://doi.org/10.1016/0096-3003(89)90099-4
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
28
A.J.公司。
 
索梅塞
和
C.W.公司。
 
Wampler公司
,
工程与科学中多项式系统的数值解
(
世界科学出版社
,
新泽西州哈肯萨克
,
2005
).
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
29
D.J.博士。
 
贝茨
,
J·D·。
 
豪恩斯坦
,
A.J.公司。
 
索梅塞
、和
C.W.公司。
 
Wampler公司
,
用Bertini数值求解多项式系统
(
暹罗
,
2013
)，卷。
25
.
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
30
D。
 
梅塔
,
小时。
 
阮（Nguyen）
、和
英国。
 
图里钦
, “
定位所有潮流解的数值多项式同伦延拓方法
，“预打印arXiv:1408.2732(
2014
).
谷歌学者
 
31
美国。
 
钱德拉
,
D。
 
梅塔
、和
答：。
 
查克拉波蒂
, “
用数值延拓方法研究风穿透对电力系统平衡的影响
，“预打印arXiv公司：1409.7844(
2014
).
谷歌学者
 
32
D。
 
梅塔
,
高级高能物理。
 
2011
,
263937
https://doi.org/10.1155/2011/263937
.
交叉参考
搜索ADS
 
33
M。
 
亚蒂斯
和
D。
 
梅塔
,
欧洲物理学。J.Plus公司
 
127
,
91
(
2012
).
https://doi.org/10.1140/epjp/i2012-12091-1
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
34
M。
 
卡斯特纳
和
D。
 
梅塔
,
物理学。修订稿。
 
107
,
160602
(
2011
).
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.107.160602
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
公共医学
 
35
D。
 
梅塔
,
Y.-H年。
 
他
、和
J·D·。
 
豪恩斯坦
,
JHEP公司
 
2012
(
18
),
1207
(
2012
)
https://doi.org/10.1007/JHEP07(2012)018
.
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
36
D。
 
梅塔
,
J·D·。
 
豪恩斯坦
、和
M。
 
卡斯特纳
,
物理学。版本E
 
85
,
061103
(
2012
).
https://doi.org/10.103/PhysRevE.85.061103
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
37
B。
 
格林
,
D。
 
卡根
,
答：。
 
马苏米语
,
D。
 
梅塔
,
E.J.公司。
 
温伯格
、和
X。
 
肖
,
物理学。版次D
 
88
(
2
),
026005
(
2013
).
https://doi.org/10.103/PhysRevD.88.026005
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
38
D。
 
梅塔
,
D.A.博士。
 
斯塔里奥
、和
M。
 
卡斯特纳
,
物理学。版本E
 
87
(
5
),
052143
(
2013
).
https://doi.org/10.103/PhysRevE.87.052143
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
39
D。
 
马丁内斯·佩德雷拉
,
D。
 
梅塔
,
M。
 
拉梅尔
、和
答：。
 
威斯特伐尔
,
JHEP公司
 
2013
(
110
),
1306
(
2013
)
https://doi.org/10.1007/JHEP06(2013)110
.
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
40
Y.-H年。
 
他
,
D。
 
梅塔
,
M。
 
尼默格
,
M。
 
拉梅尔
、和
答：。
 
瓦拉努
,
JHEP公司
 
2013
(
50
),
1307
(
2013
)
https://doi.org/10.1007/JHEP07(2013)050
.
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
41
D.J.博士。
 
贝茨
,
J、D。
 
豪恩斯坦
,
A.J.公司。
 
索梅塞
、和
C.W.公司。
 
Wampler公司
, “
Bertini：数值代数几何软件
，“可从获取http://bertini.nd.edu.
42
J·D·。
 
豪恩斯坦
和
F、。
 
Sottile公司
,
ACM事务处理。数学。软件
 
38
(
4
),
28
(
2012
)
https://doi.org/10.1145/2331130.2331136
.
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
43
D.A.博士。
 
威利
,
S.H.公司。
 
斯特罗加茨
、和
M。
 
吉尔万
,
混乱
 
16
,
015103
(
2006
).
https://doi.org/10.1063/1.2165594
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
公共医学
 
44
S.H.公司。
 
斯特罗加茨
和
R.E.公司。
 
米罗洛
,
物理D
 
31
,
143
(
1988
).
https://doi.org/10.1016/0167-2789(88)90074-7
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
45
G.B.公司。
 
Ermentrout公司
,
数学杂志。生物。
 
23
,
55
(
1985
).
https://doi.org/10.1007/BF00276558
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
公共医学
 
©2015 AIP出版有限责任公司。
2015
AIP出版有限责任公司