Resonance phenomena in a time-dependent, three-dimensional model of an idealized eddy

Rypina, I. I.; Pratt, L. J.; Wang, P.; Özgökmen, T. M.; Mezic, I.

doi:10.1063/1.4916086

我们分析了与时间相关的三维埃克曼驱动旋转圆柱流中拉格朗日运动和物质屏障的几何结构，这是海洋和大气中孤立的海洋涡旋和其他具有圆柱几何结构的翻转细胞的理想化。流动在顶部被迫通过振荡的上盖，其响应取决于盖振荡的频率和振幅。特别是，拉格朗日几何在非受迫流共振圆环附近发生变化，其频率与受迫频率有着合理的关系。使用多尺度分析展开法简化共振轨迹附近的流动，并研究共振流动的几何形状。共振条件和标度可以由简单的物理论证激发。然后，通过在唯象模型和Navier-Stokes方程的完全解中进行的数值模拟，验证了共振轨迹附近理论预测的流动几何。

共振现象，即系统对某些强迫频率的响应增强，出现在从生物学到等离子体物理学的各种不同科学学科中。在地球物理流体流动中，共振可以改变拉格朗日运动的几何形状，产生或破坏运输障碍，从而改变流动的一些关键海洋学特性，例如系统重新分配示踪剂和混合水团的能力。在本文中，我们将探讨这些思想在海洋涡旋中的应用。海洋涡旋有助于维持整个世界海洋的大规模水文结构、分层、环流以及生物和地球化学示踪剂的分布。然而，拉格朗日运动的几何形状和涡流中存在的物质屏障，涡流捕获和形成示踪场的确切机制，以及它们对不断变化的风力的响应，还没有完全理解。通过探索拉格朗日几何和研究孤立海洋涡旋理想模型中的输运障碍，我们的工作提供了一个难题。

I.简介

在飓风、海洋中尺度涡旋和涉及层流混合技术的许多工业应用中，流体流动将水平旋转运动与垂直翻转结合在一起。相关的工业流包括，例如，盖驱动的圆柱形腔体或旋转球体内的流(Znaien公司等。, 2012;普兰萨里等。, 2010; 和莫哈拉纳等。, 2013). 海洋应用的经典模型是“旋转罐”流（图。1)流体被限制在带有实心垂直壁和上/下盖的刚性旋转圆柱体内。这种流动的不同形式可以通过底部/顶部的加热/冷却或顶部/底部表面的边界应力来驱动，例如，与气缸壁相比，以稍微不同的速度旋转盖子。除了方位旋转外，任何一种机制都会产生垂直翻转。由于与大气的热交换和风应力，浮力和表面应力都可以在海洋流动中自然发生，这使得“旋转罐”流动成为研究海洋涡旋某些方面的合适模型，尽管经过了高度理想的分析。在“旋转罐”设置中产生的欧拉速度场及其变化一直是众多研究的主题（例如。，洛佩兹和马尔克斯，2010年以及其中包含的参考文献），是格林斯潘旋转流体理论的中心焦点(格林斯潘，1968年). 另一方面，对流场的拉格朗日方面的关注，包括混沌平流、拉格朗氏输运障碍以及搅拌和混合的影响，相对来说是有限的。当前研究的主要主题是拉格朗日运动的几何学，以及由上表面应力驱动的随时间变化的旋转能流中的材料屏障。

图1。

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（左）显示稳定轴对称旋转罐流的拉格朗日几何结构的示意图。由四条轨迹绘制出来的表面以不同的颜色显示。蓝色和紫色表面与准周期轨道相关；绿色和黑色对应周期性轨迹。（右）动作角度变量 $(我, θ, ϕ)$ ⁠.

海洋涡旋中的环流在许多方面不同于均质旋转罐的环流。一个孤立的海洋涡旋通常具有一个远离中心衰减的方位速度场，并且距离相邻涡旋足够远，因此受其影响很小。在旋转罐中，循环受到刚性圆柱壁的横向限制，这是理想模型中用于限制计算范围的常用技巧。虽然真正的涡旋受到地面风的影响，但地面风可以引起上升流和下降流（例如。，麦基利库迪等。, 2007;莱德韦尔等。, 2008)它们通常是由水动力不稳定性产生的，而不是由风应力直接产生的。在旋转罐中，旋转框架中的所有运动都受到表面风应力的强迫。其他被忽视的潜在海洋学重要性影响包括小尺度湍流和密度分层，这两者都不存在于中等雷诺数下的均质流感模型中。尽管存在这些局限性，但旋转罐中的三维环流具有孤立海洋特征的一般元素，具有水平漩涡和垂直翻转，这是其成为经典模型流体动力学和数百篇研究论文的主题的原因之一。

通过以下方法研究了三维圆柱流中的混沌平流喷泉等。(2000)对于低雷诺数下稳定流动的情况。流体在顶部附近由一个叶轮驱动，该叶轮可以相对于圆柱轴倾斜。大多数情况下，背景旋转为零。当叶轮倾斜度为零时，会产生轴对称流，内部为上升流，外部边缘为下降流，整体水平旋转。这种环流在方位坐标上的独立性意味着，对于倾覆流，可以在垂直方向定义具有闭合轮廓的输送流函数(第页,z（z）)-平面，这意味着所有的流体轨迹都局限于圆环体。一些圆环体的准周期轨迹永远不会回到它们的确切起点（图中用蓝色和紫色表面表示1，尽管我们的旋转罐模型的细节与喷泉等。(2000))而另一些则有周期性的轨迹（如绿色曲线所示），在每一个完整的运动周期后都会回到起点。如果叶轮倾斜，轴对称性将被破坏，具有周期轨道的圆环体将发生共振。混沌轨迹与新的不变量圆环一起在附近产生。后者类似于扭曲的呼噜圈，通过喷泉等。(2000)在实验室模型中使用染料注射。根据预测程和孙（1990）;夏（1992）; 和Mezic和Wiggins（1994），一些非共振圆环体在对称破缺扰动下幸存下来。

普拉特等。(2014)考虑到类似的旋转可以流动，但由于垂直圆柱壁和底盖的快速旋转引起的海洋上重要的强背景旋转，以及顶盖与壁的旋转速度略有不同引起的顶面施加的应力。例如，在海洋学背景下，这种表面应力可能是由风力引起的。速度场由Navier-Stokes方程的高分辨率数值积分以及一系列与海洋学相关的Ekman和Rossby数生成(埃克和Ro公司)已考虑。对于旋转罐流，这两个无量纲参数完全描述了系统的参数空间，雷诺数可以通过埃克和Ro公司一般来说，Ekman层是在储罐的顶部和底部生成的。如果顶部表面的应力是气旋式的，即顶盖的旋转速度比壁快，则上部Ekman层是发散的，流体从内部被吸出，旋出到圆柱体的外部，在那里下降到收敛的底部Ekman层层，然后返回到内部。也存在气旋式方位流。当表面应力为纯方位和轴对称时，很容易再次表明所有轨迹都位于圆环上。当施加的表面应力不对称时，圆环的共振破裂会产生混沌。作者还使用示踪剂释放实验量化了整体搅拌速率，并表明拉格朗日混沌显著提高了搅拌速率。

非对称表面应力可将混沌引入系统的另一种机制是通过异斜中心流线的分裂（在轴对称稳定背景流中，该中心流线将底部的双曲驻点连接到顶部的双曲驻点）一维稳定流形和非稳定流形（3D空间中的1D曲线）。在二维流体流动中，这种一维稳定和非稳定流形会反复相交，形成称为叶的流体封闭区域，并通过叶动力学机制促进混沌平流(罗姆·凯达尔等。, 1993;Samelson和Wiggins，2006年; 和里皮纳等。, 2010,2011). 在我们的3D流中，1D稳定和不稳定流形的作用不太清楚，因为它们不能在3D中形成波瓣，因此不能驱动波瓣动力学。与圆柱体顶部和底部的双曲线停滞点相关，还存在二维稳定流形和非稳定流形(Mireles-James和Lomeli，2010年;Lomeli和Ramirez-Ros，2008年). 在限制在刚性圆柱壁内的旋转罐流中，这些流形相互重合，并且在轴对称背景和非对称扰动流中与外圆柱壁重合。如果流动不受刚性外壁的限制，并允许与其他涡旋相互作用，对称破缺扰动可能导致涡旋的外边界分裂为二维稳定和不稳定流形（三维空间中的二维表面），这些流形相互交叉，形成叶瓣，并通过波瓣动力学促进圆柱体内外流体的混沌交换。然而，由于刚性圆柱壁的存在，这种机制在我们的系统中是被禁止的。

在气缸问题的不同版本中，Lackey和Sotiropoulos（2006年）考虑旋转罐流的情况，其中底盖以与顶盖相反的方向旋转，并且垂直气缸壁没有旋转。这种压力导致在圆柱体顶部和底部形成单独的反旋转细胞。稳定的扰动可以在属于任一细胞的圆环内引起共振，并在细胞之间产生混沌传输。

这些研究都局限于稳定背景流的稳态扰动。为了“推动”这组工作更接近海洋和大气现实，我们现在考虑与时间相关的扰动情况。我们将在很大程度上限制讨论时间周期和准周期扰动，并将重点讨论通过圆环共振破裂产生混沌。

这里报道的结果与广泛使用的并排对流池运动模型得到的结果不同(Solomon和Mezic，2003年，另请参见瓦因斯坦等。, 2007,2008)，在某些方面更复杂，而在其他方面更简单。在“所罗门涡旋链”中，相邻的细胞处于物理接触状态，在扰动下，可以相互交换流体，这是刚性圆柱壁阻止的一个特征。另一方面，在扰动而非基本状态下存在垂直运动，因此存在两个慢变量和一个快变量（作用-作用-角度坐标），类似于卡特赖特等。(1995,1996)在我们的例子中，垂直运动是在未受干扰的状态下出现的，系统最好用作用角-角度坐标来描述，该坐标为我们的流动提供了一个自然的参考框架。

在第。二，我们更详细地描述了我们的旋转罐流版本，以及速度场的唯象方程和完整的数值模型。然后在第。三，我们将扎斯拉夫斯基和奇里科夫（1972）;扎斯拉夫斯基（1985）; 和里皮纳等。（2007年a）并使用根据作用角-角度变量进行的多尺度展开，研究共振圆环附近系统的行为。我们分析中的扰动被分解为一组波，这些波围绕所讨论的共振圆环传播。共振条件与下列条件一致Dullin和Meiss（2012）通过不同的论点。我们的分析得出了共振圆环附近流动的近似分析描述，从而可以研究共振层内拉格朗日运动的几何结构（第。四). 然后在第。V（V）通过在旋转罐流的唯象模型和通过求解Navier-Stokes方程获得的完整数值解中产生共振。在整个讨论过程中，我们试图用笛卡尔坐标来说明和描绘拉格朗日运动和输运势垒的几何形状(x个,年,z（z）)使用单频闪段和双频闪段的空间，其中粒子轨迹在每一个扰动周期后都在时间上频闪，在完成每个方位角的完整循环后都在方位角上频闪。在作用角空间中直观显示的结构在(x个,年,z（z）)空间，并且可能很难可视化。此外，在Navier-Stokes模拟中使用双频闪剖面进行清晰的可视化在数值上具有挑战性，因为需要在数万个周期内进行集成。因此，我们添加了示踪剂释放实验，以提供另一种可视化效果，并验证染料以理论预期的方式受到屏障的限制。

二、。旋转CAN流

A.流动几何形状

我们所考虑的流体流动出现在带有实心壁和上下盖的旋转圆柱体中，其上盖以稍微不同的角速度旋转。表面应力的旋度导致表面埃克曼层的发散，并导致上升流或下降流。由此产生的环流包括方位旋转和垂直翻转。对于盖子的旋转速度略快于圆柱体的旋转速度，轨迹围绕圆柱体轴线向上螺旋，然后螺旋到顶部边界层的外周长，然后在壁边界层内螺旋下降，最后螺旋回到底部附近的中心，这样可以再次重复此循环。在稳定的轴对称背景状态下，所有轨迹都位于复曲面上。由于不对称性和时间依赖性通过例如顶盖的偏心偏移和振荡运动引入系统，一些复曲面由于共振的激发而破裂，混沌运动成为可能。

B.Navier–Stokes方程的现象学模型和完整数值解

在中引入了现象学模型普拉特等。(2014)它描述了此流的所有定性特征。在这里，我们使用类似的唯象模型以及Navier-Stokes方程的完全非线性数值解来构造共振示例，并可视化共振层内的流动几何。具体来说，唯象速度由下式给出

u个 = - b x个 (1 - 2 z（z）) \frac{R（右） - 第页}{三} - 一 年 (c（c） + {z（z）}^{2}) + ϵ [年 (年 - 年_{0} + γ 余弦 (σ t吨)) - \frac{{R（右）}^{2} - {第页}^{2}}{2}] (1 - β z（z）),

(1)

v（v） = - b 年 (1 - 2 z（z）) \frac{R（右） - 第页}{三} + 一 x个 (c（c） + {z（z）}^{2}) - ϵ x个 (年 - 年_{0} + γ 余弦 (σ t吨)) (1 - β z（z）),

w个 = b z（z） (1 - z（z）) (\frac{2 R（右）}{三} - 第页),

具有 $第页 = \sqrt{{x个}^{2} + 年^{2}}$ ⁠，强制周期 $吨_{（f）} = 2 π / σ$ ⁠、和参数值R（右） = 0.5（圆柱半径），一 = 0.62（方位角旋转强度），b = 7.5（垂直倾覆强度），c（c） = 0.7（术语(⁠ $c（c） + {z（z）}^{2}$ ⁠)引入与实体旋转的偏差），β = 1（深度依赖强度）， $γ = 0.2$ （时间依赖性强度），以及 $年_{0} = - 0.2$ （移动上盖）。速度场描述为(1)是不可压缩的（体积守恒），并且满足所有固体边界处的非正常流动条件。这个O（运行）（1） -右侧术语(1)定义背景流并 $O（运行） (ϵ)$ -项表示扰动。通过引入更多的频率分量，可以使扰动成为多周期的，但在这里，我们只对一个频率分量使用周期强迫σ.

使用谱元模型Nek5000获得了Navier-Stokes方程的完全数值解(网址：nek5000.mcs.anl.gov/index.php/Main_Page)由Fischer及其同事开发(帕特拉，1984年;Maday和Patera，1989年; 和费舍尔，1997年). 所有系统参数(埃克 = 1/50,Ro公司 = 0.2,重新 = 10、圆柱半径R（右） = 1和气缸高度H（H） = 1）在我们的模拟中，与在普拉特等。(2014)然而，我们没有像那篇文章中那样对上盖进行稳定的移动，而是在这里对上盖的移动位置进行周期性的振动。施加在上盖的水平速度为

u个 = - 4 年 (1 - 第页), v（v） = 4 (x个 - {x个}_{0}) (1 - 第页),

(2)

哪里 $第页 = \sqrt{{x个}^{2} + 年^{2}}$ 和 ${x个}_{0} = {X（X）}_{0} + d日 X（X）余弦 σ t吨$ ⁠，其中 $σ = 2 π / 吨_{（f）}$ 是强制频率， ${X（X）}_{0} = - 0.007$ ⁠，以及dX公司 = 0.005.

III、共振

程和孙（1990）和夏（1992）结果表明，一些圆环体将在我们正在考虑的轴对称体积守恒流的小振幅、时间周期扰动下存活。存活的圆环体在某种意义上是非共振的，尽管还没有确定的识别存活圆环体的方法。福克斯和梅斯（2013）使用格林剩余准则预测圆环体的破坏并确定最坚固的圆环体，以及梅斯（2012）研究了三维广义标准映射中的临界扰动强度和最后不变环面的分裂。我们将集中讨论共振的条件，以及共振圆环附近动力学的结果。我们的分析将在以下定义的作用角坐标中进行Mezic和Wiggins（1994）如图所示1，动作变量我是未扰动圆环体的标签，而θ和 $ϕ$ 是环绕圆环体的方位角和经向角。角变量的定义使得角速度是运动常数，表示为 $Ω_{θ}$ 和 $Ω_{ϕ}$ ⁠分别是。因此，角度坐标取决于未扰动圆环上轨迹的特性，一般变换如下所示Mezic和Wiggins（1994）.

我们现在考虑振幅的扰动ϵ, $ϵ ≪ 1$ ⁠至未扰动速度场。然后，轨迹方程可以写在动作角角度变量集中，如下所示

\dot{我} = ϵ {F类}^{0} (我, ϕ, θ, \vec{σ} t吨),

(3)

\dot{ϕ} = Ω_{ϕ} (我) + ϵ {F类}^{1} (我, ϕ, θ, \vec{σ} t吨),

\dot{θ} = Ω_{θ} (我) + ϵ {F类}^{2} (我, ϕ, θ, \vec{σ} t吨),

哪里我是动作变量， $ϕ$ 和θ是两个角度变量，扰动在时间和频率上是准周期的 $\vec{σ} = {σ_{1}, \dots, σ_{n个}}$ ⁠在不失通用性的情况下，频率分量σ_我可以假设是不可通约的，否则可能会降低频率。

扰动场可以展开为傅里叶级数

({F类}^{0}, {F类}^{1}, {F类}^{2}) = \sum_{n个, 米, 我_{1}, 我_{2}, \dots = - \infty}^{\infty} ({F类}_{n个 米 \vec{我}}^{0} (我), {F类}_{n个 米 \vec{我}}^{1} (我), {F类}_{n个 米 \vec{我}}^{2} (我)) 罪 (n个 ϕ + 米 θ - \vec{我} \cdot \vec{σ} t吨 + α_{n个 米 \vec{我}}),

(4)

哪里n个,米，以及 $\vec{我} = {我_{1}, \dots, 我_{n个}}$ 是整数和 $α_{n个米 \vec{我}}$ 是阶段。

在本节的其余部分中，我们将讨论3D系统的共振条件，并绘制出孤立共振层中出现的结构。讨论从小节开始第三章A通过对共振现象的物理解释，可以直观地看到共振环附近发生的过程。该讨论还建议了相关的时间和幅度尺度（小节III B类)，然后用于激励更正式的开发（小节III C类)基于多尺度扩展。解的几何形状取决于独立共振扰动的数量，这在小节中进行了处理III D类.

A.共振：物理意义

注意，等式中的每个正弦项。(4)由一个在未扰动圆环周围扫过的行波组成。每一个这样的波都有量化的波数n个和米、和频率 $\vec{我} \cdot \vec{σ}$ ⁠.恒定相位线垂直于单位法线 $\vec{n个} = (n个, 米) / {({n个}^{2} + 米^{2})}^{1 / 2}$ ⁠，且波以速度沿法向传播 ${c（c）}_{n个米 \vec{我}} = \vec{我} \cdot \vec{σ} / {({n个}^{2} + 米^{2})}^{1 / 2}$ ⁠这些特征如图所示。2（a）在周期中 $(ϕ, θ)$ -平面，它可以被认为是一个特定的未扰动环面的平坦表面我 = 我₀.

图2。

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平面波共振示意图。

如果水流受到轻微扰动，流体元件从我 = 我₀角速度与原状流的角速度非常接近： ${\vec{c（c）}}_{第页} = (Ω_{ϕ} (我_{0}), Ω_{θ} (我_{0}))$ ⁠此速度由图中的箭头指示2（a）.如果组件 ${\vec{c（c）}}_{第页} \cdot \vec{n个}$ 垂直于相线的速度与扰动相速度相匹配 ${c（c）}_{n个米 \vec{我}}$ ⁠，则流体元件保持与扰动的恒定相位线相连，并发生共振。前面的表达式用于 ${c（c）}_{n个米 \vec{我}}, \vec{n个}$ ⁠，以及 ${\vec{c（c）}}_{第页}$ 产生共振条件

n个 Ω_{ϕ} (我_{0}) + 米 Ω_{θ} (我_{0}) - \vec{我} \cdot \vec{σ} = 0

(5)

由于相位锁定 $ϵ {F类}_{n个米 \vec{我}}^{0} (我_{0}) 罪 (n个 ϕ + 米 θ - \vec{我} \cdot \vec{σ} t吨 + α_{n个米 \vec{我}})$ 垂直于圆环的元素的速度将沿流体轨迹保持不变，后者将稳步远离圆环我₀向内或向外，取决于相位。恰好沿着相位为0或π由于共振项，不会发生正常位移。轨迹也可能受到其他共振强迫项的影响，并且在较小程度上受到非共振项的影响。这些非共振项与流体包裹没有相位锁定，并且相位以符号形式振荡。

注意，如果强制是稳定的(σ = 0），则固定恒定相位线，共振的条件是包裹轨迹遵循这些固定线之一。由于扰动是周期性的θ和 $ϕ$ ⁠等相位线最终必须闭合，因为它们绕着圆环绕着，因此，轨道也必须是周期性的。因此，如中所述普拉特等。(2014)，只有具有周期轨道的圆环体才能在稳态强迫下发生共振。

B.共振：缩放

因为垂直于圆环的速度最初是 $O（运行） (ϵ)$ ⁠，分离 $δ 我 = 我 - 我_{0}$ 共振圆环轨道的增加与ϵt吨当轨迹远离我₀在一个新的未受干扰的圆环体上 $我_{0} + δ 我$ ⁠，其角速度通常会发生变化。在一级近似下，新的角速度是新值为我，即 $Ω_{ϕ} (我_{0} + δ 我)$ 和 $Ω_{θ} (我_{0} + δ 我)$ ⁠同时，频率 $\vec{我} \cdot \vec{σ}$ 的共振扰动保持不变，所以共振通常会消失。事实上，共振条件(5)应用于 $我_{0} + δ 我$ 是

n个 Ω_{ϕ} (我_{0} + δ 我) + 米 Ω_{θ} (我_{0} + δ_{我}) - \vec{我} \cdot \vec{σ} \approx δ 我 {(n个 \frac{d日 Ω_{ϕ}}{d日 我} + 米 \frac{d日 Ω_{θ}}{d日 我})}_{我 = 我_{0}} = 0;

(6)

所以，除非 ${(n个 \frac{d日 Ω_{ϕ}}{d日我} + 米 \frac{d日 Ω_{θ}}{d日我})}_{我 = 我_{0}} = 0$ ⁠，轨迹的共振条件被违反的量与 $δ 我 \sim ϵ t吨$ ⁠回想一下，等式。(6)与扰动的相速度和轨迹速度的法向分量之间的差值成正比，因此阶段扰动和轨迹按比例增长 $ϵ {t吨}^{2}$ ⁠因此，一条与扰动相位锁定的轨迹t吨 = 0经历了订单的阶段更改 $π / 2$ 在一段时间内 $O（运行） (ϵ^{- 1 / 2})$ ⁠，此时为正常速度的符号 $\dot{δ 我}$ 将反转。在此期间，δI将成长为 $O（运行） (ϵ^{1 / 2})$ ⁠这些参数和标度与剪切流中波浪的非线性临界水平相似（例如。，马斯洛和克拉克，2002年).

还可能涉及一阶导数的项 $Ω_{ϕ}$ 和 $Ω_{θ}$ 关于我在等式中。(6)可能会消失，这意味着，当轨迹偏离圆环时，轨迹在最低阶保持与扰动锁相我₀在这种情况下 $n个 Ω_{ϕ} (我_{0} + δ 我) + 米 Ω_{θ} (我_{0} + δ 我)$ 必须执行到第一个非零（j-th）导数， $\frac{{d日}^{j个} (n个 Ω_{ϕ} + 米 Ω_{θ})}{d日我_{j个}} |_{我 = 我_{0}}$ ⁠.j个通常被称为简并阶，并且j个 = 1对应于非退化情况。等式右侧的术语。(6)现在变成了 $O（运行） {(δ 我)}^{j个}$ 并按比例增长 ${(ϵ t吨)}^{j个}$ ⁠因此，轨迹和扰动之间的相位差与 $\int {(ϵ t吨)}^{j个} d日 t吨 = ϵ^{j个} {t吨}^{j个 + 1}$ ⁠，共振消失 $t吨 \sim O（运行） (ϵ^{- j个 / (j个 + 1)})$ ⁠.在这个阶段，δI已经成长为 $O（运行） (ϵ^{1 / (j个 + 1)})$ ⁠.

C.共振圆环附近的多尺度分析

共振最常见的情况是非简并（即。，j个 = 1）现在，我们通过使用多尺度分析将前面的现象学讨论形式化。退化病例的手术(j个 > 1）类似，见附录A类。对于j个 = 1，我们预计δI将成长为 $O（运行） (ϵ^{1 / 2})$ 在 $O（运行） (ϵ^{- 1 / 2})$ ⁠，暗示着扩张

\begin{matrix} δ 我 = ϵ^{1 / 2} δ 我_{0} (t吨, τ) + ϵ δ 我_{1} (t吨, τ) + \dots \\ ϕ = ϕ_{0} (t吨, τ) + ϵ^{1 / 2} ϕ_{1} (t吨, τ) + \dots \\ θ = θ_{0} (t吨, τ) + ϵ^{1 / 2} θ_{1} (t吨, τ) + \dots, \end{matrix}

哪里 $τ = ϵ^{1 / 2} t吨$ ⁠.

根据多尺度分析的标准程序，我们将展开式代入等式。(3)，治疗t吨和τ作为自变量，并将时间导数替换为 $\frac{d日}{d日 t吨} = \frac{\partial}{\partial t吨} + ϵ^{1 / 2} \frac{\partial}{\partial τ}$ ⁠。的方程式δI,θ，以及 $ϕ$ 然后变成

\begin{matrix} ϵ^{1 / 2} \frac{\partial}{\partial t吨} δ 我_{0} + ϵ \frac{\partial}{\partial τ} δ 我_{0} + ϵ \frac{\partial}{\partial t吨} δ 我_{1} + \dots \\ = ϵ \sum_{n个 米 \vec{我}} {F类}_{n个 米 \vec{我}}^{0} (我_{0} + ϵ^{1 / 2} δ 我_{0} + \dots) 罪 [n个 (ϕ_{0} + ϵ^{1 / 2} ϕ_{1} + \dots) + 米 (θ_{0} + ϵ^{1 / 2} θ_{1} + \dots) - \vec{我} \cdot \vec{σ} t吨 + α_{n个 米 \vec{我}}] \end{matrix}

(7)

和

\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t吨} ϕ_{0} + ϵ^{1 / 2} \frac{\partial}{\partial τ} ϕ_{0} + ϵ^{1 / 2} \frac{\partial}{\partial t吨} ϕ_{1} + \dots = Ω_{ϕ} (我_{0} + ϵ^{1 / 2} δ 我_{0} + \dots) + ϵ \sum_{n个 米 \vec{我}} {F类}_{n个 米 \vec{我}}^{1} (我_{0} + ϵ^{1 / 2} δ 我_{0} + \dots) 罪 [n个 (ϕ_{0} + ϵ^{1 / 2} ϕ_{1} + \dots) + 米 (θ_{0} + ϵ^{1 / 2} θ_{1} + \dots) - \vec{我} \cdot \vec{σ} t吨 + α_{n个 米 \vec{我}}] \end{matrix}

(8)

用类似的方程式θ.

最低阶近似仅描述未扰动流的运动

\frac{\partial δ 我_{0}}{\partial t吨} = 0; \frac{\partial θ_{0}}{\partial t吨} = Ω_{θ} (我_{0}); \frac{\partial ϕ_{0}}{\partial t吨} = Ω_{ϕ} (我_{0}) .

因此

δ 我_{0} = \tilde{δ 我_{0}} (τ),

(9)

ϕ_{0} = Ω_{ϕ} (我_{0}) t吨 + {\tilde{ϕ}}_{0} (τ),

θ_{0} = Ω_{θ} (我_{0}) t吨 + {\tilde{θ}}_{0} (τ) .

请注意 $\tilde{δ 我_{0}} (0), {\tilde{ϕ}}_{0} (0)$ ⁠，以及 ${\tilde{θ}}_{0} (0)$ 由初始条件设置δI,θ，以及 $ϕ$ ⁠，其确定了希望计算的轨迹。

在下一个订单中，我们有

\frac{\partial}{\partial t吨} δ 我_{1} = - \frac{\partial}{\partial τ} \tilde{δ 我_{0}} + \sum_{n个 米 \vec{我}} {F类}_{n个 米 \vec{我}}^{0} (我_{0}) 罪 [{\tilde{η}}_{n个 米 \vec{我}} (τ) + (n个 Ω_{ϕ} (我_{0}) + 米 Ω_{θ} (我_{0}) - \vec{我} \cdot \vec{σ}) t吨],

（10年）

\frac{\partial ϕ_{1}}{\partial t吨} = - \frac{\partial \tilde{ϕ_{0}}}{\partial τ} + {(\frac{d日 Ω_{ϕ}}{d日 我})}_{我_{0}} \tilde{δ 我_{0}},

（10亿）

\frac{\partial θ_{1}}{\partial t吨} = - \frac{\partial \tilde{θ_{0}}}{\partial τ} + {(\frac{d日 Ω_{θ}}{d日 我})}_{我_{0}} \tilde{δ 我_{0}},

（10美分）

其中相位函数的缓慢变化部分是 ${\tilde{η}}_{n个米 \vec{我}} = n个 {\tilde{ϕ}}_{0} (τ) + n个 {\tilde{θ}}_{0} (τ) + α_{n个米 \vec{我}}$ ⁠.等式右侧的术语。（10亿）和（10美分）独立于t吨，因此 $ϕ_{1}$ 和θ₁将线性增长t吨。一段时间后，渐近展开将失效 $t吨 \sim O（运行） (ϵ^{- 1 / 2})$ ⁠。为了防止这种长期增长，我们必须将右侧项设置为零，因此

\frac{\partial \tilde{ϕ_{0}}}{\partial τ} = {(\frac{d日 Ω_{ϕ}}{d日 我})}_{我_{0}} \tilde{δ 我_{0}},

（11a）

\frac{\partial \tilde{θ_{0}}}{\partial τ} = {(\frac{d日 Ω_{θ}}{d日 我})}_{我_{0}} \tilde{δ 我_{0}},

（11 b）

或

\frac{\partial {\tilde{η}}_{n个 米 \vec{我}}}{\partial τ} = {(n个 \frac{d日 Ω_{ϕ}}{d日 我} + 米 \frac{d日 Ω_{θ}}{d日 我})}_{我_{0}} \tilde{δ 我_{0}} .

(12)

等式右侧的第一项。（10年）独立于t吨，第二组术语中的任何成员也将t吨-独立，前提是 $n个 Ω_{ϕ} (我_{0}) + 米 Ω_{θ} (我_{0}) - \vec{我} \cdot \vec{σ} = 0$ ⁠，这是先前确定的共振条件(5).防止长期增长 $δ 我_{1}$ ⁠，我们一定有

\frac{\partial}{\partial τ} \tilde{δ 我_{0}} = \sum_{n个 米 \vec{我}}^{第页 e（电子） 秒 o个 n个 一 n个 t吨} {F类}_{n个 米 \vec{我}}^{0} (我_{0}) 罪 ({\tilde{η}}_{n个 米 \vec{我}}) .

(13)

我们注意到(12)和(13)对慢时间变量的运动积分如下

G公司 ({\tilde{δ 我}}_{0}, {\tilde{η}}_{{n个}_{1} 米_{1} {\vec{我}}_{1}}, {\tilde{η}}_{{n个}_{2} 米_{2} {\vec{我}}_{2}}, \dots) = \frac{{\tilde{δ 我}}_{0}^{2}}{2} + \sum_{n个 米 \vec{我}}^{第页 e（电子） 秒 o个 n个 一 n个 t吨} \frac{{F类}_{n个 米 \vec{我}}^{0} (我_{0}) 余弦 ({\tilde{η}}_{n个 米 \vec{我}})}{\frac{d日 (n个 Ω_{ϕ} + 米 Ω_{θ})}{d日 我} |_{我_{0}}} .

(14)

注意，最多有两个线性无关的坐标 ${\tilde{η}}_{n个米 \vec{我}}$ ⁠; 也就是说，如果我们定义两个坐标 ${\tilde{η}}_{{n个}_{1} 米_{1} {\vec{我}}_{1}} = {n个}_{1} {\tilde{ϕ}}_{0} (τ) + 米_{1} {\tilde{θ}}_{0} (τ) + α_{{n个}_{1} 米_{1} {\vec{我}}_{1}}$ 和 ${\tilde{η}}_{{n个}_{2} 米_{2} {\vec{我}}_{2}} = {n个}_{2} {\tilde{ϕ}}_{0} (τ) + 米_{2} {\tilde{θ}}_{0} (τ) + α_{{n个}_{2} 米_{2} {\vec{我}}_{2}}$ 这样的话(n个₂,米₂)不是的整数倍(n个₁,米₁)，然后是任何其他坐标 ${\tilde{η}}_{{n个}_{三} 米_{三} {\vec{我}}_{三}} = {n个}_{三} {\tilde{ϕ}}_{0} (τ) + 米_{三} {\tilde{θ}}_{0} (τ) + α_{{n个}_{三} 米_{三} {\vec{我}}_{三}}$ 始终可以通过前两个坐标与常系数的线性组合来表示A类,B类，以及C类: ${\tilde{η}}_{{n个}_{三} 米_{三} {\vec{我}}_{三}} = A类 {\tilde{η}}_{{n个}_{1} 米_{1} {\vec{我}}_{1}} + B类 {\tilde{η}}_{{n个}_{2} 米_{2} {\vec{我}}_{2}} + C类$ ⁠因此，G公司通常定义在三维空间上 $[{\tilde{δ 我}}_{0} (τ), {\tilde{η}}_{{n个}_{1} 米_{1} {\vec{我}}_{1}} (τ), {\tilde{η}}_{{n个}_{2} 米_{2} {\vec{我}}_{2}} (τ)]$ 或者，同等地， $[{\tilde{δ 我}}_{0} (τ), {\tilde{ϕ}}_{0} (τ), {\tilde{θ}}_{0} (τ)]$ ⁠.

为了进一步解释，我们考虑到目前为止计算的扩展项

\begin{matrix} δ 我 (t吨, τ) = ϵ^{\frac{1}{2}} {\tilde{δ 我}}_{0} (τ) + ϵ [{\tilde{δ 我}}_{1} (τ) - \sum_{n个 米 \vec{我}}^{n个 o个 n个 第页 e（电子） 秒} \frac{{F类}_{n个 米 \vec{我}}^{0} (我_{0})}{{第页}_{n个 米 \vec{我}} (我_{0})} 余弦 ({\tilde{η}}_{n个 米 \vec{我}} (τ) + {第页}_{n个 米 \vec{我}} (我_{0}) t吨)] + O（运行） (ϵ^{\frac{三}{2}}), \end{matrix}

（15年）

ϕ = Ω_{ϕ} (我_{0}) t吨 + {\tilde{ϕ}}_{0} (τ) + ϵ^{\frac{1}{2}} {\tilde{ϕ}}_{1} (τ) + O（运行） (ϵ),

（15亿）

θ = Ω_{θ} (我_{0}) t吨 + {\tilde{θ}}_{0} (τ) + ϵ^{\frac{1}{2}} {\tilde{θ}}_{1} (τ) + O（运行） (ϵ),

（15美分）

哪里 ${第页}_{n个米 \vec{我}} (我_{0}) = n个 Ω_{ϕ} (我_{0}) + 米 Ω_{θ} (我_{0}) - \vec{我} \cdot σ$ ⁠可以看出，在最低阶，流体元素以角速度迅速扫过未受扰动的圆环体 $Ω_{ϕ}$ 和 $Ω_{θ}$ ⁠，并缓慢执行置换 $ϵ^{1 / 2} {\tilde{δ 我}}_{0} (τ), {\tilde{ϕ}}_{0} (τ)$ ⁠，以及 ${\tilde{θ}}_{0} (τ)$ 相对于未扰动运动。在无扰动运动之后在参考系中移动的观察者将观察到流体元件沿着函数的水平面移动G公司.自G公司不显式依赖于τ，表面在移动框架中保持固定。

我们还包括(15)非共振贡献的解决方案(10)如果是（10亿）和（10美分），只是未确定的函数 ${\tilde{ϕ}}_{1} (τ)$ 和 ${\tilde{θ}}_{1} (τ)$ 慢变量。（10a）的非共振解是一个缓慢变化函数的和 ${\tilde{δ 我}}_{1} (τ)$ 和一组快速振动。所有这些术语都是高阶的，在随后的讨论中将基本上忽略不计，讨论的重点是G公司并将其解释为障碍。然而，重要的是要注意 ${\tilde{δ 我}}_{1} (τ), {\tilde{ϕ}}_{1} (τ)$ ⁠，以及 ${\tilde{θ}}_{1} (τ)$ 需要解决障碍的稳定性和混乱的存在，这一点将在结束语中重新讨论。

D.关于可能谐振项数量的备注

很明显，如果一个共振三重态 $(n个, 米, \vec{我})$ 满足共振条件(5)对于给定的环面我₀和强制频率 $\vec{σ}$ ⁠那么这三重态的所有谐波，即， $k个 (n个, 米, \vec{我})$ 哪里k个是整数，也是共振的。所以，一般来说，公式。(14)包含无穷多个共振三元组。然而，请注意，对于简谐力的最简单情况 $罪 (σ t吨)$ –时间依赖性[在我们的唯象模型数值示例中(1)]，唯一的非零 ${F类}_{n个米我}^{0}$ 在傅里叶级数中(4)对应于我 = 1.因此，即使在等式中求和。(13)和(14)仍然包括所有可能的三胞胎 $k个 {n个, 米, 我}$ ⁠，只有 ${F类}_{n个米 1}^{0}$ -总和下的项具有非零振幅。

人们可以问的另一个问题是：“对于给定的环面，可以存在多少个“非调和”共振项？”对于具有周期性或非周期性轨迹的谐振环面，答案是不同的。当背景流的周期轨道发生共振时，非谐共振项的数量是无限的，而对于非周期轨道，非谐谐振项的最大数量是2。

为了说明这一点，我们考虑背景流的非周期共振轨迹（ $Ω_{ϕ} / Ω_{θ} \neq M（M） / N个$ 对于任何整数M（M）和N个)，假设它有三个共振三元组，并写下前两个共振三元组的共振条件 ${{n个}_{1, 2}, 米_{1, 2}, {\vec{我}}_{1, 2}}$ 第三个三胞胎

{n个}_{1} Ω_{ϕ} + 米_{1} Ω_{θ} - {\vec{我}}_{1} \cdot \vec{σ} = 0,

(16)

{n个}_{2} Ω_{ϕ} + 米_{2} Ω_{θ} - {\vec{我}}_{2} \cdot \vec{σ} = 0,

{n个}_{j个} Ω_{ϕ} + 米_{j个} Ω_{θ} - {\vec{我}}_{j个} \cdot \vec{σ} = 0

我们提醒读者，所有强制频率分量σ_我可以假设是不可通约的，否则可能会减少频率分量的数量（例如，具有 $σ_{1} = 2 π / 2$ 和 $σ_{2} = 2 π / 三$ 只是周期性的 $2 π / 6$ ⁠). 为了简化分析，此时引入一组新的频率是很方便的 $\hat{σ_{我}} = {\vec{我}}_{我} \cdot \vec{σ}$ ⁠，因此上述系统变为

{n个}_{我} Ω_{ϕ} + 米_{我} Ω_{θ} - \hat{σ_{我}} = 0, 我 = 1, 2, 三。

(17)

使用前两个方程(我 = 系统的1、2）(17)，我们可以表达

Ω_{θ} = \frac{{n个}_{1} \hat{σ_{2}} - {n个}_{2} \hat{σ_{1}}}{米_{2} {n个}_{1} - 米_{1} {n个}_{2}},

(18)

Ω_{ϕ} = \frac{米_{2} \hat{σ_{1}} - 米_{1} \hat{σ_{2}}}{米_{2} {n个}_{1} - 米_{1} {n个}_{2}} .

注意，由于我们考虑的是非周期轨迹，所有强迫频率 $\hat{σ_{我}}$ ⁠,我 = 1、2、3需要是不可通约的，否则它会从上述方程式中得出(18)比率 $Ω_{ϕ} / Ω_{θ} = M（M） / N个$ 使用整数M（M）和N个，所以轨迹是周期性的。使用(18)，中的第三个方程(17)成为

(米_{2} {n个}_{三} - 米_{三} {n个}_{2}) \hat{σ_{1}} + (米_{三} {n个}_{1} - 米_{1} {n个}_{三}) \hat{σ_{2}} + (米_{1} {n个}_{2} - 米_{2} {n个}_{1}) \hat{σ_{三}} = 0

(19)

自n个_我,米_我，以及我_我(我 = 1、2、3）为整数，所有强制频率 $\hat{σ_{我}}$ (我 = 1，2，3）是不可通约的，只有当每个方程前面的系数都满足时，上述方程才能满足 $\hat{σ_{我}}$ 为零，要求

(米_{1} {n个}_{2} - 米_{2} {n个}_{1}) = 0

(20)

但是，如果 $(米_{1} {n个}_{2} - {n个}_{2} 米_{1}) = 0$ ⁠，然后从(17)由此可见 $\hat{σ^{1}}$ 和 $\hat{σ^{2}}$ 是可公度的， $Ω_{ϕ} / Ω_{θ} = M（M） / N个$ ⁠，并且所讨论的轨迹是周期性的，这违反了我们的基本假设。因此，对于任何非周期轨道，不可能存在超过2个非谐波共振项。

因此，当背景流的非周期轨迹发生共振时，方程的右侧。(13)和(14)最多可以有两个非谐波三元组，最多有两个对应的三元组 $η_{n个米 \vec{我}}$ 不是彼此的整数倍。另一方面，对于周期轨道，存在一个共振三重态 $(n个, 米, \vec{我})$ 意味着存在无穷多个非谐波三元组及其所有高阶谐波。

在下文中，我们将使用1个非谐共振三重态作为单共振，使用≥2个非谐三重态的情况作为双共振。使用这个术语，背景流周期轨迹发生的共振总是双重类型的。当扰动是周期性的（只有一个强迫频率σ_我在等式中。(4))，但当扰动为准周期（≥2）时，可以是单型或双型σ_我在等式中。(4)).

这些观察也自然地遵循了小节中介绍的直观平面波描述第三章A其中，共振是由代表扰动的平面波与流体包裹运动之间的锁相引起的。对于双共振，轨迹与至少两个平面波同时锁相 $(米_{1}, {n个}_{1}, 我_{1})$ 和 $(米_{2}, {n个}_{2}, 我_{2})$ ⁠，其相线在不同方向上对齐（图2（b）). 粒子必须移动以保持相对于两个扰动的恒定相位，因此两条相线之间的交点必须与包裹轨迹一致。如果扰动是周期性的，则交点必须最终返回其初始位置。沿着交点的轨迹也必须返回其初始位置，因此必须是周期性的。因此，只有具有周期性轨迹的复曲面才会相对于单个强迫频率发生双重共振。另一方面，当强迫为准周期时，由于两个不可公度的频率，交点不会周期性地重复出现，相应的共振粒子轨迹是非周期的。因此，准周期时间依赖性允许具有非周期轨道的圆环变成双共振。

最后，考虑 $η_{n个米 \vec{我}}$ 在中(14)假设我们找到一个共振三重态 $({n个}_{1}, 米_{1}, {\vec{我}}_{1})$ ⁠我们知道它的所有谐波， $2 ({n个}_{1}, 米_{1}, {\vec{我}}_{1}), 三 ({n个}_{1}, 米_{1}, {\vec{我}}_{1})$ 等等，也是共振的，但相应的参数， ${\tilde{η}}_{2 {n个}_{1}, 2 米_{1}, 2 {\vec{我}}_{1}}, {\tilde{η}}_{三 {n个}_{1}, 三米_{1}, 三 {\vec{我}}_{1}}$ ⁠等，可以表示为的整数倍 ${\tilde{η}}_{{n个}_{1} 米_{1} {\vec{我}}_{1}}$ 加上一个常数。使用平面波描述，所有这些扰动都以相同的方向和法线相位速度传播。如果没有其他共振干扰（对于单共振情况），那么(12)和(13)生活在 ${\tilde{η}}_{{n个}_{1} 米_{1} {\vec{我}}_{1}}$ 和 $\tilde{δ} 我_{0}$ ⁠另一方面，如果共振为双重类型，则存在第二共振扰动 ${\tilde{η}}_{{n个}_{2} 米_{2} {\vec{我}}_{2}}$ 这不是第一次扰动的谐波。它的所有谐波也都是共振的，但同样，每个谐波都可以用 ${\tilde{η}}_{{n个}_{2} 米_{2} {\vec{我}}_{2}}$ ⁠在这种情况下(12)和(13)生活在 ${\tilde{η}}_{{n个}_{1} 米_{1} {\vec{我}}_{1}}, {\tilde{η}}_{{n个}_{2} 米_{2} {\vec{我}}_{2}}$ ⁠，以及 $\tilde{δ} 我$ ⁠现在假设我们发现了第三个共振扰动 ${\tilde{η}}_{{n个}_{三} 米_{三} {\vec{我}}_{三}}$ 那不是的谐波 ${\tilde{η}}_{{n个}_{1} 米_{1} {\vec{我}}_{1}}$ 和 ${\tilde{η}}_{{n个}_{2} 米_{2} {\vec{我}}_{2}}$ （即，我们具有周期轨道的双共振）。在这种情况下，我们已经在小节中显示了III C类第三个扰动可以通过前两个扰动加上一个常数的线性组合来表示， ${\tilde{η}}_{{n个}_{三} 米_{三} {\vec{我}}_{三}} = A类 {\tilde{η}}_{{n个}_{1} 米_{1} {\vec{我}}_{1}} + B类 {\tilde{η}}_{{n个}_{2} 米_{2} {\vec{我}}_{2}} + C类$ 使用常量A类,B类，以及C类，那么的相空间(12)和(13)仍然是三维的，即使有三个或更多的非谐波共振三重态。这在所有阶段都很明显 ${\tilde{η}}_{n个米 \vec{我}}$ 是的功能 ${\tilde{ϕ}}_{0}$ 和 ${\tilde{θ}}_{0}$ 遵循共振轨迹，所以它们中最多有两个可以线性独立。图形化， ${\tilde{η}}_{{n个}_{三} 米_{三} {\vec{我}}_{三}}$ 表示与其他两个不对齐的平面波。当流体包裹沿着具有不同方向的三条相线的三重交点，对应于三个扰动时，就会发生共振。在这里，将流体包裹静止的平移参照系中的情况可视化可能会很有帮助，以便交点也变得静止。扰动的平面波形式意味着它们的相线彼此之间保持固定的角度，并且不能旋转，因此它们必须在平移框中显示为固定线。那么很明显，向量 ${c（c）}_{{n个}_{三} 米_{三} {\vec{我}}_{三}}$ 与第三波相对应的波总是可以用其在前两个矢量上的投影来唯一表示， ${c（c）}_{{n个}_{1} 米_{1} {\vec{我}}_{1}}$ 和 ${c（c）}_{{n个}_{2} 米_{2} {\vec{我}}_{2}}$ ⁠因此，任何位置的第三波完全由该位置的前两个波指定。

小节中给出的共振的多尺度分析III C类本文的公式适用于周期和准周期强迫（即1个或多个强迫频率σ_我)单共振和双共振（即1个或多个非伤害性共振三元组），以及非简并和简并共振（简并情况在附录中描述）。我们对周期强迫的结果与Dullin和Meiss（2012）但本文没有考虑准周期强迫和简并双共振的情况。

四、共振附近流动的几何形状和共振宽度

现在，我们将重点放在谐振层中出现的不变结构的几何结构上。在第。三，我们发现了运动积分(14)]对于这种情况，其中 $n个 Ω_{ϕ} (我) + 米 Ω_{θ} (我)$ 关于共振圆环上的作用我 = 我₀非零。简并情况，其中第一个j个 − 1导数为零，在附录中进行了处理，得到了运动中的广义积分[参见（A10）]. 我们现在考虑这个广义函数G公司在非标度变量中δI（以主导顺序为 $ϵ^{\frac{1}{j个 + 1}} \tilde{δ 我}$ ⁠)和 $η_{n个米 \vec{我}}$ （对于主要订单是 ${\tilde{η}}_{n个米 \vec{我}}$ ⁠)

G公司 = \frac{δ 我^{j个 + 1}}{(j个 + 1)!} + ϵ \sum_{n个, 米, \vec{我}}^{第页 e（电子） 秒 o个 n个 一 n个 t吨} \frac{{F类}_{n个 米 我}^{0} (我_{0}) 余弦 (η_{n个 米 \vec{我}})}{\frac{{d日}^{j个} (n个 Ω_{ϕ} + 米 Ω_{θ})}{d日 我_{j个}} |_{我_{0}}} .

(21)

在一级近似下，共振圆环附近的流体轨迹仅限于G公司.在原始时间坐标中τ替换为 $ϵ^{\frac{j个}{j个 + 1}} t吨$ ⁠，轨迹由 $ϕ (t吨) = Ω_{ϕ} (我_{0}) t吨 + {\tilde{ϕ}}_{0} (ϵ^{\frac{j个}{j个 + 1}} t吨), θ (t吨) = Ω_{θ} (我_{0}) t吨 + {\tilde{θ}}_{0} (ϵ^{\frac{j个}{j个 + 1}} t吨)$ ⁠，以及

\dot{δ} 我 = ϵ \sum_{n个 米 \vec{我}}^{第页 e（电子） 秒 o个 n个 一 n个 t吨} {F类}_{n个 米 \vec{我}}^{0} (我_{0}) 罪 (η_{n个 米 \vec{我}}),

（22年a）

{\dot{η}}_{n个 米 \vec{我}} = \frac{{d日}^{j个} (n个 Ω_{ϕ} + 米 Ω_{θ})}{d日 我_{j个}} |_{我_{0}} \frac{{(δ 我)}^{j个}}{j个!},

（22亿）

具有 $η_{n个米 \vec{我}} = n个 {\tilde{ϕ}}_{0} (ϵ^{\frac{j个}{j个 + 1}} t吨) + 米 {\tilde{θ}}_{0} (ϵ^{\frac{j个}{j个 + 1}} t吨) + α_{n个米 \vec{我}}$ ⁠.

评价G公司对于给定的流来说，在数值上具有挑战性，因为它需要找到作用角-角度变量的显式表达式 $(我, θ, ϕ)$ 就以下方面而言(x个,年,z（z）)，找到共振环面我₀以及共振装置 $(n个, 米, \vec{我})$ ⁠，傅里叶展开扰动进行计算 ${F类}_{n个米 \vec{我}}^{0} (我_{0})$ 的，并估计分母中的导数项(21)然而G公司-等高线对系数的精确值不敏感，但对于奇数和偶数则不同j个取决于共振项的数量 $η_{n个米 \vec{我}}$ 在的右侧(21).对于与2的共振η的，偶数和奇数的情况j个如图所示。三使用 $\frac{{d日}^{j个} ({n个}_{1} Ω_{ϕ} + 米_{1} Ω_{θ})}{d日我^{j个}} = \frac{{d日}^{j个} ({n个}_{2} Ω_{ϕ} + 米_{2} Ω_{θ})}{d日我^{j个}} = 1$ ⁠,ϵ = 0.1, ${F类}_{{n个}_{1} 米_{1} 我_{1}} = {F类}_{{n个}_{2} 米_{2} 我_{2}} = 1$ ⁠，以及所有其他F类s=0。

图3。

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在双共振的情况下，G的（左）奇数和（右）偶数j的相图。

对于偶数和奇数j个远离共振圆环（即大δI),G公司-轮廓展平和逼近 $δ 我 \approx 有限公司 n个秒 t吨$ （图中的黑色表面。三)这表明相应的未扰动圆环体仅因强迫而轻微变形。另一方面，对于小型δI，轨迹受到共振的强烈影响，并发生重大变形（图中的绿色和红色表面。三). 因此G公司可以分为两个不同的区域-共振内的轨迹，其中 $δ 我 (t吨)$ 由于 $罪$ -等式右侧的项。（22年a）以及共振外部的轨迹 $δ 我 (t吨)$ 不超过零。这相当于将共振定义为至少有一个η-变量沿着轨迹旋转，而在共振之外η的值单调增加。原则上，共振区域可以进一步划分为子域，其中η包起来或一些η的环绕和一些单调增加，但这里我们感兴趣的是定义共振区域的外部边界，而不是其子边界。

共振区域的内部和外部由轮廓隔开G公司_九月-最后一个G公司-交叉的轮廓 $δ 我 = 0$ （图中蓝色表面。三). 上的上限G公司_九月可以通过将所有余弦设置为等于1英寸(21):

{G公司}_{秒 e（电子） 第页} = ϵ \sum_{n个, 米, \vec{我}}^{第页 e（电子） 秒 o个 n个 一 n个 t吨} \frac{| {F类}_{n个 米 我}^{0} (我_{0}) |}{| \frac{{d日}^{j个} (n个 Ω_{ϕ} + 米 Ω_{θ})}{d日 我_{j个}} |_{我_{0}}} .

(23)

注意，对于至少涉及一个线性相关的共振，可能无法达到这个上限η-术语。最大偏移δI这个的G公司_九月-轮廓可以用来定义共振区域宽度的上限

Δ 我 = 2 {(ϵ (j个 + 1)! \sum_{n个, 米, \vec{我}}^{第页 e（电子） 秒 o个 n个 一 n个 t吨} \frac{| {F类}_{n个 米 我}^{0} (我_{0}) |}{| \frac{{d日}^{j个} (n个 Ω_{ϕ} + 米 Ω_{θ})}{d日 我_{j个}} |_{我_{0}}})}^{1 / (j个 + 1)} .

(24)

共振宽度表达式(24)是公式（3.13）的推广普拉特等。(2014)对于具有稳定扰动的单共振情况，将其降为（3.13）。同样，计算特定流动的共振宽度在数值上具有挑战性，因为它需要Fourier根据作用角-角度变量展开扰动。然而，诸如ϵ-分母中导数项的依赖性和依赖性(24)在一个稳定旋转的罐中进行了数值模拟测试普拉特等。(2014)，并达成一致。还要注意n个和米分母为(24)倾向于为低阶共振创造更大的宽度（n个和米). 如果强迫作用产生了具有广泛空间尺度的扰动，那么 ${F类}_{n个米 \vec{我}}^{0}$ 对小的来说也是最大的n个和米，大分子和小分母的组合导致低阶共振的宽共振层。另一方面，如果强迫具有良好的空间结构，那么 ${F类}_{n个米 \vec{我}}^{0}$ 可能是小对小n个和米情况也不太明朗。

在简谐力激励的单共振的最简单特殊情况下（即只有一个共振三重态的情况正常升)，系统(22)变为哈密顿量

\begin{matrix} \dot{δ 我} = - \partial G公司 / \partial η, \\ \dot{η} = \partial G公司 / \partial (δ 我), \end{matrix}

(25)

具有

G公司 = ϵ {F类}_{n个 米 我}^{0} (我_{0}) 余弦 (η) + \frac{{(δ 我)}^{j个 + 1}}{(j个 + 1)!} \frac{{d日}^{j个} (n个 Ω_{ϕ} + 米 Ω_{θ})}{d日 我_{j个}} |_{我_{0}}

(26)

扮演哈密顿量的角色。系统相应的相空间几何(26)如图所示。4对于奇偶j（同样，使用 $ϵ = 0.1, {F类}_{n个米我}^{0} (我_{0}) = 1$ 和 $\frac{{d日}^{j个} (n个 Ω_{ϕ} + 米 Ω_{θ})}{d日我_{j个}} |_{我_{0}} = 1$ ⁠). 对于j=1非简并单共振的最简单情况，我们恢复了扰动哈密顿系统中常见的摆近似几何。

图4。

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的相位肖像H（H）对于（左上角）奇数和（右上角）偶数j.的相位图G公司对于j个 = 1带有3个谐波正弦端子。

方程中包含调和项和线性相关项。(21)导致“调制”G公司-曲面，以及具有三个调和项的示例， $η_{{n个}_{1} 米_{1} 我_{1}}, η_{{n个}_{2} 米_{2} 我_{2}} = 2 η_{{n个}_{1} 米_{1} 我_{1}} + α_{2}$ ⁠，以及 $η_{{n个}_{三} 米_{三} 我_{三}} = 三 η_{{n个}_{1} 米_{1} 我_{1}} + α_{三}$ ⁠，如图所示。4（底部）用于j个 = 1, $α_{2} = 2.1, α_{三} = 2.7, ϵ = 0.1, {F类}_{{n个}_{我} 米_{我} 我_{我}}^{0} (我_{0}) = 1$ ⁠，以及 $\frac{d日 ({n个}_{我} Ω_{ϕ} + 米_{我} Ω_{θ})}{d日我} |_{我_{0}} = 1$ 对于我 = 1, 2, 3. 相空间仍然可以划分为共振区域，其中G公司-等高线交叉δI = 0和共振外部区域，其中G公司-等高线不过零。然而，在共振区域内，会出现额外的椭圆点和双曲线点，导致比单摆近似更复杂的几何结构。如上所述，对于具有宽空间尺度的扰动，高阶项的贡献往往随着阶数的增加而减少，因此G公司-由高阶谐波项构成的曲面预计不会像图中那样明显。4（底部）。

A.真实物理空间中共振附近流动的几何形状(x个,年,z（z）)

的水平面G公司是围绕未受干扰的共振圆环扫掠的材料表面。这些表面及其轨迹的物理可视化具有挑战性，因为从 $(δ 我, η_{{n个}_{1} 米_{1} {\vec{我}}_{1}}, η_{{n个}_{2} 米_{2} {\vec{我}}_{2}})$ 到 $(δ 我, ϕ, θ)$ 至(x个,年,z（z）). 对于大多数真实的流场，第二次变换非常困难。然而，由于我们只对共振附近流动的定性几何形状感兴趣，因此可以通过假设所有未受扰圆环都是水平的圆形截面，并且 $ϕ$ 和θ简单的环形角与x个,年,z（z）通过

x个 = (R（右） + 第页 余弦 ϕ) 余弦 θ,

(27)

年 = (R（右） + 第页 余弦 ϕ) 罪 θ,

z（z） = 第页 罪 ϕ,

哪里 $第页 = {第页}_{0} + δ 第页 = \sqrt{{第页}_{o个}^{2} + δ 我 / π}$ 是半径与参考圆环的差值，第页₀是参考圆环体垂直横截面的半径，以及R（右）是参考圆环体中心到垂直对称轴的距离。最后一个表达式来自于我们定义动作的事实我作为圆环体垂直横截面的面积，所以δI是与参考圆环的面积差。

不同单共振附近的流动几何 $(η_{{n个}_{1} 米_{1} 我_{1}}, η_{{n个}_{2} 米_{2} 我_{2}}, δ 我) -, (θ, ϕ, δ 我) -$ ⁠、和(x个,年,z（z）)–图中显示了空格。5对于 $(n个, 米, 我) = (0, 1, 1)$ （第一行）、（2，0，1）（第二行）和（1，1，1）（第三行）。在所有子地块中，外部蓝色G公司-表面表示包围共振区域的分隔线，所有外表面（未显示）在拓扑上与未扰动圆环体等效。蓝色表面的内部是红色和绿色表面。绿色表面靠近 $δ 我 = 0$ 轮廓，其中(x个,年,z（z）)对应于位于共振区域中心的不变闭合曲线。红色表面位于绿色和蓝色之间。上部面板中显示的（0，1，1）-情况对应于强迫频率和 $Ω_{θ}$ ⁠，所以θ是共振坐标 $ϕ$ 是非共振坐标。因此，右上角面板中的红色和绿色表面，以及位于蓝色分隔线内的所有其他G轮廓，在θ但一直延伸到 $ϕ$ 从0到 $2 π$ （参见红色表面的图示）。我们将此几何体称为“折叠圆环体”几何体，而不是通常的“完整圆环”几何体G公司-位于红色圆环的正外部/内部的曲面，折叠圆环的两个边之间的间隙分别变小/变大，当我们接近分隔线（蓝色）或延伸到 $2 π$ 当我们接近谐振区域中心的闭合不变曲线（绿色）时。类似地，对于第二排面板中的（2，0，1）共振，θ是非共振的 $ϕ$ 是一个共振坐标，导致蓝色分界线内的所有表面在 $ϕ$ 有2个间隙。同样，右中间面板中红色曲面的上半部和下半部都具有更改后的“折叠圆环体”几何体。和以前一样，越来越大G公司-包含红色表面的表面，顶部和底部之间的间隙变小，直到顶部和底部在分离的蓝色表面相互接触。对于红色对象中包含的越来越小的曲面，间隙会越来越大，直到最终接近绿色闭合不变曲线。3个底板中的（1，1，1）-共振与其他两种单共振情况没有太大区别。在右下面板中，我们再次使用了折叠的圆环体几何体，但不像在顶部和中间面板中那样在折叠的圆环体中分别有垂直或水平间隙，现在间隙围绕圆环体，在两个面板中形成一个完整的环 $ϕ$ 和中θ在连接回自身之前。一般来说，间隙环n个中的次 $ϕ$ 和米中的次θ连接到自身之前。

图5：。

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的几何结构G公司-中的曲面 $(η_{n个米我}, δ 我$ ⁠)-空格（左）， $(θ, ϕ, δ 我)$ -空间（中间），在实际物理中(x个,年,z（z）)-三种不同单共振的空格（右）：（第一行） $(n个, 米, 我) = (0, 1, 1)$ ⁠，（第二行）（2，0，1）和（第三行）{1，1，1}。三个小面板显示第三行右侧面板中的蓝色、红色和绿色对象。

G公司-具有两个非简谐共振三元组（1，0，1）和（0，1，1）的双共振表面如图所示。6.此图与图中的单共振之间的两个定性差异。5是：（1）一些G公司-曲面具有圆环结或椒盐饼状几何体，并且（2）曲面以中的不动点为中心η-δI-空间（表示孤立的周期轨道(x个,年,z（z）))而不是围绕闭合不变曲线，因此G公司-位于共振区中心附近的表面具有球形几何形状，而不是环形几何形状。用笛卡尔(x个,年,z（z）)-坐标（左中面板），蓝色分隔线由内圆环和外圆环组成，其中内圆环刚好在左中面板最左侧的一个点接触到外圆环。在左下面板中，通过在年 = 0.蓝色内的红色表面都有开口θ和 $ϕ$ 在中 $(θ, ϕ, δ 我)$ –空间（右上角面板），因此有一个孔通向较小圆环的内部(x个,年,z（z）)-空间。当我们看到圆环躺在红色表面内 $(θ, ϕ, δ 我)$ –空间（右上面板），两个间隙θ和 $ϕ$ 缩小，直到最终缩小差距θ消失了。因此，所有较小的表面在性质上都与紫色物体相似，紫色物体在 $ϕ$ 但不是θ.英寸(x个,年,z（z）)-坐标（右中面板），紫色物体在拓扑上等价于我们在单共振情况下看到的折叠圆环。最后，当我们看到紫色中包含的越来越小的曲面时 $ϕ$ 最终将在 $(θ, ϕ, δ 我)$ –空间更小G公司-曲面将具有类似于绿色和黑色对象的球状几何体。

图6。

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的几何结构G公司-具有两个独立共振三元组（1,0,1）和（0,1,1）的双共振曲面，in $(η_{n个米我}, δ 我$ ⁠)-空格（左上）， $(θ, ϕ, δ 我)$ -空格（右上角），在笛卡尔坐标系中(x个,年,z（z）)-坐标（中间面板）。一片在年 = 0通过每个对象显示在底部面板中。

B.KAM稳定性强

共振宽度很重要，因为重叠的共振会破坏它们之间的所有复曲面，从而引发广泛的混乱(Chirikov，1979年;Zaslavsky和Chirikov，1972年). 共振条件(5)是根据频率制定的，因此共振重叠准则在频域中最容易定义为 $Δ Ω \geq Ω_{1} - Ω_{2}$ ⁠，其中 $Ω_{1, 2}$ 是相邻的共振频率和 $Δ Ω$ 是谐振在频域中的宽度，

Δ Ω = \frac{\partial^{j个} Ω}{\partial 我^{j个}} (我_{0}) \frac{{(Δ 我)}^{j个}}{j个!} \propto ϵ^{j个 / (j个 + 1)},

(28)

具有 $Δ 我$ 由提供(14).缩放 $Δ Ω \propto ϵ^{j个 / (j个 + 1)}$ 表明当j个变大了。因此，退化共振j个 > 1通常具有比非简并共振更小的共振宽度j个 = 1.因此，简并共振通常需要更大的扰动强度来重叠，导致在简并圆环附近对混沌有更大的抵抗力。这种现象称为简并圆圈附近的“强KAM稳定性”。它类似于二维流中的强KAM稳定(里皮纳等。2007年b)这是海洋和大气流中喷流核心无剪切轨道附近存在坚固的传输屏障的原因。

V.数值示例

在本节中，我们通过构造第。二我们关注大多数常见的单共振情况；双共振不太典型，数值模拟更具挑战性。我们还将注意力限制在最简单的周期扰动上，因为它允许我们使用庞加莱截面技术来可视化共振物体。准周期摄动情况不太适合用Poincaré截面进行处理，需要其他可视化方法。我们将在第二节讨论这个问题。不及物动词.

可视化三维时变对象，例如振荡圆环体，可能会带来挑战。克服这一挑战的一种方法是在同一相位对物体进行采样，从而消除振荡，使物体看起来稳定。对于时间周期系统，这是通过时间Poincaréstrocing实现的，其中采样是强制周期的整数倍吨，即在离散时间 $t吨 σ = 0 国防部 (2 π)$ ⁠一旦通过上述时间彭加莱（Poincaréstrocing）方法构建出稳定的3D物体，则在 $θ = 常数$ 可以将其简化为二维第页和z（z）（我们使用 $| θ | = π / 2$ 或者，同等地，年 = 0). 我们将得到的2D切片称为双Poincaré截面。在双Poincaré截面上，周期轨迹将显示为静止点，位于振荡圆环上的规则轨迹将对应于离散采样的闭合曲线，而混沌轨迹将显示为由有限区域填充的分散点。

A.旋转罐流现象学模型中的共振

为了使用共振条件(5)为了确定在旋转罐流的唯象模型中激发共振的强迫频率，我们进行了数值估算 $吨_{ϕ}$ 和 $吨_{θ}$ 对于未扰动轴对称背景流的轨迹。如图所示。7（右上角）， $吨_{θ}$ 范围从9到10.7 $吨_{ϕ}$ 范围从8.7到15。有周期的周期轨迹 $吨_{ϕ} = 吨_{θ} \approx 10$ 存在，对应于未扰动流的庞加莱截面上的一个驻点（图。7（左上角），当增加稳定的对称破坏扰动时（等式。(1)具有γ = 0），到图中的一个大岛。7（底部）。在岛的中心有一个稳定的椭圆点（对应于3D中的周期轨迹），周围环绕着一系列嵌套的闭合曲线（3D中的扭曲圆环）。一些原始圆环体变形，但保持完整，它们位于中心附近x个 = −0.33和z（z） = 本节左侧为0.4；我们将此区域称为“中心区域”。靠近圆柱轴的区域(x个 = 0）和周围的可能会变得混乱，并在图中显示为分散的点云。7（底部）。因为系统在两个图中都是稳定的。7（顶部）和（底部θ = 0通过气缸。

图7。

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（左上）未扰动流的庞加莱截面。（右上角）未扰动系统中轨迹的周期。轨迹在初始位置释放x个_在里面 = 0.333,年_在里面 = 0和不同z（z）_在里面跨越范围0<z（z）_在里面 < 0.6. （底部）稳定扰动系统的庞加莱截面。

我们现在测试系统对三种不同强迫周期选择的谐波时间周期强迫的响应：吨_（f） = 1、4.5和11.05。第一种选择是“弱共振”，即相应的强迫频率 $σ = 2 π / 吨_{（f）} = 2 π$ 远非两者兼而有之 $Ω_{ϕ}$ 或 $Ω_{θ}$ 对于背景流中的所有轨迹。因此，根据(5)，这种强迫不可能激发低阶共振，图中非定常系统的相应双Poincaré截面。8（顶部）在拓扑上类似于稳态扰动系统的庞加莱截面（图。7（底部））。两个截面都显示了中心区域中嵌套的完整圆环（图中显示了一个这样的圆环）。8（右上角）在进行时间Poincaré采样以消除其时间周期振荡后，在圆柱体周长附近出现一个孤岛和一个混沌区。

图8。

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对于旋转圆柱体的周期扰动唯象模型，双Poincaré截面（左）和对应的三维几何体（右）用于三种强迫频率的选择：（上）吨_（f） = 1，（中间）吨_（f） = 4.5和（底部）吨_（f） = 11.05.

考虑的第二种强制(吨_（f） = 4.5）与位于中心区域的嵌套圆环体之一共振。在背景流中，这是轨迹为 $吨_{ϕ}$ 是强制周期的两倍。， $σ / Ω_{ϕ} = 2$ ⁠，所以相应的共振三重态(5)是n个 = 2,米 = 0和我 = 1.该强迫频率不会激发其他低阶共振。图中对应的双Poincaré截面。8（左中）在拓扑上类似于图中的稳态扰动庞加莱截面。7（底部）除上述共振环面附近以外的所有地方。圆柱周长附近仍有一个混沌区，周期轨道的破裂产生了一个大岛。然而x个 = −0.33和z（z） = 截面左侧0.4，图中仅包含嵌套的完整圆环体。7（底部），现在显示了一个新的共振结构（以红色显示），它在图中的双Poincaré截面上显示为两个岛屿。8（左中）。该共振结构的相应3D几何结构（在时间Poincaré采样后）如右图所示，在性质上与图相似。5（第二排右侧面板）。该对象的上半部和下半部看起来都像“折叠圆环体”，其中圆环体的底部（顶部）部分折叠在其顶部（底部）部分内。对象在中是连续的θ因为这是一个非共振坐标（即。，米 = 0）但在中不连续 $ϕ$ 每个垂直部分有两个岛（因为n个 = 2). 当然，红色圆环体只是圆环体家族中的一个，其几何形状已被共振改变。所有这些圆环都具有相似的拓扑结构，并且一个接一个地包含在另一个圆环中。例如，蓝色圆环正好位于红色圆环的外面，它的上半部和下半部靠得更近。如果我们继续绘制其他包含红色和蓝色圆环的圆环图，最终其中一个圆环图的上半部和下半部将一直延伸到 $ϕ$ 并相互接触，形成分隔线。靠近分隔线，流动是混乱的。远离共振，在分离线外，圆环体只受到共振的影响很小，并能在扰动中幸存下来。如果我们朝着另一个方向，绘制出包含在红色圆环图中的越来越小的圆环图，上半部和下半部之间的距离将越来越远，直到最终我们到达位于上半部与下半部整个家族核心的极限轨迹。该极限轨迹对应于图中三维时间Poincaré截面上的两条闭合曲线。8（右中）（即在强制期频闪取样后）。这两条闭合曲线中的每一条都与垂直方向相交两次年 = 0-平面（在x个 < 0和一次x个 > 0），给出位于图中红色岛屿中心的一对周期-2椭圆点。8（中间/左侧）。图中的绿色物体。8（右中）是一个非常接近极限轨迹的圆环体示例。

强制的第三种选择，吨_（f） = 11.05也是共振的，并与中心区域的一个嵌套圆环体激发最低阶共振。在背景流中，这个环面的叶状轨迹吨_θ = 吨_（f）或者，同等地，σ/Ω_θ = 1.等式中对应的共振三重态。(5)因此是n个 = 0,米 = 1，和我 = 1，相应的谐振几何等效于图。5（第一排右侧面板）。和以前一样，这种强迫不会激发其他低阶共振。与情况类似吨 = 4.5，双Poincaré段吨 = 图11.05。8（左下）看起来与图中的稳态扰动庞加莱截面在性质上类似。7（底部）除了共振环面附近。在那里，现在出现了一个共振结构，它看起来像两个同心的红色圆圈（两个圆圈都是由相同轨迹的双Poincaréstrocing产生的），位于截面的左侧(x个 < 0）上没有签名x个 > 0.如图的右下面板所示。8，这个共振物体在 $ϕ$ 因为这是一个非共振坐标（即。，n个 = 0）但不连续θ有1个间隙（自米 = 1). 这在拓扑上等同于图。5（第一排右侧面板）。再次，我们可以找到圆环体的整个家族，其几何形状与红色物体的几何形状在性质上相似。当我们寻找包含红色物体的圆环时，最终会找到一直延伸到θ触摸自己。在这个分隔线之外，圆环体只受到共振的微弱影响，因此它们略微变形，但仍然保持通常的完整圆环体几何结构。当我们看到圆环体，比如红色中包含的绿色圆环体时，物体会缩进θ-方向，直到我们最终在嵌套对象族的核心处达到不变的闭合曲线。

最后，值得注意的是，上述共振流几何结构相对于强迫频率的微小变化而言相当稳健。由于轨迹周期从背景流的一个未扰动圆环到下一个圆环平滑变化，改变强迫频率只会导致共振中心位置向相邻的外圆环或内圆环轻微移动，但不会改变该共振的定性几何结构。

B.旋转罐流的完整数值解中的共振

以上述几何图形为指导，我们现在继续使用Navier-Stokes方程的完整数值解生成共振示例。我们使用了Sec。二，在柱面域内配置了640个元素，具有勒让德多项式阶N个 = 11，得到1105920个网格点。无量纲时间步长为10⁻⁴流量发散公差为10⁻⁹在大约10个强制周期（约4000 cpu小时）后，时间依赖性变得非常接近周期性，此时保存了一个强制周期内的速度场，并使用双线性时空插值离线用于粒子平流。由于双频闪剖面需要长轨迹积分，因此结果可能对舍入误差和体积保持的微小违反敏感(Speetjens和Clercx，2005年). 将一个实例的结果与高分辨率（N=21，6814720个网格点）运行的在线轨迹计算进行比较，以验证数值收敛性，并发现良好的一致性。

图中显示了稳定轴对称背景和未扰动系统中相应的轨迹周期。9（顶部）。在这里， $吨_{θ}$ 从16到22不等，并且 $吨_{ϕ}$ 从大约13人到超过100人。在9的右上角面板中可以看到几个低阶周期轨迹：具有 $吨_{ϕ} = 吨_{θ} \approx 16.2$ 最接近罐子的中间深度（接近 ${z（z）}_{我 n个} = 0.39$ ⁠)，另一个周期轨迹 $2 吨_{θ} = 吨_{ϕ} \approx 36$ 存在（但在左上面板中未显示），距离中间深度稍远z（z）_在里面 = 0.13和其他周期性轨迹 $吨_{ϕ} / 吨_{θ} = M（M） / N个$ 具有大整数M（M）和N个靠近圆柱体的周长。图的中间面板。8显示了稳态扰动的Poincaré截面，其中气缸盖略微偏离中心。在这种稳定扰动的影响下，每个周期轨道都会分解产生岛屿链，其中最大和最突出的岛屿对应于周期轨道的分解 $吨_{ϕ} = 吨_{θ} \approx 16.2$ ⁠定性地说，这一庞加莱截面与现象学模型的相似，在中心区域（现在以中心为中心）有嵌套的完整圆环 $x个 = \pm 0.6$ 和z（z） = 0.65），该区域外的一个大岛，以及圆柱体周长附近的混沌区。

图9：。

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对于旋转圆柱内流动的完整数值解，背景轴对称流动的Poincaré截面（左上），相应的轨迹周期（右上），稳态对称破缺扰动的Poincaré剖面（中），上盖（底部）的时间周期共振扰动的双Poincaré截面。右下角的小插图显示了从现象学模型推断出的预期三维共振几何结构。

现在我们开始通过周期性地移动盖子来强制系统 $吨_{（f）} = 16.35$ 在x方向围绕其移位位置。该强制周期等于 $吨_{θ}$ 对于位于环面上的轨道，该环面大约位于周期轨道的中间z（z） = 0.65和罐的周长，正好在具有周期性轨迹的圆环体外部。等式中相应的共振三重态。(5)是n个 = 0,米 = 1，和我 = 1中所示的谐振几何结构，并且预期的谐振几何结构应在拓扑上等效于图。5（第一排右侧面板）和8（底部）（另请参见图右下面板中的小插图。9). 与此期望一致，在相应的双Poincaré截面上（图。9（左下角），共振（用大黑点显示）以两个同心圆的形式出现在左半平面上(x个 < 0）在右半平面中没有对应项。当然，黑色物体并不是唯一受共振影响的物体。例如，紧挨着它的圆环体（使用紫色星显示）具有类似的几何结构，但与黑色物体类似，它的延伸距离更远θ并在双庞加莱截面的一侧显示为两个同心圆，在另一侧显示为二个独立的岛屿。黑色和紫色物体的3D结构如图的右下面板所示。9这两个物体看起来都比图右下角的对应物体噪音大。8这是使用分析描述的现象学模型构建的。这可能是因为计算双Poincaré截面和共振物体的相应3D几何体需要大约 $2000 吨_{（f）}$ ⁠，这带来了重大的数值挑战，并且不可避免地由于插值误差而导致一些数值噪声。光谱解算器(Speetjens和Clercx，2005年)或者体积保护积分方案可能有助于缓解这个问题并减少数值噪声。除此之外，图中的黑色和紫色物体。9（左下）与唯象模型中的理论参数和数值模拟预测的预期共振几何在拓扑上等价。注意，我们只期望图中对象之间的拓扑相似性。8和9因为它们对应于相同的共振类型，但它们之间并不完全相等，因为它们属于不同的流。还要注意，Navier-Stokes模拟中的速度虽然是周期性的，但在时间上可能并不像现象学模型中那样是正弦的。因此，具有更精细时间尺度的谐波项可能在低振幅下出现，从而使不变曲面更难解析。这可能是导致计算的曲面特征不太明显的原因。

C.共振和示踪剂

从物理海洋学的角度来看，双庞加莱剖面在野外或实验室中的用途有限，因为实际的洋流很少在建造它们所需的长时间尺度上保持完整。一个更相关的问题是，共振是否在几十（而不是数千）个强迫周期的时间尺度上对示踪物和其他可测量物理量的重新分布产生强烈影响。为了研究这个问题，我们使用NEK5000模型进行了数值模拟，在旋转过程中释放出的一小滴紧致示踪剂可以与共振流动(⁠ $吨_{（f）} = 16.35$ ⁠)和非共振(⁠ $吨_{（f）} = 14.5$ ⁠)并研究了其在22个强迫期内的后续演化。最初，示踪剂被限制在一个小椭球体上，该椭球体完全位于黑色折叠圆环体（其几何形状因共振力而改变）的内部，如图的底部面板所示。8对于具有共振力的流动，在没有任何扩散的情况下，这种结构将代表一个完美的不可穿透的材料屏障。当存在少量扩散时，如我们的数值示踪剂释放实验（Peclet数 $P（P） e（电子） = 10^{5}$ 或者，等效地，无量纲扩散率 $κ = 10^{- 5}$ ⁠)，示踪剂将缓慢“扩散”到该表面。然而，由于扩散过程缓慢，在几十个强迫周期的相对较短时间尺度内，示踪物必须主要停留在边界的内侧。由于强迫是周期性的，边界在时间上振荡，并在每个强迫周期后重复。因此，通过在强制周期的多个整数处拍摄示踪场快照，即 $t吨 = 吨_{（f）}, 2 吨_{（f）}, \dots, 22 吨_{（f）}$ ⁠，然后将这些快照求平均值，我们可以近似重建边界的几何结构（另请参见Mezic和Sotiropoulos（2002）用于对此方法进行严格讨论）。

黑色折叠圆环体最引人注目的几何特征是，与背景流的完整圆环体不同，它不会沿着罐的四周延伸θ因此不与垂直x-z平面相交x个 > 0（参见图的左下面板。8). 示踪剂主要被限制在具有共振作用力和小扩散率的流动的黑色折叠环面内，在右侧（即x个 > x-z平面的0）。与此图一致，对于图左侧面板中所示的共振强迫情况。10，示踪剂浓度的主体在x-z平面的左侧x个 < 0，右侧的示踪剂浓度要小得多x个 > 0。在x个 > 0通过缓慢的扩散过程泄漏到那里。要生成图。10，我们对22个示踪剂浓度快照中的每个快照进行了重新规范化，使其值介于0和1之间，然后将所有快照平均化。如果没有这种重正化，早期（即示踪剂尚未大量分散时）拍摄的快照具有更高的示踪剂浓度，因此占据了平均场的主导地位。重新规范化平衡了不同快照的贡献，从而获得了更具代表性的示踪剂所占区域和无示踪剂区域的图片。请注意，重正化无论如何都不会促进染料从屏障内外的“泄漏”，因此不会破坏不变结构。

图10。

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具有（a）共振的旋转圆柱流在x-z平面上的重整平均示踪浓度(吨_（f） = 16.35）和（b）非共振(吨_（f） = 14.5）强制。

与图中的共振强迫情况相反。10（a），对于图中所示的非共振强迫情况。10（b），共振岛是完全不存在的，示踪剂不限于停留在黑色折叠环面内。取而代之的是，示踪剂可以在罐子周围自由地沿方位分布θ与垂直的x-z平面相交x个 < 0和x个 > 因此，图中相应的平均示踪剂浓度场。10（b）显示了x-z平面左侧和右侧的可比较值。

刚刚描述的数值模拟说明了共振的重要性，并表明O（运行）强制期（10%）的变化可能导致由此产生的示踪剂分布发生重大的质量变化。由于其简单性，这种类型的示踪实验可能为在实验室和现场研究共振现象提供一种技术。

六、讨论和结论

在本文中，我们将弱非线性分析和数值模拟相结合，阐明了某些类具有对称性的三维含时流体流动中共振混沌搅拌的一些重要方面。我们的分析自然导致共振条件(5)预测当强迫频率与未扰动流中轨迹的频率可公度时，会发生共振。这种共振轨迹附近的流动可以通过多尺度分析进行研究，从而得到一个简化的系统(22)。的一个重要属性(22)它有运动积分G公司由提供(21)，因此可以通过绘制G公司根据强迫频率和轨道频率之间的关系，共振可分为单共振和双共振。已经为各种单共振和双共振绘制了共振几何图，并确定和讨论了一般趋势。在唯象模型和旋转罐流Navier-Stokes方程的完整数值解中，将理论预测的几何结构与数值模拟进行了比较，发现两者吻合良好。此外，还导出了描述共振区宽度的表达式，这是建立全局混沌的一个重要参数，并讨论了用平面波解释共振的物理意义。

由于未受扰系统中轨迹的频率通常跨越一系列值，因此许多共振是由给定的强迫频率激发的。除非强迫在非常精细的空间尺度上变化，否则最低阶共振通常是最强的。高阶共振通常局限于更窄的区域，它们对整体流动几何和特性的影响要小得多。当强迫为简谐时 $罪 σ t吨$ –时间依赖性，例如在我们的数值示例中，只有共振三元组我 = 共振条件下允许1(5)然而，对于更一般的时间依赖性，每个谐振三重态{n个,米,我}也有高阶谐波， $k个 * {n个, 米, 我}$ ⁠它通常不如主谐波重要，但其影响不能完全忽略。

单共振非常常见，因为即使是最简单的时谐单频强迫，也会激发具有不同轨迹的多个单共振。另一方面，双共振不太典型，对于时间周期强迫，只能在背景流的周期轨迹中发生。准周期强迫可以用非周期轨道激发双共振，但仅适用于精心选择的强迫频率（例如，当σ₁可以与 $Ω_{ϕ}$ 和σ₂具有 $Ω_{θ}$ 对于相同的轨迹）。

人们自然会问，为什么多重尺度扩展没有捕捉到共振层周围和内部模型示例中出现的任何混沌行为。注意，由于(15)表现出有规律的行为，在未确定的高阶修正中必然会出现混沌 ${\tilde{ϕ}}_{1} (τ), {\tilde{θ}}_{1} (τ)$ 和 ${\tilde{δ 我}}_{1} (τ)$ ⁠然而，由于 ${\tilde{δ 我}}_{1} (τ), ϕ$ ⁠，以及θ因为一个混沌的轨迹将与它们的最低阶值相差很大 $δ 我_{0}, ϕ_{0}$ ⁠，以及θ₀对于G公司-守恒近似， ${\tilde{δ 我}}_{1} (τ), {\tilde{ϕ}}_{1} (τ), {\tilde{θ}}_{1} (τ)$ 最终会成长为 $O（运行） (ϵ^{- 1 / (j个 + 1)})$ ⁠，并且渐近近似将无效。人们当然可以通过计算测试无限增长 ${\tilde{δ 我}}_{1} (τ), {\tilde{ϕ}}_{1} (τ), {\tilde{θ}}_{1} (τ)$ 通过对高阶余额的考虑，这在这里不进行。该分析解决了G公司-保存轨道，至少可以识别出稳定的轨道。

当然，对时间周期流的限制是海洋应用的理想化。准周期和非周期时间依赖性带来了重大的概念、计算甚至视觉挑战。试图克服这些困难的最新进展是基于一致性、遍历性、复杂性、双曲性和其他特性的度量，这些特性可能区分具有一般时间依赖性的三维流中的“不变”曲面或屏障。具体方法包括拉格朗日相干结构的变分方法(贝隆维拉等。, 2013)，转移运算符(弗罗伊兰德等。, 2007)，遍历商划分(Budisic和Mezic，2012年)，轨迹复杂性度量(雷皮纳等。, 2011)和拉格朗日描述符(门多萨等。, 2014). 目前尚不清楚这些方法中的任何一种能够准确或有效地再现如图所示的物体。8也不知道是否有任何方法可以捕捉到图中近似的物体。9更加清晰或经济。例如，有一些有希望的结果，Budisic和Mezic（2012年）能够计算ABC流的不变表面和混沌海，对于ABC流，速度场是三维但稳定的，对于周期性受迫的三维希尔涡旋流，则能够计算出不变表面和混乱海。Blazevski和Haller（个人通信）能够使用贝隆维拉等。(2013)方法。目标示踪剂释放实验（数值和实际）与第。V C公司还提供了一个识别含时流中不变曲面的有用工具。所有方法之间的比较都是有价值的，我们的运动学模型的结果提供了一个标准。

时变边界的可视化不仅对直观构建很重要，而且对实验示踪剂释放也很重要，这可能是观察海洋中此类结构并证明其能够承受背景湍流扩散影响的唯一可行技术。如果没有三维可视化，可能很难在脑海中形成图的下部面板中显示的许多彩色表面的画面。5。如果时间依赖性变得非周期性，这些不太可能变得更简单。这可能是艺术家和科学家之间合作的机会（例如。，Osinga和Krauskopf（2004年）).

虽然旋转气流中产生的方位旋转和垂直翻转是许多观测到的海洋涡旋的基本要素，但我们的模型是高度理想化的，因此，这只是建立动力系统方法对真实海洋流动实用性的第一步。除了非周期性强迫外，未来的工作还可以考虑分层的影响，以及涡流内部和周围流体之间的流体交换，例如，放宽限制，即流体包含在刚性垂直壁内。

致谢

这项工作得到了海军研究办公室管理的国防部（MURI）N000141110087号拨款的支持。

附录A：简并共振的多尺度分析

我们有兴趣研究简并共振环面附近轨道的行为我₀令人满意的 $n个 Ω_{ϕ} (我_{0}) + n个 Ω_{θ} (我_{0}) - \vec{我} \cdot \vec{σ} = 0, \frac{{d日}^{j个} (n个 Ω_{ϕ} + 米 Ω_{θ})}{d日我^{j个}} |_{_{我_{0}}} \neq 0, \frac{{d日}^{我} (n个 Ω_{ϕ} + 米 Ω_{θ})}{d日我^{我}} |_{_{我_{0}}} = 0$ 对于我 < j个第节中描述的缩放参数。III B类建议δI将成长为 $O（运行） (ϵ^{1 / (j个 + 1)})$ 结束 $t吨 \sim O（运行） (ϵ^{- j个 / (j个 + 1)})$ ⁠。因此，我们定义了通用的慢时间变量 $τ = ϵ^{j个 / (j个 + 1)} t吨$ 和治疗t吨和τ作为两个自变量 $d日 / d日 t吨 = \partial / \partial t吨 + ϵ^{j个 / (j个 + 1)} \partial / \partial τ$ ⁠。前面考虑的非退化情况由j个 = 1

引入相位变量很方便 $η_{n个米 \vec{我}} = n个 ϕ + 米 θ - \vec{我} \cdot \vec{σ} t吨 + α_{n个米 \vec{我}}$ ⁠根据(3)，由管辖

\frac{d日 η}{d日 t吨} = n个 Ω_{ϕ} (我) + 米 Ω_{θ} (我) - \vec{我} \cdot \vec{σ} + ϵ [{n个 F类}^{1} (我, ϕ, θ, \vec{σ} t吨) + {米 F类}^{2} (我, ϕ, θ, \vec{σ} t吨)] .

（A1）

然后，我们写下δI和 $η_{n个米 \vec{我}}$ 作为

\begin{matrix} δ 我 = ϵ^{\frac{1}{j个 + 1}} δ 我_{0} (t吨, τ) + ϵ^{\frac{2}{j个 + 1}} δ 我_{1} (t吨, τ) + \dots + ϵ δ 我_{j个} (t吨, τ) + \dots \\ η_{n个 米 \vec{我}} = η_{0, n个 米 \vec{我}} (t吨, τ) + ϵ^{\frac{1}{j个 + 1}} η_{1, n个 米 \vec{我}} (t吨, τ) + \dots ϵ η_{j个 + 1, n个 米 \vec{我}} (t吨, τ) + \dots . \end{matrix}

将这些扩展替换为（A1）和中的第一个方程(3)，并使用傅里叶分解进行扰动(4)，我们获得

\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t吨} [ϵ^{\frac{1}{j个 + 1}} δ 我_{0} (t吨, τ) + ϵ^{\frac{2}{j个 + 1}} δ 我_{1} (t吨, τ) + \dots + ϵ δ 我_{j个} (t吨, τ) + \dots] \\ + ϵ^{\frac{j个}{j个 + 1}} \frac{\partial}{\partial τ} [ϵ^{\frac{1}{j个 + 1}} δ 我_{0} (t吨, τ) + ϵ^{\frac{2}{j个 + 1}} δ 我_{1} (t吨, τ) + \dots + ϵ δ 我_{j个} (t吨, τ) + \dots] \\ = ϵ \sum_{n个 米 \vec{我}} {F类}_{n个 米 \vec{我}}^{0} (我_{0} + δ 我) 罪 [η_{0, n个 米 \vec{我}} (t吨, τ) + ϵ^{\frac{1}{j个 + 1}} η_{1, n个 米 \vec{我}} (t吨, τ) + \dots] \end{matrix}

（A2）

和

\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t吨} [η_{0, n个 米 \vec{我}} (t吨, τ) + ϵ^{\frac{1}{j个 + 1}} η_{1, n个 米 \vec{我}} (t吨, τ) + \dots] + ϵ^{\frac{j个}{j个 + 1}} \frac{\partial}{\partial τ} [η_{0, n个 米 \vec{我}} (t吨, τ) + ϵ^{\frac{1}{j个 + 1}} η_{1, n个 米 \vec{我}} (t吨, τ) + \dots] \\ = n个 Ω_{ϕ} (我_{0}) + 米 Ω_{θ} (我_{0}) - \vec{我} \cdot \vec{σ} + \frac{{d日}^{j个} (n个 Ω_{ϕ} + 米 Ω_{θ})}{d日 我^{j个}} |_{我_{0}} \frac{{(ϵ^{\frac{1}{j个 + 1}} δ 我_{0} (t吨, τ) + ϵ^{\frac{2}{j个 + 1}} δ 我_{1} (t吨, τ) + \dots)}^{j个}}{j个!} \\ + ϵ \sum_{n个 米 \vec{我}} [n个 {F类}_{n个 米 \vec{我}}^{1} (我_{0} + δ 我) + 米 {F类}_{n个 米 \vec{我}}^{2} (我_{0} + δ 我)] 罪 [η_{0, n个 米 \vec{我}} (t吨, τ) + ϵ^{\frac{1}{j个 + 1}} η_{1, n个 米 \vec{我}} (t吨, τ) + \dots] . \end{matrix}

（A3）

组合前导顺序 $O（运行） (ϵ^{1 / (j个 + 1)})$ 等式中的术语。（A2）和O（运行）（1）公式中的术语。（A3）屈服于

δ 我_{0} = \tilde{δ 我_{0}} (τ),

（A4）

η_{0, n个 米 \vec{我}} = [n个 Ω_{ϕ} (我_{0}) + 米 Ω_{θ} (我_{0}) - \vec{我} \cdot \vec{σ}] t吨 + {\tilde{η}}_{n个 米 \vec{我}} (τ) .

（A5）

查找缓慢变化的函数 $\tilde{δ 我_{0}} (τ)$ 和 ${\tilde{η}}_{n个米 \vec{我}} (τ)$ ⁠，我们检查 $O（运行） (ϵ)$ 中的余额（A2）以及 $O（运行） (ϵ^{j个 / (j个 + 1)})$ 中的余额（A3）

\frac{\partial}{\partial t吨} δ 我_{j个} = - \frac{\partial}{\partial τ} \tilde{δ 我_{0}} + \sum_{n个 米 \vec{我}} {F类}_{n个 米 \vec{我}}^{0} (我_{0}) 罪 [{\tilde{η}}_{n个 米 \vec{我}} (τ) + (n个 Ω_{ϕ} (我_{0}) + 米 Ω_{θ} (我_{0}) - \vec{我} \cdot \vec{σ}) t吨]

（A6）

和

\frac{\partial}{\partial t吨} η_{j个, n个 米 \vec{我}} = - \frac{\partial}{\partial τ} {\tilde{η}}_{n个 米 \vec{我}} (τ) + \frac{{d日}^{j个} (n个 Ω_{ϕ} + 米 Ω_{θ})}{d日 我^{j个}} |_{我_{0}} \frac{{\tilde{δ 我_{0}}}^{j个}}{j个!} .

（A7）

消除导致长期增长的条款 $δ 我_{j个}$ 和 $η_{j个, n个米 \vec{我}}$ 给予

\frac{\partial}{\partial τ} \tilde{δ 我_{0}} = \sum_{n个 米 \vec{我}}^{第页 e（电子） 秒 o个 n个 一 n个 t吨} {F类}_{n个 米 \vec{我}}^{0} (我_{0}) 罪 [{\tilde{η}}_{n个 米 \vec{我}} (τ)]

（A8）

和

\frac{\partial}{\partial τ} {\tilde{η}}_{n个 米 \vec{我}} = \frac{{d日}^{j个} (n个 Ω_{ϕ} + 米 Ω_{θ})}{d日 我^{j个}} |_{我_{0}} \frac{{\tilde{δ 我_{0}}}^{j个}}{j个!} .

（A9）

最后两个方程允许运动积分

G公司 = \frac{{\tilde{δ 我}}_{0}^{j个 + 1}}{(j个 + 1)!} + \sum_{n个 米 \vec{我}}^{第页 e（电子） 秒 o个 n个 一 n个 t吨} \frac{{F类}_{n个 米 \vec{我}}^{0} (我_{0}) 余弦 {\tilde{η}}_{n个 米 \vec{我}}}{\frac{{d日}^{j个} (n个 Ω_{ϕ} + 米 Ω_{θ})}{d日 我_{j个}} |_{我_{0}}} .

（A10）

工具书类

1

贝隆维拉

,

F·J。

,

王

,

年。

,

奥拉斯科加

,

医学博士。

,

戈尼

,

J·G·。

，以及

G.公司。

哈勒

, “

海洋涡旋和阿古拉斯泄漏的客观探测

,”

《物理学杂志》。Oceanogr公司。

43

,

1426

–

1438

(

2013

).

https://doi.org/10.1175/JPO-D-12-0171.1

谷歌学者

交叉参考

2

布迪斯语

,

M。

和

梅齐克

,

一、。

, “

遍历商的几何学揭示了流中的相干结构

,”

物理D

241

,

1255

–

1269

(

2012

).

https://doi.org/10.1016/j.physd.2012.04.006

谷歌学者

交叉参考

三。

卡特赖特

,

J·H·E。

,

费恩戈尔德

,

M。

，以及

皮罗

,

O。

, “

真实三维含时非湍流流动中的整体扩散

,”

物理学。修订稿。

75

,

3669

–

3672

(

1995

).

https://doi.org/10.103/PhysRevLett.75.3669

谷歌学者

交叉参考

公共医学

4

卡特赖特

,

J·H·E。

,

费恩戈尔德

,

M。

，以及

皮罗

,

O。

, “

三维非定常不可压缩层流中的混沌平流

,”

J.流体力学。

316

,

259

–

284

(

1996

).

https://doi.org/10.1017/S0022112096000535

谷歌学者

交叉参考

5

程

,

C.-Q.公司。

和

太阳

,

Y.-S.公司。

, “

三维保测映射中不变环的存在性

,”

天体力学。

47

,

275

–

292

(

1990

).

https://doi.org/10.1007/BF00053456

谷歌学者

交叉参考

6

奇里科夫

,

B.V.公司。

, “

多维振子系统的普遍不稳定性

,”

物理学。代表。

52

,

263

–

379

(

1979

).

https://doi.org/10.1016/0370-1573(79)90023-1

谷歌学者

交叉参考

7

迪兰

,

H.R.公司。

和

梅斯

,

J·D·。

, “

保体积映射中的共振和扭曲

,”

暹罗J.Appl。动态。系统。

11

,

319

–

349

(

2012

).

https://doi.org/10.1137/10846865

谷歌学者

交叉参考

8

费希尔

,

P.F.公司。

, “

不可压Navier-Stokes方程谱元解的重叠schwarz方法

,”

J.计算。物理学。

133

,

84

–

101

(

1997

).

https://doi.org/10.1006/jcph.1997.5651

谷歌学者

交叉参考

9

喷泉

,

克。

,

卡哈尔

,

K.V.公司。

,

梅齐克

,

一、。

，以及

奥蒂诺

,

J·M·。

, “

三维有界流动中的混沌混合

,”

J.流体力学。

417

,

265

–

301

(

2000

).

https://doi.org/10.1017/S002211200000118X

谷歌学者

交叉参考

10

福克斯

,

上午。

和

梅斯

,

J·D·。

, “

体保映射不变环面分解的Greene剩余准则

,”

物理D

243

(

1

),

45

–

63

(

2013

).

https://doi.org/10.1016/j.physd.2012.09.05

谷歌学者

交叉参考

11

弗罗伊兰德

,

G.公司。

,

帕德贝格

,

英国。

,

英格兰

,

M.H.先生。

，以及

特雷吉耶

,

上午。

, “

基于转移算子的相干海洋结构探测

,”

物理学。修订稿。

98

,

224503

(

2007

).

https://doi.org/10.103/PhysRevLett.98.224503

谷歌学者

交叉参考

公共医学

12

格林斯潘

,

高压。

,

旋转流体理论

(

剑桥大学出版社

,

1968

).

谷歌学者

13

拉基

,

T.C.公司。

和

索蒂罗波罗斯

,

F。

, “

具有精确反旋盖的容器内混沌平流定常流动中搅拌速率与雷诺数的关系

,”

物理学。流体

18

(

5

),

053601

(

2006

).

https://doi.org/10.1063/1.2201967

谷歌学者

交叉参考

14

莱德韦尔

,

J.R.公司。

,

麦基利库迪

,

D.J.博士。

，以及

安德森

,

L.A.公司。

, “

模式水涡中营养物质向深层叶绿素层的通量

,”

深海研究，第二部分

55

,

1139

–

1160

(

2008

).

https://doi.org/10.1016/j.dsr2.2008.02.005

谷歌学者

交叉参考

15

洛梅利牌手表

,

小时。

和

拉米雷斯-罗斯

,

R。

, “

三维立体立体地图中的分隔线分割

,”

SIAM J.应用。动态。系统。

7

(

4

),

1527

–

1557

(

2008

).

https://doi.org/10.1137/080713173

谷歌学者

交叉参考

16

洛佩兹

,

J·M·。

和

马尔克斯

,

F。

, “

差动同向旋转盖驱动的快速旋转圆柱体壁面边界层不稳定性

,”

物理学。流体

22

,

114109

(

2010

).

https://doi.org/10.1063/1.3517292

谷歌学者

交叉参考

17

马代

,

年。

和

佩特拉

,

A.T.公司。

, “

Navier-Stokes方程的谱元方法

,”

计算力学中的最新测量

(

美国机械工程师协会

,

1989

)，第页。

71

–

143

.

谷歌学者

18

马斯洛

,

美国。

和

克拉克

,

S.R.公司。

, “

具有非线性临界层的纬向剪切流中的亚临界Rossby波

,”

螺柱应用。数学。

108

,

89

–

103

(

2002

).

https://doi.org/10.1111/1467-9590.01425

谷歌学者

交叉参考

19

麦基利库迪

,

D.J.博士。

等，“

涡流/风的相互作用刺激了异常的中海浮游生物水华

,”

科学类

316

(

5827

),

1021

–

1026

(

2007

).

https://doi.org/10.1126/science.1136256

谷歌学者

交叉参考

公共医学

20

梅斯

,

J·D·。

, “

保体积地图中tori的破坏

,”

Commun公司。非线性科学。数字。模拟。

17

,

2108

–

2121

(

2012

).

https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2011.04.014

谷歌学者

交叉参考

21

门多萨

,

C、。

,

曼乔

,

上午。

，以及

威金斯

,

美国。

, “

拉格朗日描述符与海洋数据集预测能力评估

,”

非线性过程。地球物理学。

21

,

677

–

689

(

2014

).

https://doi.org/10.5194/npg-21-677-2014

谷歌学者

交叉参考

22

梅齐克

,

一、。

和

索蒂罗波罗斯

,

F。

, “

混沌平流中不变集的遍历理论和实验可视化

,”

物理学。流体

14

(

7

),

2235

–

2243

(

2002

).

https://doi.org/10.1063/1.1480266

谷歌学者

交叉参考

23

梅齐克

,

一、。

和

威金斯

,

美国。

, “

关于三维对称流体流动扰动的可积性

,”

非线性科学杂志。

4

,

157

–

194

(

1994

).

https://doi.org/10.1007/BF02430631

谷歌学者

交叉参考

24

米雷尔斯-詹姆斯

,

J·D·。

和

洛梅利牌手表

,

H.E.公司。

, “

异宿弧的计算及其在保体积Henon族中的应用

,”

SIAM J.应用。动态。系统。

9

(

三

),

919

–

953

(

2010

).

https://doi.org/10.1137/090776329

谷歌学者

交叉参考

25

莫哈拉纳

,

N.R.（不适用）。

,

斯佩特詹斯

,

M.F.M.公司。

,

特里林

,

共和国。

，以及

克莱克斯

,

H·J·H。

, “

旋转球体驱动的非定常层流中的三维拉格朗日输运现象

,”

物理学。流体

25

,

093602

(

2013

).

https://doi.org/10.1063/1.4819901

谷歌学者

交叉参考

26.

奥辛加

,

H.M.公司。

和

克劳斯科普夫

,

B。

, “

钩住Lorenz歧管

,”

数学。智力。

26

(

4

),

25

–

37

(

2004

).

https://doi.org/10.1007/BF02985416

谷歌学者

交叉参考

27

佩特拉

,

答：。

, “

流体动力学的谱元方法；通道扩张中的层流

,”

J.计算。物理学。

54

,

468

–

488

(

1984

).

https://doi.org/10.1016/0021-9991(84)90128-1

谷歌学者

交叉参考

28

普兰萨里

,

Z.公司。

,

斯佩特詹斯

,

M.F.M.公司。

，以及

克莱克斯

,

H·J·H。

, “

三维层流中流体惯性形成相干结构

,”

J.流体力学。

654

,

5

–

34

(

2010

).

https://doi.org/10.1017/S0022112010001552

谷歌学者

交叉参考

29

普拉特

,

洛杉矶。

,

里皮纳

,

一、一、。

,

Özgökmen公司

,

T.米。

,

王

,

第页。

,

儿童

,

H。

，以及

贝比埃娃

,

年。

, “

稳定三维埃克曼驱动涡旋中的混沌平流

,”

J.流体力学。

738

,

143

–

183

(

2014

).

https://doi.org/10.1017/jfm.2013.583

谷歌学者

交叉参考

30

罗姆·凯达尔

,

五、。

,

丹诺夫

,

L.P.公司。

,

Ching（清）

,

E、S、C。

，以及

阿米克

,

C、。

, “

体积保持映射中异宿连接的中断

,”

物理D

62

,

51

–

65

(

1993

).

https://doi.org/10.1016/0167-2789(93)90271-2

谷歌学者

交叉参考

31

里皮纳

,

一、一、。

,

棕色

,

M.G.公司。

,

贝隆维拉

,

F·J。

,

科卡（Kocak）

,

H。

,

奥拉斯科加

,

医学博士。

，以及

乌多维契科夫

,

I.A.公司。

, “

大气纬向急流的拉格朗日动力学和平流层极涡的渗透性

,”

J.大气。科学。

64

,

3595

–

3610

(

2007年a

).

https://doi.org/10.1175/JAS4036.1

谷歌学者

交叉参考

32

雷皮纳

,

一、一、。

,

棕色

,

M.G.公司。

,

贝隆维拉

,

F·J。

,

科卡（Kocak）

,

H。

,

奥拉斯科加

,

医学博士。

，以及

乌多维德琴科夫

,

I.A.公司。

, “

强大的Kolmogorov-Anold-Moser稳定性导致强大的运输障碍

,”

物理学。修订稿。

98

,

104102

(

2007年b

).

https://doi.org/10.103/PhysRevLett.98.104102

谷歌学者

交叉参考

公共医学

33

里皮纳

,

一、一、。

,

普拉特

,

洛杉矶。

,

拉伦

,

J。

,

莱文

,

J。

，以及

戈登

,

答：。

, “

群岛中的混沌平流

,”

《物理学杂志》。Oceanogr公司。

40

(

9

),

1988

–

2006

(

2010

).

https://doi.org/10.1175/2010JPO4336.1

谷歌学者

交叉参考

34

里皮纳

,

I.我。

,

斯科特

,

瑞典。

,

普拉特

,

洛杉矶。

，以及

棕色

,

M.G.公司。

, “

研究孤立轨道复杂性与拉格朗日相干结构之间的联系

,”

非线性过程。地球物理学。

18

,

977

–

987

(

2011

).

https://doi.org/10.5194/npg-18-977-2011

谷歌学者

交叉参考

35

扎梅尔松

,

风险管理。

和

威金斯

,

美国。

,

地球物理喷流和波浪中的拉格朗日输运：动力系统方法

(

Springer-Verlag公司

,

纽约有限责任公司

,

2006

).

谷歌学者

36

所罗门

,

总高度。

和

梅齐克

,

一、。

, “

流体流动中的均匀共振混沌混合

,”

自然

425

,

376

–

380

(

2003

).

https://doi.org/10.1038/nature01993

谷歌学者

交叉参考

公共医学

37

斯佩特詹斯

,

M.F.M.公司。

和

克莱克斯

,

H·J·H。

, “

速度涡度公式中Navier-Stokes方程的谱解算器

,”

国际期刊计算。流体动力学。

19

(

三

),

191

–

209

(

2005

).

https://doi.org/101080/10618560412331283808

谷歌学者

交叉参考

38

瓦因斯坦

,

D.L.公司。

,

维德洛斯基

,

J。

，以及

格里戈里耶夫

,

注册办公室。

, “

细胞流中的共振现象和混沌平流

,”

物理学。修订稿。

99

,

094501

(

2007

).

https://doi.org/10.103/PhysRevLett.99.094501

谷歌学者

交叉参考

公共医学

39

瓦因斯坦

,

D.L.公司。

,

维德洛斯基

,

J。

，以及

格里戈里耶夫

,

注册办公室。

, “

细胞流中的共振混沌混合

,”

物理学。版本E

78

,

026302

(

2008

).

https://doi.org/10.103/PhysRevE.78.026302（物理版）

谷歌学者

交叉参考

40

夏

,

Z.公司。

, “

体保微分同态中不变环的存在性

,”

Ergodic神学。动态。系统。

12

,

621

–

631

(

1992

).

https://doi.org/10.1017/S0143385700006969

谷歌学者

交叉参考

41

斯拉伏斯基

,

G.公司。

,

动力学系统中的混沌

(

哈伍德学术出版社

,

纽约州

,

1985

).

谷歌学者

42

斯拉伏斯基

,

总经理。

和

奇里科夫

,

B.V.公司。

, “

非线性振动的随机不稳定性

,”

苏联。物理学。乌斯普。

14

,

549

–

672

(

1972

).

https://doi.org/10.1070/PU1972v014n05ABEH004669

谷歌学者

交叉参考

43

锌铝合金

,

J。

,

斯佩特詹斯

,

M.F.M.公司。

,

特里林

,

共和国。

，以及

克莱克斯

,

H·J·H。

, “

三维盖驱动圆柱腔流中周期线的可观测性

,”

物理学。版本E

85

,

066320

(

2012

).

https://doi.org/10.103/PhysRevE.85.066320

谷歌学者

交叉参考

2015

AIP出版有限责任公司

理想涡随时间变化的三维模型中的共振现象

I.简介

二、。旋转CAN流

A.流动几何形状

B.Navier–Stokes方程的现象学模型和完整数值解

III、共振

A.共振：物理意义

B.共振：缩放

C.共振圆环附近的多尺度分析

D.关于可能谐振项数量的备注

四、共振附近流动的几何形状和共振宽度

A.真实物理空间中共振附近流动的几何形状(x个,年,z（z）)

B.KAM稳定性强

V.数值示例

A.旋转罐流现象学模型中的共振

B.旋转罐流的完整数值解中的共振

C.共振和示踪剂

六、讨论和结论

致谢

附录A：简并共振的多尺度分析

工具书类

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理想涡随时间变化的三维模型中的共振现象

I.简介

二、。旋转CAN流

A.流动几何形状

B.Navier–Stokes方程的现象学模型和完整数值解

III、 共振

A.共振：物理意义

B.共振：缩放

C.共振圆环附近的多尺度分析

D.关于可能谐振项数量的备注

四、 共振附近流动的几何形状和共振宽度

A.真实物理空间中共振附近流动的几何形状(x个,年,z（z）)

B.KAM稳定性强

V.数值示例

A.旋转罐流现象学模型中的共振

B.旋转罐流的完整数值解中的共振

C.共振和示踪剂

六、 讨论和结论

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III、共振

四、共振附近流动的几何形状和共振宽度

六、讨论和结论