我同意作者对我的论文中获得的螺旋丝的Donnelly-Glaberson不稳定性的评论。我还发现他们以博费塔LIA的方式推导量子LIA（局部感应近似）的优点等。然而，我不同意对希塔拉和哈宁宁的主要批评。特别是，尽管它们表明，由于前一类模型包含超流体摩擦参数，LIA和局部非线性方程模式不具有可比性，但请注意，由于这些参数很小，因此可以将其归零，并考虑对模型进行定性比较（这是我在论文中所做的）。第二，虽然Hietala和Hánninen批评了我的论文（以及模型来源于Shivamoggi的论文）中所做的某些假设，但当阿克→ ∞, 请注意，在我的论文中，我指出，任何偏离灯丝所沿着的中心轴的偏差都必须有足够的变化范围。因此，已经承认阿克(=|Φx|)应该有足够的界限，排除阿克→ ∞ 案例。我还表明，尽管Hietala和Hánninen声称，但在适用的情况下，我的论文中获得的分散关系与LIA一致。最后，虽然Hietala和Hánninen声称色散参数应该是复数，但我表明他们的色散关系是错误的，因为推导不正确（他们假设势函数的复数模是常数，然后用它来获得具有非常数模的势函数）。
在我的论文中1我给出了螺旋涡丝运动的精确解4他被施瓦兹降级三Shivamoggi给出的模型4（其中涡丝沿x-轴和偏差以势的形式足够小，即扰动线灯丝第页(x,t吨) = (x,一科斯(千倍− ωt吨+x0),一罪(千倍− ωt吨+x0))相当于$\Phi（x，t）=Ae^{i[kx-\omega t+x_0]}$
在他们的评论中，2希塔拉和哈宁宁对这项工作提出了一些批评
除此之外，评论的作者2对Donnelly-Glaberson不稳定性给出一些有用的参考和讨论。他们还指出了κ形式的错误n个给定（注意，这是一个印刷错误，一些指数错误，这不会影响任何推导）。在这两点上，我同意作者的意见。在下文中，我将阐述我所看到的评论的三个主要负面观点（I）-（III）。2
（一） 所研究模型的可比性。参考文献。1，我将LIA与Shivamoggi给出的近似形式进行了比较（在某些假设下，当螺旋灯丝的变化范围足够大时有效）4和Laurie的LNE等。5前两个由LIA导出，包括超流体摩擦参数α，α′⩾0，而后一种模型没有。因此，参考文献。2声明由于LNE缺少这些参数，因此无法对模型进行比较。然而，请注意，在α，α中′→ 0极限，前两个模型与第三个模型相当。自α，α′首先是小参数，如果我们不考虑超流体摩擦参数的定量影响，这样的比较是合理的。参考文献中给出的比较类型。1是纯定性的（而不是定量的，其中包括参数α、α′重要），以及小参数α，α′不要影响这些结果。
（二） 参考文献中模型的有效性。1以及色散关系。我论文中使用的模型1由Shivamoggi提出4当（i）灯丝溶液沿与正常流体流动一致的轴对齐时（如果我们沿x-轴，我们考虑正常流体流动U型= (U型1（0，0））和（ii）灯丝与轴线之间有足够的有界变化（即从直线灯丝）。在这种情况下，量子LIA由参考文献的等式（1）近似。1假设灯丝解具有足够的有界变差。与Shivamoggi的这个模型一致，并且在对所研究的涡流丝类型合理的条件下，我在参考文献的等式（2）中获得了该模型的潜在公式。1最近，参考文献中考虑了Shivamoggi模型的进一步性质。6.
参考文献的作者。2认为在获得参考文献中存在的模型时使用的简化。1与阿克→ ∞ 极限，但这正是“变化有界”的意思。实际上，我明确指出（紧跟在参考文献的等式（1）之后。1)解决方案应具有足够的变化范围，这对于螺旋丝意味着阿克足够有界。因此，我排除了这种情况阿克→ ∞ 参考文献中。1参考文献的作者就是这样。2声称我的论文没有考虑。
参考文献的作者。2还认为使用的模型给出了错误的离散关系。他们使用标准LIA（α，α′→ 0）使用修改后的潜在LIA公式证明这一点。他们的修正模型是沿着Boffetta的LIA线导出的等。8参考文献的作者。2请注意，在我提供的公式和推导中有许多“错误”，请注意，这些都对应于简化，当偏离线灯丝的偏差在变化上有足够的界限时，这些简化是有效的。
我觉得解决任何问题的最佳方法是在没有任何假设的情况下返回LIA，而不是潜在的公式（无论是我的，1或参考文献。2). 因此，让我们直接考虑LIA，而不是参考文献。1或参考。2LIA表示第页t吨= γκt吨×n个假设螺旋线第页(x,t吨) = (x,一科斯(千倍− ωt吨+x0),一罪(千倍− ωt吨+x0))，我们计算
我们可以将此螺旋线视为波数的二阶摄动解k我们忽略了O（运行）(k三)捐款。这意味着我在参考文献。1必须在空间上足够缓慢地变化（即，如参考文献。1). 事实上，从参考文献中的图2可以明显看出这一点。1：如果k变大，一变小；如果一很大，k必须很小。对于这种类型的解决方案一和k自然强制执行产品的条件阿克足够有界。因此，当沿着线灯丝的螺旋扰动具有足够的有界变化时，参考文献。1与LIA一致。再一次，我并不是说参考文献。2上述内容无关紧要，只是在参考文献。1在变化上有足够的界限。
作为参考文献的作者。2指出，我和其他人使用的文献中的潜在公式往往忽略了其中一个成分的贡献。在这种公式中，假设两个分量中的速度占主导地位，其中第三个分量被假设为较小。这自然会导致错误，但此错误足够小，以避免在解具有足够有界变差的情况下解的性质发生定性损失。当假设一个潜在的框架时，做出这样的假设并不奇怪。作者2给出一个修改后的潜在LIA，它实际上是Boffetta的LIA等。8（见该论文的等式（4）），
修正项包括$\Phi _x^*\Phi_{xx}-\Phi_x\Phi_{xx}^*$
，所以什么时候$\Phi _x^*\Phi_{xx}-\Phi_x\Phi_{xx}^*$
足够小，(6)与一致
是否$\Phi _x^*\Phi_{xx}-\Phi_x\Phi_{xx}^*$
足够小将取决于对灯丝的假设。当然，如果灯丝的振幅很大或变化很快，则需要进行这种校正。有趣的是，似乎只有一个而不是两个量都很小就足以消除这个修正项。参考文献。2，作者提到我，Shivamoggi，4,9也不是Umeki10在我们各自的一些作品中考虑到这一点。然而，这些工作考虑了这种修正项自然较小的情况。例如，对于一个或多个近似平面的平面灯丝，这是我在参考文献。2（例如，参考。7)，注意Ψ(x,t吨) =e（电子）−我γt吨ϕ(x)（式中为实数），其给出$\Phi _x^*\Phi_{xx}-\Phi_x\Phi_{xx}^*=\Phi^{prime}\Phi^}\prime\prime}-\Phi^{\prime}\Phi ^{\prime\ prime}=0$
，因此′′/(1 + ϕ′2)3/2= 0. 注意，我们根本没有限制振幅，但校正项为零，因为解是平面的。这说明，有许多解决方案不需要进行这种修正。也就是说，这种修正在以下情况下很有用$\Phi _x^*\Phi_{xx}-\Phi_x\Phi_{xx}^*$
如灯丝快速变化时。
回到螺旋灯丝，请注意，如果波数足够小，解决方案实际上可以具有更大的振幅。例如，如果螺旋线缓慢变化但振幅较大k≪1和一∼k−1≫1，然后阿克∼ 1. 然而，在这种情况下，一2k三∼k≪ 1. 因此，对于阿克≪1以便合理忽略高阶贡献一2k三在这种情况下，最好不要近似于表格中的条款$\sqrt{1+（阿克）^2}$
通过忽视阿克.
当然，人们很自然会想知道服用后会发生什么阿克如果解在空间上变化很快（即，它们在变化上没有足够的界），那么这种色散关系当然不成立。这种灯丝可以被视为紧密卷曲，因此我预计非局部效应（正如人们从毕奥-萨伐尔定律中得到的那样，LIA是局部近似值）将发挥重要作用。对于这种情况，我怀疑能够包括非局部影响比考虑能力更有趣阿克→ ∞ 这种灯丝的LIA型效应。模拟表明，在这种情况下，LIA模型和Biot-Savart模型之间的定性差异将是显著的。11
（三） 实ω还是复值ω？参考文献的作者。2状态“当ω应该是复杂的时，为什么ω在等式（3）和（4）中是实的也是有疑问的。虚部表示耗散的存在。“在这里，我将证明为什么ω必须是真实的，以便获得任何类型的分析解。为此，让我们考虑参考文献。2.
根据参考文献作者获得的色散关系。2，它们的推导似乎存在根本性错误。一方面，Hietala和Hänninen声称应该将ω取为$\Phi（x，t）=Ae^{i[kx-\omega t+x_0]}$
.这样做（ω=ωR（右）+我ω我)，我们有$\Phi（x，t）=Ae^{ω_It}e^{I[kx-ω_Rt+x_0]}$
，因此ω我给出增长或衰减速度。Hietala和Hánninen给出了ω的公式R（右）和ω我根据模型参数。另一方面，观察一2k2在他们的公式中。Hietala和Hánninen在计算模量|Φ时得到了这个项x|. 然而，对于复值ω，我们有$|\Phi_x|=A^2k^2e^{2\omega_It}$
，自|e（电子）η|=1，仅当η是纯虚的。因此，希塔拉和哈尼宁应该
当他们从方程（11）转到方程（12）和（13）时，这是不可取的，因为它不允许精确解（实际上，将此项推过计算，这将意味着ω是与时间相关的，即使它被假定为常数）。因此，参考文献的作者。2已“使用”$|e^{i[kx-\omega t+x_0]}|=1$
（只有当ω是纯实值时才有可能）但声称ω不是实值。这是一个相当根本的错误。
这正是参考文献中使用纯实值ω的原因。1虽然耗散确实需要复ω，但这样的解不可能精确获得。如果假设有这样的解决方案，就可以得到这种形式的条件$A^2k^2e^{2\omega_It}$
，如果ω在时间和空间上是常数，那么这是没有意义的。因此，在ω复杂的情况下，不满足精确解假设。请注意，这并不意味着这样的解在物理上并不存在，只是需要从数值上获得这样的解。因此，Hietala和Hánninen给出的离散度的建议精确解析解2是错误的。
这也说明了另一点：虽然人们可能经常对解进行数值模拟，但很难获得此类非线性偏微分方程的准确或分析结果。虽然Hietala和Hánninen可能会对我所声称的量子LIA的文献中找不到这样的精确解这一事实提出异议，但Hietala和Hännien的错误2证明获得具有所需特性（如耗散）的分析解并不总是一件简单的事情。事实上，根据Hietala和Hänninen的说法2“具有恒定振幅的解只是例外，”我们看到这些是在分析意义上唯一可能的螺旋解。
