在参考文献中，作者使用待定系数方法解析地证明了类洛伦兹系统中同宿和异宿轨道的存在性。如果证明是正确的，则可以通过Sil'nikov判据来保证马蹄形混沌的存在。然而，我们在此证明，由于两个原因，他们的论证是不正确的。一方面，他们错误地使用了类洛伦兹系统所表现出的对称性。另一方面，他们试图通过在参数空间的开放集合中一致收敛的级数来找到结构不稳定的全局分岔：这意味着他们发现的动力学对象是结构稳定的。

话题
动力系统, 轴向对称性, 系列扩展

参考文献。1由定义

x·=一(年-x),年·=bx公司-lxz（勒克斯）,z（z）·=-捷克+总部2.
(1)

什么时候？b条 > 0,c（c） > 0,小时 > 0和我 > 0，系统（1）有三个平衡点：原点O（运行）（0,0,0）与非平凡平衡E类1(x0,年0,z（z）0)和E类2(−x0, −年0,z（z）0)，其中x0=年0=公元前/hl公司和z（z）0 = b条/我.

注意系统（1）在变化下是不变的(x、 y，z) → (−x, −y、 z（z）)也就是说，它相对于z（z）-轴。

在对参数值假设了一些条件以确保非平凡平衡点是鞍函数之后，作者尝试用待定系数方法证明系统（1）中Sil'nikov同宿和异宿轨道的存在（见图。1（a）和2（a）). 在接下来的两部分中，我们将指出他们犯下的一些严重错误。

图1。
图1。（a） 连接E1和E2的一对异宿轨道在x-z平面上的投影。虚线是对称下异宿C的图像。（b） 两个异宿轨道的第一分量x（t）。（c） 参考文献1中异宿轨道假设的奇函数（t）的曲线图[等式（31）]。
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（a） 投影到x-z轴连接异宿轨道对的平面E类1和E类2虚线是异宿的图像C对称之下。（b） 第一个组件x(t吨)两个异宿轨道。（c） 奇数函数的绘图ϕ(t吨)假设参考文献中的异宿轨道。1[等式（31）]。

图1。
图1。（a） 连接E1和E2的一对异宿轨道在x-z平面上的投影。虚线是对称下异宿C的图像。（b） 两个异宿轨道的第一分量x（t）。（c） 参考文献1中异宿轨道假设的奇函数（t）的曲线图[等式（31）]。
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（a） 投影到x-z轴连接异宿轨道对的平面E类1和E类2虚线是异宿的图像C对称之下。（b） 第一个组件x(t吨)两个异宿轨道。（c） 奇数函数的绘图ϕ(t吨)假设参考文献中的异宿轨道。1[等式（31）]。

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图2。
图2。（a） Sil'nikov同宿轨道到原点的定性图像。（b） Sil'nikov同宿轨道的第一分量x（t）。（c）参考文献1中同宿轨道假设的奇函数ψ（t）的绘图[等式（42）]。
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（a） Sil'nikov同宿轨道到原点的定性图像。（b） 第一个组件x(t吨)Sil'nikov同宿轨道。（c）奇函数图ψ(t吨)假设参考文献中的同宿轨道。1[等式（42）]。

图2。
图2。（a） Sil'nikov同宿轨道到原点的定性图像。（b） Sil'nikov同宿轨道的第一分量x（t）。（c）参考文献1中同宿轨道假设的奇函数ψ（t）的绘图[等式（42）]。
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（a） Sil'nikov同宿轨道到原点的定性图像。（b） 第一个组件x(t吨)Sil'nikov同宿轨道。（c）奇函数图ψ(t吨)假设参考文献中的同宿轨道。1[等式（42）]。

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参考文献。1[第三节]作者研究了对称非平凡平衡点之间的异宿轨道E类1和E类2，在一个参数区域中，两个平衡都是鞍形的（参见参考文献。1，方程（5）-（11））。具体来说，线性化矩阵的实特征值为负，而共轭复数对的实部为正。

一旦系统（1）转换为三阶方程x(t吨)（参见参考。1，式（17）–（18）），为了找到异宿轨道，只需确定一个解即可x(t吨)倾向于x0什么时候t吨→ +∞和至−x0对于t吨→ −∞由于存在一对连接（它们在对称性下映射到彼此上），在不失一般性的情况下，它们只考虑来自E类2到E类1，已标记C在图中。1（a）然后他们介绍系列

x(t吨)=ϕ(t吨)=x0+∑k个=1∞一k个e（电子）k个αt吨,t吨>0,

哪里α是一个待定的负常数。经过繁琐的计算（参见参考。1，方程（21）–（29）），他们推断α完全由系统（1）的五个参数决定，即，一,b条,c（c）,小时，以及我（事实上，α是非平凡平衡点处线性化矩阵的负实特征值）。他们还获得了一k个(k个 ≥ 2） 完全取决于一,b条,c（c）,小时,我,α，以及一1因此，异宿轨道对应于t吨 > 0已确定(x(t吨)倾向于x0什么时候t吨→ +∞也就是说，异宿连接接近平衡E类1什么时候t吨→ +∞).

参考文献中的第一个关键错误。1出现时，为了确定异宿轨道对应的部分t吨 < 0，它们适用于系统（1）所展现的对称性。他们混淆了轨道C，它必然是非对称的（它沿着二维不稳定流形向外螺旋E类2并接近平衡E类1沿其一维稳定流形，见图。1（b）)异宿轨道，映射到C在对称性下E类2具有E类1（图中的虚线曲线。1（a）和1（b）). 他们这样写

x(t吨)=ϕ(t吨)=-x0-∑k个=1∞一k个e（电子）-k个αt吨,t吨<0,

然后异宿轨道的第一个分量采用参考文献。1[等式（31）]：

x(t吨)=ϕ(t吨)={x0+∑k个=1∞一k个e（电子）k个αt吨,t吨>0,0,t吨=0,-x0-∑k个=1∞一k个e（电子）-k个αt吨,t吨<0.

很明显，这个奇怪的函数（见图。1（c）)不能对应于连接两个鞍-焦点平衡点的异宿轨道的第一个分量（见图。1（b）).

即使这是唯一的关键错误，它也会使随后的所有结果无效。

但第二个重要错误出现在后来，他们证明了异宿轨道级数展开的一致收敛性（参见定理3前面的段落）。如果他们正在Sil'nikov区域中寻找异宿连接（一个结构不稳定的物体，通常只存在于两参数空间的曲线上，或三参数空间的曲面上），则不可能通过参数空间开放集中的一致收敛级数来确定它。原因是，这意味着该序列不仅对固定的参数值有效(一 = 10,b条 = 40,c（c） = 2.5,我 = 1和小时 = 4） ，但绝对是在某个开放社区的所有点上。因此，他们会找到一个结构稳定的物体。

据作者介绍，参考文献。1是定理3。虽然他们已经证明（如我们所示，以错误的方式）参数的特定值存在异宿连接，但他们假设的假设只意味着平衡E类1和E类2是具有负实特征值的鞍形foci。因此，作者声称一个荒谬的结果：异宿连接存在于参数空间的开放子集的所有点中。如果这是真的，那么这个全局连接将是余维零。

参考文献中出现了类似的行列式错误。1【第四节】。在那里，作者考虑了原点的同宿轨道O（运行）当它是鞍焦点时，具有负实特征值和复数对的正实部分（如果c（c） > 0,一 < 0和一2 + 4ab公司 < 0). 在本例中，他们介绍了系列

x(t吨)=ψ(t吨)=∑k个=1∞b条k个e（电子）k个βt吨,t吨>0,

哪里β是一个待定的负常数。经过一些计算（参见参考。1，等式（35）–（41）），他们推断β完全取决于一,b条,c（c）,小时，以及我（实际上，它是原点处线性化矩阵的负实特征值），以及b条2k个+1(k个 ≥ 1） 完全取决于一,b条,c（c）,小时,我,β，以及b条1（他们得到偶数阶项的系数，b条2k个，均为null）。

参考文献中的下一个基本错误。1出现时，确定同宿轨道对应的部分t吨 < 0，作者将系统（1）的对称性应用于该轨道：他们混淆了必然非对称的轨道（它沿着二维不稳定流形向外螺旋，并沿着其一维稳定流形接近平衡，见图。2（a）)随着…的存在它是对称的同宿轨道。这样，他们写下了[Ref。1，等式（42）]：

x(t吨)=ψ(t吨)={∑k个=0∞b条2k个+1e（电子）k个βt吨,t吨>0,0,t吨=0,-∑k个=0∞b条2k个+1e（电子）-k个βt吨,t吨<0,

对于同宿轨道的第一分量。

显然，这个奇怪的函数是不可能的（见图。2（c）)对应于鞍-焦点平衡的同宿轨道的第一个分量（见图。2（b）).

他们省略了收敛性的证明，但会出现与对异宿轨道进行的分析中出现的问题相同的问题：同宿轨道在参数空间的开放集上的级数展开的一致收敛将意味着他们发现的物体在结构上是稳定的。

最后，与定理3中给出的注释类似的注释对定理4有效。

考虑到我们在本评论中所显示的错误，作者在参考文献开头所述的目的。1（“本研究的目的是从解析上证明Liu系统中同宿/异宿轨道的存在”）遗憾的是，由于参考文献中给出的所有同宿和异宿轨道分析结果都是不正确的，因此尚未实现。

我们非常感谢审稿人的宝贵意见。这项工作得到了国家教育部I+D+I计划在项目MTM2010-20907-C02的框架内，由FEDER基金共同出资安达卢西亚政府教育委员会（FQM-276、TIC-0130和P08-FQM-03770）。

1
L。
 
周
和
F、。
 
陈
,
混乱
 
18
,
013113
(
2008
).
https://doi.org/10.1063/1.2839909
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©2011美国物理研究所。
2011
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