The quantum spin Hall effect and topological insulators

Qi, Xiao-Liang; Zhang, Shou-Cheng

doi:10.1063/1.3293411

在量子世界，原子及其电子可以形成许多不同的物质状态，例如晶体固体、磁体和超导体。对于上述例子，这些不同的状态可以根据它们分别自发打破平移对称、旋转对称和规范对称的对称性进行分类。1980年以前，凝聚态物质系统中的所有物质状态都可以用破对称性原理进行分类。1980年发现的量子霍尔（QH）态， ¹ 提供了第一个没有自发破缺对称性的量子态的例子。其行为仅取决于其拓扑结构，而不取决于其特定的几何结构；它在拓扑上不同于所有已知的物质状态。

最近，出现了一类新的拓扑态，称为量子自旋霍尔（QSH）态或拓扑绝缘体（参见今日物理学,2008年1月，第19页). 与所有其他已知物质状态（包括QH状态）不同的拓扑结构，QSH状态已在理论上进行了预测，并在碲汞量子阱中进行了实验观测， ^2,3 在铋锑合金中， ^4,5 和在Bi中₂硒_三和Bi₂Te公司_三大块晶体。 ^6–8 QSH系统在本体上是绝缘的，它们具有分离价带和导带的能隙，但在边界上，它们具有拓扑保护的无隙边缘或表面状态，并且不受杂质或几何扰动的影响。 ^9–12 在这种拓扑绝缘体内部，麦克斯韦电磁定律被一个附加的拓扑项戏剧性地改变，该拓扑项具有精确的量化系数， ¹² 这会产生显著的物理效应。虽然QSH状态与QH状态有许多相似之处，但在重要方面有所不同。特别是，QH态需要一个外部磁场，这打破了时间反转（TR）对称性；相比之下，QSH状态是TR不变的，不需要应用场。

从量子霍尔到量子自旋霍尔

在一维世界中，有两种基本运动：向前和向后。随机散射会导致它们混合，从而产生阻力。正如我们从基本交通控制中学到的那样，如果我们能在空间上将逆流方向分隔成两条单独的车道，这样就可以很容易地避免随机碰撞，那会更好。这种简单的交通控制机制是QH效应的本质。 ¹

当强磁场作用于半导体中的二维电子气体时，就会产生QH效应。在低温和高磁场下，电子仅沿半导体边缘移动，两个电子逆流在空间上分离为位于样品顶部和底部边缘的不同“通道”。与电子在两个方向传播的一维系统相比，QH棒的顶部边缘仅包含一半的自由度。独特的空间分隔如图所示1a个通过符号方程“2=1[前向运动]+1[后向运动]”，这是QH效应拓扑稳健的关键原因。当边缘态电子遇到杂质时，它只是绕了一个弯路，仍然沿着同一方向前进（图1)，因为它没有回头路。这种无耗散传输机制对半导体器件非常有用。不幸的是，对大磁场的要求严重限制了QH效应的应用潜力。

图1。空间分离是量子霍尔（QH）和量子自旋霍尔（QSH）效应的核心。（a）一个无自旋的一维系统既有向前的推动者，也有向后的推动者。这两个基本自由度在QH杆中空间上分开，如符号方程“2=1+1”所示。上边缘仅包含向前移动器，下边缘仅包含向后移动器。这些状态是强健的：它们将围绕杂质而不散射。（b）自旋1D系统有四个基本通道，它们在QSH栏中空间上分开：上边缘包含一个带上自旋的前向运动器和一个带下自旋的后向运动器，下边缘则相反。符号方程“4=2+2”说明了这种分离

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图1。空间分隔是量子霍尔（QH）和量子自旋霍尔（QSH）效应的核心。（a）一个无自旋的一维系统既有向前的推动者，也有向后的推动者。这两个基本自由度在QH杆中空间上分开，如符号方程“2=1+1”所示。上边缘仅包含向前移动器，下边缘仅包含向后移动器。这些状态是强健的：它们会绕过杂质而不会散射。（b）一个自旋1D系统有四个基本通道，它们在QSH栏中被空间分隔开：上边缘包含一个带上自旋的前向通道和一个带下自旋的后向通道，下边缘则相反。符号方程“4=2+2”说明了这种分离

我们能不能去掉磁场，仍然为电子分隔车道？在真实的一维系统中，自旋向上和自旋向下电子的前向和后向通道产生四个通道，如图所示1亿如图中符号方程“4=2+2”所示，电子的行车道可以以TR不变的方式分割，没有任何磁场。我们可以将自旋向上的前向移动器和自旋向下的后向移动器留在顶部边缘，并将其他两个通道移到底部边缘。具有这种边缘态的系统被称为处于QSH状态，因为它具有沿着上边缘向前自旋和沿着下边缘向后自旋的净输运，就像QH状态中电荷的分离输运一样。宾夕法尼亚大学的查尔斯·凯恩和尤金·梅勒， ⁹ Andrei Bernevig和我们中的一个（张） ¹⁰ 斯坦福大学于2005年和2006年独立提出，这种分离，从而形成QSH态，原则上可以在具有自旋-轨道耦合的某些理论模型中实现。（还预测了分数QSH状态， ¹⁰ 尽管尚未进行实验观察。）

虽然QSH边缘由前向和后向运动组成，但非磁性杂质的后向散射是被禁止的。为了理解这种影响，我们从日常生活中的一个类比开始。大多数眼镜和照相机镜头都有所谓的防反射涂层。如图所示2a个，来自顶部和底部表面的反射光相互破坏性干扰，导致零净反射，从而实现完美传输。然而，这种效果并不可靠，因为它取决于光学波长和涂层厚度之间的匹配。

.图2。（a）在带有防反射涂层的透镜上，顶部（蓝线）和底部（红线）表面反射的光波会产生破坏性干涉，从而导致反射被抑制。（b）量子自旋霍尔边态可以被非磁性杂质向两个方向散射。沿着蓝色曲线顺时针旋转，自旋旋转π；沿红色曲线逆时针方向，乘以-π。与2π之差相关联的量子机械相位因子−1导致两条路径的破坏性干涉——电子的后向散射受到抑制，其方式类似于从减反射涂层上脱落的光子。

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图2。（a）在镜头上使用防反射涂层后，顶部（蓝线）和底部（红线）表面反射的光波会产生破坏性干涉，从而导致反射被抑制。（b）量子自旋霍尔边态可以被非磁性杂质向两个方向散射。沿着蓝色曲线顺时针旋转，自旋旋转π; 沿红色曲线逆时针方向，乘以−π。−1的量子机械相位因子与2的差相关联π导致两条路径的破坏性干涉-电子的后向散射被抑制，其方式类似于减反射涂层上的光子。

就像光子被表面反射一样，电子可以被杂质反射，不同的反射路径也会相互干扰。如图所示2亿，处于QSH边缘态的电子可以围绕杂质顺时针或逆时针旋转，在旋转过程中，自旋旋转角度为π或−π相反的方向。因此，这两条通过TR对称性相关的路径完全不同π−(−π) = 2π电子自旋的旋转。量子力学的一个深刻而神秘的原理表明，自旋的波函数- $\frac{1}{2}$ 粒子在满2时获得负号π旋转。因此，两条反向散射路径总是会产生破坏性干扰，从而实现完美传输。如果杂质携带一个磁矩，TR对称性就会被破坏，两个反射波不再破坏性地干涉。在这个意义上，QSH边缘状态的鲁棒性受到TR对称性的保护。

上述物理图片仅适用于单对QSH边缘状态的情况。如果系统as中有两个前向移动器和两个后向移动器，例如图中所示的未分离的1D系统1亿-然后，一个电子可以从一个向前移动的通道散射到向后移动的通道，而不需要反转其自旋，也不需要完美的破坏性干涉，因此存在耗散。因此，为了使QSH状态具有鲁棒性，边缘状态必须由奇数个向前运动者和奇数个向后运动者组成。这种奇偶效应的特点是Z ₂拓扑量子数是QSH状态的核心 ^9,13 这就是为什么QSH绝缘体也被同义地称为拓扑绝缘体的原因。

二维拓扑绝缘体

查看数字1亿，我们看到QSH效应需要相反自旋态的反传播。自旋和轨道运动之间的这种耦合是相对论效应，在重元素中最为明显。尽管所有材料都具有自旋-轨道耦合，但只有少数材料是拓扑绝缘体。2006年，Bernevig、Taylor Hughes和Zhang提出了寻找拓扑绝缘体的一般机制 ² 并特别预测碲汞量子阱——夹在其他材料之间的纳米层——是超过临界厚度的拓扑绝缘体d日 _c（c）一般的机制是带反转，其中导带和价带的通常顺序通过自旋-轨道耦合反转。 ^2,4

在大多数常见的半导体中，导带是由秒轨道和价带是由电子形成的第页轨道。然而，在某些重元素（如汞和碲）中，自旋-轨道耦合非常大，以至于第页-轨道带被推到秒-轨道带-也就是说，这些带是反向的。碲汞量子阱可以通过将材料夹在碲化镉之间来制备，碲化汞具有类似的晶格常数，但自旋-轨道耦合要弱得多。因此，增加厚度d日碲镉汞层的增加增加了整个量子阱的自旋-轨道耦合强度。对于薄量子阱，如图左栏所示3a年，CdTe具有主导作用，谱带具有正常顺序：秒-类传导子带E1位于第页-类似价子带H1。在厚量子阱中，如右列所示，由于厚度增加，出现相反的顺序d日HgTe层。临界厚度d日 _c（c）预计带反转的波长约为6.5nm。

图3。碲镉汞量子阱是二维拓扑绝缘体。（a）碲镉汞-碲化镉量子阱的行为取决于碲镉汞层的厚度d。这里的蓝色曲线显示了导带中电子所经历的势能；红色曲线是价带中空穴的屏障。电子和空穴被这些电势横向捕获，但在其他两个维度中是自由的。对于厚度小于临界厚度d c≃6.5 nm的量子阱，标记为E1的最低能量传导子带的能量高于标记为H1的最高能量价带的能量。但对于d&gt；dc，这些电子带和空穴带被反转。（b）量子阱的能谱。薄量子阱有一个绝缘的能隙，但厚量子阱的能隙内是边缘态，用红线和蓝线表示。（c）实验测量了薄量子阱和厚量子阱的电阻，绘制了与施加在栅电极上的电压相对应的曲线，以改变化学势。薄量子阱在禁带内有一个几乎无限大的电阻，而厚量子阱由于完美导电的边态，在R=h/2e 2处有一个量子化电阻平台。此外，不同宽度的样品的电阻平台相同，从0.5µm（红色）到1.0µm，证明只有边缘导电。

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图3。碲化汞量子阱是二维拓扑绝缘体。（a）碲化汞-碲化镉量子阱的行为取决于厚度d日HgTe层的厚度。这里的蓝色曲线显示了导带中电子所经历的势能；红色曲线是价带中空穴的屏障。电子和空穴被这些电势横向捕获，但在其他两个维度中是自由的。对于厚度小于临界厚度的量子阱d日 _c（c）≃6.5 nm，标记为E1的最低能量传导子带的能量高于标记为H1的最高能量价带的能量。但为了d日>d日 _c（c），这些电子带和空穴带是反向的。（b）量子阱的能谱。薄量子阱有一个绝缘的能隙，但厚量子阱的能隙内是边缘态，用红线和蓝线表示。（c）实验测量了薄量子阱和厚量子阱的电阻，绘制了与施加在栅电极上的电压相对应的曲线，以改变化学势。薄量子阱在间隙内具有几乎无限的电阻，而厚量子阱的量子化电阻平台为R（右）=小时/2e（电子） ²由于完美导电的边缘状态。此外，不同宽度的样品的电阻平台相同，从0.5µm（红色）到1.0µm，证明只有边缘导电。

HgTe中的QSH状态可以用E1和H1子带的简单模型来描述 ² （请参见箱第36页）。该模型的显式解给出了一对边缘状态d日>d日 _c（c）在倒置状态下d日<d日 _c（c），如图所示第3页这对边态携带相反的自旋，从价带到导带一路扩散。色散曲线的交叉是TR对称性所必需的，并且无法消除，这是QSH绝缘体的拓扑特征之一。

在理论预测不到一年后，由劳伦斯·莫伦坎普（Laurens Molenkamp）领导的沃尔茨堡大学（University of Würzburg）的一个团队观察到了分子束外延生长的HgTe量子阱中的QSH效应。 ^三边缘态为实验区分QSH绝缘体和普通绝缘体提供了直接方法。QSH绝缘体的两个边缘态充当两个导电1D通道，每个通道贡献一个电导量子，e（电子） ²/小时由于前面解释的抗反射原理，这种完美的传输是可能的。相反，微不足道的绝缘体相位是“真正”绝缘的，电导为零。实验上观察到薄量子阱和厚量子阱之间存在如此明显的电导差异，如图所示3立方厘米.

从二维到三维

从图中第3页我们看到2D拓扑绝缘体有一对1D边态以动量交叉k= 0. 在交叉点附近，状态的色散是线性的。这正是量子场论中从一维无质量相对论费米子的狄拉克方程得到的色散，因此该方程可以用来描述QSH边态。这种图像可以简单地推广到3D拓扑绝缘体，其表面状态由单个2D无质量狄拉克费米子组成，色散形成所谓的狄拉克锥，如图所示4与2D情况类似，交叉点（圆锥体尖端）位于TR不变点，例如k=0，简并受TR对称性保护。

.图4。在三维拓扑绝缘体中，图3（b）中线性分散的边态成为由所谓的狄拉克锥描述的表面态。（a）三维拓扑绝缘体Bi2Te3的晶体结构由堆叠的准二维Te-Bi-Te-Bi-Te层组成。箭头表示晶格基向量。表面状态预计由单个狄拉克锥组成。6（b）角度分辨光电子能谱法绘制动量空间中的能量状态。相关化合物Bi2Se3的自旋相关ARPES表明，表面态的自旋（红色）位于表面，并垂直于动量。7（c）Bi2Te3中能量与波数的ARPES图显示了体价带（BVB）上方的线性分散表面态带（SSB）。虚线表示费米能级。蓝色的线在狄拉克锥的尖端交汇。8

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图4。在三维中拓扑绝缘体，图形的线性分散边态3（b）成为所谓的狄拉克锥所描述的表面状态。（a）三维拓扑绝缘体Bi的晶体结构₂Te公司_三由堆叠的准二维Te-Bi-Te-Bi-Te层组成。箭头表示晶格基向量。表面状态预计由单个狄拉克锥组成。 ⁶ （b）角度分辨光电子能谱图描绘了动量空间中的能量状态。相关化合物Bi的自旋相关ARPES₂硒_三揭示了表面态的自旋（红色）位于表面，并垂直于动量。 ⁷ （c）能量与Bi波数的ARPES图₂Te公司_三显示了体价带（BVB）上方的线性分散表面态带（SSB）。虚线表示费米能级。蓝线在狄拉克锥的尖端相交。 ⁸

梁福和凯恩预测 ⁴ 合金Bi_1−x个某人_x个将是特殊范围内的3D拓扑绝缘体x个Zahid Hasan和普林斯顿大学的同事利用角分辨光电子能谱（ARPES）观测了该系统的拓扑表面状态。 ⁵ 然而，表面状态和潜在机制变得极其复杂。在与中国科学院钟芳小组的合作下，我们两人预测₂Te公司_三，铋₂硒_三和锑₂Te公司_三，全部采用图中的分层结构4a类是3D拓扑绝缘体，而相关材料Sb₂硒_三，不是。 ⁶

与HgTe一样，Bi的非平凡拓扑₂Te公司_三这个家族是由于在铋和碲的强自旋-轨道耦合驱动下，两个宇称相反的轨道之间的能带反转造成的。由于这种相似性，3D拓扑绝缘体系列可以用HgTe模型的3D版本来描述（参见箱). 第一原理计算表明，材料表面有一个狄拉克锥。表面态的自旋位于表面，并且始终垂直于动量，如图所示4b个.

众所周知，Bi是优良的热电材料₂Te公司_三和Bi₂硒_三已经独立进行了研究，特别是在普林斯顿大学，哈桑的小组在ARPES实验中观察到Bi的单一Dirac-cone表面态₂硒_三样品由Robert Cava和同事准备。 ⁷ 此外，该小组的自旋分辨测量表明，电子自旋确实位于表面平面内，并且总是垂直于动量，这与理论一致。然而，实验还观察到散装载流子与拓扑表面状态共存。首次在Bi中观察到无大块载流子的纯拓扑绝缘相₂Te公司_三由斯坦福大学的陈玉林和沈志勋小组在艾恩·费舍尔及其同事准备的材料上进行ARPES实验。 ⁸ 如图所示4c类，观测到的表面状态确实呈线性分散，在动量为零的点交叉。通过映射所有动量空间，ARPES实验令人信服地表明Bi的表面状态₂Te公司_三和Bi₂硒_三由单个狄拉克锥组成。这种状态不可能在纯2D系统中构建。例如，2D石墨烯板有四个狄拉克锥（参见Andrey Geim和Allan MacDonald的文章，今日物理学,2007年8月，第35页). 交叉点处的二维碲镉汞量子阱d日=d日 _c（c）有两个狄拉克锥。从某种意义上说，圆锥体在空间上是分开的，一个放在顶面上，另一个放在底面上，类似于图中所示的空间分解1用于2D系统的1D曲面。（粒子物理学家在费米子的数值模拟中一直使用类似的想法——将3D晶格视为4D晶格的表面，以避免中微子出现不必要的倍增。）正如我们下面讨论的那样，表面上的单个狄拉克锥直接导致了新的拓扑性质。 ^{11, 12}

拓扑绝缘体模型

真实材料中量子自旋霍尔效应的本质可以通过显式模型来捕捉，这些模型特别容易求解。二维拓扑绝缘体碲汞可以用有效的哈密顿量来描述，它本质上是波矢量中的泰勒展开式k最低导带和最高价带之间的相互作用： ²

\begin{array}{l} H（H） (k) = ϵ (k) 1 + (\begin{matrix} M（M） (k) & 一 (k_{x个} + 我 k_{年}) & 0 & 0 \\ 一 (k_{x个} - 我 k_{年}) & - M（M） (k) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & M（M） (k) & - 一 (k_{x个} - 我 k_{年}) \\ 0 & 0 & - 一 (k_{x个} + 我 k_{年}) & - M（M） (k) \end{matrix}), \\ ϵ (k) = C类 + D类 k^{2}, M（M） (k) = M（M） - B类 k^{2}, \end{array}

其中上2×2块描述了秒-像E1传导和第页-像H1价带一样，下部块描述了这些带中的自旋下降电子。术语ϵ(k)1是所有带的不重要弯曲(1是单位矩阵）。波段之间的能隙是2M（M）、和B类通常为负值，表示带的曲率；一将带间耦合合并到最低阶。对于M（M）/B类<0时，模型的本征态描述了一个平凡的绝缘体。但对于厚量子阱，带是反向的，M（M）变为负值，解产生量子自旋霍尔绝缘体的边态。另一个模型 ⁹ 对于具有蜂窝状晶格的二维拓扑绝缘体，也可以简单地求解以获得明确的理解。

Bi中的3D拓扑绝缘体₂Te公司_三族可以用类似的模型来描述： ⁶

\begin{array}{l} H（H） (k) = ϵ (k) 1 + (\begin{matrix} M（M） (k) & 一_{2} (k_{x个} + 我 k_{年}) & 0 & 一_{1} k_{z（z）} \\ 一_{2} (k_{x个} - 我 k_{年}) & - M（M） (k) & 一_{1} k_{z（z）} & 0 \\ 0 & 一_{1} k_{z（z）} & M（M） (k) & - 一_{2} (k_{x个} - 我 k_{年}) \\ 一_{1} k_{z（z）} & 0 & - 一_{2} (k_{x个} + 我 k_{年}) & - M（M） (k) \end{matrix}), \\ ϵ (k) = C类 + {D类}_{1} k_{z（z）}^{2} + {D类}_{2} k_{⊥}^{2}, M（M） (k) = M（M） - {B类}_{1} k_{z（z）}^{2} - {B类}_{2} k_{⊥}^{2}, \end{array}

在Bi和Te键和反键的基础上第页_z（z） 具有两个自旋的轨道。曲率参数B类₁和B类₂具有相同的符号。与2D模型中一样M（M）/B类₁<0表示不重要的绝缘体，但M（M）/B类₁>0，带反转，系统是拓扑绝缘体。

绝缘子的拓扑分类

数学家将几何对象分为广义拓扑类。具有不同形状的对象（例如甜甜圈和咖啡杯）可以平滑地变形为彼此，因此可以分组到同一拓扑类中。数学家还提出了唯一定义拓扑类的拓扑不变量的概念。一般来说，拓扑材料，特别是拓扑绝缘体，可以用拓扑场理论中物理可测的拓扑不变量来定义。

我们首先可以根据TR对称性的存在与否将绝缘体分为两大类。QH态是一种破坏TR对称性的拓扑绝缘体态。David Thouless及其同事表明，物理测量的整数QH电导由一个称为第一Chern数的拓扑不变量给出（参见Joseph Avron、Daniel Osadchy和Ruedi Seiler的文章，今日物理学,2003年8月，第38页). 对于一般相互作用的系统，QH态的拓扑性质可以用基于Chern–Simons理论的有效拓扑场论来描述。 ¹⁴ 尽管邓肯·霍尔丹（Duncan Haldane）构建了一个没有外加磁场的QH效应模型，但这种状态仍然打破了TR对称性。

长期以来，人们普遍认为TR对称性破缺和二维性对绝缘体的拓扑性都是必要的，但2001年首次引入了TR非变拓扑绝缘体模型。 ¹⁵ 该模型最初在4D中定义，但3D和2D中的TR不变拓扑绝缘体可以通过简单的降维程序获得。 ¹² 村上春树（Shuchi Murakami）、长谷直人（Naoto Nagaosa）和张（Zhang）以及奥斯汀德克萨斯大学（University of Texas in Austin）的麦克唐纳（MacDonald）及其同事开发了掺杂半导体的本征自旋霍尔效应理论，并确定自旋轨道耦合是关键成分；后来，村上春树、长崎和张将该理论扩展到TR非变绝缘子。凯恩和梅勒首先在2D中介绍了TR非变QSH绝缘体的拓扑能带理论，并表明它们分为两个不同的拓扑类，通常称为Z ₂分类。 ⁹ 那个美丽的拓扑带理论很快被推广到三维。 ¹¹ 我们两人和我们的同事开发了一种统一的拓扑场理论，该理论根据物理可测的拓扑场论定义了拓扑绝缘体的一般概念。 ¹²

我们现在有两个关于TR不可变拓扑绝缘体的精确定义，一个是根据非相互作用拓扑带理论 ¹¹ 一个是拓扑场理论。 ¹² 如果我们用非相互作用电子填充一定数量的带来近似一个绝缘体，拓扑带理论可以计算出一个显式拓扑不变量，该不变量只能给出二进制值0或1：aZ ₂定义普通和非普通绝缘体的分类。对于具有反转对称性的材料，Fu和Kane开发的强大算法 ⁴ 可以很容易地集成到电子结构计算中，以数值评估拓扑带不变量。然而，由于自然界中的所有绝缘体都必须相互作用，因此重要的是要有一个拓扑绝缘体的通用定义，该定义对相互作用系统有效，并且在实验上可以测量。这两个问题都用拓扑场理论解决了， ¹² 这通常可以定义为所有绝缘子，有或没有相互作用。在非相互作用的情况下，这两个定义是一致的。令人惊讶的是，拓扑场理论可以用本科生电磁学中的基本概念来解释。

在绝缘体内部，电场E类和磁场B类都有明确的定义。在拉格朗日场理论中，绝缘子的电磁响应可以用有效作用来描述 ${S公司}_{0} = 1 / 8 π \int^{} {d日}^{三} x个 d日 t吨 (ϵ {E类}^{2} - 1 / µ {B类}^{2})$ ⁠，使用ϵ介电常数和µ磁导率，从中可以导出麦克斯韦方程。然而，被积函数依赖于几何，因此它不是拓扑的。要了解这种依赖性，可以根据F类 _µν，4D电磁场张量： ${S公司}_{0} = 1 / 16 π \int {d日}^{三} x个 d日 t吨 {F类}_{µ ν} {F类}^{µ ν}$ ⁠.重复指数的隐含总和µ和ν取决于度量张量，也就是几何。（事实上，正是这种依赖导致了光的引力透镜效应。）

然而，在电磁场的作用中还有另一个可能的术语：

\begin{matrix} {S公司}_{θ} = \frac{θ α}{4 π^{2}} \int^{​} {d日}^{三} x个 d日 t吨 E类 \cdot B类 \equiv \frac{θ α}{32 π^{2}} \int^{​} {d日}^{三} x个 d日 t吨 ϵ_{µ ν ρ τ} {F类}^{µ ν} {F类}^{ρ τ} \\ = \frac{θ}{2 π} \frac{α}{4 π} \int^{​} {d日}^{三} x个 d日 t吨 \partial^{µ} (ϵ_{µ ν ρ τ} 一^{ν} \partial^{ρ} 一^{τ}), \end{matrix}

哪里 $α = {e（电子）}^{2} / ℏ c（c） \approx 1 / 137$ 是精细结构常数，θ是一个参数，并且ϵ_µνρτ 是完全不对称的4D Levi-Civita张量。与麦克斯韦动作不同，S公司_θ 是一个拓扑项&它只取决于底层空间的拓扑，而不取决于几何体。用场张量表示，该项与度量无关。

自从E类字段在TR下是不变的，而B类现场变更标志，S公司 _θ天真地打破了TR对称。然而，对于周期系统，有两个值θ，即θ=0或θ=π保持TR对称性。 ¹² 通过类比，人们很容易理解这个结论。如果我们有一个内部有磁通量的1D环，磁通量Φ的一般值会破坏TR对称性。然而，对于通量的两个特殊值，Φ=0或Φ=hc公司/2e（电子），电子的波函数将相位改变0或π当电子顺时针或逆时针绕环旋转时，TR对称性保持不变。

如果我们把所有微观费米子自由度积分出来，就可以得到有效的作用S公司 _θ，宇宙中的所有非磁性绝缘体都将分为两个不同的拓扑类，由有效拓扑场理论描述θ=0或带有θ=π。不同于ϵ和µ物理测量值θ参数是普遍量子化的，两个可能的值分别定义了拓扑平凡绝缘体和非平凡绝缘体Z ₂再次分类。

这种分类对周期系统有效。对于具有有限边界的实体，拓扑绝缘体仅在体中绝缘；它的表面上有奇数个无间隙狄拉克锥，用来描述导电表面状态。如果我们用一层薄的铁磁薄膜均匀地覆盖表面，边界上也会出现一个绝缘间隙；TR对称性在整体上保持不变，但在表面上被破坏。上述等式的最后一个恒等式S公司 _θ表明体拓扑项实际上是一个全导数，可以表示为曲面项，由括号中的表达式给出。该表面项与描述QH态拓扑场理论的Chern–Simons项相同。在QH场理论中，项的系数指定霍尔电导的值。 ¹⁴ 这里是θ=π转化为霍尔电导 $\frac{1}{2}$ e（电子） ²/小时，是第一个QH平台电导的一半。该值与拓扑绝缘体表面上的单个狄拉克锥唯一相关。任何随机无序都只能改变系统霍尔电导的整数倍e（电子） ²/小时，因此半QH电导 $\frac{1}{2}$ e（电子） ²/小时表面状态在拓扑上是鲁棒的。

见解

拓扑绝缘子领域发展迅速，已经进行了许多引人注目的实验。在一系列HgTe器件的非局域输运测量中，Würzburg小组证实输运电流是由QSH边态携带的。拓扑绝缘体Bi₂Te公司_三和Bi₂硒_三斯坦福大学采用纳米带形式，清华大学采用分子束外延。扫描隧道显微镜实验已经在普林斯顿大学、斯坦福大学和清华大学进行，以探索拓扑表面状态。初步的输运测量表明表面状态的主要贡献。

通过求解包含拓扑项的麦克斯韦方程组，可以预测以奇异激发为特征的新物理性质。2D QSH绝缘体的边缘预计有分数电荷，而体中则有自旋电荷分离。在物理入门课上，我们学习到，金属或绝缘体上方的点电荷可以被视为在表面下方诱导图像电荷。预测三维拓扑绝缘体表面上方的点电荷不仅会诱导图像电荷，还会诱导表面下方的图像磁单极子， ¹² 如图所示5a级这样一个由电荷和磁电荷组成的复合物体，称为二子，既不服从玻色统计，也不服从费米统计，但在任何可能的统计下，它的行为都像所谓的任意子。三维拓扑绝缘体中的位错包含类似于QSH边缘态的电子态。

.图5。预测了拓扑绝缘体的新行为。（a）当拓扑绝缘体（TI，绿色）被薄铁磁层（灰色）覆盖时，表面附近的每个电子（红色球体）在其正下方感应出一个像单极（蓝色球体）。12当一个电子绕另一个电子（红色圆圈）旋转时，它将经历磁通量（蓝色圆顶中的箭头）由另一个的镜像单极子携带，所以电子-单极子复合物，称为双子，服从分数统计。（b）当TI被s波超导体（SC）覆盖时，超导涡旋是马略纳费米子，它们是自己的反粒子。交换或编织Majorana漩涡，如图所示，导致非阿贝尔统计。17这种行为可以形成拓扑量子计算的基础。

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图5。新颖的行为预测拓扑绝缘体。（a）当拓扑绝缘体（TI，绿色）被薄铁磁层（灰色）覆盖时，表面附近的每个电子（红色球体）在其正下方感应出一个像单极（蓝色球体）。 ¹² 当一个电子绕着另一个电子（红色圆圈）旋转时，它将经历另一个成像单极所携带的磁通量（蓝色圆顶中的箭头），因此电子-单极复合物（称为双电子）服从分数统计。（b）当TI由秒-波超导体（SC），超导涡旋是马略纳费米子，它们是自己的反粒子。交换或编织Majorana漩涡，如图所示，导致非阿贝尔统计。 ¹⁷ 这种行为可以成为拓扑量子计算的基础。

轴是弱相互作用的粒子，假设它可以解决粒子物理标准模型中的一些困惑 ¹⁶ （见卡尔·范·比伯和莱斯利·罗森博格的文章，今日物理学,2006年8月，第30页). 这些难以捉摸的粒子也被预测存在于拓扑磁性绝缘体中，对于这些系统θ上述参数取决于位置和时间。马略纳费米子不同于我们熟悉的狄拉克费米子：它们是自己的反粒子。自然界中还没有马略那费米子的确凿证据。但是，当超导体靠近拓扑绝缘体表面时，预计马略纳费米子会出现在涡旋内部（见图5亿). ¹⁷

除了教我们有关量子世界的知识外，拓扑绝缘体中的奇异粒子还可以找到新的用途。例如，图像单极子可以通过纯电子手段用于写入磁存储器，马略纳费米子可以用于拓扑量子计算。 ¹⁸

阿尔伯特·爱因斯坦坚持认为所有物理基本定律都应该用几何学来表达，他以空间和时间的几何曲率来阐述引力理论，从而证明了古希腊的理想。物理学家们现在正在进一步追求爱因斯坦的梦想，探索用拓扑场理论表达的基本定律。基本粒子的标准模型包含一个拓扑项，该项与S公司 _θ定义拓扑绝缘体的术语。即使在拓扑绝缘体中只观察到少量预测的奇异粒子，我们对自然的基本理解也会大大增强。这种桌面实验可以成为标准模型的窗口 ¹⁶ 有助于揭示我们宇宙的迷人美丽和神秘。