这篇论文是一系列论文中的第一篇，为保形平坦空间中的经典和量子二阶超积分系统的结构和分类理论奠定了基础。已知此类系统的许多示例，并已确定二维和三维常曲率空间以及少数其他空间的可能系统列表。这些系统的观察到的特征是多可分性、六阶二阶对称的二次代数的闭包、利用二次代数表示理论导出量子薛定谔算子的谱性质，以及与精确可解和准精确可解系统的密切关系。我们的方法不是关注特定的空间和系统，而是使用基于可积性条件的一般理论方法来推导所有系统的通用结构。在第一篇文章中，我们考虑了一般二维黎曼流形上的经典超可积系统，并揭示了它们的共同结构。我们证明了对于具有非简并势的超可积系统，存在基于代数的标准结构2×2对称矩阵，这样的系统必然是多可分的，并且二次代数在第6级结束。还分析了具有简并势的超可积系统。这一切都是在不使用系统列表的情况下完成的，因此，在已知实例相对较少的情况下，更容易推广到更高维度。

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2005
美国物理研究所
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