费曼振幅被视为质量的函数，当内外线的质量被允许为零时，其表现出各种奇异性。本文详细研究了这些质量奇点的性质，它们可以定义为Landau条件的病理解。本文提出了一种通用的方法，使我们能够确定非标准化费曼振幅在此类奇点处的发散程度。它还用于确定总跃迁概率的质量依赖性。研究发现，虽然部分跃迁概率可能与最终状态下粒子质量的消失有关，但在计算总概率时，它们总是相互抵消。然而，如果以传统方式进行电荷重整化，则这种抵消会被部分破坏。这与相互作用的粒子在质量消失时失去其身份有关。为了一致地处理这个极限，似乎需要对状态进行新的描述，并对重整化问题采用新的方法。

1
例如，请参见
R.E.公司。
古特科斯基
,
数学杂志。物理学。
1
,
429
(
1960
).
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
2
我们在这里只引用了最近发表的两篇论文：
D.R.公司。
 
Yennie公司
,
第节。
 
弗劳茨基
、和
H。
 
苏拉
,
安·物理。
 
13
,
379
(
1961
);
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
英国工程师。
埃里克松
,
新墨西哥
19
,
1010
(
1961
)。然而，我们注意到，目前的工作应被视为参考文献24和28中引用的早期工作的延伸。
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
三。
T。
 
木下
和
答：。
 
瑟林
,
物理学。版次。
 
113
,
1652
(
1959
);
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
美国。
 
伯曼
,
物理学。版次。
 
112
,
267
(
1958
)，
物理学。版次。
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
T。
 
木下
,
物理学。修订信函
 
2
,
477
(
1959
);
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
美国。
伯曼
,
物理学。修订信函
1
,
468
(
1958
).,
物理学。修订稿。
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
4
M。
盖尔·曼
和
F.E.公司。
低
,
物理学。版次。
95
,
1300
(
1954
).
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
5
R。
卡普拉斯
和
N.M.公司。
克罗尔
,
物理学。版次。
77
,
536
(
1950
).
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
6
R。
 
奇索姆
,
程序。剑桥大学哲学系。
 
48
,
300
(
1952
);
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
年。
 
南部
,
新墨西哥
 
6
,
1064
(
1957
);
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
N。
中西
,
程序。理论。物理学。（京都）
17
,
401
(
1957
).
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
7
功能（？/？zβ)●（¼/zδ)U（z）α = 0)公式（2.12）本质上是二的乘积U型因子，对应于由C类设置{α,β,⋯,δ}.Symanzik注意到了这一点，参考文献9。我要感谢罗伯特·B·马尔博士，他提请我注意这一点。
8
在某些情况下，有必要使用其他方法，如保利和维拉斯的方法。请参见
西。
保利
和
F。
维拉斯
,
版次：。现代物理学。
21
,
434
(
1949
).
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
9
英国。
Symanzik公司
,
程序。理论。物理学。（京都）
20
,
690
(
1958
).
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
10
L.直径。
 
朗道
,
核物理。
 
13
,
181
(
1959
);
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
N。
 
中西
,
程序。理论。物理学。（京都）
 
22
,
128
(
1959
);
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
J.D.Bjorken，“扰动理论中格林函数的谱表示”，斯坦福大学预印本（1959年）。
11
R。
卡普拉斯
,
C.M.公司。
索默菲尔德
、和
E.小时。
维希曼
,
物理学。版次。
111
,
1187
(
1958
).
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
12
我们所说的任意性是指外动量相对方向的任意性。每个外部动量的大小可能（也可能不）由质量壳条件决定。对于某些特定的外力方向，我们可能会发现病理奇点，而不是纯粹的质量奇点。通常它们不是很有趣，因为它们对总跃迁概率的贡献可以忽略不计，因为相空间因子。一个例外是前向散射振幅。第二节讨论了如何处理这种情况。4和11。
参考文献28对红外发散的情况进行了类似于（4.12）的发散估计。
13
一个积分的完全积分，其结构与（4.1）相同，只是分母的幂增加了一，通过以下公式进行
G.公司。
 
卡伦
和
A.S.公司。
 
维特曼
,
丹麦维登斯卡布。塞尔斯卡布，Mat.‐Fys。Skrifter公司
 
1
，否。
6
(
1958
),
谷歌学者
 
为了这个案子n个 = 三。然而，为了我们的目的，它们的结果必须进一步结合到某种质量上。
14
积分（4.1）的值取决于在空间中如何接近极限n个质量变量。
15
的价值c（c）取决于限制程序。
16
这里我们使用相对于集合的单词“内部”和“外部”{α,β,⋯,δ}.因此，它们与其他地方使用的不同。
17
如果链α和链β的中心可以由一条连续的线连接，而当图表正确地绘制在一张纸上时，该线不与任何其他链相交，则链β也可以由α定向。然而，我们还没有找到“适当”的明确定义
18
N.N.Bogoliubov和D.V.Shirkov，量子化场理论导论（Interscience Publishers，Inc.，纽约，1959年），第352页。
19
G.公司。
海湾
,
物理学。版次。
117
,
886
(
1960
)。然而，贝姆的论点似乎并不是决定性的。
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
20
n个1,1+n个2,0等于0或n个1,0+n个0,1取决于定向链的尾端是在顶点还是顶点部分相交。不平等如果H（H）+（f）K⩾n号2,1+n个2.0个根据第2节备注（c）。
21
在一般情况下一和b条是对交互类型的限制。
22
严格地说，只有当耦合常数的维数不等于质量的正幂时，这才是正确的。
见脚注24a。
23
如第9节末尾所述，一些自能图必须与通常的自能图不同。前者的吸收部分可能具有比后者更强的质量奇异性。它不包含在案例中N个 = 2如上所述。
24
T。
 
木下
,
程序。理论。物理学。（京都）
 
5
,
1045
(
1950
).
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
剖切图与T型d日除非能量足够大。然而，这并不影响我们的论点，因为质量发散的消除只发生在那些可以在相同能量下打开的中间态之间。
25
库仑类型的定义见第4节最后一段。
26
λ发散属于第9节末尾和参考文献23中讨论的类型。
27
双截图首先由T.Kinoshita（1950年，未出版）考虑。另请参阅
N。
中西
,
程序。理论。物理学。（京都）
19
,
159
(
1958
).
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
28
N.Nakanishi，参考文献27。
29
在这里，交换的粒子在被吸收之前可能会发射几个粒子。因此，图11（a）可视为影响此类碰撞横截面的一个术语。
30
然而，需要注意的是，该结果仅适用于非标准化概率。
31
钢筋混凝土。
费曼
和
M。
盖尔·曼
,
物理学。版次。
109
,
193
(
1958
).
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
32
对。
 
巴丁
,
C.答。
 
巴恩斯
,
水务局。
 
福勒
、和
私人助理。
,
西格
,
物理学。修订信函
 
5
,
323
(
1960
);
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
注册会计师。
 
雷特
,
T.A.公司。
 
罗曼诺夫斯基
,
钢筋混凝土。
 
萨顿
、和
B.G.公司。
 
奇德利
,
物理学。修订信函
 
5
,
22
(
1960
)，
物理学。修订稿。
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
参考文献34中引用的V.L.Telegdi、R.A.Swanson、R.A.Lundby和D.D.Yovanovitch；
R·J。
 
Blin‐Stoyle酒店
和
J。
 
Le Tourneux公司
,
物理学。版次。
 
123
,
627
(
1961
);
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
A.Altman和W.M.MacDonald，马里兰大学，预印本（1962年）。
33
C.R.Schumacher（私人通信）详细研究了这种可能性。
34
色散理论方法
L。
杜兰德
,
L.F.有限责任公司。
兰多维茨
、和
钢筋混凝土。
马尔
,
物理学。修订信函
4
,
620
(
1960
)属于此类别。
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
35
文学硕士。
 
鲁德尔曼
和
W.K.R.公司。
 
沃森
,
牛市。美国物理。Soc公司。
 
1
,
383
(
1956
);
谷歌学者
 
R。
加托
和
文学硕士。
鲁德尔曼
,
新墨西哥
8
,
775
(
1958
).
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
36
H.L.公司。
安德森
,
T。
藤饭
,
右侧。
米勒
、和
L。
陶（Tau）
,
物理学。版次。
119
,
2050
(
1961
).
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
37
R.P.Feynman最近在《1961年索尔维会议报告》（即将出版）中强调了研究零质量电子的量子电动力学的重要性。
38
西。
 
海森堡
,
Z.Naturforsch公司。
 
14
,
441
(
1959
);
谷歌学者
 
年。
南部
和
G.公司。
乔纳·拉西尼奥
,
物理学。版次。
122
,
345
(
1961
).
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
39
美国。
 
布鲁德曼
,
新墨西哥
 
9
,
433
(
1958
);
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
M。
 
盖尔·曼
和
M。
 
勒维
,
新西门托
 
16
,
705
(
1960
)，
新墨西哥
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
J。
 
伯恩斯坦
,
美国。
 
福比尼
,
M。
 
盖尔·曼
、和
西。
 
瑟林
,
新墨西哥
 
17
,
757
(
1960
)，
新墨西哥
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
年。
南部
,
物理学。修订信函
4
,
380
(
1960
).
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
40
J。
 
施温格
,
安·物理。
 
2
,
407
(
1957
);
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
J·J。
 
樱井
,
安·物理。
 
11
,
1
(
1960
)，
安·物理。
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
M。
 
盖尔·曼
和
F。
 
查哈里阿森
,
物理学。版次。
 
123
,
1065
(
1961
);
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
M。
盖尔·曼
,
物理学。版次。
125
,
1067
(
1962
).,
物理学。版次。
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
41
参见参考文献1。
42
参见参考文献24。
43
由于分母消失，公式（A9）没有得到很好的定义。此处给出该值仅用于与（A8）进行比较。
44
由于衰变概率在π介子质量消失时消失，下面的论点实际上不适用于衰变问题。我们应该将其视为对米碰撞过程中一个入射粒子产生的奇异性。
45
为了证明这一点，我们还需要关系∑γ,…,δ一个αβγ…δ（z） = z（z）αz（z）β×(多项式的 在里面 z）用于固定α,β,通过比较（B1）和（B6）得出α≠β.
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©1962美国物理研究所。
1962
美国物理研究所
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