描述了一种处理非线性随机系统的方法，希望该方法在量子力学多体问题和湍流理论中都有用。在这种方法中，真正的问题被导致相关函数和平均格林函数的封闭方程的模型所取代。模型解是对可能的动力系统的精确描述，因此，它们具有一定的一致性。例如，格林函数的谱分量在真实问题中必须自动为正定，对于模型也是如此。这些模型包含了一个新的随机元素：在无限多相似系统中引入了随机耦合，真正的问题对应于这些耦合消失的极限。该方法首先应用于具有随机频率参数的线性振荡器。对于两个连续模型，明确地获得了振荡器的平均脉冲响应函数。结果表明存在一系列模型解，这些模型解迅速收敛到真实问题的精确解。然后应用于随机势中粒子的薛定谔方程和Burgers湍流动力学模拟。对于这两个问题，都得到了闭合模型方程，该方程确定了平均格林函数、平均场的振幅和波动场的协方差。模型解可以表示为真实问题解的形式摄动展开式中的无穷类项之和。研究表明，与随机模型的对应性可能是一个有用的准则，有助于判断扰动级数部分和的有效性。

1
E.公司。
蒙特罗
和
J。
病房
,
物理学。流体
1
,
55
(
1958
).
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2
邮政编码：。
马丁
和
J。
施温格
,
物理学。版次。
115
,
1342
(
1959
). 这篇论文包含大量参考书目。
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三。
G.K.Batchelor，均匀湍流理论（剑桥大学出版社，纽约，1953年）。
4.
C.C.林，湍流和传热（普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，1959年），C部分，第1章。
5
J.B.Keller，印第安纳州流体动力不稳定性，第13卷，应用数学专题讨论会论文集由G.Birkhoff（美国数学学会，罗德岛州普罗维登斯，待出版）编辑。
6
参见，例如。，
L。
范·霍夫
,
物理
22
,
343
(
1956
).
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7
一、。
普罗德曼
和
W.H.公司。
里德
,
菲尔翻译。罗伊。Soc.伦敦，Ser。一
,
247
,
163
(
1954
).
谷歌学者
 
8
特殊括号符号的原因将在第3节中明确。
9
在本文中，涉及单个系统的数量将用方括号内的拉丁指数标记，而集合数量将用无括号的希腊指数标记。
10
由α = 0将在第8节中明确。
11
有兴趣指出q个α原则上是可以衡量的。让一个设备依次对采集中的每个振荡器进行采样，时间间隔为τ，按照递增的顺序进行n个然后从M（M）将第个振荡器切换到第一个，以连续重复该循环。在每个采样瞬间，让设备产生一个强度与q个[无]（t） ●●●●。如果τ足够小，在q个[无]如果有明显的变化，脉冲序列的频谱将近似于具有频率的线谱α/Mτ振幅与q个α（t） 。
12
标记为λ的虚线上箭头方向的反转对应于符号的微小变化λ→−λ对于相关的C类2n；第页(α,β,α−β).
13
参见附录A（A）我们的“不可约”图是量子场论术语中的“适当”图。
14
该模型与“随机相位近似”无关[
D。
松树
和
D。
博姆
,
物理学。版次。
85
,
338
(
1952
)]. 我们不假设q个α他们自己。
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15
一般来说，S公司第2个≠（n−1）n−1个.
16
我们在讨论等式（6.2）时呼吁不可约C和可约C之间的关系不受C的不可实现性的影响。在这里，这些关系可视为等式（4.14）与幂级数一致的要求的形式含义G（吨）通过等式（4.23）的迭代解获得。
17.
很容易看出，任何可转换为C类2;1通过包含固定顶点的收缩操作，也可以通过一系列不嵌入该顶点的收缩来进行变换。因此，此综合图中包含的图表是详尽的。（a） 我们的“合并”图是量子场论术语中的“不可约”图。
18
争论第页在里面（p） ，等，不应与索引混淆第页在里面C类2n；第页.
19.
见附录A。
20
方程（8.7）对φ的附加约束很弱，我们预计，如果C类2;1 = 1,它不会影响任何给定值集的可实现性C类2n；第页什么时候M→∞。对于随机耦合模型，这是可以验证的：总和ΣβC类2n；第页(α,β,α−β)不受影响（M→∞）对于任何一个α = 0或α≠0.
21
本案中φ乘积的总和包括Σ′而不是不受限制的求和C类2n；第页定义见第4节。这不会改变限额中总和的值M→∞，然而。
22
其中一个条件是|Q（t，t′）|2⩽Q（t，t）Q（t′，t′）。
23
方程（5.5）的这一性质直接由方程（2.4）暗示。
24
然而，它们的数量相应地增加，因此，对物理量有贡献的各个斜力矩的总和在极限内仍然是有限的。
25
我们采用这样的单位ℏ = 1和2米=1，哪里米是粒子质量。
26
如果b条和q个被解释为函数空间中的向量，并且在日/日和¼/¼-i∑2.
27
当不满足后一个条件时iv̄(x个)G公司(x个，吨|x个′，t′）出现在等式（10.4）的左侧，其中v̄(x个)是平均电势，以及V（V）(x个,年)然后定义为电势的零均值部分。
28.
这个程序是合理的后部.
29
V（V）k必然是真实的、非负的。
30
我们可能会注意到∑d三公斤k（−iθ−1)=G(x个，−iθ−1|x个,0)是单位体积的平均单粒子配分函数。
31
J·M·。
汉堡
,
申请进展。机械。
1
,
171
(
1948
).
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32
事实上，我们在公式（11.4）中假设了这个条件。
33
等式（11.5）表示的额外对称性导致C类2n；第页根据第4节的规定。然而，在价值上没有歧义。
34
只有仅涉及格林函数矩阵的对角元素的项才是最重要的（M→∞）。因此，例如单位−α由运动方程中的摄动项引起单位β不在限额内。
35
我们在这里使用上标来标记个体和集体的量，以避免与张量索引混淆。
36.
右侧。
克莱契南
,
J.流体力学。
5
,
497
(
1959
);
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另请参见，第二届海军流体动力学研讨会由R.Cooper（美国政府印刷局，华盛顿，1960年）编辑。在这些论文中，与随机耦合模型相对应的方程称为“直接相互作用近似”方程。
37
G公司(x个，吨|x个′，t′）d三x个是标记粒子引入的概率x个'，t'在中d日三x个在x个，t。
38
P.H.Roberts（待出版）。[另以代表HSN‐2的身份发布，纽约大学数学科学研究所电磁研究部（1960年）。]
39
R.H.Kraichnan，印第安纳州流体动力不稳定性，第13卷，应用数学专题讨论会论文集由G.Birkhoff（美国数学学会，罗德岛州普罗维登斯，待出版）编辑。
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©1961美国物理研究所。
1961
美国物理研究所
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