爱因斯坦张量克ij公司对称，无散度，是度量张量的伴随克ab公司以及它的前两个导数。本文显式地显示了具有这些性质的价二张量。这种类型的独立张量的数量在很大程度上取决于空间的维数，在四维情况下，唯一具有这些性质的张量是度量张量和爱因斯坦张量。

1
除非另有规定，拉丁指数从1到n个.
2
逗号表示部分分化。
三。
始终使用求和约定。竖线表示协变微分。
4
E.公司。
卡坦
,
数学杂志。纯应用程序。
1
,
141
(
1922
).
谷歌学者
 
5
H.Weyl，时空物质（纽约多佛，1922年），第4版，第315ff页；
H.Vermeil，Nachr。格式。威斯。哥廷根，334（1917）。
6
如果X（X）我是任意逆变向量场，则定义黎曼曲率张量对哈卡斯语我,里奇张量对香港,曲率标量对和爱因斯坦张量克ij公司通过
X（X）ljk公司我−X列车运行监控装置我 = 对hjk公司我X（X）小时，右香港 = 对hji公司我，R=克你好对香港,
和
克ij公司 = 对ij公司−12克ij公司对
分别是。
7
D。
洛夫洛克
,
Aequationes数学。
4
,
127
(
1970
).
谷歌学者
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8
参考文献7，定理4。
9
参考文献7，定理3。
10
参考文献7，推论1。
11
关于（2.6）的各种应用，请参见
D。
 
洛夫洛克
,
阿提·阿卡德。纳粹。林且
 
42
,
187
(
1967
);
谷歌学者
 
D。
洛夫洛克
,
程序。剑桥大学哲学系。
68
,
345
(
1970
).
谷歌学者
交叉参考
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12
g=det（探测） 克ij公司.在不失一般性的情况下，我们可以假设g> 0。
13
参考文献7，定理5。
14
这个标量出现在另一个完全不同的环境中。H.Rund，“与集合相关的曲率不变量n个超曲面的基本形式n个‐维黎曼流形“[出现在Tensor（1971）中]。
D.Lovelock，“欧几里德空间中偶数阶超曲面曲率的内在表达式”[发表在Tensor（1971）中]。
15
H。
伦德
,
阿布汉德尔。数学。汉堡州立大学
29
,
243
(
1966
).
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16
R.Pavelle（私人通信）研究了（3.6）与完全满足欧拉-拉格朗日方程的拉格朗茨的关系。
17
D。
洛夫洛克
,
架构（architecture）。比率。机械。分析。
33
,
54
(
1969
).
谷歌学者
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©1971美国物理研究所。
1971
美国物理研究所
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