所有伴随张量算子的矩阵元素的完整、完全显式和规范确定U型(n个)呈现。这类伴随张量算子——那些变换为IR[10̇-1]的算子——是第一个表现出非平凡多重性的算子。证明了该重数的正则分解具有几个相容（或等价）性质：零空间分类、Racah不变量中的度分类、极限性质分类和共轭奇偶性分类。（详细发展了这些不同分类性质中的概念。）对投影（张量）算子的耦合进行了系统的处理。六个附录详细介绍了所有Gel’f频不变算子的显式求值(我k个)，由我k个、伴随算子范数的零点以及正则伴随张量算子的共轭性质。

1
拉丁美洲。
比登哈恩
,
答：。
焦万尼尼
、和
J·D·。
劳克
,
数学杂志。物理学。
8
,
691
(
1967
).
谷歌学者
交叉引用
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2
拉丁美洲。
比登哈恩
和
J·D·。
劳克
,
Commun公司。数学。物理学。
8
,
89
(
1968
).
谷歌学者
交叉引用
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三。
J·D·。
劳克
,
美国物理学杂志。
38
,
三
(
1970
).
谷歌学者
交叉引用
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4
拉丁美洲。
比登哈恩
,
数学杂志。物理学。
4
,
436
(
1963
).
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
5
通用电气公司。
贝尔德
和
拉丁美洲。
比登哈恩
,
数学杂志。物理学。
4
,
1499
(
1963
)（二）；
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
通用电气公司。
贝尔德
和
拉丁美洲。
比登哈恩
,
5
,
1723
(
1964
)（三），
数学杂志。物理学。
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
通用电气公司。
贝尔德
和
拉丁美洲。
比登哈恩
,
5
,
1730
(
1964
)（四），
数学杂志。物理学。
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
通用电气公司。
贝尔德
和
拉丁美洲。
比登哈恩
,
6
,
1847
(
1965
)（五）、。，
数学杂志。物理学。
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
6
J·D·。
劳克
,
数学杂志。物理学。
6
,
1786
(
1965
).
谷歌学者
交叉引用
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7
L.C.Biedenharn，印第安纳州物理学中的光谱学和群论方法（拉卡纪念册）F.Bioch等人，Eds.（荷兰北部，阿姆斯特丹，1968年），第59页。
8
H.Weyl，群论与量子力学（纽约多佛，1931年），第383、391页。
9
这与频繁出现的“广义维格纳-埃卡特定理”的主张形成对比，后者在很大程度上是空洞的（涉及特殊或未指定的标签）。
10
我们发现采用U（n）Gel’find模式具有负整数，但仍遵循“介数条件”。
11
国际货币基金组织。
盖尔费德
和
M.L.公司。
泽特林
,
多克。阿卡德。诺克SSSR
,
71
,
825
(
1950
).
谷歌学者
 
另见I.M.Gel'fand，R.A.Minlos，Z.Ya。夏皮罗，旋转群和洛伦兹群的表示及其应用（牛津大学佩加蒙和纽约麦克米伦出版社，1963年），第358页。
12
体育。
维格纳
,
Z.Physik公司
45
,
60
(
1927
).
谷歌学者
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13
符号[米]始终指定一行IR标签，而(米)始终指定三角形Gelfand数组。有时，为了清晰起见，有必要使用更具体的符号[米]k个和（米）k个分别指定[米]长度为k个而且(米)包含k个排。例如，在符号（2.3）中，具体符号为[米]n个和（米）n−1个.只要这样做不会引起混淆，我们就会删除这样的下标。
14
O（运行）u个定义在所有IR空间上，方程（2.6）被视为通用方程。
15
系数（2.16）为零的事实[米′]==============================================================[m] +[Δ（Γ）]是非线性的是状态向量的一个特例|（m） 〈属于Wigner算子的零空间，但我们选择单独记录此类零。
16
我们使用“unique”相当松散地表示“在一个阶段内是唯一的”。阶段必须由一个约定来固定，这样的约定将在稍后介绍。
17
“运动独立”意味着两组发电机相互转换。
18
J·J。
德斯瓦特
,
修订版Mod。物理学。
35
,
916
(
1963
).
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
19
E.U.Condon和G.H.Shortey，原子光谱理论（剑桥大学出版社，剑桥，1935年），第74页。
20
与我们演讲最直接相关的论文包括：J.Schwinger，角动量的量子理论L.C.Biedenharn和H.van Dam，Eds.（学术出版社，纽约，1965年），第229页；
五、。
巴格曼
,
修订版Mod。物理学。
34
,
829
(
1962
);
谷歌学者
交叉引用
搜索ADS
 
T.A.公司。
布罗迪
,
米。
莫辛斯基
、和
一、。
雷内罗
,
数学杂志。物理学。
6
,
1540
(
1965
)（以及其中的引用）。
谷歌学者
交叉引用
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21
这些多项式与IR的关系U（n）参考文献3对此进行了详细讨论。另请参见
国际货币基金组织。
盖尔费德
和
M.I.公司。
格拉夫
,
伊兹夫。阿卡德。Nauk SSSR序列。材料。
29
,
1329
(
1965
).
谷歌学者
 
22
严格意义上，零空间因子我(Γ)应出现在等式（2.46）的左侧。忽略这个因素会产生这样的效果，即在所有被右侧湮灭的状态向量上，将值零赋给Racah不变算子。因此，我们必须将方程（2.46）解释为Racah算子的定义。
23
本节关于Racah系数的结果可以与
J.‐R.公司。
德罗姆
和
W.T.公司。
锋利
,
数学杂志。物理学。
6
,
1584
(
1965
).
谷歌学者
交叉引用
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24
这些不变量的一个更具体的符号是我k个（n）,其中上标明确指定这些不变量U（n）不变量。通常有必要使用上标以避免混淆U（n）不变量U（n−1）不变量等。
25
对于特定的IR标签，归一化功能N个q个值可能为零。附录E详细讨论了这些消失。更精确的正交关系陈述（5.9a）包括右侧的零空间因子。
26
本文符号之间的关系U（2）Wigner和Racah系数以及通常的SU（2）参考文献3中详细给出了符号。
27
回想一下，在本文中，相位由极限关系式（5.29）确定。这个赋值可以被证明等价于以下关于约化维格纳系数的约定：只要上下算子模式相同，约化维格纳系数的符号就被选择为正，对于U（n−1）标签最大值，米英寸-1==============================================================米在里面（i）==============================================================1、2、2、7、n−1）。该公约确定了所有阶段[并同意SU（2）约定]。
28
之间的一般关系U（n）维格纳系数和SU（n）参考文献3中注明了维格纳系数。
29
J.D.Louck，洛斯阿拉莫斯科学实验室报告LA‐24511960。
30
答：。
约瑟夫
,
修订版Mod。物理学。
40
,
845
(
1968
).
谷歌学者
交叉引用
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31
O.Perron，代数（Walter de Gruyter，柏林，1951年），第153页。
32
D.E.Littlewood，群特征理论与群的矩阵表示（牛津大学伦敦分校，1950年），第二名。预计起飞时间。
33
国际货币基金组织。
盖尔费德
,
材料锑。
26
,
103
(
1950
).
谷歌学者
 
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©1970美国物理研究所。
1970
美国物理研究所
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